7.3 定义、命题、定理 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

7.3 定义、命题、定理 一、定义 定义是对某一概念或事物的本质特征或属性的具体描述。在数学中，我们经常需要明确某些概念或符号的含义，这就是定义的作用。 二、命题 1、命题的概念：判断一件事情的语句叫作命题。例如，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”就是一个命题。 2、命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。 3、真命题与假命题：如果题设成立时，结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。反之，如果题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。 三、定理 1、定理的概念：正确性经过推理证实的真命题叫作定理。 2、定理的证明：证明一个定理，就是按照一定的推理规则，从已知条件（包括定义、已知定理等）出发，推导出结论的过程。 巩固课内例1:真假命题 1．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，，则 D．对顶角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题与逆命题、真命题与假命题：判断事物的语句叫命题；题设与结论互换的两个命题互为逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．解决本题的关键是分别写出这四个命题的逆命题，再判断逆命题的真假． 【详解】解：A选项：命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是“三个内角都相等的的三角形是等边三角形”，逆命题为真命题，故A选项符合题意； B选项：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，对应角相等的三角形可能是相似三角形，不一定是全等三角形，所以这个逆命题是假命题，故B选项不符合题意； C选项：命题“，，则”的逆命题是“若，则，”，当时，有可能是、异号并且正数的绝对值大，所以这个逆命题是假命题，故C选项不符合题意； D选项：命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，两个角相等不一定是对顶角，所以这个逆命题是假命题，故D选项不符合题意． 故选：A． 2．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题考查命题真假的判断，写逆命题；先写出命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解：命题“如果，，那么”的逆命题是：如果，那么，； 当，那么，或，； 故逆命题错误； 故答案为：假． 3．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 【答案】 甲 c，d 【分析】本题考查了逻辑推理，关键是明确最后一个将球取完的人获胜． （1）由取法可知，余下两个相邻，根据规则即可判断结果； （2）根据规则可知，要想自己获胜必须保证自己倒数第二次时，最后余下2个不相邻的球，由此设计方案即可． 【详解】解：（1）∵甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，剩下a， ，，d，e，f， ，， 接着甲又取走两个球，它们是d，e，或e，f，只剩下a，，f或a，，d， ∵它们不相邻， ∴乙只能拿走一个，故甲拿走最后一个，故甲胜； 枚答案为：甲； （2）∵甲首次取走g，h二个球，还剩下a，b，c，d，e，f，， 乙取c，d，余下a，b，，，e，f，， 此时甲取a，b或e，f，余下两个相邻，乙可取完，乙胜； 若甲取a或b，那么乙取e或f，那么剩下两个不相邻，则乙胜； 若甲取e或f，那么乙取a或b，那么剩下2个球不相邻，则乙胜； 因此，乙一定要获胜，那么它首次取c，d， 故答案为：c，d． 巩固课内例2:证明的依据 1．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系即可得到答案. 【详解】解：如图，    根据两点之间线段最短，即可判断：， ∴三角形的任意两边之和大于第三边； 故选A. 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟记性质. 2．如图所示，，那么 ，依据是 ． 【答案】 ， 同角的余角相等 【分析】由∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°，即可得到∠AOC=∠BOD. 【详解】解：∵， ∴∠AOC+∠BOC=90°，∠BOD+∠BOC=90°， 根据同角的余角相等， ∴∠AOC=∠BOD； 故答案为，同角的余角相等. 【点睛】本题考查了同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握定理. 3．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 【答案】(1)逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线是真命题． (2)逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5是真命题 【分析】本题考查了真假命题及互逆命题的定义，解题的关键是理解命题、逆命题、否命题和逆否命题的定义及其性质； 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先写个逆命题然后判断它的真假． 【详解】（1）逆命题：在同一平面内，如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线， 判断：根据平行线的性质，如果两条直线在同一平面内平行，那么它们与第三条直线的夹角是相等的．若这两条平行线都与第三条直线垂直，则它们与第三条直线的夹角都是，满足条件．因此，逆命题是真命题． （2）逆命题：能被5整除的整数，其末位数是0或5， 判断：根据整数的性质，一个整数如果能被5整除，那么它的末位数只能是0或5，因此逆命题是真命题． 类型一、命题的定义 1．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，正确记忆判断事物的语句叫命题是解题关键．根据命题的定义分别进行判断即可． 【详解】解：、对顶角相等是命题，故本选项不符合题意； 、同旁内角互补是命题，故本选项不符合题意； 、垂线段最短是命题，故本选项不符合题意； 、在线段上取点C，使为描述性语言，不是命题，故本选项符合题意； 故选：． 