7.2平行线 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

7.2平行线 一、平行线的概念 两条直线在同一平面内，且不相交，则这两条直线互为平行线。记作a∥b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 2、 平行线的判定 1.两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角相等，两条直线平行。 2.两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角相等，两条直线平行。 3.两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角互补，两条直线平行。 推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3、 平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简称：两直线平行，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简称：两直线平行，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称：两直线平行，同旁内角互补。 巩固课内例1:画平行线 1．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 2．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    【答案】过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】根据平行公理可得答案． 【详解】解：由图可得，过直线外一点，能且只能画出一条平行线， 这反映了：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【点睛】本题考查平行公里，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． 3．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查画射线、直线、平行线、垂线、线段，两点之间线段最短． （1）以点C为端点作射线，过点B、C作直线即可； （2）过点A作直线l的垂线，垂足为D，连接点A与垂足D即可； （3）根据“一放、二靠、三推、四画”的步骤作直线m即可； （4）根据两点之间线段最短，连接交直线l于E即可． 【详解】（1）解 ∶如图所示，射线，直线即为所求； （2）解 ∶ 如图所示，线段即为所求； （3）解：如图，直线m即为所求； （4）解：如图，点E即为所求．理由是，两点之间线段最短． 巩固课内例2:平行线的判定 1．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定方法：①两同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A．，根据内错角相等，两直线平行可得，故不符合题意； B．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故符合题意； C．，根据两同位角相等，两直线平行可得，故不符合题意； D．，根据同旁内角互补，两直线平行可得，故不符合题意； 故选B． 2．生活情境·丁字尺 绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．利用丁字尺画平行线的理论依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查画平行线，根据同位角相等，两直线平行，作答即可． 【详解】解：根据丁字尺的构造和画平行线的方法，可知，理论依据为：同位角相等，两直线平行； 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 巩固课内例3:平行线的性质 1．如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平分线的定义、平行线的性质．首先根据两直线平行内错角相等，可得，再根据角平分线的定义可知． 【详解】解：如下图所示， ， ， 平分， ． 故选：C． 2．如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点作，分别得，，再根据邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质求出的度数，根据平角定义可求出的度数，然后结合垂直定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：，， ， ． 又， ， ． 巩固课内例4:平行线的判定与性质 1．将一副三角尺按下列方式进行摆放，则的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了三角板的性质，余角和补角的性质和应用，平行线的判定和性质，如果两个角的和等于（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角，据此分别判断出每个选项中的度数和是不是，即可判断出它们是否互补． 【详解】解：A、如图1，    ∵，， ∴， ∵， ∴； B、如图2，    ∵，， ∴； C、如图3，   ； D、如图4，    ∵，， ∴，即． 故选：D． 2．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键； 根据平行线的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：，， ， 故①正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 得，，故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故③错误； ， ， 平分， ， ， ， ， 得，，故④正确； 综上，正确的结论有：①②④； 故答案为：①②④ 3．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，证明，得，因为，故，即可作答． （2）因为，所以，则，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， 类型一、平面两直线的位置关系 1．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的位置关系，在同一平面内，两条直线的位置关系：平行或相交． 根据关键语句“若与不平行， 与不平行，”画出图形，图形有两种情况，根据图形可得答案． 【详解】根据题意可得图形： 根据图形可知：若与不平行，与不平行，则与可能相交或平行， 故选：D． 2．如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 【答案】 ③ ⑤ 【分析】本题主要考查了相交线与平行线，熟知直线，射线，线段的特点，以及相交线和平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：对于①，是由一条直线、一条射线组成，且射线只可向右无限延伸，与直线没有交点，故不能相交； 对于②，是由一条直线、一条线段组成，当直线延伸时与线段没有交点，故不能相交； 对于③，是由一条直线、一条线段组成，当直线线延时，与线段有交点，故可以相交； 对于④，是由两条线段组成，没有交点，故不能相交； 对于⑤，由两条直线组成，且在同一平面内，故一定平行． 故答案为：③；⑤． 3．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作平行线，掌握平行线的特征是解题的关键， （1）根据所有横线都是平行的作图即可； （2）根据网格特点得到中点，根据所有横线都是平行的作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：所求图形如图所示． 类型二、同位角相等，两直线平行 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线的判定的应用，根据同位角相等，两直线平行可得答案． 【详解】解：木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是： 同位角相等，两直线平行． 故选：B 2．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 【答案】能 【分析】本题考查了平行线的判定，同角的补角相等，先由“同角的补角相等”可得，由然后根据同位角相等，两直线平行即可得证，熟记平行线的判定是解题的关键． 