第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习）- 2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 2．（2024春•淮南期末）已知是正整数，是整数，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2020春•芜湖期末）当二次根式取得最小值时，　　． 4．（2023春•六安月考）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）； （2）； （3）． 题型二．二次根式有意义的条件 5．（2024春•霍邱县期末）已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2024春•涡阳县期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 7．（2024春•亳州月考）已知实数，满足，求的值． 8．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论： 结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，． 请根据上面的结论，对下列问题进行探索： （1）若，化简：． （2）若，，且，求的值． （3）若有意义，化简． 题型三．二次根式的性质与化简 9．（2023秋•二道区校级期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为　　 A．1 B． C． D． 10．（2024春•潘集区期中）已知，，则化简的结果是 　　． 11．（2024春•全椒县月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则　　． （2）若与是关于12的共轭二次根式，则的值为 　　． 12．（2024春•利辛县期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示△的面积，表示△的面积，，以此类推． ，； ，； ，； ． 根据以上规律，解答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）求的值． 题型四．最简二次根式 13．（2022春•雨山区校级月考）在中，最简二次根式的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（淮上区校级月考）二次根式运算的结果，应该尽量化简满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式 （1）　　； （2）　 　． 题型五．二次根式的乘除法 15．（2024春•蚌埠月考）若，，则化简　　 A． B． C． D． 16．（2024春•花山区校级期末）化简：　　． 17．（2024春•阜南县校级月考）使式子有意义的的取值范围是 　　． 18．（2024春•庐阳区校级期中）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， （1）按照以上规律，写出第4个等式：　　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 题型六．分母有理化 19．（2024春•太和县月考）已知，下列关于与的结论正确的是　　 A．与互为负倒数 B．与互为倒数 C．与互为相反数 D．与平方结果相等 20．（2023春•颍州区校级期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　　． 21．（2024春•禹会区校级月考）分母有理化：　　． 22．（2024春•瑶海区校级期中）已知：，求代数式的值． 题型七．同类二次根式 23．（2024春•霍邱县月考）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 24．（2024春•淮南期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 　　．（写一个即可） 25．（2024春•凤阳县月考）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 26．（2024春•合肥月考）如果最简二次根式与能进行合并，且，化简：． 题型八．二次根式的加减法 27．（2024春•金安区校级期末）若，则的值是　　 A． B． C． D． 28．（2024春•全椒县月考）已知两个整式，．我们在代数式中的“”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”．下列说法正确的个数是　　 ①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1； ②将分解因式后为一； ③三连运算的解为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 29．（2024春•濉溪县期末）计算的结果是 　　． 30．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 题型九．二次根式的混合运算 31．（2023春•颍东区校级期末）下列计算，正确的是　　 A． B． C． D． 32．（2024春•花山区校级期中）化简的结果为　　 A．1 B． C． D． 33．（2024春•霍邱县月考）计算　　． 34．（2024春•池州校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 题型一十．二次根式的化简求值 35．（2023春•颍州区校级期末）已知，则的值为　　 A．4 B． C．3 D．2 36．（2024春•庐江县校级月考）已知，，则　　；　　． 37．（2024春•池州月考）已知． （1）求的值． （2）若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 题型一十一．二次根式的应用 38．（2024春•凤阳县月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为，，，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，，则的值为　　 A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 39．（2024春•利辛县月考）如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为，，，，，，则边上的高的长为 　　． 40．（2024春•镜湖区校级期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：的高空抛出的物体下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ （2）是的多少倍？ （3）从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16章 二次根式 章节整合练习（11个知识点+40题练习） 章节知识清单练习 知识点1．二次根式的定义 二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式． ①“”称为二次根号 ②a（a≥0）是一个非负数； 学习要求： 理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围． 知识点2．二次根式有意义的条件 判断二次根式有意义的条件： （1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式． （2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数． （3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数． 