专题6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳（基础篇）-2024-2025学年高一数学举一反三系列（人教A版2019必修第二册）

专题6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 向量的几何表示与向量的模 1．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 【解题思路】根据，可得，进一步得出答案. 【解答过程】如图，连接AC， 由，得. 因为为半圆上的点，所以， 所以． 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【解题思路】由正六边形性质可得,进而由向量的加法法则求解即可 【解答过程】由题,可知, 所以, 故选：B. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）根据所给图形，利用勾股定理，直接计算模长即可得解. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【解题思路】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【解答过程】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 题型2 相等向量与共线（平行）向量 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 【解题思路】利用共线向量、相等向量的概念逐项判断即可. 【解答过程】由题意可知，与不共线，A错； 因为、分别是、的中点，所以，，故与共线，B对； 因为与不平行，所以与不相等，C错； 因为，D错． 故选：B. 2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据，得出四边形是平行四边形，由此判断四个选项是否正确即可． 【解答过程】四边形中，，则且， 所以四边形是平行四边形； 则有，故A错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，则，B正确； 由图可知，C错误； 由四边形是平行四边形，可知是中点，，D错误． 故选：B． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 【解题思路】运用相等向量，相反向量概念可解. 【解答过程】（1）方向相反，大小相等的向量互为相反向量. 与相反的向量有，，；与相反的向量有，. （2）方向相同，大小相等的向量是相等向量. 则，与方向相同，且长度相等， 故与相等的向量为，. 同理，与相等的向量为. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【解答过程】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 题型3 平面向量的线性运算 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算法则进行代换即可求解． 【解答过程】因为， 所以，即， 又的中点为E， 所以， 故选：D． 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据重心的性质及向量的线性运算可得解. 【解答过程】 如图所示， 设为中点， 又为的重心， 则 ， 故选：B. 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 【解题思路】（1）应用向量的线性运算计算即可； （2）应用向量的线性运算计算即可； （3）应用向量的线性运算计算即可. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 【解题思路】（1）（2）（3）直接由向量的线性运算即可得到结果. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 题型4 由平面向量的线性运算求参数 1．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用平面向量线性运算相关计算方式计算即可. 【解答过程】由题可知，，, 所以有，所以，得. 故选：C. 2．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 【解题思路】根据向量的线性表示即可求解. 【解答过程】因为， 所以. 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【解题思路】利用三角形重心的性质与向量的线性运算即可得解. 【解答过程】连接并延长交于，如图，    因为是的重心，则是的中点， 所以 ， 又，所以，， 所以. 故选：B. 4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 【解题思路】通过向量的线性运算化简向量即可求解. 【解答过程】，所以，， 所以. 故选：A. 题型5 向量数量积的计算 1．（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 【解题思路】由向量的数量积计算出结果. 【解答过程】 故选：C. 2．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】延长交于点，延长交于点，转化为求的最值，根据数量积的几何意义可得的范围． 【解答过程】延长交于点，延长交于点， 如图所示： 根据正八边形的特征，可知， 又， 所以， ， 则的取值范围是. 故选：B. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【解题思路】（1）先由已知条件得，接着两边平方计算得，进而由即可求解. （2）将转化成，再结合已知、和即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 所以即， 所以，故， 所以. （2）由（1）得，， 所以 . 4．（23-24高一下·天津·期中）已知 ，与的夹角求： (1)； (2)的值； (3). 【解题思路】（1）直接代入向量的数量积公式计算即可； （2）根据向量的运算律计算即可； （3）根据向量模的公式计算即可. 【解答过程】（1）== =； （2） ； （3）， 所以，. 题型6 平面向量基本定理及其应用 1．（23-24高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【解题思路】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值 【解答过程】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A. 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 【解题思路】利用平面向量基本定理，结合平面向量的线性运算性质进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以， 故选：C. 3．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 【解题思路】（1）以为基底表示，利用平面向量数量积公式求其夹角余弦即可； （2）利用平面向量共线的充要条件，结合平面向量基本定理，根据待定系数法计算即可. 【解答过程】（1）以为基底，设， 则 ， 所以， 同理， ， 则； （2）因为三点共线，不妨设， 同理有三点共线，不妨设， 则有. 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 【解题思路】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据共线的性质即可求解. 【解答过程】（1）在中，由， 又，所以 所以 （2）因为，又， 所以，， 所以 又D，E，F三点共线，且A在线外， 所以有：，即. 题型7 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用向量的坐标运算计算即可. 【解答过程】因为向量，，所以. 故选：C. 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量坐标的线性运算列方程求解即可. 【解答过程】已知向量，，则，因此，. 故选：B. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，求： (1)； (2)； (3). 【解题思路】根据平面向量的坐标的线性运算可得. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 4．（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【解题思路】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设 ，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【解答过程】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 题型8 平面向量数量积的坐标表示 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 【解题思路】利用平面向量数量积运算律以及坐标表示即可得出结果. 【解答过程】由可得； 所以. 故选：A. 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 【解题思路】根据给定条件，利用坐标求模判断A；利用数量积的坐标表示判断B；求出向量夹角判断C；求出投影向量判断D. 【解答过程】对于A，，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，而，则，C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确. 故选：D. 3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知向量满足． (1)求向量的数量积； (2)求向星夹角的余弦值； (3)求的值． 【解题思路】（1）根据向量数量积坐标公式计算即可； （2）根据向量数量积夹角坐标公式计算即可； （3）先求出向量坐标再应用向量模长坐标公式计算即可； 【解答过程】（1）由题设，. （2）， 所以. （3）， . 4．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【解题思路】（1）根据向量的数量积坐标表示即可； （2）根据向量夹角余弦值的坐标表示即可； （3）计算出，再利用向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）因为， . （2），， . （3）因为向量， 所以， 因为， 所以，解得. 题型9 用向量解决平面几何中的垂直问题 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】利用向量数量积的坐标表示即可求得，由模长公式计算可得，即可得出结论. 【解答过程】易知， 可得，即，且， 所以可得的形状是直角三角形. 故选：B. 2．（24-25高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 【解题思路】由图猜测AN与MN垂直，故验证是否为零即可. 【解答过程】∵ . ∴， ∴是直角三角形. 故选：C. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    【解题思路】设，借助正方形的性质与向量的线性运算可得，，计算其数量积即可得证. 【解答过程】设，由为正方形，则有，， 则， ， 故 ，故. 4．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 题型10 用向量解决物理中的相关问题 1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 【解题思路】根据平衡状态得，结合向量的数量积求解即可． 【解答过程】由题意得，， 所以， 故选：C． 2．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸，利用勾股定理求出合速度，从而可求出航行时间. 【解答过程】设一艘船从岸边A处出发到河的正对岸，设船的速度，水流速度， 要使航程最短，需使船的速度与水流速度的合成速度必须垂直于对岸， 如图指：， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 【解题思路】设两人的拉力分别为、，作，，作，以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，分析可得，分析当变大时，的变化，即可得出结论. 【解答过程】解：设两人的拉力分别为、，作，，作， 以、为邻边作平行四边形，则为两人拉力的合力，    水桶在两人的合力下处于平衡状态，则和互为相反向量， 因为，则四边形为菱形， 连接交于点，则为的中点，且，且，， ，所以，， 所以，， 又因为，所以，随着的增大而增大. 4．（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【解题思路】（1）设游船的实际速度为，由速度合成得，根据求得结果. （2）设到达北岸点所用时间为，根据计算长度，得出结果. 【解答过程】（1）设游船的实际速度大小为，    由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，    ，则， 在Rt中，，从而 ，因此， 故游船的实际航程为. 题型11 余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据余弦定理可求的值. 【解答过程】由余弦定理可得，故 故选：C. 2．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理可得，可求. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 【解题思路】（1）直接使用余弦定理即可证明； （2）先得到，然后分情况讨论的取值. 【解答过程】（1）由余弦定理即得. （2）由已知有，故. 若，则； 若，则，解得或（舍去）. 所以或. 4．（23-24高一下·重庆·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. (1)求a的值； (2)求的值. 【解题思路】(1)利用余弦定理可得：进一步求解即可. （2）利用余弦定理和两角和与差的公式求解即可. 【解答过程】（1）中，，，， 由余弦定理可得， 即, 整理可得：，解得或(舍)， 所以； （2）由余弦定理可得， 在三角形中，可得sin, 所以.题型12 正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 【解题思路】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【解答过程】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A. 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【解答过程】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 3．（2024高二下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角； (2)若，求边的取值范围. 【解题思路】（1）根据条件，利用边转角及正弦的和角公式，得到，即可求解； （2）根据条件，利用正弦定理得到，从而得到，即可求解. 【解答过程】（1）由，得到， 所以，又，则， 得到，所以. （2）由正弦定理知，又，所以，， 由，得到，整理得到， 所以，又， 所以， 得到，其中，， 则，解得， 所以边的取值范围为. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，线段延长线上一点满足，求的长． 【解题思路】（1）由正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式可得，最后由辅助角公式可得，进而求出角的大小； （2）由正弦定理可得的值，再由余弦定理可得的值． 【解答过程】（1）因为， 由正弦定理可得， 而， 所以，又因为，则， 所以，整理可得， 又因为，则， 可得，则； （2）在中，由正弦定理， 即，解得， 因为，由题意可得，， 在中，， 由余弦定理可得． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.9 平面向量及其应用全章十二大基础题型归纳（基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 向量的几何表示与向量的模 1．