(新课预习衔接)第三单元 运算律(讲义)-2024-2025学年四年级下册数学人教版

运算律 【思维导图+典型例题+知识精讲+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：果真多水果店购进苹果和梨各30箱，苹果每箱48元，梨子每箱52元，买苹果和买梨子共花了多少元钱？ 【答案】3000元 【分析】根据题意，可以用48加52求出一箱苹果和一箱梨的钱数再乘30就是一共要用了多少钱；据此解答。 【详解】（48＋52）×30 ＝100×30 ＝3000（元） 答：买苹果和买梨子共花了3000元钱。 【点睛】本题的关键是先求出一箱苹果和一箱梨的钱数，再根据乘法的意义列式解答，也可先分别算出苹果和梨的钱数，再根据加法意义解答。 例题2：王老师阅读一本278页的教学专著，第一周读了78页，第二周读了56页，第三周读了44页，还剩下多少页没有读？ 【答案】100页 【分析】用总页数连续减去3周读的页数，即可求出还剩多少页没有读。 【详解】 答：还剩下100页没有读。 【点睛】本题考查了减法的性质和应用，关键是理解题意，找出数量关系。 例题3：学校食堂运来大米和面粉各8袋，大米每袋32千克，面粉每袋25千克。运进的大米比面粉多多少千克？（两种方法解答） 【答案】56千克 【分析】根据题意可知： 方法一：每袋大米的重量×大米的袋数－每袋面粉的重量×面粉的袋数＝运进的大米比面粉多的重量； 方法二：（每袋大米的重量－每袋面粉的重量）×8＝运进的大米比面粉多的重量。 【详解】方法一： 32×8－25×8 ＝256－200 ＝56（千克） 方法二： （32－25）×8 ＝7×8 ＝56（千克） 答：运进的大米比面粉多56千克。 【点睛】此题考查的是根据乘法分配律的特点解决实际问题，应熟练掌握。 例题4：按照2个红珠子、3个蓝珠子的规律穿一串珠子，第23个珠子应该是什么颜色？ 【答案】蓝色 【分析】按照2个红珠子、3个蓝珠子的规律穿一串珠子，5个珠子为一组，要想知道第23个珠子是什么颜色，只要知道23÷5后的余数是几，然后分析即可。 【详解】23÷5＝4（组）……3（个） 答：第23个珠子应该是蓝色。 【点睛】本题考查简单周期现象中的排列规律，利用有余数的除法解决生活实际问题，余数是几，答案就是一组中的第几个。如果没有余数，则正好是一组中的最后一个。 例题5：学校食堂新买来大米和小米各12袋，大米和小米共买了多少千克？ 【答案】1200千克 【分析】根据题意，用大米每袋的重量×大米的袋数＋小米每袋的重量×小米的袋数＝大米和小米一共的重量，依此列式并计算即可。 【详解】75×12＋25×12 ＝（75＋25）×12 ＝100×12 ＝1200（千克） 答：大米和小米共买了1200千克。 【点睛】此题考查的是乘法分配律的运用，熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 一、乘法分配律 【知识点归纳】 1、乘法分配律：两个数的和（或差）与一个数相乘，可以把两个加数（或被减数、减数）分别与这个数相乘，在把两个积相加（或相减），结果不变。用字母表示数：（a+b）×c＝a×c+b×c或（a﹣b）×c＝a×c﹣b×c 2、式子的特点：在两个乘法式子中，有一个相同的因数；另为两个不同的因数之和（或之差）基本上是能凑成整十、整百、整千的数。 3、102×88、99×15这类题的特点：两个数相乘，把其中一个比较接近整十、整百、整千的数改写成整十、整百、整千与一个数的和（或差），再应用乘法分配律可以使运算简便。 二、运算定律与简便运算 【知识点归纳】 1、加法运算： ①加法交换律：两个加数交换位置，和不变．如a+b＝b+a ②加法结合律：先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．如：a+b+c＝a+（b+c） 2、乘法运算： ①乘法交换律：两个因数交换位置，积不变．如a×b＝b×a． ②乘法结合律：先乘前两个数，或先乘后两个数，积不变．如a×b×c＝a×（b×c） ③乘法分配律：两个数的和，乘以一个数，可以拆开来算，积不变．如a×（b+c）＝ab+ac ④乘法分配律的逆运算：一个数乘另一个数的积加它本身乘另一个数的积，可以把另外两个数加起来再乘这个数．如ac+bc ＝（a+b）×c 3、除法运算： ①除法性质：一个数连续除以两个数，可以先把后两个数相乘，再相除．如a÷b÷c＝a÷（b×c） ②商不变规律：被除数和除数同时乘上或除以相同的数（0除外）它们的商不变．如a÷b＝（an）÷（bn）＝（a÷n）÷（b÷n） （n≠0 b≠0） 4、减法运算： 减法性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和．如a﹣b﹣c＝a﹣（b+c） 第四部分 高频真题 一、选择题 1．与算式360÷45结果相等的算式是（　　）。 A．360÷9×5 B．360÷40÷5 C．360÷9÷5 2．要使25×125×的积的末尾有5个0，中应填（    ）。 A．4 B．8 C．32 3．