【详解】解：能 理由： ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， 故答案为：能. 3．如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 【答案】不平行，理由见详解 【分析】本题考查的是平行线的判定，熟知同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先根据角平分线的定义得出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：直线与直线不平行， 理由: ，平分， ， ， ， 直线与直线不平行． 类型三、内错角相等，两直线平行 1．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定，根据内错角相等两直线平行直接证明结论即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ， ． 故选：D． 2．中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 【答案】平分（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据内错角相等，两直线平行，当时， ，由于，易得要平分． 【详解】解∶当时，， ， 所以需平分， 即添加的条件是平分， 故答案为：平分（答案不唯一）． 3．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 类型四、同旁内角互补，两直线平行 1．已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 【答案】D 【分析】本题考查了同旁内角互补的前提条件是两直线平行．两直线平行时同旁内角互补，不平行时无法确定同旁内角的大小关系． 【详解】解：同旁内角只是一种位置关系，并没有一定的大小关系，只有两直线平行时，同旁内角才互补． 故选：D． 2．如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟知同旁内角互补，两直线平行是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 故答案为：． 3．如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 类型五、垂直同一直线的两直线平行 1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定关，熟练掌握平面内垂直于同一条直线的两条直线平行是解题的关键． 根据平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴（平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行）， 故选：B ． 2．在同一平面内，如果，，则a c． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决本题的关键．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行即可解答． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行 【分析】本题考查利用网格作图，线段最短，平行线的判定，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． （1）连接，交于点，则点即为所求． （2）利用网格，过点作的垂线即可． （3）由平行线的判定可得结论． 【详解】（1）解：如图1，连接，交于点， 此时，为最小值， 则点即为所求． （2）解：如图2，点即为所求． （3）解：，， ， 与的位置关系为平行． 故答案为：平行． 类型一、用直尺、三角板画平行线 1．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 2．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 3．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查画平行线： （1）借助三角板和直尺画平行线即可； （2）借助三角板和直尺画平行线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）如图，直线即为所求； 类型二、两直线平行，同位角相等 1．如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出，再利用平行线的性质可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，由平角定义得，再根据平行线的性质可得结论． 【详解】解：如图，且， ∴ ∵， ∴ 故答案为：． 3．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的定义： （1）根据两直线平行、内错角相等，可得，结合可得，进而可判定； （2）根据和角平分线的定义求得，进而根据平行线的性质可得． 【详解】（1）解：， ． ， ， ． （2）解：，， ， 是的平分线， ， ∵， ． 类型三、两直线平行，内错角相等 1．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 2．如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 【答案】46 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点B作射线，再根据，得出，，再根据即可求解． 【详解】解：过点B作射线，如图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：46． 3．如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 【答案】垂直定义；；等角的余角相等；两直线平行，内错角相等；等量代换； 【分析】本题考查角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练运用这些性质定理去证明；根据角平分线的定义，余角和补角的性质，平行线的性质去填空即可； 【详解】证明：（已知）， （垂直定义）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， （角平分线的定义）， （等角的余角相等）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等量代换）； 类型四、两直线平行，同旁内角互补 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，由两直线平行同旁内角互补可得，结合已知条件，，进而可得，，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ，， ，， ， 故选：． 2．如图，已知平分，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义以及垂线的定义，正确得出的度数是解题关键． 由，，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得的度数，又由平分，即可求得的度数，然后由，根据平角的定义，即可求得的度数． 【详解】解：， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，已知，平分，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和角平分线定义．先根据平行线性质得出，再根据角平分线定义进行求解即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴． 类型五、平行公理的应用 1．下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的定义及公理，对顶角相等以及和垂直的概念，解题的关键在于熟练掌握相关定义．利用平行线的定义及公理，对顶角的概念和垂直的概念逐项分析判断，即可解题． 【详解】解：A 、在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，故选项说法错误，不符合题意； B、对顶角相等，但是相等的不一定是对顶角，故选项说法错误，不符合题意； C、在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故选项说法错误，不符合题意； D、在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，选项说法正确，符合题意． 