（24-25高一下·安徽合肥·阶段练习）在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且，，则等于（    ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，在正六边形中，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在边长为1的小正方形组成的网格上，求： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 题型2 相等向量与共线（平行）向量 1．（2024高三·全国·专题练习）在中，，、分别是、的中点，则（   ） A．与共线 B．与共线 C．与相等 D．与相等 2．（23-24高一下·重庆巴南·阶段练习）如图，四边形中，，则必有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课前预习）如图，在矩形中，，B，E分别为边AC，DF的中点，在以A，B，C，D，E，F为起点和终点的所有有向线段表示的向量中：    (1)分别找出与，相反的向量； (2)分别找出与，相等的向量. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 题型3 平面向量的线性运算 1．（23-24高一下·湖北武汉·期中）已知等腰梯形中，，，E为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知为的重心，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）化简下列各式： (1)． (2)； (3)． 4．（23-24高一·上海·课堂例题）化简下列向量运算； (1)； (2)； (3)． 题型4 由平面向量的线性运算求参数 1．（24-25高三上·浙江·期中）在中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·辽宁朝阳·阶段练习）在梯形ABCD中，，，则（    ） A．5 B．6 C．－5 D．－6 3．（23-24高一下·河北石家庄·期中）已知是的重心，若，则（    ） A．1 B． C． D． 4．（23-24高三上·江苏苏州·开学考试）在平行四边形ABCD中，点E在线段AC上，且，点F为线段AD的中点，记，则（      ） A． B． C． D． 题型5 向量数量积的计算 1．（24-25高一上·全国·期中）若两个单位向量的夹角为，则（    ） A． B．1 C． D．2 2．（23-24高一下·福建福州·期末）《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形的边长为，点是正八边形的内部（包含边界）任一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设向量、、满足，且，，，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．（23-24高一下·天津·期中）已知 ，与的夹角求： (1)； (2)的值； (3). 题型6 平面向量基本定理及其应用 1．（23-24高一下·宁夏银川·期中）如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 2．（23-24高一下·安徽六安·期末）如图，为平行四边形对角线上一点，交于点，若，则（    ） A．3 B． C．7 D． 3．（23-24高一下·山东·期中）如图，在中，已知，，，N是的中点，，设与相交于点P． (1)求的值； (2)若，求的值． 4．（23-24高一下·广西柳州·期中）如图所示，在中，为边上一点，且．过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（两点不重合）． (1)用，表示； (2)若，，求的值． 题型7 平面向量线性运算的坐标表示 1．（23-24高一下·天津红桥·期中）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知，，求： (1)； (2)； (3). 4．（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 题型8 平面向量数量积的坐标表示 1．（23-24高一下·山东临沂·期中）向量，则（    ） A．19 B．18 C．17 D．16 2．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）如果平面向量，那么下列结论中正确的是（    ） A． B． C．与的夹角为 D．在上的投影向量为 3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知向量满足． (1)求向量的数量积； (2)求向星夹角的余弦值； (3)求的值． 4．（23-24高一下·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 题型9 用向量解决平面几何中的垂直问题 1．（23-24高二上·广东佛山·期中）已知的三个顶点分别是，，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．斜三角形 D．等腰直角三角形 2．（24-25高一·全国·课前预习）在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是(    ) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 3．（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在正方形中，P是对角线AC上一点，垂直于点E，垂直于点F．求证：．    4．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 题型10 用向量解决物理中的相关问题 1．（23-24高一下·河北保定·期中）平面上三个力，，作用于一点且处于平衡状态，，与的夹角为45°，则的大小为（    ） A． B．5N C． D． 2．（23-24高一下·浙江台州·期末）一条河的两岸平行，河宽，一艘船从河岸边的某处出发到河对岸.设船在静水中行驶的速度的大小为，水流速度的大小为.当船以最短距离到对岸时，船行驶所用的时间（保留两位小数）为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·随堂练习）如图，小娟、小明两人共提一桶水匀速前行．已知两人手臂上的拉力大小相等且均为，两人手臂间的夹角为，水和水桶的总重力为，请你利用物理学中力的合成的相关知识分析拉力与重力的关系． 4．（23-24高一下·山西阳泉·期中）一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 题型11 余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·四川凉山·期末）在中，，，，则边（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·天津河北·期中）在中，角所对的边分别为，已知，，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建莆田·期末）设的内角所对的边分别为． (1)证明：； (2)若，，，求． 4．（23-24高一下·重庆·期末）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，，，. (1)求a的值； (2)求的值. 题型12 正弦定理解三角形 1．（23-24高一下·广西玉林·期中）中，角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．或 2．（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 3．（2024高二下·福建·学业考试）在中，已知 (1)求角； (2)若，求边的取值范围. 4．（23-24高一下·江苏连云港·期中）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求； (2)若，，线段延长线上一点满足，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$