【中原名校联盟】2024-2025学年高二上学期期末测评数学试卷

书 绝密 ! 启用前 !"!#!!"!$ 学年上学期期末测评试卷 高二%数学 注意事项! %%&'本试卷共 # 页!满分 &$" 分!考试时间 &!" 分钟" 考生答题全部答在答题卡上!答在本 试卷上无效" !'请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名#准考证号是否与本人相符合! 再将自己的姓名#准考证号用 "'$ 毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上" ('答选择题必须用 !)铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑" 如需改动!请用橡皮擦干 净后!再选涂其他答案" 答非选择题必须用 "'$ 毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位 置!在其他位置答题一律无效" 一"选择题!本题共 * 小题#每小题 $ 分#共 #" 分'在每小题给出的四个选项中#只有一项是符 合题目要求的' !!已知直线" & !#$+%+( ," 与直线" ! !#$+#%-. ," 平行"则实数#的值为 /'! )'+! 0'! 或+! 1'" "已知等差数列#& ' $的前 '项和为 ( ' "& # -& . +& 2 -& && ,&#"则 ( &( , /'22 )'*# 0'3& 1'3* #!%双曲线)的渐近线为% 槡,4!$&是%双曲线)的离心率为槡( &的 /'充分不必要条件 )'必要不充分条件 0'充要条件 1'既不充分也不必要条件 $!古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥"将所截得的不同的截口曲线统称 为圆锥曲线!如图所示的圆锥中"*+为底面圆,的直径"-为.+的中点"某同学用平行于 母线.*且过点 -的平面去截圆锥"所得截口曲线为抛物线!若该圆锥的高 ., 槡, ! "底面 半径,* 槡,! "则该抛物线的焦点到准线的距离为 /' & ! )'& 槡0'! 1' 槡. ! 56!"!#$!"!$ 学年上学期期末测评试卷%高二数学%第 & 页%共 # 页& %!已知等比数列#& ' $满足 & & & - & & ! - & & ( ,#"& ! ,&"记 ( ' 为其前 '项和"则 ( ( , /'( )'# 0'$ 1'. &!已知与圆) & !$ ! -% ! ,& 和圆) ! !'$+!( ! -'%+&( ! ,# 都相切的直线有且仅有两条"则实 数 &的取值范围是 /'' 槡+$ "槡$ ( )'' 槡+. "槡. ( 0') 槡+$ "槡$ * 1') 槡+. "槡. * '!如图"一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面'椭圆绕其对 称轴旋转一周形成的曲面(的一部分!过对称轴的截口 +*)是 椭圆的一部分"灯丝位于椭圆的一个焦点/ & 上"片门位于另一 个焦点/ ! 上!由椭圆一个焦点 / & 发出的光线"经过旋转椭圆 面反射后集中到另一个焦点 / ! !已知 +) " / & / ! "7/ & / ! 7, . 89"7*/ & 7,! 89"则截口宽+)长为 /'('! 89 )'# 89 0'.'# 89 1'* 89 (!已知圆台,,0的高为 &"圆,和圆,0的半径分别为 & 和 !"点.在圆,上运动"*"+")是圆 ,0上三点"且 # *+)是等腰直角三角形"则7.*7! -7.+7! -7.)7! 的最大值是 /'&# )'&* 0'!! 1'!. 二"选择题!本题共 ( 小题#每小题 . 分#共 &* 分!在每小题给出的选项中#有多项符合题目要 求!全部选对的得 . 分#部分选对的得部分分#有选错的得 " 分! )!已知 ! ,'&" +&" +&("" ,' +!"!""("#,'!"&" +(("则 /'7! -" 槡7,( )''! -"(+'! -#( ,+2 0'! $ '!#+"( 1''! -!"( " # !*!已知方程 &$! +1%! ,&1和 &$-1%-2,""其中 &1 % ""& % 1"2:""它们所表示的曲线可 能是 !!!线性分形又称为自相似分形"其图形的结构在几何变换下具有不变性"通过不断迭代生成 无限精细的结构!