故选：D． 2．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 【答案】 相交 同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查了平行与相交，熟知平行于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键．根据与相交，来判定与的关系． 【详解】解：∵与相交，， ∴不平行于，即与相交（同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）． 故答案为：相交；同一平面，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 类型六、求平行线之间的距离 1．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线之间的距离，根据平行线之间的距离的定义即可判断求解，理解平行线之间的距离的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点在上，点在上， ∴的长度是到的距离， 故选：． 2．在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 【答案】3或9/9或3 【分析】本题考查了两平行之间的距离，①当在、之间，②当在、之间，即可求解，能根据平行线的不同位置进行分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①当在、之间， 直线a和c的距离为； ②当在、之间， 直线a和c的距离为； 故答案：3或9． 3．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 【答案】(1)平行，见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的判定和性质，等积法求平行线间的距离： （1），得到，角平分线推出，进而得到，即可得证； （2）先证明四边形是平行四边形，设，所在的直线之间的距离为，等积法求出的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 设，所在的直线之间的距离为， ， 即， ， 即，所在的直线之间的距离为． 类型一、平行线的性质与判定求角 1．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质以及平角的定义，理解并掌握平行线的性质是解题的关键． 如下图，根据平行线的性质可得，由题意知，再根据平角的定义即可求解． 【详解】解：如图， ， ， 由题意知， ， 故选：B． 2．如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过作，过作，则，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数，掌握平行线的性质，平行公理推论是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，过作，    又∵， ∴， ∴，， ， ∴， 又∵、分别平分、， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了有关角平分线的角度计算，平行线的性质等；由三角形内角和得，由角平分线的定义得，由平行线的性质得，再根据三角形内角和，即可求解；能熟练利用平行线的性质求角度是解题的关键． 【详解】解：因为，， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以． 类型二、平行线中的数量关系 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质判断出图中角度之间的关系．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：过作直线，如图所示， ， （两直线平行，内错角相等）， ，， ， ， ， ， ， 故选：B 2．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，掌握其性质的运用是解题的关键． 根据平行线的性质得，，再由，即可解答． 【详解】解：， ，， ， ， ， ． 3．综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查平行线的性质和角的和差运算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行公理的推论、平行线的性质可得，，从而得到，代入数据计算即可； （2）由（1）中的结论得，，根据角平分线的定义得，，可得结论； （3）由（1）中的结论和邻补角的定义得与的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ，， ， 的度数为； （2）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ； （3）解：， 理由：由（1）可知：，， ，分别平分，， ，， ， ， ． 类型三、平行线中的角平分线 1．如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质探究角的关系，以及角平分线的有关计算，过点E作交于点Q，根据平分，平分，可得，，即可得．则有．进而可得．则有，即，代入即可得出答案． 【详解】解：如图，过点E作交于点Q， ∵，， ∴，， ∴ 又平分，平分， ∴，， ∴． ∴． ∵，． ∴． ∴， 即， ∵， ∴． 故选：A． 2．醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质等知识，作，，，，由题意得到，进而得到，由角平分线的性质得到，，再得到即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：作，，，，如图： ∵， ∴， ∴，，，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， 故答案为：． 3．小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．   问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查利用平行线的性质和平行公理的推论探究角的关系(拐点问题)，角平分线的相关计算等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）证明过点K作，则，利用平行线的性质推出，继而推出，从而得到； （2）与（1）同理可得：，继而得解； （3）由（2）得，同理得，，继而总结规律得，从而得解． 【详解】解：（1）如图，过点K作，则， ∴，    ∵，分别是，的平分线，并且相交于点K， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）． 理由：如图，过点作．   ，， ， ，． ，的平分线相交于点， ，， ． 由（1），知， ． （3）由（2），可知． 同理，可得， ， …… ． 当时， ． 类型四、三角形旋转平行求t 1．如图，一副直角三角板按图1所示的方式摆放（它们的直角顶点重合），现将含30°角的三角板ABC固定不动，将含45°角的三角板ADE绕直角顶点A以每秒10°的速度顺时针转动一周（如图2），设运动时间为t秒，若三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，则t等于（    ）秒 A．6或18 B．12或18 C．6或24 D．12或24 【答案】C 【分析】根据三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，画出相应的图形，解得旋转角的度数，再根据旋转的速度即可求得时间． 【详解】解：如图，当AE//BC时， 旋转角为： 如图，继续旋转可得AE//BC， 此时的旋转角为 综上所述，当三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行时，t=6或24 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质、平行线的性质等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 2．