7.4 平移 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

7.4 平移 一、平移的定义 平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移）。平移不改变物体的形状和大小。 二、平移的性质 1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。 巩固课内例1:平移作图 1．如图，在方格纸上，向右平移（    ）格后得到    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意直接根据平移的基本性质可得对应点间线段长度即为平移距离进行分析即可． 【详解】解：从图中看出，点B1与点B的距离为4格， 所以向右平移4格后得到． 故选：C． 【点睛】本题考查图形平移，注意掌握平移的基本性质即对应点间线段长度即为平移距离． 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 【答案】AB∥DE，AB=DE 【分析】根据网格结构找出平移后的点D、E、F的位置，然后解答即可． 【详解】解：△DEF如图所示， AB∥DE，AB=DE． 故答案为：AB∥DE，AB=DE． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 3．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 【答案】(1)图见详解 (2)2 【分析】本题主要考查了平移作图以及点到直线的距离． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据平移的性质结合网格即可得出答案． 【详解】（1）解：即为所求： （2）解：点A到的距离为2个单位长度， 故答案为：2． 类型一、生活中的平移 1．如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查学生对平移和旋转的认识，知道平移和旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小．平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．然后根据平移与旋转定义判断即可． 【详解】解：列四个图案中，可以通过右图平移得到的是：    故选：C． 2．“神舟七号”飞船升向天空时，属于 现象，当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于 现象．（填“旋转”或“平移” 【答案】 平移 旋转 【分析】本题主要考查生活中的平移现象．根据平移和旋转的定义即可作答． 【详解】解：“神舟七号”飞船升向天空时，属于平移现象， 当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于旋转现象． 故答案为：平移；旋转． 3．某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价为30元/m2，主楼梯宽2m，其侧面如图所示． （1）求这个地毯的长是多少？ （2）求这个地毯的面积是多少平方米？ （3）求购买地毯至少需要多少元钱？ 【答案】（1）8.4（m）；（2）16.8（平方米）；（3）504（元） 【分析】（1）地毯的长是AB+BC； （2）地毯的面积=地毯的长×宽； （3）地毯的价钱=面积×销售单价． 【详解】解：（1）地毯的长是：2.6+5.8=8.4（m）； （2）8.4×2=16.8（平方米）； （3）8.4×2×30=504（元）． 【点睛】此题考查生活中的平移现象，解题关键在于掌握运算公式. 类型二、图形中的平移 1．2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 2．（平移）如图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，“口”字能变成的象形汉字是图中的 ．（填序号） 【答案】① 【分析】本题考查平移，根据平移的性质求解． 【详解】解：②③④号需要旋转才能得到，只有①只需要平移就能得到， 故答案为：①． 3．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平移变换设计图案，根据火柴棒的根数与组成的正方形的个数确定有没有两个正方形公用的火柴棒，是解题的关键，此类题目需要同学们有设计与灵活变通的能力． （1）根据12个火柴棒平移后变成3个正方形，所以每一个小正方形需用4根火柴棒，即没有公用的火柴棒，平移左上角的两根到左下角，右上角的两根到右下角即可得到三个相同的小正方形；或平移左上角的两根到左下角，平移右下角的两根到右上角即可得到三个相同小正方形； （2）根据12个火柴棒平移后变成4个相同的正方形，平均每一个正方形用3根火柴棒，所以每一个正方形必须有两边是公用边，平移上边两根到最右边，左边两根到最下边组成田字形，即可得到四个相同的正方形． 【详解】解：如图1，平移4根变成三个相同的正方形； 如图2，平移4根变成相同的四个正方形． 类型一、利用平移的性质求长度 1．如图，将沿方向平移至处．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，解题的关键是掌握把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 根据平移的性质得到，再用得到的长，从而得到的长； 【详解】解：沿方向平移至处， ， ， ， ， ， 故选：C 2．如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】 本题主要考查了平移的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移中连接各组对应点的线段平行且相等． 根据平移的性质可得，然后利用线段的和差关系即可得出答案， 【详解】 解：由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 类型二、利用平移的性质求面积 1．如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（     ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，根据平移的性质，得到，，得到四边形是长方形，进而利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：∵将该三角尺沿着直尺边缘平移，使得移动到， ∴，，， ∴， ∴四边形是长方形， ∵点A对应直尺的刻度为7，点对应直尺的刻度为1， ∴， ∵， ∴四边形的面积是； 故选C． 2．把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了平移的性质，要明确平移前后图形的形状和面积不变．根据题意分类讨论，画出图形即可直观解答． 【详解】解：由题意可知：重叠部分的面积是，重叠部分的边长是2，另一边长是， 如图：当正方形在正方形右侧时，正方形移动的距离是， 当正方形在正方形左侧时，正方形移动的距离是， 故答案为：或． 3．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平移的性质： （1）由平移的性质可得，据此根据图形面积之积的关系可得； （2）由平移的性质可得，再根据长方形面积公式得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴将长方形平移，能使两长方形的重叠部分的面积是． 