一个正六边形的线性分形图如下图所示"若图 & 中正六边形的边长为 &" 图 '中正六边形的个数记为 & ' "图 '中所有正六边形的周长之和,面积之和分别记为 2 ' " ( ' "其中图 '中每个正六边形的边长是图 ' +& 中每个正六边形边长的 & ( "则下列说法正 56!"!#$!"!$ 学年上学期期末测评试卷%高二数学%第 ! 页%共 # 页& 确的是 /'& # ,(#( )'2 ( , 32 ( 0'存在正数 #"使得 2 ' & #恒 成立 1'( ' , 槡( ( ! ;' 2 3 ( ' +& 三"填空题!本题共 ( 小题#每小题 $ 分#共 &$ 分! !"!已知空间向量 ! ,'&"""&("" ,'!" +!"&("则向量 ! 在向量 " 上的投影向量的坐标是 %%%%' !#'设/为双曲线)! $ ! & ! + % ! 1 ! ,&'& <""1<"(的左焦点" ! " " 分别为双曲线)的两条渐近线的 倾斜角"且满足 ! ,( " "已知点 /到其中一条渐近线的距离为 !"则双曲线 )的焦距 为%%%%! !$!已知数列# & ' $满足 & ' -& , & ' -&"& ' :( & ' ( "& ' ' { ( "记# &'$的前 ' 项和为 ('"若 && ,&"则 (#3 , %%%%-若 & & , ! ( "3 ( ! ) "则 ( (3-& ,%%%%! 四"解答题!本题共 $ 小题#共 22 分!解答应写出文字说明"证明过程或演算步骤! !%!'&( 分(如图"已知平行六面体*+)4+* & + & ) & 4 & 的底面 *+)4是矩 形"*+,!"*4,#"** & ,("且 * * & *4, * * & *+,."5! '&(求线段*) & 的长- '!(求异面直线*) & 与* & +所成角的余弦值! !&!'&$ 分(如图"已知四棱锥 .+*+)4的底面为菱形"且 * *+),."5"*+,.),!".*, .+ 槡,! "-是棱.4上的点"且四面体-.+)的体积为 槡( . ! '&(证明!.-,-4- '!(若过点)"-的平面 ! 与+4平行"且交.*于点6"求平面+)6与平面 *+)4夹角的 大小! 56!"!#$!"!$ 学年上学期期末测评试卷%高二数学%第 ( 页%共 # 页& !'!'&$ 分(集合*表示由满足一定条件的全体直线组成的集合"定义!若集合 *中的每一条 直线都是某圆上一点处的切线"且该圆上每一点处的切线都是*中的一条直线"则称该圆 为集合*的包络圆! '&(若圆,!$! -%! ,& 是集合 *,#'$"%( 7&$-1%,!$的包络圆"求实数 &"1满足的关 系式- '!(若集合*,#'$"%(7$8=> # -'%-.(>?@ # 槡-. ! ,""#("$的包络圆为圆 )".是圆 ) 上任意一点"判断在%轴上是否存在定点-"7"使得 7.-7 7.77 , 槡! ! ( "若存在"求出点-"7 的坐标-若不存在"请说明理由! !(!'&2 分(已知数列#& ' $的前 '项和为 ( ' "当 ' ' ! 时"'( ' +& ,'( & -'' +!(( ' ! '&(证明!!& ! ,& & -& ( - '!(证明!数列#& ' $为等差数列- '((若 & & ,+!"公差 8 ( ! ) "则是否存在 '"8"使得 ( ' ,&$. 若存在"求出所有满足条件 的 '"8-若不存在"请说明理由! !)!'&2 分(已知动圆-经过定点/ & ' 槡+( ""("且与圆/!!'$ 槡+( ( ! -% ! ,&. 内切! '&(求动圆圆心-的轨迹)的方程- '!(设轨迹)与$轴从左到右的交点分别为*"+".为轨迹)上异于*"+的动点"设直线 .+交直线$,# 于点9"连接*9交轨迹)于点6"直线*."*6的斜率分别为3 *. "3 *6 ! '?(证明!3 *. +3 *6 为定值- '?(设直线.6!$,:%-'"证明!直线.6过定点! 56!"!#$!"!$ 学年上学期期末测评试卷%高二数学%第 # 页%共 # 页& 参考答案 ZM2024一2025学年上学期期末测评试卷 高二数学 1.A【解析】当L∥L2时，m×(-m)=-1×4,解得m=2或m=-2. 当m=-2时，直线11：-2x-y-3=0,即2x+y+3=0,与直线l2:4x+2y+6=0重合， 故m≠-2，所以m=2.