专题1.10 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30题）-2024-2025学年八年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.10 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30题） 【北师大版】 【题型1 用HL证全等】 1．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理．根据垂直定义求出，再根据全等三角形的判定定理推出即可． 【详解】解：还需要添加的条件是， 理由是：∵，， ， 在和中， ， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级·河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是(   )． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 根据作图过程可以证明，进而可得结论． 【详解】∵， 在Rt和Rt中， ， ∴， ∴， ∴射线就是的平分线． 故选：C． 3．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 4．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于点C，，，连接，射线于点A，点P在线段上移动，点Q在射线上随着点P移动，且始终保持，当 时，才能使与全等． 【答案】3或6/6或3 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，正确分类、熟练掌握利用证明直角三角形全等的方法是关键．根据即可解答． 【详解】解：， ， ， ∴当或时，都可以根据证明与全等； 故答案为：3或6． 5．（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明． 【详解】证明：∵与分别为，边上的中线， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 6．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，，，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，先由垂直得出，再由线段的和差关系即可得出，则可用证明． 【详解】证明：，， ． ，，， ∴． 在和中， ． 7．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．          【答案】见解析． 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 【点睛】此题考查直角三角形的判定、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，灵活运用全等三角形的判定解决问题． 8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证出，由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴． 9．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：    【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形判定定理中的判定直角三角形全等的定理，由题意可知和是直角三角形，结合及公共边利用证明三角形全等是解决问题的关键． 【详解】证明：∵、是的高， ∴， 在和中，， ∴． 10．（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，结合等角对等边，得出，再通过“”证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 为等腰直角三角形， 在和中， 【题型2 全等的性质和HL综合】 11．（23-24八年级·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线上的点到两边距离相等，全等三角形对应角相等，对应边相等． （1）根据角平分线的性质得出，通过证明，得出，通过证明，得出，再进行分类讨论：当点M在点E左边时，当点M在点E右边时； （2）根据全等的性质得出，，再进行分类讨论即可：当点M在点E右边时，当点M在点E左边时，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 当点M在点E左边时，， 当点M在点E右边时，， 综上：或． （2）解：由（1）可得， ∴，， 当点M在点E右边时，∵， ∴，即； 当点M在点E左边时，∵，， ∴， 综上：或． 12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在中，，在直线上方有一点D（点D不在直线上），，作直线于点E． (1)在图1中自己完成画图，探索线段三者的数量关系并证明； (2)如图2，点D在直线右面，交于点F，作交于N，若点N恰为的中点，求的值． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）延长至R，使，连接．可得．再结合三角形外角的性质可得到，从而得到，再由等腰三角形的性质可得，即可解答． （2）连接，过C作，过C作，交延长线于Q．延长交于M．连接，根据，可得，从而得到垂直平分，进而得到，，继而得到，然后根据根角平分线的判定可得，可证明，可得到．从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：．理由： 延长至R，使，连接． ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴． （2）解：连接，过C作，过C作，交延长线于Q．延长交于M．连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图，掌握等腰三角形的性质，角平分线的性质和判定定理．构造全等三角形，是解题关键． 13．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边对等角： （1）过点作于点，作于点，首先根据角平分线的性质定理证明，再利用“”证明，即可证明结论； （2）首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质证明，进而可证明． 【详解】（1）证明：如下图，过点作于点，作于点， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，即， ∴， ∴. 14．（23-24八年级·山东枣庄·期中）如图，，，，，，垂足分别是，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义，证明是解题的关键． （1）先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明． （2）证明，即可由证明． 【详解】（1）解：，， ， 在和中， ， ； （2）， ， 于点，于点， ， ． 15．