2．“过一点作已知直线的平行线”这句话 命题．（选填“是”或“不是”） 【答案】不是 【分析】根据命题的定义即可判断． 【详解】解：“过一点作已知直线的平行线”没有对一件事情作出判断，不是一个命题， 故答案为：不是． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题的定义，即判断一件事情的语句叫命题． 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 类型二、真命题和假命题 1．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．分别根据平行线的判定、数轴、两点之间线段最短对各小题进行逐一分析即可． 【详解】解：①数轴上的点与实数一一对应，原命题是假命题； ②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题； ③两点之间，线段最短，是真命题； 综上分析可知，是假命题的有1个， 故选：B． 2．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．根据直角的定义对①进行判断；根据有理数的性质对②进行判断；根据补角的定义对③进行判断． 【详解】解：直角都相等，所以①正确； 若且，则，所以②正确； 一个角的补角不一定大于这个角，所以③错误． 故答案为①②． 3．下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 类型三、逆命题 1．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了命题，分别写出原命题的逆命题，再进行判断真假即可求解，掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：、原命题的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么两个实数相等，是假命题； 、原命题的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，是真命题； 、原命题的逆命题是如果两个角相等，那么两个角是直角，是假命题； 、原命题的逆命题是锐角三角形是等边三角形，是假命题； 故选：． 2．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 【答案】如果，那么 【分析】本题考查的是命题与定理，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而求出答案． 【详解】解：命题“如果|，那么”的逆命题是：如果，那么． 故答案为：如果，那么． 3．如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是，见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定和性质，命题的真假，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据平行线的性质，得到，，再结合角平分线的定义，得出，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． （2）解：所得命题是真命题； ①选择命题：若是的平分线，，，则是的平分线． 证明：∵，， ∴，． ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴是的平分线． ②选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． 证明：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； ③选择命题：若是的平分线，是的平分线，，则． ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 类型四、定理与证明 1．下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查了命题、定理、真命题与假命题．根据命题的定义、真命题与假命题的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、基本事实可以作为定理的前提条件或基础,定理可以基于基本事实进行推导和证明，定理可以进一步解释和揭示基本事实之间的关系,或从基本事实中得出更深入的结论定理，不一定可以推导出基本事实，故原说法错误，不符合题意； B、定理都是真命题，正确，符合题意； C、定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，原说法错误，不符合题意； D、基本事实是真命题，原说法错误，不符合题意． 故选：B． 2．定理1：同角（等角）的补角 ；定理2：同角（等角）的余角 ；定理3：三角形的任意两边之和 第三边；定理4：对顶角 ． 【答案】 相等 ， 相等 ， 大于 ， 相等 【分析】根据余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，即可得到答案. 【详解】解：定理1：同角（等角）的补角相等； 定理2：同角（等角）的余角相等； 定理3：三角形的任意两边之和大于第三边； 定理4：对顶角相等； 故答案为相等；相等；大于；相等； 【点睛】本题考查了余补角性质定理，三角形的三边关系，对顶角定理，解题的关键是熟练掌握课本的性质定理. 3．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；正确 (2)对应角相等的三角形全等；不正确 【分析】本题考查了原命题与逆命题，以及判断命题的真假，将原命题的题设与结论互换，即可得到原命题的逆命题，继而利用定理判断命题的真假即可． 【详解】（1）解：逆命题为：两直线平行，同旁内角互补， 根据平行线的性质定理即可判断这是真命题； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补，正确； （2）逆命题为：对应角相等的三角形全等， 根据全等三角形的判定定理可知这是假命题， 故答案为：对应角相等的三角形全等，不正确； 类型一、反例 1．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查举反例判断命题的真假，正确理解题意是解题关键．根据题意找出条件符合题意，但是结论相反的选项，即可求解． 【详解】解：A. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； B. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意； C. ，，则，，能说明原命题属于假命题，故该选项符合题意； D. ，，则，，不能说明原命题属于假命题，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的c的值可以是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：， ，则， 命题“若，则”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 3．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 【答案】A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 【详解】试题分析：根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答． 试题解析：解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个． 类型二、题设与结论 1．下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②是否正确，根据命题的真假的判定方法可以判定③是否正确，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式，故①正确； 该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确； 互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误， 综上所述判断正确的为：①②，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键． 2．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 3．（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．    【答案】（1）①假命题，见解析；②真命题；（2）见解析 【分析】本题考查的是真假命题的判断，画已知直线的垂线，掌握判断命题真假的方法与熟练的利用工具画已知直线的垂线是解本题的关键． （1）①举反例判断两个锐角的和是锐角是假命题即可，②根据0的特点可判断； （2）利用三角板或其他含有直角的工具画图即可． 【详解】解：（1）①假命题， 反例：，但，是钝角， ②真命题． （2）如图，，即为所求． ． 类型三、互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 2．定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 3．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 类型一、以几何为背景的推论 1．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 【答案】 【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图形，即可得出结论． 【详解】解：结合题表中前两个图可以看出：b代表正方形； 结合后两个图可以看出：d代表圆； 因此a代表线段，c代表三角形， 所以图形的连接方式为：. 故答案为. 【点睛】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观察图形确定a，b，c，d各代表什么图形． 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 类型二、以代数为背景的推论 1．甲、乙、丙、丁四个篮球队进行小组单循环比赛（每两队都要比赛一场），结果甲队胜了乙队，并且甲、丙、丁胜的场数相同，则这三队各胜的场数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】四个人共有6场比赛，由于甲、丙、丁三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场，由此进行分析即可． 【详解】解：四个人共有6场比赛，由于甲、丙、丁三人胜的场数相同， 所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场； 若甲只胜1场，这时丙、丁各胜1场，说明乙胜3场，这与甲胜乙矛盾， 所以甲只能是胜2场， 即：甲、丙、丁各胜2场，此时乙3场全败，也就是胜0场． 故选：C． 【点睛】本题是推理论证题目，解答本题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可能性，继而分析即可． 2．暑假里，音乐王老师接到排练大合唱的通知，她用打电话的方式通知40名成员，如果每通知一人需1分钟，至少 分钟后可通知到所有的成员． 【答案】6 【分析】题目主要考查推理结论，理解题意，根据题意分别得出某一分钟最多可通知的队员人数是解题关键． 【详解】解：第1分钟通知到1个队员， 第2分钟最多可通知到3个队员， 第3分钟最多可通知到7个队员， 第4分钟最多可通知到15个队员， 第5分钟最多可通知到31个队员， 第6分钟最多可通知到63个队员， 故答案为：6． 3．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 【答案】都不对，见解析. 【分析】根据点C在线段AB上与在线段AB外两种情况进行讨论． 【详解】解：都不对.理由如下： 当点C在AB之间时，如图1所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB-BC=6-2=4，即t=4． 当点C在AB外时，如图2所示， ∵AB=6，BC=2， ∴AC=AB+BC=6+2=8，即t=8． 综上所述，t=4或t=8． 故他们的说法都不对. 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 类型三、逻辑推理 1．某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 【答案】C 【分析】本题考查数学逻辑的知识，解题的关键是掌握数学逻辑推理．根据点菜规则，依次对各选项分析即可． 【详解】解：A、∵不能同时点M和N， ∴选项A不符合点菜规则； B、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需要点R， ∴选项B不符合点菜规则； C、∵如果点了P，就要点Q或R，在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴选项C符合点菜规则； D、∵在Q和S中必须点一个，且只能点一个， ∴还需点S． ∴选项D不符合点菜规则； 故选：C． 2．