类型三、平移网格作图 1．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 【答案】D 【分析】此题考查了图形的平移，线段的位置及数量关系，根据平移的规律画出图形，即可得到答案，熟练掌握平移的性质是解题的关键 【详解】解：由平移可得把三角形先向右平移3格，再向上平移1格， ∴线段与线段的关系是平分且垂直， 故选：D 2．如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 【答案】2 【分析】利用平移的性质，结合图形，得出答案． 【详解】BC在AD的右上方两格处，线段BC是线段AD经过向右平移3格，再向上平移2格得到的. 故答案为2. 【点睛】本题考查的知识点是平移的性质，解题的关键是熟练的掌握平移的性质. 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 【答案】(1)图见解析，平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． (2) 【分析】本题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系． 【详解】（1）解：如图，即为所画， 平移方式：将先向右平移6个单位长度，再向下平移3个单位长度（或将先向下平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度）． （2）解：由平移的性质得，． 类型一、利用平移的性质解决应用 1．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了生活中的平移现象．根据平移，可得路的宽度，根据矩形的面积，可得答案． 【详解】解：∵小路的右边线向左平移就是它的左边线， 路的宽度是， 这块草地的绿地面积是平方米， 故选：D． 2．如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ． 【答案】880 【分析】本题考查了生活中的平移现象，解题的关键是求出草坪总面积的计算方法． 草坪的面积等于矩形的面积减去3条路的面积再加上重合部分的面积，由此计算即可． 【详解】解：由图知，草坪的面积矩形的面积3条路的面积重合部分的面积， 则六块草坪的总面积是：， 故答案为：880． 3．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 【答案】(1) (2)木木的方法正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间线段最短，平移的性质； （1）根据平行线间的线段相等，进而得出答案； （2）分别用两种方法求处于从到的路程，进行比较即可； （3）作图，，可以看作平移的结果，则，若设另在处架桥，同理可得，则＞，所以在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短． 【详解】（1）解：∵桥与河岸垂直， 根据平行线间的线段相等，则 （2）木木的方法正确，理由如下：            由平移性质知， 亮亮的方法，从到的路程为 木木的方法，从到的路程为     ， ， 木木的方法正确． （3）如图b．①作交于，．②把 平移至，连结 ，交于． ③作于 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                             理由：由作图，，可以看做 平移的结果， ， 若设另在 处架桥，同理可得，则， 在处建桥，使从村庄经桥到村庄的路程最短．                          类型二、平移的性质求阴影面积部分 1．如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】24平方厘米/ 【分析】本题考查了平移的性质，解决本题的关键是利用平移的性质得到阴影部分的边长． 阴影部分为长方形，根据平移的性质可得阴影部分是长为6，宽为4，让长乘宽即为阴影部分的面积． 【详解】解：∵边长为的正方形先向上平移， ∴阴影部分的长为(厘米)， ∵向右平移， ∴阴影部分的宽为(厘米)， ∴阴影部分的面积为(平方厘米)． 故答案为：24平方厘米． 3．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 类型三、平行线中的平移 1．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，．下列结论：①；②；③；④；⑤阴影部分的面积为13．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】利用平移的性质，可得出、等结论，对选项逐一进行检验即可． 【详解】解：点E在上，且，则，①正确； 由平移的性质知，，即， ∴，②正确； 由已知条件无法推得，③错误； 由平移性质知， ∴，④正确； 由于， ∴， ∵，由平移性质知，， ∴ 即阴影部分的面积为13．⑤正确． 因此，正确的有①②④⑤，共有4个． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形平移的性质，解题的关键是分清楚平移的哪些线段相等，哪些线段平行，哪些图形与原来图形全等． 2．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，． （1）比较大小： ．（填“”或“”或“”） （2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角板中的角度计算，利用所学知识找出角度之间的数量关系是解题关键． （1）过点作，过点作，根据两直线平行，内错角相等，得到，，，，再结合，，即可比较大小； （2）分两种情况讨论：当三角板平移至三角板右侧时和当三角板平移至三角板左侧时，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，过点作， ， ，， ，，，， ，， ，， ， 故答案为： （2）在三角板中，，， ， 如图，当三角板平移至三角板右侧时， ， ， ， ， ，， 平分， ， ，即； 如图，当三角板平移至三角板左侧时， ， ， ， ， ，， 平分， ， ，即， 故答案为：或 3．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为； (3)； (4)绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行．． 【分析】本题考查了平行线性质、平行公理推论、角平分线的定义、旋转的定义，解题的关键是利用平行线性质添加辅助线，对于第（4）题的解答要注意分情况讨论． （1）利用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）过点作，利用平行线性质即可求得答案； （3）分别过点，作，，利用平行线性质和角平分线定义即可得出答案； （4）分三种情况分析：①当时，②当时，③当时，分别作出相应图形辅助线，结合平行线的性质及一元一次方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：如图，过点作， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：如图，分别过点，作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵和的角平分线、相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （4）解：设旋转时间为t秒， 由题意得每秒转，旋转时间为秒， 分三种情况： ①当时，如图，此时， ∴， ∴， 解得：；                                                  ②当时，如图，     ∴， ∴， ∴， 解得：；                                             ③当时，如图，延长交于K，延长交于R，     ∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：．                                                 