（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查角平分线的性质计算和证明，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，利用是的平分线，，利用“”可证,即可得到,再利用“”证得，即可得到答案． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是的平分线， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 16．（23-24八年级·重庆渝北·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，先证明，进而证明，证明即可得证． 【详解】解：， 证明：∵点在线段上，， ∴， 在中， ∴ ∴， 又∵ ∴ 又，即 在中， ∴， ∴． 17．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 【答案】(1)； (2)结论依然成立，理由见解析． 【分析】（）．证明，得到，再证明即可求证； （）结论依然成立．理由与（）同理； 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：结论依然成立． 理由：，， ， ， ， 即， 在和中，， ， ， 在和中， ， ， ． 18．（23-24八年级·广东东莞·期中）完成下列各题 (1)如图1，，点在上，且，则的度数为______； (2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点． ①求证：垂直平分线段； ②若的面积为8，，，求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析，的长为2 【分析】（1）先设出的度数，再利用等边对等角和三角形的内角和定理求解即可； （2）①先证明，再证明，可得，从而可得结论；②由的面积的面积，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）①∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分线段． ②∵的面积为8，，，， ∴的面积的面积， ∴， ∴， 解得：， ∴的长为2． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，角平分线的性质，线段的垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练的利用角平分线的性质解题是关键． 19．（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，于，于．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由角平分线的性质可得，再由即可证得； （2）由证明，得，再由得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：， ． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 【答案】(1)见解析 (2)，， ， 【分析】（1）以为圆心，长为半径画弧，交于两点，然后以为圆心，大于长为半径画弧，连接交点与，与的交点即为； （2）按照步骤作答即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：， ． 平分，，， ， ，． 在和中， （）． ， ，， ， ． 故答案为：，， ，． 【点睛】本题考查了作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．熟练掌握作垂线，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 21．（23-24八年级·河南许昌·期中）与均为等婹直角三角形，． (1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______． (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论． (3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先证明，再由全等三角形的性质得出，然后根据对顶角的性质以及三角形内角和定理即可解答； （2）同理可证，得出，再结合已知条件即可解答； （3）过点G作于点H，同（2）可知，证出，然后证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】（1）证明：∵和是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴． （2）解：．证明如下： 同（1）可证， ∴， ∴． （3）解：如图：过点G作于点H，同（2）可知， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，线段的和差等知识点，掌握三角形全等的证明方法是解决问题的关键． 22．（23-24八年级·江苏淮安·期中）【知识再现】 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】 如图（1），在中，，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段的数量关系是 ．    【拓展延伸】 （1）如图（2），在中，为钝角，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由； （2）在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且．则线段与线段的数量关系为 （用含m的式子表示）． 【答案】简单应用：； 拓展延伸：（1）；（2） 【分析】简单应用：证明，可得结论； 拓展延伸：（1）如图（2）中，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．证明，推出，，证明，推出，可得结论； （2）在上取一点，使得，则．过点作于．证明，求出，再利用含的直角三角形求得，进而可得结论． 【详解】解：简单应用：∵，，， ∴， ∴． 故答案为：； 拓展延伸：（1）．理由如下： 如图（2）中，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于．    ∵，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）在上取一点，使得，由（1）可知则． 过点作于．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，含直角三角形等知识，解题的关键在于能够熟练寻找全等三角形解决问题． 23．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 【答案】(1)见解析； (2)①，理由见解析；②． 