第七章 相交线与平行线（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

第七章 相交线与平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、对顶角与邻补角 【解惑】如图，点O是直线上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的有关计算，关键是利用角的和差关系进行计算及掌握角的单位间的换算，用即可得解． 【详解】解： ， 故选C． 【融会贯通】 1．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）．若，光线传播方向改变了，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角相等，角的和与差，利用数形结合的思想是解题关键．根据对顶角相等得出，进而即可求解． 【详解】解：如图， 根据对顶角相等得出． 因为光线传播方向改变了， 所以． 故选C． 2．如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，平角定义， 先根据角平分线的定义求出，即可求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 【答案】或 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、角的计算，熟记概念并准确画图是解题的关键． 根据垂直的定义求出，然后求出或，再根据邻补角或对顶角相等即可解答． 【详解】解：分为两种情况： 如图： ， ， 又， ， ； 如图： ， ， ， ， 又直线和相交于点， ； 综上，的度数为或， 故答案为：或． 类型二、点到直线的距离 【解惑】如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【详解】解∶于D， 点B到直线的距离是指线段的长度， 故选∶D． 【融会贯通】 1．如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了点到直线的距离，正确把握相关定义是解题的关键．利用点到直线的距离的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴线段的长能表示点B到的距离． 故选：B． 2．点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 【答案】不小于 【分析】据点到直线距离的定义进行解答即可．本题考查了点到直线的距离．解题的关键是明确垂线段最短，即从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短． 【详解】解：为直线外一点，是直线上一点，点到的距离为， 当时，；当不与直线垂直时，． ． 故答案为：不小于． 3．如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 【答案】 /65度 【分析】本题考查了点到直线的距离，对顶角以及邻补角，掌握对顶角以及邻补角的性质是解题的关键． （1）根据对顶角的性质得出，再由垂直的定义答案即可； （2）根据点到直线的距离即可得出答案． 【详解】解：（1）， ， ， ， ； （2），， 点到直线的距离是， 故答案为：，． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角的定义解答即可，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角． 【详解】解：与构成同旁内角的是． 故选：A． 【融会贯通】 1．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了内错角的定义，正确记忆内错角的定义是解决本题的关键． 根据内错角是在截线两旁，被截线之内的两角，内错角的边构成“Z ”形作答． 【详解】解：和是内错角，和是内错角，和是内错角，和是内错角， ∴内错角一共有4对． 故选：C． 2．社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查对顶角，三线八角，根据对顶角和三线八角的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图可知：与是对顶角；故①正确； 与是同旁内角；故②正确； 与是邻补角；故③错误； 与是内错角；故④正确； 故答案为：①②④． 3．如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ． 【答案】 【分析】本题考查三线八角的知识，两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键． 【详解】解：由图可知，的同旁内角是，的内错角是， 故答案为：，． 类型四、平行公理 【解惑】下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题主要考查平行公理，对顶角相等，两条直线的位置关系，熟练掌握两条直线位置关系的相关概念是解题的关键． 根据平行公理，对顶角，两条直线的位置关系，逐个进行判断即可． 【详解】解：①若，，则，故本项符合题意； ②若与相交，与相交，则与不一定相交，故本项不符合题意； ③相等的角不一定是对顶角，故本项不符合题意； ④过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角一定相等 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．互补的两个角是邻补角 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、点到直线的距离等知识点．根据平行线的判定与性质、对顶角相等、点到直线的距离等逐一判断即可． 【详解】解：A．过直线外的一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项不符合题意； B．对顶角一定相等，故本选项符合题意； C．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故本选项不符合题意； D．互补的两个角不一定是邻补角，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 【答案】过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理，根据平行公理可得． 【详解】解：∵，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点P，C，Q在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3．如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 【答案】平行 【分析】本题主要考查了平行公理，根据平行于同一直线的两直线平行即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：平行． 类型五、真假命题 【解惑】下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．两锐角之和一定是钝角 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，熟知各项性质是解答此题的关键．根据平行线的性质，平方根定义，对顶角性质，角的分类，分别作出判断即可． 【详解】解：A．两平行线被第三条直线所截，内错角相等，原命题不正确，不是真命题，故A不符合同意； B．对顶角相等，是真命题，故B符合同意； C．若，则，命题不正确，不是真命题，故C不符合同意； D．两锐角之和不一定是钝角，例如，角是锐角，原命题错误，不是真命题，故D不符合题意． 故选：B． 【融会贯通】 1．