综上所述：绕点A顺时针旋转的时间为或或时，线段与的一条边平行． 1．下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，理解平移的性质以及图形平移前后的位置和大小变化的规律是正确判断的关键．根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．选项A中的两个图形可以通过平移得到，因此选项A符合题意； B．选项B中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项B不符合题意； C．选项C中的两个图形不可以通过平移得到，因此选项C不符合题意； D．选项D中的两个图形，改变了图形的大小，而平移不改变图形的大小和形状，因此选项D不符合题意； 故选：A． 2．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 3．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质，难度不大． 利用平移性质、平行线的判定、点到直线的距离及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①点到直线的距离是指点到直线的垂线段的长度，故①错误； ②两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故②错误； ③根据平移的特性，可知③正确； ④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误； ⑤对顶角相等，故正确； ⑥在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故⑥错误． 故选：B． 4．如图，将周长为8厘米的沿射线方向平移1厘米得到，那么四边形的周长为 厘米． 【答案】10 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．利用平移的性质得到，，然后根据可计算出四边形的周长． 【详解】解：沿射线方向平移1厘米得到， ，， ∵周长为8厘米的， ∴， ． 即四边形的周长为厘米． 故答案为：10． 5．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】2.5/ 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 6．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查数轴表示的意义，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键，注意分类讨论，不要漏解．分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，得出点表示的数． 【详解】解：∵长方形的面积为24，边长为4， ∴，点对应的数是6， ∵移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为12， ∴阴影部分的面积为12， ，， 如图1，当长方形向左平移时，即， ∴， ∴表示的数为3， 如图2，当长方形向右平移时，即， 解得：， ∴， ∴ ∴表示的数为9， 故答案为：3或9． 7．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F． (1)画出平移后的（保留作图痕迹）； (2)线段、之间位置及数量关系是 ； 【答案】(1)图见详解 (2)平行且相等 【分析】(1)由点A和点D的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B，C点平移后的对应点E，F，最后顺次连接D，E，F三点即可； (2)根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出，． 【详解】（1）解：如图， 即为所作； （2）解：如图，由平移的性质即可得出，，． 故答案为：平行且相等． 8．如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 9．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 10．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 【答案】感知：；探究：，理由见解析；应用： 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，角平分线的定义： 感知：过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，据此可得，再代值计算即可； 探究：仿照感知方法求解即可； 应用：由平移的性质得到，再由角平分线的定义得到，，根据探究的结论证明 证明，再根据，可得结论． 【详解】解：感知：如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； 探究：，理由如下： 如图所示，过点E作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 应用：由平移的性质可得， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.4 平移 一、平移的定义 平移是指在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换（简称平移）。平移不改变物体的形状和大小。 二、平移的性质 1.把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。 2.新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点。连接各组对应点的线段平行且相等。 巩固课内例1:平移作图 1．如图，在方格纸上，向右平移（    ）格后得到    A． B． C． D． 2．作图题：将如图的三角形先水平向右平移4格，再竖直向下平移4格得到三角形．观察线段与的关系是_____． 3．在网格中的位置如图所示，网格中每个小方格的边长为1个单位长度，请根据下列提示作图 (1)将向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到， 画出． (2)点A到的距离为 个单位长度． 类型一、生活中的平移 1．如图是运动员冰面上表演的图案，下列四个选项中，能由原图通过平移得到的是（  ） A． B． C． D． 2．“神舟七号”飞船升向天空时，属于 现象，当它进入预定的轨道，绕地球飞行时，属于 现象．（填“旋转”或“平移” 3．