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质： （1）利用证得，进而可求证结论； （2）①连结，根据全等三角形的性质及三角形等面积法可得，再利用证得，进而可求解；②根据全等三角形的性质可得，，设，则，利用即可求解； 熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：， ， ， 在和中 ， ． ． （2）①，理由如下： 连结，如图：    ，， 是边上的高，是边上的高， ， ， ，， 又， ， 在和中， ， ， ． ②由①得， ，， 在和中， ， ， ， ， ，即：， ， ， ， 点为的中点， ， 设，则， ， 即：， ， ． 24．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当时，则______； (2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 【答案】(1)20 (2)t的值16或5 (3)或11 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可． （2）分，两种情况进行讨论求解即可； （3）分点P在C点的左侧和点在点的右侧，两种情况，进行求解即可． 【详解】（1）当时，如图： 由题意，得：， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，即：， 解得：， ∴； 故答案为：20． （2）①当时，如图    ∵ ∴， ∴；    ②若，则， 在直角三角形中，， ∴ 解得：； 综上所述：t的值16或5； （3）∵， ∴，    ①若P在C点的左侧，则， ∴． 又，，且， ∴， ∴， ∴， 则， 解得：；    ②若P在C点的右侧，则， ∴， 同法可得：， ∴， ∴， 解得， 综上所述：或11． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解． 25．（23-24八年级·河北邯郸·期中）已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析，②，证明见解析； (2)结论成立，证明见解析 (3)②的结论不成立，结论为：，证明见解析 【分析】（1）①由角平分线的性质可得结论；②先证明，证明，可得，从而可得结论； （2）证明，再证明，可得．证明，可得，从而可得结论； （3）证明，，可得，证明，可得．再证明，可得，结合，而，从而可得结论． 【详解】（1）证明：①∵平分，， ∴，． ②∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （2）∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； （3）②的结论不成立，结论为：，理由如下： ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵，而， ∴； 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记角平分线的性质，全等三角形的判定方法是解本题的关键． 26．（23-24八年级·重庆·期中）已知：等腰和等腰中，，，． (1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　； (2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：； (3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　． 【答案】(1) (2)见解析 (3)16 【分析】（1）根据等角的余角相等解答； （2）延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，再证明，得出，证明结论； （3）延长至，使，连接、、，设交于点，证明，得到，，再证明，得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）解：， ，即， ， ， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图3，延长至，使，连接、、，设交于点， ， ， ， 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，， 点是的中点， ， ，， ， ，， ，， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：16． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形的面积计算，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 27．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接． (1)若，求的长； (2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由． 【答案】(1)6 (2)，证明见解析 (3)不变化，，证明见解析 【分析】（1）由题意得，则  ，，由，可求，进而可求的长； （2）证明，进而可得； （3）由题意知，，，证明是等边三角形，则，，由，可得，则，证明，则． 【详解】（1）解：∵，，是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴的长为6； （2）解：，证明如下； ∵， ∴， ∴； （3）解：不变化，，证明如下； 由题意知，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含的直角三角形，等边三角形的判定与性质是解题的关键． 28．（23-24八年级·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 29．（23-24八年级·云南昆明·期末）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题： (1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：； (2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明； (3)不改变图1中的大小． ①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________； ②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________． 【答案】(1)见解析 (2)，，证明见解析 (3)①；②CF−AE＝CP 【分析】（1）利用HL即可证明Rt△PDE≌Rt△PCF； （2）由全等三角形的性质得出∠DPE＝∠CPF，得出∠EPF＝∠DPC，求出∠DPC＝135°，即可得出结论；由Rt△PDE≌Rt△PCF，得出DE＝CF，由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝45°，得出∠APD＝∠A＝45°，证出AD＝PD，得出AD＝CP，即可得出结论； （3）①由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，可得∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，根据等腰直角三角形的性质得AD＝PD＝PC，则CF＋CP＝ED＋AD＝AE； ②由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC，可得∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC，根据等腰直角三角形的性质得AD＝PD＝PC，则CF−AE＝ED−AE＝AD＝CP． 