小明在计算时，将算式转化成进行计算，计算的结果与原来算式的结果比（    ）。 A．多了56 B．少了56 C．没有变化 4．算式4×13×25=13×（4×25）运用了（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法交换律和乘法结合律 5．9×1.25×8＋17＝9×（1.25×8）＋17运用的运算定律是（    ）。 A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 6．下列算式中，（　　）能运用乘法分配律使计算简便． A．×× B．（+）×36 C．+×5 7．张老师的计算器上的数字键“8”坏了，怎么才能算出198×25的结果。（    ） A．200×25＋25 B．200×25－2×25 C．200×25＋2×25 二、填空题 8．用字母a、b、c表示算式（49×125）×8＝49×（125×8）中的三个数：( )。 9．我们已经学过了加、减、乘、除四则运算及其运算定律，一起来填一填。 加数＋加数＝( )，可以运用( )律进行验算，也可以用( )法验算。 10．计算 7.88×2.5＋2.5×2.92 时，可以应用( )律进行简便计算，这个定律用字母表示为( )． 11．小明将36×（□＋4）错算成36×□＋4，这样比正确的得数少 。 12．14.1÷11的商用循环小数表示是( )，精确到百分位约是( )，同时小数点后面第2022位上的数字是( )。 13．620×（100+1）="62×100+62" 应用了　 　律． 三、判断题 14．计算16×125＝2×（8×125）时，运用了乘法分配律。( ) 15．把278－103错算成278－100＋3，计算结果比正确结果多6。( ) 16．一个不为0的数乘18，相当于把原数增加17个他它本身。( ) 17．如果□+△=10,12×□+12×△=120 ( ) 18．计算148＋35＋65＝148＋（35＋65）用到了乘法结合律。( ) 19．用简便方法计算13＋46＋55＋54＋87时，先使用加法交换律，再使用加法结合律。( ) 20．在计算时，一定要按四则混合运算的顺序，先算乘法，最后算加法。( ) 21．（93＋7）×17用乘法分配律计算十分简便。( ) 四、计算题 22．直接写出得数。 30×70＝         900×8＝          810÷90＝           11×2×5＝ 28×50＝         60×500＝         340×0＝             25×4÷25×4＝ 23．计算下面各题，能简算的要简算。 125×17×8         364－225＋236－175 64×99＋64         672÷[（15－11）×12] 24．求出下面图形总面积，列式不计算。 25．计算下面图形的周长。（单位：厘米）              五、作图题 26．如图两个算式都表示求小正方体的总个数，但是先算的部分不同，请在图中表示先算的部分。 六、解答题 27．丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？ 28．水果店运来苹果、葡萄各20箱。苹果每箱25千克，葡萄每箱15千克。一共运来水果多少千克？ 参考答案 1．C 【分析】由于45=9×5，根据一个数除以两个数的积，等于用这个数分别除以这两个数的除法性质可知，360÷45=360÷9÷5。 【详解】360÷45 =360÷（9×5） =360÷9÷5 故选C 2．C 【解析】略 3．C 【分析】两个数的差与一个数相乘，可以用这两个数分别和这个数相乘，再把它们的积相减。把99×56改写成，计算的结果与原来算式的结果比，没有变化。 【详解】（100－1）×56 ＝100×56－1×56 ＝5600－56 ＝5544 99×56＝5544 99×56＝（100－1）×56 小明在计算时，将算式转化成进行计算，计算的结果与原来算式的结果比，没有变化。 故答案为：C 4．C 【分析】本题考查了乘法运算定律的运用，要熟记运算定律，并灵活运用． 【详解】4×13×25先运用乘法交换律，交换4和13的位置，变成13×4×25，然后再运用乘法结合律把4×25结合在一起，变成13×（4×25）． 故选C． 5．B 【分析】计算9×1.25×8＋17时，先计算1.25×8，再用9乘这个积，然后再加上17。乘法结合律是指三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。据此可知，计算时运用了乘法结合律。 【详解】9×1.25×8＋17 ＝9×（1.25×8）＋17 ＝9×10＋17 ＝90＋17 ＝107 运用的运算定律是乘法结合律。 故答案为：B 【点睛】本题考查学生对乘法结合律的掌握和应用。 6．B 【详解】试题分析：根据乘法分配律的意义，（a+b）×c=a×c+b×c，据此解答． 解：（）×36， =， =9+8， =17． 故选B． 