学习要求： 能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题． 【规律方法】二次根式有无意义的条件 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点3．二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． 知识点4．最简二次根式 最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等； 含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等． 知识点5．二次根式的乘除法 （1）积的算术平方根性质：＝•（a≥0，b≥0） （2）二次根式的乘法法则：•＝（a≥0，b≥0） （3）商的算术平方根的性质：＝（a≥0，b＞0） （4）二次根式的除法法则：＝（a≥0，b＞0） 规律方法总结： 在使用性质•＝（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（）×（）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此． 知识点6．分母有理化 （1）分母有理化是指把分母中的根号化去． 分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式． 例如：①＝＝；②＝＝． （2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式． 一个二次根式的有理化因式不止一个． 例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数． 知识点7．同类二次根式 同类二次根式的定义： 一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 合并同类二次根式的方法： 只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． （1）同类二次根式类似于整式中的同类项． （2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同． （3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 知识点8．二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变． （2）步骤： ①如果有括号，根据去括号法则去掉括号． ②把不是最简二次根式的二次根式进行化简． ③合并被开方数相同的二次根式． （3）合并被开方数相同的二次根式的方法： 二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 知识点9．二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点： ①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的． ②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“． （2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式． （3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 知识点10．二次根式的化简求值 二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值． 二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰． 知识点11．二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力． 二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 章节题型整合练习 题型一．二次根式的定义 1．（2024春•合肥期中）下列各式中，一定是二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一般地，我们把形如的式子叫做二次根式判断即可． 【解答】解：选项，是三次根式，故该选项不符合题意； 选项，是负数，故该选项不符合题意； 选项，2是正数，故该选项符合题意； 选项，时不是二次根式，故该选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 2．（2024春•淮南期末）已知是正整数，是整数，则的最小值是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】先分解质因式，再根据二次根式的性质判断即可． 【解答】解：， 又是正整数，是整数， 符合的最小值是3， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的性质和定义，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 3．（2020春•芜湖期末）当二次根式取得最小值时，　　． 【分析】根据二次根式的定义和已知得出，求出方程的解即可． 【解答】解：要使二次根式取最小值，必须， 解得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据二次根式的定义和已知得出是解此题的关键． 4．（2023春•六安月考）当分别取下列值时，求二次根式的值． （1）； （2）； （3）． 【分析】直接将（1）；（2）；（3）；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错． 【解答】解：（1）把，代入二次根式； （2）把，代入二次根式； （3）把，代入二次根式． 【点评】此题主要考查了二次根式的定义，直接将的值代入，利用二次根式的性质直接开平方是解决问题的关键． 题型二．二次根式有意义的条件 5．（2024春•霍邱县期末）已知为实数，且，下列说法：①；②当时，的值是4或；③；④．其中正确的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次根式成立的条件，二次根式的性质，即可一一判定． 【解答】解：成立， ，， ，， 故①③正确，④不正确； ②当时，， 故②不正确； 故正确的有2个， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式成立的条件，熟练掌握和运用二次根式的相关知识是解决本题的关键． 6．（2024春•涡阳县期末）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据二次根式有意义的条件得到，解之即可求出的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数． 7．（2024春•亳州月考）已知实数，满足，求的值． 【分析】先根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出且且，求出，代入求出，最后代入求出答案即可． 【解答】解：要使有意义，必须且且， 解得：， 所以， 即 ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件和实数的混合运算，能求出、的值是解此题的关键． 8．（2022春•定远县期末）在学习了算术平方根和二次根式等内容后，我们知道以下的结论： 结论①：若实数时，；结论②：对于任意实数，． 请根据上面的结论，对下列问题进行探索： （1）若，化简：． （2）若，，且，求的值． （3）若有意义，化简． 【分析】（1）先根据二次根式的性质和绝对值进行计算，再算加减即可； （2）先根据二次根式的性质和绝对值求出、的值，再求出的值即可； （3）根据二次根式的性质得出，求出，再进行化简即可． 