高一数学开学摸底考（苏教版2019必修第一册）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（ ） A B. C. D. 2．设集合，则=（ ） A. B. C. D. 3．函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 4． 某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（ ） A. B. C. D. 5．，则（ ） A. B. C. D. 6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 7．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 8．已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A. 命题p：的否定是 B. 已知幂函数的图象不过原点，则实数4 C. 已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为2 D. 已知，则 10．已知，，且，则（ ） A. B. C D. 11．已知函数若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 任意直线都与函数的图象有交点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，的取值范围为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．=________． 13．已知，且，则________． 14．已知函数为偶函数，当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16．（15分） 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点. （1）若，求及的值； （2）若，求点的坐标. 17． （15分） 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 18． （17分） 已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别 为(，2)，(，－2)． （1）求f (x)的解析式； （2）求f (x)在[0，π]上的单调增区间； （3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点． 19．（17分） 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷 数学•全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．的值为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】， 故选：A. 2．设集合，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，， 所以. 故选：A 3．函数的一个零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意知函数在R上单调递增， ，， ，，， 则函数的一个零点所在的区间是. 故选：C. 4． 某海外实验室在研究某种人类细菌的过程中发现，细菌数量N（单位）与该人类细菌被植入培养的时间t（单位：小时）近似满足函数关系，其中为初始细菌含量．当时间（单位：小时），该细菌数量为（单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，时，该细菌数量为， 故有：， 所以 故选：B. 5．，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为，即， 且，即， ，即， 综上所述：. 故选：D. 6．把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，且的图象关于点中心对称，则函数的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】对于选项A，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故A错； 对于选项B，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，故图象不关于点中心对称，故B错； 对于选项C，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由，可知图象关于点中心对称，故C正确； 对于选项D，若， 则把函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得到， 再把所得曲线向左平移个单位长度，得到， 由， 故图象不关于点中心对称，故D错. 故选：C. 7．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 2025 【答案】C 【解析】因为为奇函数，所以关于点中心对称， 又为偶函数，所以关于直线对称， 所以周期函数且周期， ∴，∵，∴，∴. 故选:C． 8．已知函数在区间内恰有3条对称轴，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 又函数在区间恰有3条对称轴， 所以，解得， 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（ ） A. 命题p：的否定是 B. 已知幂函数的图象不过原点，则实数4 C. 已知一个扇形的周长为，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数为2 D. 已知，则 【答案】AC 【解析】对于A，命题p是全称量词命题，其否定是存在量词命题，为，A正确； 对于B，依题意，，解得，B错误； 对于C，设扇形的弧长为，半径为， 则且，解得， 则该扇形的圆心角的弧度数为，C正确. 对于D，所以D错误； 故选：AC 10．已知，，且，则（ ） A. B. C D. 【答案】ABD 【解析】对于A，因为当且仅当时取等号， 所以，A正确； 对于B， 当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，取 则，C错误； 对于D，因为 所以，D正确． 故选：ABD. 11．已知函数若函数有零点，记为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 任意直线都与函数的图象有交点 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 对于A，如图所示，在同一坐标系内作出函数和的图象，由图象知，故A正确； 对于B，过点作直线，与函数没有交点，故B不正确； 对于C，当时，， 由，则， 由可得，从而， 所以，故C正确； 对于D，，则，故D正确； 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．=________． 【答案】2 【解析】原式 故答案为：2 13．已知，且，则________． 【答案】## 【解析】. ，， ，则， ． 故答案为：. 14．已知函数为偶函数，当时，．若对任意的恒成立，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】由题意知，函数的图象关于轴对称，函数的增区间为， 减区间为，若对任意的，恒成立， 有．若，不等式成立； 若恒成立，即， 又由当且仅当时取等号， 即或，设， 则或， 解得：，或（负数舍去） 即或， 所以，可得实数的取值范围为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知集合，． （1）若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以， 则，所以， 故实数的取值范围. （2）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. 16．（15分） 在平面直角坐标系：中，角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点. （1）若，求及的值； （2）若，求点的坐标. 