张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果： 王说：“丁队得冠军，乙队得亚军”；李说：“甲队得亚军，丙队得第四”； 张说：“丙队得第三，丁队得亚军”． 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ． 【答案】丁 【分析】本题考查了学生的逻辑思维能力及推理论证能力，解题的关键是假设某种情况成立，然后进行推理论证即可．根据张、王、李三人对比赛的预测结果和他们都预测对了一半，通过假设他们其中一句是正确的，分析排除错误的判断，从而得到正确的结论． 【详解】解：因为三人都只猜对了一半， ①当王预测的丁队得冠军正确时候，则乙得亚军错误， 张预测的丁队得亚军错误，而其预测的丙对得第三正确， 则李预测的丙队得第四错误，甲队得亚军正确， 此时的正确排名是：丁、甲、丙、乙； ②当王预测的乙队得亚军正确时候，则丁队得冠军错误， 张预测的丁队得亚军错误，则丙队得第三正确， 李预测的丙对得第四错误，则甲队得亚军正确， 这与乙队得亚军矛盾，故这种假设错误． 故答案为：丁． 3．当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 【答案】不正确． 【分析】根据题意设特殊值即可证明结论错误. 【详解】不正确．当时，． 【点睛】本题考查了演绎证明，通过取特殊值证明结论是否正确是常用的解题方法，需要掌握. 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 2．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了举反例说明一个命题是假命题，所举的反例要满足命题的条件，但是不能满足命题的结论，解决本题的关键是判断每一个例子是否满足命题的条件，并且不满足命题的结论． 【详解】解：A选项：当，时，，，，可以说明“若，则．”是假命题，故A选项符合题意； B选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故B选项不符合题意； C选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故C选项不符合题意； D选项：当，时，，，，不能说明“若，则．”是假命题，故D选项不符合题意． 故选：A． 3．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．” 如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，闯祸的人是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题主要考查了推理与证明等知识点，本题的“果”是“四人中只有一人说了实话”，故分别假设一人说真话，再推出其他人是否同时说真话，从而推出矛盾，排除情形，得到正确的结论即可，读懂题意，合理假设是解决此题的关键． 【详解】分三种情况进行讨论， ①若甲真，则乙假，丙真，丁真，这种情况下，三人说了实话，显然与条件不符； ②若甲假，乙真，则丙假，丁真，这种情况下，两人说了实话，显然与条件不符； ③若甲假，乙假，则丙真，丁假，这种情况下，只有丙说了实话，符合题目给出的条件； 由于丁说了假话，因此闯祸的人一定是丁， 答案：D． 4．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是： (写出一个即可) 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查命题与定理，解题的关键是学会举例说明是假命题，答案不唯一，只要满足的数即可，如． 【详解】解：时，， ∴“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 5．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题和定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 根据绝对值的性质、有理数的大小比较法则解答即可． 【详解】解：当时，， 说明命题“对于任何实数”是假命题， 故答案为：（答案不唯一）． 6．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 【答案】参观团只能去C、D两地 【分析】本题主要考查了逻辑推理，由②可知，当去E时，则由⑤可知必须去A、D，则由①④可知必须去B、C，则与③矛盾，则不去E，一定要去D，再由④可知，要去D，由③可知不去B，由①可知不去A，据此可得答案． 【详解】解：由②D、E两地至少去一处可知，若去E地，则由⑤知，必须去A、D两地，由①和④知必须去B、C两地，但与③矛盾， ∴不能去E地， ∴必须去D地 ∴由④知必须去C地，再由③知，不能去B地， ∴由①知也不能去A地，由⑤知也不能去E地， 故该参观团只能去C、D两地． 7．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写出命题的题设与结论，正确理解命题内容即可. （1）根据命题内容即可求解； （2）根据命题内容即可求解； 【详解】（1）解：如果一个三角形中有两个角为，那么这个三角形是等边三角形． 题设：一个三角形中有两个角为； 结论：这个三角形是等边三角形． （2）解：如果两个数是连续的偶数，那么这两个数相差2． 题设：两个数是连续的偶数； 结论：这两个数相差2． 8．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了写逆命题，判断命题的真假及举反例等知识，理解这些知识是关键； （1）交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断是真命题即可； （2）先改写成：“如果……，那么……”的形式，再交换命题的条件与结论便得到其逆命题，判断真假，若是假命题，则举出符合命题条件，但不符合命题结论的例子即可． 【详解】（1）解：逆命题：如果一条线段是一个三角形的中线，那么这条线段把这个三角形分成两个面积相等的三角形；是真命题； （2）解：原命题：如果两个角是对顶角，那么这两个角有公共顶点且相等； 逆命题：如果两个角有公共顶点且相等，那么这两个角是对顶角； 是假命题． 反例如下：如图：，且共顶点O，但这两个角不是对顶角； 9．（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）真命题，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，真假命题，关键找准判定两直线平行的条件和两直线平行的性质运用． （1）根据平行线的性质证明，，等量代换可证； （2）根据平行线的性质证明，等量代换可证，从而可证，然后根据平行线的性质可证所得的命题是真命题． 【详解】解：（1）， ． ，， ， ， ； （2）是真命题，理由： ， ． ， ， ． ， ． 10．