湖南省娄底市2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024年下学期八年级期末质量检测 数 学 时间：120分钟 满分：120分 题次 一 二 三 四 五 六 总分 得分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 题次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1.用科学记数法表示，得（  ） A． B． C． D． 2.计算的结果是（  ） A． B． C． D． 3.下列各式中是分式的是（  ） A． B． C． D． 4.下列各式中运算正确的是（  ） A． B． C． D． 5.关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法不正确的是（  ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．原命题是真命题 C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题是真命题 6.下列各式中，不论取何值分式都有意义的是（  ） A． B． C． D． 7.将一根吸管按如图所示的位置摆放在单位长度为1的数轴（不完整）上，吸管左端对应数轴上的“”处，右端对应数轴上的“5”处．若将该吸管剪成三段围成三角形，第一刀剪在数轴上的“”处，则第二刀可以剪在（  ） A．“”处 B．“”处 C．“”处 D．“2”处 8.某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（  ）盒 A． B． C． D． 9.已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交AB,AC于点D,E，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 第9题图 第10题图 10.如图，在中，，P为内一点，过点P的直线分别交,于点M，N，若M在的垂直平分线上，N在的垂直平分线上，则的度数为 （  ） A．104° B．116° C．128° D．142° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分） 11.的整数部分为 ． 12.分式与的最简公分母是 ． 13.用“”或“”填空：若，则 ． 14.已知，则以,b为边的等腰三角形的底边长为 ． 15.若不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 16.已知关于x的分式方程有增根，则 ． 17.如图，在中，的垂直平分线分别交,于点、，的垂直平分线分别交,于点,，连接，，若的周长为，则线段的长为 ． 18．如图，点在的边上，，，，，则= °． 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分） 19．计算： ； 20．先化简，再求值：，其中． 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 21．解方程：． 22．设. （1）求的值 （2）求的值 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 23．如图1，是李可同学过直线外一点A 作直线l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点为圆心，线段的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点B的任一点C为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点A，点 D； 第三步：连接，则． (1)连接 ， 后，李可同学做的第一步和第二步的目的是使 ， ，从而得到点B，C在线段的垂直平分线上，得到上述结论的依据是: ； (2)如图2，已知，请按照李可的作法用圆规和无刻度的直尺作出DE 边上的高（不要求写出作法，必须尺规作图，保留痕迹）． 24．2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了“湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买A、B两种徽章作为奖品。已知购买2个A种徽章和3个B种徽章需156元：购买4个A种徽章和5个B种徽章需284元． (1)每个A种徽章与每个B种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进A、B两种徽章共60个，已知购进的A种徽章数不少于B种徽章数的2倍，且总费用不超过2000元，那么购进A种徽章的个数是多少？ 六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．如图，和均为等边三角形，，，在同一条直线上，连接，，点，分别为，的中点，顺次连接，，． （1）求证：； （2）判断的形状，并说明理由． 26. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． （1）如图1，在花折伞的中截面中，，．求证：． （2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件： ①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） （3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．线段之间的数量关系是 ．（不要求写证明过程） 答案第4页，共5页 答案第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 答案第 1 页，共 6 页 2024 年下学期八年级数学期末质量检测答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D C A C A A B 二、填空题 11. 3 ; 12. ; 13. > ; 14. 3 ; 15. ; 16. -1 ; 17. 10 ; 18. 104 三、解答题（本大题共 2 小题，每小题 6 分，共 12 分） 19．计算：   1 0 1 12 2025 3 1 2            ； 解：   1 0 1 12 2009 3 1 2            2 3 1 2 3 1     3 3 20．先化简，再求值： 2 3 2 1 1 1 x x x x x x ，其中 3 2 x  ． 解：原式 3 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 2) x x x x x x x x x x x 2 23 3 ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 x x x x x x x x x           2 ( 2) ( 1)( 1) ( 1)( 1) 2 x x x x x x x         2x ， 当 3 2 x  时，原式 3 2 2   3 ． 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分） 21．解方程：． 