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）由 角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，， ，且，， ，， ； （2）， ，整理得：， 即，解得：， ，整理得：， ， 角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， （舍去负值），， 17． （15分） 已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数a，b的值； （2）判断并证明函数的单调性； （3）对任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）函数为R上的减函数，证明见解析 （3） 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得， 此时， 可得， 即符合题意. （2）由（1）知，可知函数为R上的减函数，证明如下； 任取，设， 则， 因，则，，， 故，即， 所以是R上的减函数. （3）因为为奇函数，且， 则， 又因为是R上的减函数，则， 可得任意恒成立， 令，由可知， 可得，且的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递减，可得在内的最小值为， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 18． （17分） 已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)图象上相邻的一个最高点和一个最低点分别 为(，2)，(，－2)． （1）求f (x)的解析式； （2）求f (x)在[0，π]上的单调增区间； （3）设m＞1，证明：函数g(x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点． 【答案】（1）f (x)＝2sin(2x－)； （2）[0，]和[，π]； （3）证明见解析 【解析】（1）由题意，A＝2， ＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2． 根据题意，当x＝时，sin(2×＋φ)＝1， 从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又－π＜φ＜0，故φ＝－． 所以f (x)＝2sin(2x－)． （2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 则－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f (x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z． 故f (x)在[0，π]上的单调增区间为[0，]和[，π]． （3）g (x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]， 当m＞1时， 则g (0)＝(m－1)＞0， g ()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0， 又g (x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线， 所以由零点存在性定理知， 当m＞1时，函数g (x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点． 19．（17分） 若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”． （1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数在定义域（）上为“依赖函数”，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值． 【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析； （2） （3）最大值为. 【解析】（1）对于函数定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”. （2）因为在上递增，故，即，， 由，故，得， 从而在上单调递增，故. （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去； ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或， 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得 由，可得， 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为. 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 班 级 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 姓 名 __ __ __ __ __ __ __ __ __ 准 考 证 号 __ __ __ __ __ __ __ __ __ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025 学年高一下学期开学摸底考试卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2024-2025学年高一下学期开学摸底考试卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A A C B D C C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC ABD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 【解析】（1）因为集合，． 若成立的一个必要条件是，所以，（2分） 则，所以， 故实数的取值范围.（6分） （2）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围.（13分） 16．（15分） 【解析】（1）由 角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点，， ，且，，（2分） ，，（4分） ；（7分） （2）， ，整理得：， 即，解得：，（10分） ，整理得：， ，（12分） 角以为始边，它的终边与单位圆交于第二象限内的点， （舍去负值），， （15分） 17．（15分） 【解析】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即，解得，（2分） 此时， 可得， 即符合题意.（5分） （2）由（1）知，可知函数为R上的减函数，证明如下； 任取，设， 则， 因，则，，， 故，即， 所以是R上的减函数.（10分） （3）因为为奇函数，且， 则，（11分） 又因为是R上的减函数，则， 可得任意恒成立，（12分） 令，由可知， 可得，且的图象开口向上，对称轴为， 则在内单调递减，可得在内的最小值为， 则，解得， 所以实数的取值范围为.（15分） 18．（17分） 【解析】（1）由题意，A＝2，（1分） ＝－＝，又ω＞0，所以＝，即ω＝2．（3分） 根据题意，当x＝时，sin(2×＋φ)＝1， 从而＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝－＋2kπ，k∈Z， 又－π＜φ＜0，故φ＝－．（5分） 所以f (x)＝2sin(2x－)．（6分） （2）令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，（8分） 则－＋2kπ≤2x≤＋2kπ，k∈Z， 即－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f (x)的单调增区间为[－＋kπ，＋kπ]，k∈Z．（10分） 故f (x)在[0，π]上的单调增区间为[0，]和[，π]．（12分） （3）g (x)＝2sin(2mx－)－2msin(2x－)＝2[sin(2mx－)－msin(2x－)]， 当m＞1时， 则g (0)＝(m－1)＞0，（14分） g ()＝2[sin(－)－m]≤2(1－m)＜0，（16分） 又g (x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线， 所以由零点存在性定理知， 当m＞1时，函数g (x)＝f (mx)－mf (x)在(0，＋∞)上必有零点．（17分） 19．（17分） 【解析】（1）对于函数定义域内存在，则无解， 故不是“依赖函数”.（3分） （2）因为在上递增，故，即，，（6分） 由，故，得，（8分） 从而在上单调递增，故.（9分） （3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；（11分） ②若，故在上单调递减， 从而，解得(舍)或，（13分） 从而存在.使得对任意的，有不等式都成立， 即恒成立， 由，得 由，可得，（15分） 又在单调递减，故当时，， 从而，解得， 综上，故实数的最大值为.（17分） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$