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 4 乙 3 丙 2 丁 （1）则甲同学错的是第 题； （2）丁同学的得分是 ； （3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）． 【答案】（1）5；（2）3；（3）A 【分析】(1)分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙,丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论; (2) 分甲从第1题到第5题依次错一道,进而得出其余四道的正确选项,再根据乙丙的选项和得分判断,进而得出甲具体选错的题号,即可得出结论． (3)由（1）先得出五道题的正确选项,然后留一个正确,其他都错误即可得出结论． 【详解】解:（1）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对, 针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的, 针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为5; （2）当甲选错了第1题,那么,其余四道全对, 针对于乙来看,第1,3,5道错了,做对两道,此时,得分为2,而乙得分3,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错了第2题,那么其余四道全对, 针对于乙来看,第2,3,5道错了,做对2道,此时,得分为2分,而乙得分3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第3题时,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第5道错了,而乙的得分是3分,所以,乙只能做对3道,即:第3题乙也选错,即:第3题的选项C正确, 针对于丙来看,第1题错了,做对4道,此时,丙的得分为4分,而丙的得分为2分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第4题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3,4,5道错了,做对了2道,此时,得分2分,而乙的得分为3分,所以,此种情况不符合题意, 当甲选错第5题,那么其余四道都对, 针对于乙来看,第3道错了,而乙的得分为3分,所以,乙只能做对3道,所以,乙第5题也错了,所以,第5题的选项A是正确的, 针对于丙来看,第1,3,5题错了,做对了2道,得分2分, 针对于丁来看,第1，3题错了,做对了3道,得分3分, 故答案为3; （3）由（1）知,五道题的正确选项分别是:CCABA, 如果有一个同学得了1分,那么,只选对1道, 即:他的答案可能是CACCC或CBCCC或CABAB或BBBBB等, 故答案为:CACCC或BBBBB（答案不唯一）. 【点睛】本题主要考查是推理与论证问题和分类讨论的思想,确定出甲选错的题号是解本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.3 定义、命题、定理 一、定义 定义是对某一概念或事物的本质特征或属性的具体描述。在数学中，我们经常需要明确某些概念或符号的含义，这就是定义的作用。 二、命题 1、命题的概念：判断一件事情的语句叫作命题。例如，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”就是一个命题。 2、命题的组成：每个命题都是题设、结论两部分组成。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题常写成“如果……，那么……”的形式。 3、真命题与假命题：如果题设成立时，结论一定成立，那么这样的命题叫作真命题。反之，如果题设成立时，不能保证结论一定成立，那么这样的命题叫作假命题。 三、定理 1、定理的概念：正确性经过推理证实的真命题叫作定理。 2、定理的证明：证明一个定理，就是按照一定的推理规则，从已知条件（包括定义、已知定理等）出发，推导出结论的过程。 巩固课内例1:真假命题 1．下列各命题的逆命题是真命题的是（ ） A．等边三角形的三个内角都相等 B．全等三角形的对应角相等 C．若，，则 D．对顶角相等 2．“如果，，那么”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”） 3．如图，在8个格子中依次放着分别写有字母a～h的小球．    甲、乙两人轮流从中取走小球，规则如下： ①每人首次取球时，只能取走2个或3个球：后续每次可取走1个，2个或3个球； ②取走2个或3个球时，必须从相邻的格子中取走； ③最后一个将球取完的人获胜． （1）若甲首次取走写有b，c的两个球，乙又取走g，h两个球，接着甲又取走两个球，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜； （2）若甲首次取走写有g，h的两个球，乙想要一定获胜，则乙首次取球的方案是 ． 巩固课内例2:证明的依据 1．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（    ） A．两点之间线段最短 B．边边边公理 C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短 2．如图所示，，那么 ，依据是 ． 3．写出下列命题的逆命题，并判断真假． (1)在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行； (2)末位数是0或5的整数能被5整除． 类型一、命题的定义 1．下列语句不是命题的是（   ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．在线段上取点C，使 2．“过一点作已知直线的平行线”这句话 命题．（选填“是”或“不是”） 3．补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 类型二、真命题和假命题 1．给出下列命题：①数轴上的点与有理数一一对应；②同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；③两点之间，线段最短．其中是假命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．给出下列命题：①直角都相等；②若且，则；③一个角的补角大于这个角．其中为真命题的有 ．（填写序号） 3．下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 类型三、逆命题 1．下列命题的逆命题成立的是（   ） A．