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题与逆命题，不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质等知识点，用不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项，熟练掌握解不等式的性质、锐角的定义、补角的定义及平行线的性质是解决此题的关键． 【详解】解：①若，则的逆命题为：若，则，正确，是真命题，不符合题意； ②锐角都相等的逆命题为：相等的角都为锐角，错误，是假命题，符合题意； ③一个角的补角大于这个角的逆命题为：大于一个角的角是它的补角，错误，是假命题，符合题意； ④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等的逆命题为同位角相等，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； 故选：B． 2．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的的值可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用举反例证明命题真假，举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足的数即可，能够正确的举出反例是解题关键． 【详解】解：∵，则， ∴取时，， ∴， 则“若，则”是假命题， 故答案为：（答案不唯一） 3．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 【答案】 如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形 真 【分析】本题主要考查命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．先根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，再根据直角三角形的判定判断即可． 【详解】解：“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，是真命题， 故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真． 类型六、图形的平移 【解惑】2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中平移的现象．“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解． 【详解】 解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是， 故选：B． 【融会贯通】 1．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移后图形的位置，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，图①中的三角形甲先向下平移2个单位，再向右平移3个单位到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形； 故选：C． 2．如图，图②可看作由图①先左平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 【答案】 【分析】本题考查了平移变换，根据前后图形的位置变化即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图②可看作由图①先左平移个单位，再向上平移个单位得到， 故答案为：，． 3．“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    【答案】10 【分析】本题考查图形的平移方式，结合图形可得往右需要移动3个单位，往下移动6个单位，逐一分析即可． 【详解】解：由图可得，该正方形需要移动到右下角的位置， 平移方式有：右3下6，右2下1右1下5，右2下2右1下4，右1下1右2下5，右1下1右1下1右1下4，右1下2右2下4，下2右3下4，下1右3下5，下1右1下1右2下4，下1右2下1右1下4，一共10种不同的移动方法， 故答案为：10． 类型七、平行的判定与性质——同位角 【解惑】若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． C、∵， ∴， ∵， ∴不平行于，原来的结论错误，符合题意． D、由可得，正确，不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．依据，可得，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，要得到，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可） 【答案】或或或（任选一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，涉及同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行等，根据图形，结合平行线的判定定理验证即可得到答案，熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：要得到，利用平行线的判定： ①同位角相等两直线平行，可填； ②内错角相等两直线平行，可填； ③同旁内角互补两直线平行，可填；； 故答案为：或或或（任选一个即可）． 3．如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法，是解题的关键． （1）根据角平分线的性质结合，推出，即可得出结论； （2）根据平行线的性质结合角平分线，推出，即可得出结论． 【详解】（1）解：平行，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 类型八、平行的判定与性质——内错角 【解惑】如图，在四边形中，为上一点，连接，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据平行线的判定与性质进行判断即可． 【详解】解：若，则，故A选项不符合题意； 若，则，故B选项不符合题意； 若，则，故C选项符合题意； 若，则，故D选项不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质：同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．由已知和邻补角互补易得，则，所以，再根据对顶角相等可得的度数，即可求出的度数． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 2．如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 【答案】 内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理结合图形，即可求解． 【详解】解：∵， ∴（内错角相等两直线平行） 故答案为：；内错角相等两直线平行（答案不唯一）． 3．如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 【答案】平角的定义；同角的补角相等；；角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，根据同角的补角相等，角平分线平分角，以及内错角相等，两直线平行，进行作答即可．掌握平行线的判定定理，是解题的关键． 【详解】证明：∶∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∵平分， ∴， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 类型九、平行的判定与性质——同旁内角 【解惑】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、， （内错角相等，两直线平行），不能判断，符合题意； B、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； C、， （同旁内角互补，两直线平行），能判断，不符合题意； D、， （内错角相等，两直线平行），能判断，不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题的关键．