点评：此题考查的魔导师理解乘法分配律的意义，并且能够灵活运用乘法分配律进行简便计算． 7．B 【分析】数字键“8”坏了，因此将198写成200－2，然后运用乘法的分配律进行计算即可；乘法分配律的特点是两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减。 【详解】198×25 ＝（200－2）×25 ＝200×25－2×25 故答案为：B 【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。 8．（a×b）×c＝a×（b×c） 【分析】三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘第三个数，也可以先把后两个数相乘再和第一个数相乘，结果不变，这叫做乘法结合律，用字母表示为（a×b）×c＝a×（b×c）。 【详解】用字母a、b、c表示算式（49×125）×8＝49×（125×8）中的三个数：（a×b）×c＝a×（b×c）。 【点睛】熟记乘法结合律的定义是解题关键。 9． 和 加法交换 减 【分析】加法交换律：两个数相加，交换两个加数的位置，和不变；即加法可依此定律进行验算；再根据加、减法的意义和各部分间的关系可知：加数＋加数＝和，和－加数＝另一个加数，减法是加法的逆运算，加法可以用减法来验算；据此解答。 【详解】我们已经学过了加、减、乘、除四则运算及其运算定律，一起来填一填。 加数＋加数＝和，可以运用加法交换律进行验算，也可以用减法验算。 10． 乘法分配律 （a+b）×c=a×c+b×c 【详解】试题分析：7.88×2.5+2.5×2.92，运用乘法分配律进行简算．乘法分配款用字母表示：（a+b）×c=a×c+b×c． 解：7.88×2.5+2.5×2.92， =（7.88+2.92）×2.5， =10.8×2.5， =27． 故答案为乘法分配律，（a+b）×c=a×c+b×c． 点评：此题考查的目的是理解掌握乘法分配律的意义，并会用字母表示乘法分配律． 11．140 【分析】36×（□＋4）根据乘法分配律展开，然后再与36×□＋4进行比较，就可以得出它们之间的差是多少。 【详解】36×（□＋4） ＝36×□＋36×4 ＝36×□＋144 36×□＋144－（36×□＋4） ＝36×□＋144－36×□－4 ＝144－4 ＝140 【点睛】本题先观察这两个算式的区别在什么地方，再对其中的一个变形，变成相接近的形式，进而求解。 12． 1.28 8 【分析】先根据小数除法的计算方法，求出14.1÷11的商；再根据循环小数的表示方法，在循环小数的循环节的首位和末尾数字上点上小黑点即可；商精确到百分位，看千分位上的数字是否满5，然后运用“四舍五入”法求得近似数即可；确定循环节的个数，即一个周期，确定周期后，用2022除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如果比整数个周期多n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个；如果不是从第一个开始循环，可以从总量减掉不是循环的个数后，再继续计算。 【详解】14.1÷11＝≈1.28 的循环节是81 （2022－1）÷2 ＝2021÷2 ＝1010⋯⋯1 则14.1÷11的商用循环小数表示是，精确到百分位约是1.28，同时小数点后面第2022位上的数字是8。 13．乘法分配律 【详解】试题分析：根据乘法分配律的意义可知，620×（100+1）="62×100+62" 应用了 乘法分配律律． 解：620×（100+1）=62×100+62； 应用了乘法分配律律． 故答案为乘法分配律． 点评：乘法分配律为：两个数的和与一个数相乘，可将它们与这个数分别相乘，再相加． 14．× 【分析】乘法结合律为：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。先把16拆成2×8，把16×125转换成2×8×125，再根据乘法结合律转换成2×（8×125）；据此可解此题。 【详解】16×125 ＝2×8×125 ＝2×（8×125） ＝2×1000 ＝2000 由此可知，计算16×125＝2×（8×125）时，运用了乘法结合律；所以原题说法错误。 故答案为：× 15．√ 【分析】分别计算出结果后，再比较即可解答。 【详解】278－103 ＝278－（100＋3） ＝278－100－3 ＝175 278－100＋3＝181 181－175＝6 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握减法的性质是解答本题的关键。 16．√ 【分析】一个不为0的数乘18，相当于一个数乘（17＋1），根据乘法分配律，就等于原数加上17这个数，据此判断。 【详解】由分析可知，一个不为0的数乘18，相当于把原数增加17个他它本身。说法正确。 故答案为：√ 【点睛】此题利用了乘法分配律来解答，要学会灵活运用乘法运算律。也可通过举例证明。 17．