某宾馆重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红地毯，已知这种地毯售价为30元/m2，主楼梯宽2m，其侧面如图所示． （1）求这个地毯的长是多少？ （2）求这个地毯的面积是多少平方米？ （3）求购买地毯至少需要多少元钱？ 类型二、图形中的平移 1．2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（平移）如图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，“口”字能变成的象形汉字是图中的 ．（填序号） 3．如图，12根火柴棒拼成一个“井”字形，请你想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成三个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）；请你再想一想，能否只平行移动其中的4根火柴棒，使原图形变成四个相同的正方形（同一根火柴棒只能移动一次，且没有火柴棒剩余）．对能移动的请作出图形． 类型一、利用平移的性质求长度 1．如图，将沿方向平移至处．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 3．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 类型二、利用平移的性质求面积 1．如图，现有一把直尺和一块自制三角形纸片，其中 点A对应直尺的刻度为7，将该三角形纸片沿着直尺边缘平移，使得三角形移动到三角形的位置，点对应直尺的刻度为1，连接则四边形的面积是（     ） A．12 B．18 C．24 D．36 2．把边长分别为4和2的两个正方形、如图放置，把正方形沿着水平方向向左平移，正方形固定不动，当两个正方形重叠部分的面积为正方形面积的时，此时平移的距离是 ． 3．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 类型三、平移网格作图 1．如图，在正方形网格中，如果把三角形的顶点C先向右平移3格，再向上平移1格到达点，连接，则线段与线段的关系是（    ） A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直 2．如图，线段BC是由线段AD经过向右平移3格，再向上平移 格得到 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．已知，点D为边上一点，在方格纸内将经过两次平移后得到，图中标出了平移后点D的对应点． (1)画出平移后的并写出平移方式； (2)写出与的位置和数量关系． 类型一、利用平移的性质解决应用 1．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的右边线向左平移就是它的左边线，则这块草地的绿地面积是（    ）（单位：） A． B． C． D． 2．如图，有一块长为、宽为的长方形草坪，其中有三条直道将草坪分为六块，则六块草坪的面积和为 ． 3．图1表示一条两岸彼此平行的河，直线表示河的两岸，且，现要在这条河上建一座桥(桥与河岸垂直)，“桥”用线段表示． (1)如图1，在河岸、两点建两座桥、，则和的大小为； (2)如图2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短? 亮亮的方法是：作交于，两点，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短； 木木的方法是：作交于，两点，把线段平移至，在处建桥能使从游乐场经过桥到河对岸的路程最短． 你认为谁的方法正确？并说明理由． (3)如图3，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄经桥过河到村庄的路程最短?画出示意图，并用平移的原理说明理由． 类型二、平移的性质求阴影面积部分 1．如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 2．如图，边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 3．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 类型三、平行线中的平移 1．如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，．下列结论：①；②；③；④；⑤阴影部分的面积为13．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．某小组开展平行线性质探究时将一副三角板按图1方式放在两条平行线、之间，其中点E、F在直线上，点H、N在直线上，，，．记，，，． （1）比较大小： ．（填“”或“”或“”） （2）如图2，的平分线交直线于点P，记，．现保持三角板不动，将三角板从如图位置向左平移，若在运动过程中与始终平行，与满足的数量关系为 ． 3．如图，直线，一副直角三角板，中，，，，，． (1)若如图1摆放，当平分时，证明：平分． (2)若，如图2摆放时，求的度数． (3)若图2中固定．将沿着方向平移，边与直线相交于点G，作和的角平分线相交于点H（如图3），求的度数． (4)若图2中固定，（如图4）将绕点A顺时针旋转，每秒旋转，旋转至与直线首次重合的过程中，当线段与的一条边平行时，请求出旋转的时间． 1．下列图形中，能将其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　） A． B． C． D． 2．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 3．下列命题中：①点到直线的距离是指这点到直线的垂线段； ②两直线被第三条直线所截，同位角相等； ③平移时，连接对应点的线段平行且相等； ④在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤对顶角相等； ⑥过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中真命题的个数为（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，将周长为8厘米的沿射线方向平移1厘米得到，那么四边形的周长为 厘米． 5．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 6．如图，矩形的边在数轴上，O为原点， 矩形的面积为24， 的边长为4，将此矩形沿数轴水平移动，移动后的矩形记为，矩形与原矩形重叠部分的面积为 12，则点表示的数为 ． 7．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点A平移到点D的位置，B、C点平移后的对应点分别是E、F． (1)画出平移后的（保留作图痕迹）； (2)线段、之间位置及数量关系是 ； 8．如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 9．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 10．如图，已知，点E在直线之间，连接． 【感知】如图1，若，则 ； 【探究】如图2，猜想和之间的数量关系，并说明理由： 【应用】如图3，若平分，将线段沿方向平移至，若，平分，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$