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 B．全等三角形的对应边相等 C．如果两个角是直角，那么它们相等 D．等边三角形是锐角三角形 2．请写出命题“如果，那么．”的逆命题是 3．如图，在中，是的平分线，，，交于点． (1)求证：是的平分线． (2)若将“是的平分线”与“是的平分线”，“”或“”中的任一条件交换，所得命题是真命题吗？若是，请选择一个证明；若不是，请说明理由． 类型四、定理与证明 1．下列说法正确的是（    ） A．定理可以推导出基本事实 B．定理都是真命题 C．定理和基本事实都不需要证明 D．基本事实不一定是真命题 2．定理1：同角（等角）的补角 ；定理2：同角（等角）的余角 ；定理3：三角形的任意两边之和 第三边；定理4：对顶角 ． 3．写出下列命题的逆命题，并在后面的括号里判断逆命题是否正确． (1)同旁内角互补，两直线平行； ________（_________） (2)全等三角形的对应角相等． _______（_______） 类型一、反例 1．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．说明命题“若，则”是假命题的一个反例的c的值可以是 ． 3．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应． 类型二、题设与结论 1．下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有（    ） ①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式； ②该命题的条件是两个角互为补角； ③该命题是真命题 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 3．（1）判断下列命题是真命题还是假命题？如果是假命题，请举一反例． ①两个锐角的和是锐角； ②0既不是正数，也不是负数． （2）如图，已知钝角，点在射线上，画直线及，垂足为．    类型三、互逆定理 1．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 2．定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 3．如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 类型一、以几何为背景的推论 1．最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 2．字母a，b，c，d各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形的连接方式为 . 组合 连接 3．按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 类型二、以代数为背景的推论 1．甲、乙、丙、丁四个篮球队进行小组单循环比赛（每两队都要比赛一场），结果甲队胜了乙队，并且甲、丙、丁胜的场数相同，则这三队各胜的场数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．暑假里，音乐王老师接到排练大合唱的通知，她用打电话的方式通知40名成员，如果每通知一人需1分钟，至少 分钟后可通知到所有的成员． 3．已知线段，线段，线段，小明认为，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 类型三、逻辑推理 1．某餐馆有M、N、P、Q、R等特色菜，因人手不足和食材调配原因，顾客需根据如下规则点菜： ①不能同时点M和N； ②如果点了P，就要点Q或R； ③在Q和S中必须点一个，且只能点一个． 则以下组合中，符合点菜规则的是（　　） A．Q、M、N B．S、N、P C．P、N、Q D．M、P、R 2．张、王、李三人预测甲、乙、丙、丁四个队参加足球比赛的结果： 王说：“丁队得冠军，乙队得亚军”；李说：“甲队得亚军，丙队得第四”； 张说：“丙队得第三，丁队得亚军”． 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 ． 3．当，时，有； 当，时，有； 当，时，有； 当，时，有． 得出结论：、为任何数时，． 这个结论正确吗？ 1．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 2．对于命题“若，则．”能说明它属于假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 3．甲、乙、丙、丁四个小朋友在院里玩球，忽听“砰”的一声，球击中了李大爷家的窗户．李大爷跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打裂了．李大爷问：“是谁闯的祸？” 甲说：“是乙不小心闯的祸．”乙说：“是丙闯的祸．”丙说：“乙说的不是实话．”丁说：“反正不是我闯的祸．” 如果这四个小朋友中只有一个人说了实话，请你帮李大爷判断一下，闯祸的人是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是： (写出一个即可) 5．判断命题“对于任何实数a，都有”是假命题，只需举一个反例，反例中a的可以是 （填写一个符合条件的a的值）． 6．某参观团依据下列约束条件，从A、B、C、D、E五个地方选定参观地点： ①A、B两地都去或都不去； ②D、E两地至少去一处； ③B、C两地只去一处； ④C、D两地都去或都不去； ⑤如果去E地，那么A、D两地也必须去． 依据上述条件，你认为该参观团能去哪些地方参观？ 7．把下列命题改写成“如果……那么……”的形式，并写出它们的题设和结论． (1)有两个角为的三角形是等边三角形； (2)两个连续偶数相差2 8．写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例进行说明． (1)如果一条线段把一个三角形分成两个面积相等的三角形，那么这条线段是这个三角形的中线； (2)对顶角是有公共顶点且相等的角． 9．（1）如图，，，，试说明； （2）若把（1）中的已知“”与结论“”对调，所得的命题是真命题还是假命题？请判断并说明理由． 10．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在、、三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分： 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 得分 甲 4 乙 3 丙 2 丁 （1）则甲同学错的是第 题； （2）丁同学的得分是 ； （3）如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）． 学科网（北京）股份有限公司 $$