【详解】（1）证明：∵BP是△ABC的角平分线，PD⊥AB，PC⊥BC， ∴PD＝PC， 在Rt△EPD与Rt△FPC中， ， ∴Rt△EPD≌Rt△FPC（HL）； （2）解：∵Rt△PDE≌Rt△PCF， ∴∠DPE＝∠CPF， ∴∠EPF＝∠DPC， ∵∠ABC＝45°， ∴∠DPC＝360°−90°−90°−45°＝135°， ∴∠EPF＝135°； CP＝CF＋AE；理由如下： ∵Rt△PDE≌Rt△PCF， ∴DE＝CF， ∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， ∴∠APD＝∠A＝45°， ∴AD＝PD， ∴AD＝CP， ∵CP＝AD＝DE＋AE＝CF＋AE； （3）解：①CF＋CP＝AE，理由如下： 由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC， ∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC， 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∵PD⊥AB， ∴∠APD＝45°，AD＝PD， ∴CP＋CF＝AD＋ED＝AE， 故答案为：CP＋CF＝AE； ②CF−AE＝CP，理由如下： 由（1）知Rt△EPD≌Rt△FPC， ∴∠EPD＝∠FPC，ED＝FC，PD＝PC， 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝45°， ∵PD⊥AB， ∴∠APD＝45°，AD＝PD， ∴CF−AE＝DE−AE＝AD＝CP， 故答案为：CF−AE＝CP． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 30．（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN． （1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论； （2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1）BM＋CN=MN；（2）成立；证明见解析；（3）MN=CN-BM． 【分析】（1）首先证明Rt△BDM≌Rt△CDN，进而得出△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°，NC=BM=DM=MN，即可得出答案； （2）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，构造全等三角形，找到相等的线段DE= DM，再进一步证明△MDN≌△EDN，进而等量代换得到MN=BM+NC； （3）在CA上截取CE=BM，同理先证Rt△DCE≌Rt△DBM，再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得证． 【详解】（1）∵△ABC是正三角形， ∴∠ABC=∠ACB=60°， ∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形， ∴∠DBC=∠DCB=30°， ∴∠DBM=∠DCN=90°， ∵在Rt△BDM和Rt△CDN中， ， ∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL）， ∴BM=CN，∠BDM=∠CDN， ∵∠MDN=60°，， ∴△DMN是等边三角形，∠BDM=∠CDN=30°， ∴NC=BM=DM=MN， ∴MN=MB+NC； （2）成立．理由如下： 延长AC至E，使CE=BM，连接DE， ∵△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，△ABC是等边三角形， ∴∠BCD=30°， ∴∠ABD=∠ACD=90°， 即∠ECD=∠MBD=90°， ∵在Rt△DCE和Rt△DBM中， ， ∴Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS）， ∴∠BDM=∠CDE，DE= DM， 又∵∠BDC=120°，∠MDN=60°， ∴∠BDM+∠NDC=∠BDC-∠MDN=60°， ∴∠CDE+∠NDC=60°，即∠NDE=60°， ∴∠MDN=∠NDE=60°， ∵在△DMN和△DEN中， ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴NE=NM，即CE+CN=NM， ∴BM+CN=NM； （2）MN=CN-BM，理由如下： 在CA上截取CE=BM，连接DM， 同理可证明：Rt△DCE≌Rt△DBM（SAS）， ∴DE=DM，∠EDC=∠BDM， ∵∠MDN=∠MDB+∠BDN=60°， ∴∠BDN+∠CDE=60°， ∴∠NDE=∠NDM=60°， ∵在△MDN和△EDN中， =60°， ∴△MDN≌△EDN（SAS）， ∴MN=NE=NC-CE=NC-BM． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质；此题从不同角度考查了作相等线段构造全等三角形的能力，要充分利用等边三角形及等腰三角形的性质，转换各相等线段解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.10 直角三角形全等的判定两大题型专项训练（30题） 【北师大版】 【题型1 用HL证全等】 1．（23-24八年级·辽宁沈阳·期末）如图，，，要根据“”证明，还应添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级·河南郑州·期末）用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点M，N，使，再过点M画的垂线，过点N画的垂线，两垂线交于点P，画射线 ，可以得到，所以．那么射线就是的平分线．的依据是(   )． A． B． C． D． 3．（23-24八年级·河北石家庄·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 4．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期末）如图，于点C，，，连接，射线于点A，点P在线段上移动，点Q在射线上随着点P移动，且始终保持，当 时，才能使与全等． 5．（23-24八年级·云南曲靖·期中）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：． 6．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，，，于点E，于点F，求证：． 7．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，，是上的一点，且，．求证：．          8．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，，点B，E，F在同一直线上，，，求证． 