故选A. 2.C【解析】由a4+a6-a1+a1=14,得2a=14,所以a,=7,则S:=13a2=91,故选C. 3.D【解析】双曲线C的渐近线为y=±√2x,当双曲线的焦点在x轴上时，离心率为3，当双曲线的 焦点在y轴上时，离心率为，所以由条件不能得出结论，反之，由结论也不能得出条件，故选D, 4.B【解析】连接OM,因为M是PB的中点，O是AB的中点，所以AP∥ OM,OM=2AP=1,截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M, 故O也在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上， 以M为原点，OM所在直线为x轴，过M点与x轴垂直且在截面内的直线为y轴，建立平面直角坐 标系， 设抛物线与圆锥底面的交点为E,则xE=1,ye=2, 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则2=2p×1,解得p=1, 则该抛物线的焦点（兮，0）到准线x=-的距离为P,即为1.故选B. 5.B【解析】设等比数列a,的公比为q,9≠0，因为++1=4,4，=1， a a2 a3 所以4=+三+-++=4，+，+a,=S， a a2 a3 a a2 a3 所以S3=4.故选B. 6.A【解析】圆C1:x2+y2=1的圆心为C,(0,0),半径，=1，圆C2:(x-2)2+(y-a)2=4的圆心为 C2(2,a),半径r2=2,因为与圆C,和圆C2都相切的直线有且仅有两条，所以两圆相交，则11-2I< 1C,C,I<r+r2,即1<√4+a<3,解得-5<a<5,所以实数a的取值范围是(-5,5).故 选A 7.C【解析】由题意可知1F,F,1=2c=6cm,IAFI=a-c=2cm,则c=3,a=5, 可得b=V后-C=4,所以1BC1=2沙-2=6.4m故选C. a 5 参考答案第1页（共7页） 8.C【解析】因为△ABC是等腰直角三角形，所以CO'⊥AB,IO'AI=1O'B1=IO'C1=2, 如图，以O'C,0'B,O'0分别为x轴，y轴，轴，建立空间直角坐标系， *0 则P(x,y,1),A(0,-2,0),B(0,2,0),C(2,0,0),且x2+y2=1,-1≤x≤1， 则1PA12+1PB12+1PC12=x2+(y+2)2+1+x2+(y-2)2+1+(x-2)2+ y2+1=x2+y2+4y+4+1+x2+y2-4y+4+1+x2-4x+4+y2+1=18-4x, 则1PAI2+IPB2+IPC12的最大值是22.故选C. 9.AD【解析】对于A,a+b=(-1,1,-1),所以1a+b1=3,A正确： 对于B,a+c=(3,0,-4),所以(a+b)·(a+c)=1,B错误： 对于C,2c-b=(6,0,-6),不存在实数入，使得a=入(2c-b),故a与2c-b不平行，C错误； 对于D,a+2b=(-3,3,-1),(a+2b)·c=-6+3+3=0,所以(a+2b)⊥c,D正确.故选AD. 10.AD【解折a2-=abe-若-若1. 对于A,号-1中a>0,6>0,所以直线ax+,+c=0的斜率为负值，且在y轴上的截距为正， 可能： 于B,x-Y=1中a<0,b<0,所以直线ax+y+c=0的斜率为负值，不可能 对于C,父+一=1中a<0,b>0,b>-a,所以直线ar+by+c=0的斜率为正值，且在y轴上的 -d 截距为正，不可能： 对于D,二。+1中a<0,6>0,6<-a,所以直线ar+y+0=0的斜率为正值，且在y轴上的 截距为正，可能.故选AD. 11.AD【解析】对于A,图1中正六边形的个数为1，图2中正六边形的个数为7， 由题意得a。{为首项为1，公比为7的等比数列，所以a。-7-1,故a4=73=343,A正确： 对于B.由题意知6=6,6=子x6=146=(仔×6-贺B错误： 对于C,c,为首项为6，公比为了的等比数列，故c,=6×(了)-， 因为了>1，所以c=6×(子)-单调递增，不存在正数m,使得c,≤m恒成立，C错误： 对于D,分析可得，图n中的正六边形的个数为a,=7-个，每个正六边形的边长为（写）-， 故每个正六边形的面积为6×× 1)24-2 4×(3〉 则S=7-x6x5× ×（兮产-3x(），D正确放选 参考答案第2页（共7页） 12(学。