2 1 2 1 1 x x x     解：两边都乘以得，   1 1x x      2 1 2 1 1 1x x x x x      去括号得， 2 22 2 2 2 1x x x x     移项得，2 1 2x x    合并同类项得， 3x   检验：当 3x   时，   1 1 0x x   34x y 3a   答案第 2 页，共 6 页 ∴ 3x   是原方程的解． 22．设 . （1）求 的值 （2）求 的值 解：（1） （2） 五、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 23．如图 1，是李可同学过直线外一点 A 作直线 l的垂线的尺规作图过程，步骤如下： 第一步：以直线上任一点  B 为圆心，线段 的长为半径画弧； 第二步：以直线上异于点 B的任一点 C为圆心，线段 的长为半径画弧，两弧交于点 A，点 D； 第三步：连接 ，则 AD l ． (1)连接 ， 后，李可同学做的第一步和第二步的目的是使 AB  ， AC  ， 1 2, 1 2a b      b ab a  2024 2024 2023 2023 2022 2022 2 22024 2023 2022 2a b a b a b a b ab           1 2 1 2 1 2 1 2 b ab a                     2 22 1 2 1 2 1 2 1 2           3 2 2 1 1      4 2 2    1 1ab  由 知： ，则: 2024 2024 2023 2023 2022 2022 2 22024 2023 2022 2a b a b a b a b ab            2024 2023 2022 2 2024 2023 2022 2ab ab ab ab ab               2024 2023 2022 2 2024 1 2023 1 2022 1 2 1 1              2024 2023 2022 2021 2 1      1012 答案第 3 页，共 6 页 从而得到点 B，C在线段 AD的垂直平分线上，得到上述结论的依据是 ； (2)如图 2，已知 DEF ，请按照李可的作法用圆规和无刻度的直尺作出 DE 边上的高FG（不 要求写出作法，必须尺规作图，保留痕迹）． 解：（1）根据作法可知： AB DB ， AC DC ，从而得到点 B，C 在线段 AD的垂直平分 线上，得到上述结论的依据是线段的垂直平分线的性质定理的逆定理：到一条线段两个端点 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． （2）如图：FG 即所求作高； 24．2024年度“涟商大会”在国家级地质公园湄江举行，为迎接此次盛会，某初中举办了 “湄江焕彩，涟商倾情”的绘画比赛，并购买 A、B两种徽章作为奖品．已知购买 2个 A种 徽章和 3个 B种徽章需 156元：购买 4个 A种徽章和 5个 B种徽章需 284 元． (1)每个 A种徽章与每个 B种徽章的价格分别为多少元？ (2)学校计划购进 A、B两种徽章共 60个，已知购进的 A 种徽章数不少于 B种徽章数的 2倍， 且总费用不超过 2000 元，那么购进 A种徽章的个数是多少？ 解：设每个 A 种徽章的价格为 x 元，每个 B 种徽章的价格分别为 y 元， 由题意得： 2 3 156 4 5 284 x y x y      ， 解得： 36 28 x y    ， 答：每个 A 种徽章的价格为 36 元，每个 B 种徽章的价格分别为 28 元； （2）解：设购进 m 个 A 种徽章，则购进  60 m 个 B 种徽章，由题意得： ，解得： ，所以 答：购进 A 种徽章的个数是 40．     2 6036 28 60 2000m mm m     4040mm 40m  答案第 4 页，共 6 页 六、解答题（本大题共 2 小题，每小题 10 分，共 20 分） 25．如图， ABC 和 ADE均为等边三角形，A ，D，C 在同一条直线上，连接BD，CE， 点M ，N 分别为BD，CE的中点，顺次连接A ，M ， N ． （1）求证：BD CE ； （2）判断 AMN 的形状，并说明理由． 证明：（1）∵ ABC 和 ADE均为等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， 在 ABD△ 和 ACE△ 中， AD AE BAD CAE AB AC        ， ∴ ABD ACE≌△ △ （SAS）， ∴BD=CE； （2） AMN 是等边三角形， 理由如下： ∵点 M，N 分别为 BD，CE 的中点，BD=CE， ∴BM=CN， ∵ ABD ACE≌△ △ ， ∴∠ABM=∠ACN， 在 ABM 和 ACN△ 中， AB AC ABM ACN BM CN        ， ∴ ABM ACN△ ≌△ （SAS）， ∴AM=AN，∠BAM=∠CAN， ∴∠MAN=∠BAC-∠BAM+∠CAN=60°， ∴ AMN 是等边三角形． 26. 手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们 认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 答案第 5 页，共 6 页 （1）如图 1，在花折伞的中截面中， AM AN ，DM DN ．求证： AMD AND  ． （2）如图 2， AMC中， MAC 的平分线 AD交MC 于点D．请你从以下两个条件： ① 2 AMD C ；② AC AM MD  中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出 结论成立的证明过程．（注：只需选择一种．．情况作答） （3）如图 3，在 ACM△ 中， 2AMC C   ， AE 是 ACM△ 的外角的平分线，交CM 的延 长线于点E ．线段 , ,AC AM ME 之间的数量关系是 ．（不要求写证明过程） 证明：（1）证明：在 ADM△ 和 ADN△ 中， AD AD AM AN DM DN      ，∴  SSSADM ADN≌ ，∴ AMD AND  ； （2）解：（Ⅰ）选择②为条件，①为结论， 如图 2，在 AC 取点 N，使 AN AM ，连接DN ， ∵ AD平分 MAC ，∴ DAM DAN  ， ∵ AM AN ， DAM DAN  ， AD AD ，∴  SASADM ADN≌ ， ∴DM DN ， AMD AND  ， ∵ AC AM MD  ， AC AN NC  ，∴DM CN ，∴DN CN ， ∴ C CDN  ，∴ 2AMD AND CDN C C      ； （Ⅱ）选择①为条件，②为结论， 如图 3，在 AC 取点 N，使 AN AM ，连接DN ， 答案第 6 页，共 6 页 同理得：  SASADM ADN≌ ，∴DM DN ， AMD AND  ， ∵ 2 AMD C ，∴ 2AND C CDN C     ， ∴ CDN C  ，∴DN CN ，∴DM CN ， ∵ AC AN NC  ，∴ AC AM MD  ； （3）解：EM AC AM  ，理由如下： 如图 4，在EM 上截取BM AM ，连接 AB ， ∴ BAM ABM  ， ∵ AMC BAM ABM   ，∴ 2AMC ABM   ， ∵ 2AMC C   ，∴ C ABM  ，∴ AB AC ， ∵ AE 平分 PAM ，∴ PAE EAM  ， ∵ PAE E C   ， C BAM  ， EAM BAE BAM   ， ∴ E EAB  ，∴ AB BE ，∴ AB BE AC  ， ∵EM EB BM  ，∴EM AC AM  ．