【解答】解：（1）分为两种情况：①当时， ． ， ②当时， ； （2）， ， ， ， ， ， ，或，， 当，时，则， 当，时，则， ； （3）有意义， ， ， ， ． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 题型三．二次根式的性质与化简 9．（2023秋•二道区校级期末）已知实数在数轴上的对应点位置如图，则化简的结果为　　 A．1 B． C． D． 【分析】根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算． 【解答】解：由图知：， ，， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键． 10．（2024春•潘集区期中）已知，，则化简的结果是 　　． 【分析】利用二次根式的性质化简即可． 【解答】解：，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握性质是解题的关键，难度适中． 11．（2024春•全椒县月考）定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则　　． （2）若与是关于12的共轭二次根式，则的值为 　　． 【分析】（1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）与是关于4的共轭二次根式， ， 故答案为：； （2）与是关于12的共轭二次根式， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 12．（2024春•利辛县期末）如图，观察图形，认真分析，其中表示△的面积，表示△的面积，，以此类推． ，； ，； ，； ． 根据以上规律，解答下列问题： （1）填空：　　，　　； （2）求的值． 【分析】（1）根据规律即可得出答案； （2）算出第1到第100个三角形的面积后求和即可． 【解答】解：（1）根据以上规律，可得，； 故答案为：6，； （2） ． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，三角形的面积，图形的规律探索等，正确理解题意和熟知勾股定理是解题的关键． 题型四．最简二次根式 13．（2022春•雨山区校级月考）在中，最简二次根式的个数为　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次根式的性质化简，根据最简二次根式的概念判断即可． 【解答】解：，，，，都不是最简二次根式， 是最简二次根式， 故选：． 【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 14．（2012春•淮上区校级月考）二次根式运算的结果，应该尽量化简满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式 （1）　　； （2）　 　． 【分析】根据最简二次根式的定义直接得到答案． 【解答】解：被开方数不含分母；被开方数不含开得尽方的因数或因式． 【点评】本题考查了最简二次根式的定义：若二次根式满足①被开方数不含分母，②被开方数不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫最简二次根式． 题型五．二次根式的乘除法 15．（2024春•蚌埠月考）若，，则化简　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质即可求出答案． 【解答】解：，， ，，， 原式 ． 故选：． 【点评】本题考查二次根式的性质和二次根式的乘除法，解题的关键是熟练运用二次根式的性质和二次根式的乘除法法则． 16．（2024春•花山区校级期末）化简：　　． 【分析】要使有意义必须，求出，再根据二次根式的性质进行计算，最后合并同类项即可． 【解答】解：要使有意义，必须， ， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了二次根式的化简求值，能正确根据二次根式的性质进行计算是解此题的关键，注意：①当时，，②当时，；当时，． 17．（2024春•阜南县校级月考）使式子有意义的的取值范围是 　　． 【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案． 【解答】解：使式子有意义， 则， 解得：． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式定义是解题关键． 18．（2024春•庐阳区校级期中）观察以下等式： 第1个等式：，第2个等式：，第3个等式：， （1）按照以上规律，写出第4个等式：　　； （2）按照以上规律，写出你猜想的第个等式：　　（用含的等式表示，为正整数），并证明等式成立． 【分析】观察已知条件中的几个等式可知：被开方数等于序号乘序号与2的和，然后再加1，结果等于序号加1，按照此规律进行解答各题即可． 【解答】解：（1）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式为：， 故答案为：； （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式为：， ， 第个等式为：， 证明：左边， 左边右边， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是根据已知条件中的等式找出规律． 题型六．分母有理化 19．（2024春•太和县月考）已知，下列关于与的结论正确的是　　 A．与互为负倒数 B．与互为倒数 C．与互为相反数 D．与平方结果相等 【分析】根据，的值，计算，即可求解． 【解答】解：， ， 与互为负倒数， 故选：． 【点评】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式是解题的关键． 20．（2023春•颍州区校级期中）若两个代数式与满足，则称这两个代数式为“互为友好因式”，则的“互为友好因式”是 　　． 【分析】根据满足，则称这两个代数式为“互为友好因式，列出式子，再分母有理化． 【解答】解：，则称这两个代数式为“互为友好因式“， 的“互为友好因式”： ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查分母有理化，掌握分母有理化的方法，理解题意是解题关键． 21．（2024春•禹会区校级月考）分母有理化：　　． 【分析】根据平方差公式进行二次根式的分母有理化计算． 【解答】解：原式 ， 故答案为：． 【点评】本题考查二次根式分母有理化计算，掌握平方差公式的结构是解题关键． 22．（2024春•瑶海区校级期中）已知：，求代数式的值． 【分析】先分母有理化，再代入根据平方差公式和简便计算求值即可． 【解答】解：，， 【点评】考查了分母有理化和代数式求值，注意公式和整体思想的运用可以简化计算． 题型七．同类二次根式 23．（2024春•霍邱县月考）下列二次根式中与是同类二次根式的是　　 A． B． C． D． 【分析】先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答． 【解答】解：与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； 、是整数，不是二次根式，故选项不符合题意； ，与被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意； ，与被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了同类二次根式的定义，能熟记同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式）是解此题的关键． 24．（2024春•淮南期末）写出一个最简二次根式，使它与可以进行合并，这个二次根式可以是 　　．（写一个即可） 【分析】几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式，由此解答即可． 