√ 【详解】12×□+12×△=12×(□+△),已知□+△=10,12×(□+△)=12×10=120． 18．× 【分析】计算148＋35＋65＝148＋（35＋65）用到了加法结合律：（a＋b）＋c＝ a＋（b＋c）据此判断。 【详解】148＋35＋65＝148＋（35＋65）＝148＋100＝248，这里用到了加法结合律，而不是乘法结合律。 故答案为：× 19．√ 【分析】先根据加法交换律，将算式变为13＋87＋46＋54＋55，再根据加法结合律，将算式变为（13＋87）＋（46＋54）＋55，先计算13与87的和，46与54的和，最后再加上55即可。 【详解】13＋46＋55＋54＋87 ＝13＋87＋46＋54＋55 ＝（13＋87）＋（46＋54）＋55 ＝100＋100＋55 ＝200＋55 ＝255 所以用简便方法计算13＋46＋55＋54＋87时，先使用加法交换律，再使用加法结合律，原说法正确。 故答案为：√ 20．× 【分析】在计算56×73＋27×56时，也可以根据乘法分配律进行简算，也就是把56×73＋27×56改写成56×（73＋27），先计算小括号里面的加法，再算乘法，据此判断解答即可。 【详解】因为在四则混合运算中，先算乘除，再算加减，有括号的，应先算括号里面的，再算括号外面的；如能简算要简算。此说法不对。此算式可用乘法分配律进行简算： 56×73＋27×56 ＝56×（73＋27） ＝56×100 ＝5600 故答案为：× 【点睛】本题考查了运算定律与简便运算，四则混合运算，注意运算顺序和运算法则，灵活运用所学的运算定律简便计算。 21．× 【分析】根据算式的特点，按照有括号的运算顺序，先计算括号里面的加法可以得到100，再乘括号外面的数；如果利用乘法分配律，先用括号里面的两个数分别乘17，计算不简便；据此判断。 【详解】根据分析可知： （93＋7）╳17不用乘法分配律，按照有括号的运算顺序计算更简便。 故答案为：× 22．2100；7200；9；110； 1400；30000；0；16 【解析】略 23．17000；200 6400；14 【分析】（1）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法交换律：a×b×c＝a×c×b可使计算简便。 （2）仔细观察算式及数据特点可知，先把“－225”和“＋236”交换位置，先算364＋236，再利用减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）使计算简便。 （3）仔细观察算式及数据特点可知，利用乘法分配律：a×b＋a×c＝a×（b＋c）可使计算简便。 （4）一个算式中，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法。 【详解】125×17×8 ＝125×8×17 ＝1000×17 ＝17000 364－225＋236－175 ＝364＋236－225－175 ＝600－225－175 ＝600－（225＋175） ＝600－400 ＝200 64×99＋64 ＝64×（99＋1） ＝64×100 ＝6400 672÷[（15－11）×12] ＝672÷[4×12] ＝672÷48 ＝14 24．（6＋4）×3或6×3＋4×3 【分析】根据题意可知，黑色部分和白色部分都是3行，黑色每行6个，白色每行3个，先用加法求出黑色和白色一行的总和，再乘3即可。也可以分成求出黑色的面积以及白色的面积，再相加即可。 【详解】 可列式为：（6＋4）×3或6×3＋4×3。 25．131厘米；170厘米； 【分析】封闭图形一周的长度是这个图形的周长，因此将每个图形中的每条边的长度加起来即可，依此列式并根据加法结合律的特点进行计算。 【详解】31＋43＋57 ＝31＋（43＋57） ＝31＋100 ＝131（厘米） 19＋51＋43＋57 ＝（19＋51）＋（43＋57） ＝70＋100 ＝170（厘米） 26．见详解 【分析】观察上图可知，几何体的长上摆了7个小正方体，宽上摆了3个小正方体，高上摆了4个小正方体，4×3×7中，4×3计算的是几何体一列上小正方体的个数，所以4×3×7先算的是一列上小正方体的个数；4×（3×7）中，3×7计算的是几何体一层上小正方体的个数，所以4×（3×7）先算的是一层上小正方体的个数；据此涂色即可解答。 【详解】 （答案不唯一） 27．672个 【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。 【详解】2016÷3＝672（个） 672×1＝672（个） 答：前2016个数中共有672个偶数。 【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。 28．800千克 【分析】水果店运来苹果、葡萄各20箱，所以苹果每箱的千克数加葡萄每箱的千克数，再乘20，即等于一共运来水果的千克数，据此即可解答。 【详解】（25＋15）×20 ＝40×20 ＝800（千克） 答：一共运来水果800千克。 学科网（北京）股份有限公司 $$