9．（23-24八年级·广东广州·期中）如图，、是的高，且，求证：    10．（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在中，，，是延长线上一点，点在上，且．求证：． 【题型2 全等的性质和HL综合】 11．（23-24八年级·天津滨海新·期中）如图，平分，，交的延长线于点F，在上有一点M，且， (1)若，，求的长． (2)试说明与的关系． 12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在中，，在直线上方有一点D（点D不在直线上），，作直线于点E． (1)在图1中自己完成画图，探索线段三者的数量关系并证明； (2)如图2，点D在直线右面，交于点F，作交于N，若点N恰为的中点，求的值． 13．（23-24八年级·辽宁锦州·期中）如图，D是的外角平分线上的一点，． (1)求证：； (2)若是等腰直角三角形，，，，与交于点F，求的度数． 14．（23-24八年级·山东枣庄·期中）如图，，，，，，垂足分别是，，求证： (1)； (2)． 15．（23-24八年级·陕西咸阳·期中）如图，是的平分线，，点P在上，，，垂足分别是M，N．求证：． 16．（23-24八年级·重庆渝北·期中）如图，点在线段上，点在线段上，，，，点，分别在线段，边上，且满足，猜测与的数量关系并说明理由． 17．（23-24八年级·辽宁抚顺·期中）如图①所示，在一条直线上，，过分别作，，若． (1)请猜想线段的数量关系，不用说明理由． (2)若将的边沿方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由． 18．（23-24八年级·广东东莞·期中）完成下列各题 (1)如图1，，点在上，且，则的度数为______； (2)如图2，是的角平分线，于，于，连接交于点． ①求证：垂直平分线段； ②若的面积为8，，，求的长． 19．（23-24八年级·江苏镇江·期中）已知：如图，点，，在同一条直线上，平分，，于，于．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图，在中，，为上一点，为外一点，，连接，连接交于，且分． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作的垂线，垂足为；（不写作法，不下结论，保留作图痕迹） (2)求证：．请根据下列证明思路完成填空： 证明：， ． 平分，，， ，． 在和中， （ ）． ，， ． 21．（23-24八年级·河南许昌·期中）与均为等婹直角三角形，． (1)如图1，当，，在同一直线上时，的延长线与交于点，则______． (2)当与的位置如图2时，的延长线与交于点，猜想的大小并证明你的结论． (3)如图3，当A，，在同一直线上时（A，在点的异侧），与交于点，，请直接写出，，之间的数量关系． 22．（23-24八年级·江苏淮安·期中）【知识再现】 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称‘’定理）”是判定直角三角形全等的特有方法． 【简单应用】 如图（1），在中，，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段的数量关系是 ．    【拓展延伸】 （1）如图（2），在中，为钝角，，点D、E分别在边、上．若，则线段和线段相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由； （2）在中，，，点D在边上，点E在的延长线上，且．则线段与线段的数量关系为 （用含m的式子表示）． 23．（23-24八年级·山西临汾·期中）如图1，在和中，，，．      (1)求证：． (2)在图1的基础上，过点作，交延长线于点，作，交延长线于点，延长线交于点． ①与有什么数量关系，请说明理由． ②若四边形的面积为35，，点为的中点，则的长为多少？请直接写出答案． 24．（23-24八年级·江苏无锡·期中）如图，已知在中，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接． (1)当时，则______； (2)当为以为腰的等腰三角形时，求t的值； (3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使？ 25．（23-24八年级·河北邯郸·期中）已知和，其中，．    (1)将和按如图1所示位置摆放，点落在上，的延长线交于点，连接，且平分． ①求证； ②猜想，与之间的数量关系是__________； (2)若将图1中的按如图2所示位置摆放，交于点，的延长线交于点，，连接，且平分．试判断（1）中②猜想的结论还成立吗？并说明理由； (3)若将图1中的按如图3所示位置摆放，，分别交的延长线于点，，连接，且平分．你认为（1）中②猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请直接写出，与之间的数量关系． 26．（23-24八年级·重庆·期中）已知：等腰和等腰中，，，． (1)如图1，延长交于点，若，则的度数为 　　； (2)如图2，连接、，延长交于点，若，点为中点，求证：； (3)如图3，连接、，点是的中点，连接，交于点，，，则的面积为 　　． 27．（23-24八年级·山东济宁·期末）如图，在中，，，是的角平分线， 于点．是线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交延长线于点，延长至点，使，连接． (1)若，求的长； (2)猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)在点运动过程中，与之间的数量关系是否会发生变化？若不变化，写出它们之间的数量关系并证明；若变化，请说明理由． 28．（23-24八年级·河南漯河·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 29．（23-24八年级·云南昆明·期末）在中，，，是的角平分线.过点作于点，以未顶点作，使的两边分别交直线于点，交直线于点，请解答下列问题： (1)如图1，当点在线段上，点在线段上且时，求证：； (2)求出图1中的度数，并判断线段、、之间的数量关系，加以证明； (3)不改变图1中的大小． ①如图2，当点在线段上，点在线段的延长线时，线段、、之间的数量关系为________； ②如图3，当点在线段的延长线上，点在线段上时，线段、、之间的数量关系为________． 30．（23-24八年级·辽宁抚顺·期末）已知△ABC等边三角形，△BDC是顶角120°的等腰三角形，以D为顶点作60°的角，它的两边分别与AB．AC所在的直线相交于点M和N，连接MN． （1）如图1，当点M、点N在边AB、AC上且DM=DN时，探究：BM、MN、NC之间的关系，并直接写出你的结论； （2）如图2，当点M、点N在边AB、AC上，但DM≠DN时，（1）中的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （3）如图3，若点M、N分别在射线AB、CA上，其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？若成立，写出你的猜想；若不成立，请直接写出新的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$