号宁【解折1向量口在向量上的投影向量为9仿合-=2· 3，-3,3 22+(-2)2+12 =号=2-2)--号3》 13.4,√2【解析】根据点F到其中一条渐近线的距离为2，可得b=2,两条渐近线的倾斜角满足α+B=T, 又x=38,所以B=平，所以名=mB=1,故a=2,所以c=22,则焦距为2c=42. [an +l,a <3 14.97 号-点+6【解折】数列a,满足a 3,0≥3 若a1=1,则a2=a1+1=1+1=2,a3=a2+1=2+1=3, 则a,=号=1,4，=a,+1=1+1=24=4+1=2+1=3. 可以发现数列{a.}是以1,2,3为周期的周期数列，一个周期的和为1+2+3=6， 所以S9=16(a1+a2+a,)+a1=16×6+1=97. 当0<a1<1时，a2=a1+1,a3=a1+2,a4=a1+3>3, 4=号-号+1<34=%+1=号+2<3.4-号+3>3.… a+1a=是+2,1=票+3，eN, 因为0<a,<1,所以0<是<1，m∈N,则以三个为一组循环， 3典 且a+au+a1=3×3%+1+2+3=写品+6， 则S3数+1=a,+(a2+a3+a4)+…+（a3-1+a#+a34+1) =a+(3a+6)+(a,+6)+…+(写品+6)=(1+3+1+ 3+…+3)a,+6k 31-(3)为 =1+ 11141+6h=2-+6k. 15.令AB=a,Ai=b,A4=c, 则1al=2,1bl=4,lcl=3,a,b>=90°，<b,c)=〈a,c>=60°， 则a·b=0,b·c=6,c·a=3, 由题可知，AC=a+b+C,BA=-a+C.…3分 (1)lAC12=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=4+16+9+2×(0+6+3)=47. 所以4C1=√47，即线段AC,的长为47.…7分 参考答案第3页（共7页） (2)1BA12=(-a+c)2=a2+c2-2a·c=4+9-6=7,所以1BA1=7. 因为AC.BA=(a+b+c)·(-a+c)=c2-a2+b·c-a·b=9-4+6-0=11, AC·BA 所以cos(AC,BA)= 1111329 1AC,11BA√47×7329 则异面直线4C,与A,B所成角的余弦值为山2四 329 13分 16.(1)如图，取AB的中点O,连接P0,C0. 因为PA=PB=2,AB=2, 所以P0⊥AB,P0=1,B0=1. 0 又因为四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°， 所以C0⊥AB.C0=3. 因为PC=2,所以PC2=P0+C02,所以P0⊥C0.… …2分 因为ABC平面ABCD,COC平面ABCD,AB∩CO=O,所以PO⊥平面ABCD. 因为AD∥BC,BCC平面PBC,AD￠平面PBC,所以AD∥平面PBC, 所以m=m=m=兮05am=写×1x×2x,5= 1 1 3 所以点/到平面PBC的距离是点D到平面PBC的距离的 所以PM=MD.… …6分 (2)由(1)知，B0⊥C0,P0⊥B0,P0⊥C0, 如图，以0为坐标原点，0C,0B,0P的方向分别为x轴，y轴， z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则A(0,-1,0),B(0,1,0),C(3,0,0),D(3,-2,0),P(0, 0,1) 所以M-17,4花=(5,1.0)，成=(5，-1,0)，励=(5，-3,0)，4亦=(0,1,1)，C (-9-1,》 设平面α的法向量为m=(x,y,), m·BD=0 r5x-3y=0 则 即 m.CM=0' 1 -2-y+2=0 参考答案第4页（共7页） 取y=1,得到平面α的一个法向量为m=(3,1,5).…9分 因为Q∈AP,设A0=入AP=(0,A,A),则Cd=A0-AC=(-5,A-1,A). 因为m·CQ=-3+入-1+5入=0， 所以A=号所以西=(-5-号号。 +，， 11分 设平面BCQ的法向量为n1=(x1,y,）, =0-5-号+号-0 则/ ,即 ln,·BC=0 3x1-少=0 取x1=1,得到平面BCQ的一个法向量为m1=(1,3,23). 设平面BCQ与平面ABCD的夹角为B, 因为n2=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量， 所以一B=oa1-。 所以B=石，故平面BCQ与平面ABCD的夹角是 4440t044……4t404t4 6 15分 17.