根据两直线平行同旁内角互补，同位角、内错角相等逐项判断即可． 【详解】解：A、和不是同位角，也不是内错角，所以不能判断，故A选项符合题意； B、和是内错角，根据内错角相等，两直线平行，所以能判断，故B选项不符合题意； C、和是同旁内角，所以能判断，故C选项不符合题意； D、和是同位角，所以能判断，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 3．已知：如图，，，．    (1)与平行吗？为什么？ (2)求：的度数． 【答案】(1)．理由见解析 (2) 【分析】（1）根据，可得，可以证出，由可得，即可得出结果； （2）根据可得，即可求得结果． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握相关知识是解题关键． 类型十、网格作图(含平行、垂直、平移) 【解惑】在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定： （1）利用平移思想，画出即可； （2）把绕C点顺时针旋转得到，则，然后把平移到，使点与点重合，； （3）把绕C点顺时针旋转得到，则； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； （4）∵，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质： （1）根据点A和点的位置可知平移方式为向左平移1个单位长度，向上平移3个单位长度，据此平移方式确定的位置，描出，再顺次连接即可； （2）先根据题意连线，再由平移的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：作图如下所示： 由平移的性质可得， 故答案为：，． 2．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)9 【分析】本题考查作图平移变换、三角形的中线，熟练掌握平移的性质、三角形的中线是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）取格点，连接即可． （3）利用割补法计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解： 如图， 的面积为． 故答案为：9． 3．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)， 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点F，E，D即可； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）利用平行线的性质解决问题． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）线段即为所求； （3）由平移变换的性质可知，， ，， 平分， ， ， 故答案为：， 【一览众山小】 1．下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了举例说明假（真）命题，熟练掌握说明一个命题是假命题的方法是解题的关键：满足命题条件，但不能得到命题的结论． 根据举例说明假（真）命题的方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A、是偶数，不是4的倍数，所以能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项符合题意； B、不是偶数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； C、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； D、是偶数，也是4的倍数，所以不能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，垂直的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得出，，进而得出，即可得到答案． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选： B． 3．如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的和差，直角和平角定义；根据角平分线定义得，可说明，判断①；再根据垂直定义知，进而得出，即可判断②；的度数不能确定的度数，解答③；最后根据平角定义得，再结合角平分线的定义说明④ 即可． 【详解】解：因为平分，， 所以． 当时， 即， 所以， 即． 故①正确； 当时，可得， 即． 因为， 即， 所以． 故②正确； 当时，， 不能确定的大小． 所以③不正确； 因为平分时， 所以． 因为， 所以， 即， 所以． 则④正确； 所以正确的结论是． 故选：B． 4．如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果，那么的度数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质定理，由平行线的性质可得，由于，结论可求． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 5．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同位角相等是解题关键． 根据两直线平行，同位角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．如图，在地球截面图中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，测得，则的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，垂线，关键是由平行线的性质推出． 由垂直的定义得到，由平角定义求出，由平行线的性质推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， 故答案为：． 7．如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 【答案】，过程见详解 【分析】本题考查了垂线的定义和对顶角的性质，熟练掌握是解答本题的关键．由对顶角相等得，进而得，由垂直定义得，代入计算． 【详解】解：，， ， 又，， ， ， ， 又， ． 8．已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 9．如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补是解题关键． （1）由两直线平行，同旁内角互补，得到，进而得出，即可证明结论； （2）由平行线的性质，得到，结合角平分线的定义，得出，即可得出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：75； （2），理由如下： ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线思维导图 【类型覆盖】 类型一、对顶角与邻补角 【解惑】如图，点O是直线上一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是折射现象（如图所示）．若，光线传播方向改变了，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点、、在一条直线上，且，如果平分，那么图中 3．已知直线和相交于点，射线于点，且，则的度数为 度． 