【解答】解：， 与可以进行合并的二次根式是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，熟知同类二次根式的定义是解题的关键． 25．（2024春•凤阳县月考）已知两个最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【分析】根据同类二次根式与最简二次根式的定义，列出方程解答即可． 【解答】解：根据题意，得， ， 解得：，． 当时，，但不是最简二次根式，故不符合题意； 当时，，，符合题意． 的值为． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．注意检验被开方数为非负数． 26．（2024春•合肥月考）如果最简二次根式与能进行合并，且，化简：． 【分析】先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可． 【解答】解：由题意，得， 解得，． 当时，， ， ， ，， 原式． 【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，熟练掌握最简二次根式是关键． 题型八．二次根式的加减法 27．（2024春•金安区校级期末）若，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】先化简，再根据二次根式的加减法法则计算即可． 【解答】解：， 又， ， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键． 28．（2024春•全椒县月考）已知两个整式，．我们在代数式中的“”上添加加减乘除的运算符号，将运算结果叫做关于，的“三连运算”．比如就是关于，的一种“三连运算”．下列说法正确的个数是　　 ①只存在一种关于，的“三连运算”使得结果为1； ②将分解因式后为一； ③三连运算的解为． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】找到两种关于、的“三连运算”使得结果为1，可判断①，利用因式分解可判断②，利用已知建立方程，解出方程可判断③，从而可以得到答案． 【解答】解：，，故①不符合题意． ，故②不符合题意． ． ，即． △． 或，故③符合题意． 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解与方程，掌握因式分解与解方程便可解决问题． 29．（2024春•濉溪县期末）计算的结果是 　　． 【分析】利用二次根式的化简的法则及减法的法则进行运算即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 30．（2024春•庐阳区校级期中）计算：． 【分析】先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题主要考查了二次根式的加减运算，解题关键是熟练掌握如何把二次根式化成最简二次根式． 题型九．二次根式的混合运算 31．（2023春•颍东区校级期末）下列计算，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 【解答】解：、不是同类二次根式，不能进行加减，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查二次根式的性质及运算，掌握运算法则是解题的关键． 32．（2024春•花山区校级期中）化简的结果为　　 A．1 B． C． D． 【分析】利用积的乘方变形原式为，然后利用平方差公式计算即可． 【解答】解： ， 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟记运算法则是解本题的关键． 33．（2024春•霍邱县月考）计算　　． 【分析】利用平方差公式进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． 34．（2024春•池州校级月考）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后进行合并； （2）利用平方差运算； （3）先化简二次根式，再根据混合运算法则运算； （4）将括号内二次根式化为最简二次根式再合并，然后利用二次根式的除法法则计算． 【解答】解：（1） ； （2） ， ； （3） ； （4） ． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． 题型一十．二次根式的化简求值 35．（2023春•颍州区校级期末）已知，则的值为　　 A．4 B． C．3 D．2 【分析】根据二次根式的加法法则求出，根据乘法法则求出，根据完全平方公式把原式变形，代入计算即可． 【解答】解：，， ，， 则 ， 故选：． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则是解题的关键． 36．（2024春•庐江县校级月考）已知，，则　　；　　． 【分析】先根据题意求出与的值，再代入代数式进行计算即可． 【解答】解：，， ， ， ； ． 故答案为：11，14． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 37．（2024春•池州月考）已知． （1）求的值． （2）若为的整数部分，为的小数部分，求的值． 【分析】（1）首先求出，，然后利用平方差公式求解即可； （2）首先利用无理数的估算求出，，然后代入求解即可． 【解答】解：（1）， ，， ； （2）， ， ， 即， 为的整数部分， ， ， 即， 为的小数部分， ， ． 【点评】此题考查了二次根式的化简求值，无理数的估算，正确记忆相关知识点是解题关键． 题型一十一．二次根式的应用 38．（2024春•凤阳县月考）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即若三角形的三边长分别为，，，记，则其面积，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式．若三角形的面积，，，则的值为　　 A．2或3 B．3或 C．5或4 D．4或 【分析】根据公式，列出关于的方程，利用换元法解一元二次方程即可． 【解答】解：，，， ， ． 设，则， 整理，得，解得，． 当时，，（负值舍去）； 当时，，（负值舍去）． 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，掌握换元法是关键． 39．（2024春•利辛县月考）如果一个三角形的三边长分别是，，，记，那么三角形的面积为．如图，在中，，，所对的边分别为，，，，，，则边上的高的长为 　　． 【分析】根据、、的值，求出的值，代入公式计算即可求出，再根据三角形面积公式即可求出边上的高． 【解答】解：，，， ， ， 设边上的高的长为， ， ， 故答案为：． 【点评】此题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 40．（2024春•镜湖区校级期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为（单位：的高空抛出的物体下落的时间（单位：和高度（单位：近似满足公式（不考虑风速的影响）． （1）从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？从高空抛出的物体从抛出到落地所需时间是多少？ （2）是的多少倍？ （3）从足够高的高空抛出物体，经过，所抛物体下落的高度是多少？ 【分析】（1）将或分别代入求出对应的时间即可； （2）将（1）中的对应时间进行计算即可； （3）根据公式将代入进行计算即可． 【解答】解：（1）当时，； 当时，． （2）， 是的倍． （3）当时，， 解得． 答：下落的高度是11.25米． 【点评】本题考查二次根式的应用，能够理解题意，读懂题意是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$