(1)因为圆0：x2+y2=1是集合A={(x,y)1ax+by=2}的包络圆， 所以圆心O(0,0)到直线ax+by=2的距离为1， 即2 行=1，所以a2+=4.…5分 √a+ (2)设C(m,n),由题意可知点C到直线xcos0+(y+6)sim0+62=0的距离为与0无关的定值， 即d=mcs8+n+6)sin9+6,2为与0无关的定值， √sin20+cos0 所以m=0,n+6=0,故C(0,-6),此时d=6√2， 所以圆C的方程为x2+(y+6)2=72.…9分 设P(x,y),则x2+(y+6)2=72,即x2+y2=36-12y, 假设在y辅上存在定点M,X使得州=2号设M0,),A0,g. 则P=8.+(y-)产+y-23+--2(+6)y++36 1PNT=92+(y-2)2+y-2y+月-2y2+6y+5+361 +6=8 (3+6) y=2y=-14 所以 ,解得 或 7+36= 9(2+36) y2=3ly2=-15 所以M(0,2),N(0,3)或M(0,-14),N(0,-15).…15分 参考答案第5页（共7页） 18.(1)当n=3时，3S2=3S1+S3,所以3S2-3S,=S3,即3a2=a1+a2+a, 所以202=a1+3…3分 (2)因为nS。-1=nS,+(n-2)Sn(n≥2)，所以0=nS,+n(S。-S.-1）-2Sn(n≥2)， 因为S。-S。-1=a(n≥2)，S,=a1,所以2S.=na1+nan(n≥2)， 则2S。-1=(n-1)a1+(n-1)an-1(n≥3)， 两式相减，可得2S。-2S。-1=2a.=41+na-(n-1)an-(n≥3)， 整理得(n-2)a。+a1=(n-1)an-1(n≥3)， 所以(n-1)a。+1+a1=na(n≥2， …6分 两式相减，可得(n-1)a.+1-(n-2)an=nam-(n-1)an-1(n≥3)， 整理得(n-1)(aa+1+a。-1-2a.)=0(n≥3)，且n-1≠0， 所以a+1+a。-1-2a,=0(n≥3)，即当n≥2时，a,成等差数列. 又由(1)可知，a,a2,a成等差数列， 所以数列{a。}为等差数列. …9分 (3)假设存在符合题意的n,d, 则由S.=a,+n(n,1)4,可得15=-2n+nn,l)d 2 2 当n=1时，上式显然不成立， 当n≥2时，d=2(2m+152) n(n-1) 因为daN”,且2n+15为奇数4(a-1)为偶数.所以225必为奇数。 若2(2m+152=1,则m2-5n-30=0(n≥2)，无正整数解， n(n-1) 所以22+153，整理得3m2-7n-30≤0(n≥2)，解得2≤n≤4.……15 当n=2时.d=2(2m+5=19eN,符合题意： n(n-1) 当m=3时，d-2(2n+15)=7eN,符合题意： n(n-1) 当a=4时，d=225=爱N,不符合题意 n(n-1) 综上，存在n=2,d=19及n=3,d=7符合题意.…17分 19.(1)设动圆M的半径为，圆F2:(x-3)2+y2=16的圆心F(3,0),半径R=4, 显然点F,(-√3,0)在圆F2内，则1MF2I=R-r=4-IMF,I, 于是1MF,I+IMF2I=4>23=IF,F2I, 参考答案第6页（共7页） 因此动点M的轨迹C是以F,F2为焦点，长轴长为4的椭圆，…2分 长半轴长a=2,半焦距c=3,则短半轴长b=√a2-c=1, 所以轨迹C的方程为+三1.…………4分 (2)(i)设P(x1,y1),Q(x2),T(4,m),由(1)知A(-2,0),B(2,0), 显然u2w如马=君而如=如产2受则m x1-2 …8分 x,+2'6x,+2‘3(x-2)3(-4) 尊+=1，即疗-4-》 4- 所以如6如=-4为定值 …1分 「x=y+n (i)由 ,消去x得(2+4)y2+2y+n2-4=0, Lx2+4y2=4 4=42n2-4(2+4)(n2-4)=16(2+4-n2)>0. 方+y2=- 2in 2+42= n2-4 2+4' 由(i)得r·k0=-12: 1 … 13分 则力 y12 y12 ,+2+2++2+n+2》+n+2+)++ n2-4 手2a2+a+2y标i6+16b解得m=1,满足4>0， 2+4 n2-4 2+4 2+4 因此直线PQ的方程为x=y+1, 所以直线PQ过定点(1,0).… 17分 参考答案第7页（共7页）