类型二、点到直线的距离 【解惑】如图，，，垂足为，则点到直线的距离是指（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【融会贯通】 1．如图，，下列线段的长能表示点B到的距离的是（　　）    A． B． C． D． 2．点A是直线l外一点，点B 是直线l上一点，点A到l的距离为，则 ．(填“小于”“大于” “不小于”或“不大于”) 3．如图，，交于点，于，连接． （1）若，则 ； （2）若．，，那么点到直线的距离是 cm． 类型三、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】2024年香洲区举办了第六届风筝节．如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图当中的内错角一共有（   ）对 A．2 B．3 C．4 D．5 2．社会热点情境•滑雪）中国滑雪天才少女谷爱凌在北京冬奥会的赛场上斩获“自由式滑雪大跳台”首金，这是她获得的首个冬奥会奖牌，也是中国运动员第一次参加冬奥会大跳台的比赛．项目图标如图；则在下列判断中①与是对顶角；②与是同旁内角；③与是同旁内角；④与是内错角，其中正确的有 ．（只填序号） 3．如图，的同旁内角是 ，的内错角是 ． 类型四、平行公理 【解惑】下列说法中：①若，，则；②若与相交，与相交，则与相交；③相等的角是对顶角；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．不正确的有（   ）． A．①② B．②③ C．②③④ D．③④ 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角一定相等 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 D．互补的两个角是邻补角 2．如图，，则点P，C，Q在同一条直B线上．理由是 ． 3．如图，若，，则与的位置关系是 ．（填“平行”或“相交”）． 类型五、真假命题 【解惑】下列命题中，是真命题的是（   ） A．内错角相等 B．对顶角相等 C．若，则 D．两锐角之和一定是钝角 【融会贯通】 1．给出下列命题：①若，则；②锐角都相等；③一个角的补角大于这个角；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等．以上命题的逆命题是假命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的的值可以是 ．（写出一个即可） 3．“直角三角形的两锐角互余．”的逆命题是 ，它是 命题（填“真”或“假”） 类型六、图形的平移 【解惑】2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．在的方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个长方形，下面平移的方法中正确的是（   ） A．先向下平移2格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移2格 C．先向下平移2格，再向右平移3格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 2．如图，图②可看作由图①先左平移 个单位，再向上平移 个单位得到． 3．“俄罗斯方块”是一款风靡全球的经典游戏，某局游戏当前情况如图所示，若上端小正方形移动最短的距离后能形成消除，则共有 种不同的移动方法．    类型七、平行的判定与性质——同位角 【解惑】若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 【融会贯通】 1．已知，直线分别交、于点、，，将一个含有角的直角三角尺如图放置（角的顶点与H重合），则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，要得到，则需要的条件 ．（填一个你认为正确的条件即可） 3．如图，已知平分，平分，且． (1)与平行吗？ 为什么？ (2)请判断与的位置关系，并说明理由． 类型八、平行的判定与性质——内错角 【解惑】如图，在四边形中，为上一点，连接，下列结论中不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【融会贯通】 1．如图，已知，则等于（  ） A． B． C． D． 2．如图，要证，只需满足 ，根据是 ． 3．如图，点P在上，点G在上，已知，平分，交于点E，平分，请说明的理由． 解∶∵（已知） （______） ∴（_________） ∵平分， ∴______（_________） ∵平分， ∴_____， ∴（等量代换） ∴（_____） 类型九、平行的判定与性质——同旁内角 【解惑】如图，点在的延长线上，下列条件中不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，下列条件不能判定直线的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则的值为 . 3．已知：如图，，，．    (1)与平行吗？为什么？ (2)求：的度数． 类型十、网格作图(含平行、垂直、平移) 【解惑】在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【融会贯通】 1．如图，在边长为1的小正方形的网格纸中，三角形ABC的三个顶点如图所示，现将三角形平移，使点A平移至点． (1)在网格图中画出平移后的三角形；（点分别是的对应点）， (2)连接，则这两条线段的位置关系是 ，数量关系是 ．（保留画图的痕迹） 2．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用格点和三角尺画图： (1)补全； (2)请在边上找一点，使得线段平分的面积，在图上作出线段； (3)连接的面积为_________． 3．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【一览众山小】 1．下面四个值，能说明命题“对于任意偶数，都是4的倍数”是假命题的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，三条直线相交于点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线，相交于点，平分，设，，下列结论：①，则；②若，则；③若，则；④若平分．则，其中正确的结论是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 4．如图，已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，如果，那么的度数是 ． 5．如图，，直线l分别与，相交，若，则的度数为 ． 6．如图，在地球截面图中，分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线垂直，测得，则的大小为 ． 7．如图，直线 、 相交于点，，若，，求的度数． 8．已知直线和被直线所截． (1)如图①，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (2)如图②，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ (3)如图③，若平分，平分，则与满足什么条件时，？为什么？ 9．如图，点、、分别是的边、、上的点，连接，，且，． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图①所示的方式放置，使三角板的直角顶点E落在上，，且，则的大小为 度． （2）【探究】如图②，将图①一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，试说明． （3）【拓展】现将图①的三角板按图③方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，直接写出与之间的关系式． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$