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 【答案】或或 【分析】本题考查了平行线的性质，根据题意画出满足条件的三种情况①、②、③，即可求解． 【详解】解：①时，如图所示： ∴； ②时，如图所示： ∴ ∴； ③时，如图所示： ∴ ∴； 综上所述：或或 故答案为：或或 3．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值． 【答案】30 【分析】本题主要考查平行线的性质，当时，延长交于点，分两种情况讨论：①在上方时；②在下方时，列式求解即可 【详解】解：由题意，得， 如图，延长交于点P. 当在上方时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得； 当在下方时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得 （不合题意，舍去）． 综上所述，满足条件的t的值为30. 1．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转角以及平行线的判定定理的运用，掌握平行线的判定方法是关键．如图，根据要使，运用同位角相等，两直线平行，求得，即可得到的度数，即旋转角的度数． 【详解】要使，由同位角相等，两直线平行可知 即直线绕点按逆时针方向至少旋转 故选择：D 2．如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，利用平行线的判定方法逐一判断即可，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法． 【详解】解：、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 、∵， ∴，故此选项不符合题意； 、∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； ∵， ∴，故此选项正确，不符合题意； 故选：． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理推论，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作， 由题意得：，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行作答即可． 【详解】解：根据题意可知它所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 5．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据平行线的判定作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 6．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线，利用平行线的性质以及角的和差关系进行计算．分两种情况：点O在和之间，点在上方，过O作，依据平行线的性质，即可得到的度数． 【详解】解：分两种情况： 当点O在和之间时， 过点O作，如图①，则， ； 当点O在上方时， 过点O作，如答图②，则 ．           图①                     图② 7．如图，于点，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由已知条件推出，据此可证明． 【详解】证明：， ， ， ， ． 8．如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 (3)4 【分析】（1）根据同位角相等，两直线平行，画图即可； （2）根据垂直的定义，三角形的内角和定理，解答即可； （3）根据面积公式解答即可． 本题考查了利用网格线画平行线，画垂线，三角形的面积的计算，掌握作图的基本方法是解本题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接， 交水平直线于点Q，B、G，Q，F四点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴． 则即为所求． （2）解：如图，连接， 设交于点M，E，N共线，N，C，H三点共线， 根据题意，得，， ∴， ∴， ∴， 由， ∴， 故． 则点即为所求． （3）解：连接，， 则的面积为：． 故答案为：4． 9．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 【答案】（1）；（2）见解析；【应用】． 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，利用平行公理作出辅助线是解本题的关键． （1）如图所示，过点P作，首先得到，求出，然后证明出，即可得到； （2）根据得到，根据得到，进而求解即可； 应用：过点P作，延长到点M，由（2）得，进而得到，同理得到，进而求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，过点P作， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 应用：如图所示，过点P作，延长到点M， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∴； ∵， ∴； 由（2）得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：138． 10．已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的定义等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键． （1）由平行线的性质得到，再根据，等量代换推出，即可证明结论； （2）分别过点作的平行线，设，利用平行线的性质分别表示出，即可得出结论； （3）设，则，根据角平分线的定义结合平行线的性质求出，，根据，求出，过点P作，过点H作，求出，，根据，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图：分别过点作的平行线， ∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴， 如图，过点P作，过点H作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2平行线 一、平行线的概念 两条直线在同一平面内，且不相交，则这两条直线互为平行线。记作a∥b。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行线的传递性：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行。 2、 平行线的判定 1.两条平行线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称：同位角相等，两条直线平行。 2.两条平行线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。简称：内错角相等，两条直线平行。 3.两条平行线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。简称：同旁内角互补，两条直线平行。 推论：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 3、 平行线的性质 1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简称：两直线平行，同位角相等。 2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。简称：两直线平行，内错角相等。 3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。简称：两直线平行，同旁内角互补。 巩固课内例1:画平行线 1．如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 2．如图是利用直尺移动三角板过直线外一点作直线的平行线的方法，小明经过多次实践后发现只能作一条平行线，这反映了 ．    3．如图，已知直线l和直线外三点A，B，C，按下列要求画图： (1)画射线，画直线；（只画图，不写作法不写结论） (2)画点A到l的垂线段，垂足为D；（只画图，不写作法不写结论） (3)过点B作直线l的平行直线m；（只画图，不写作法不写结论） (4)在直线l上确定出点，使得最小，理由是＿＿＿＿ 巩固课内例2:平行线的判定 1．如图，点，，在一条直线上，要根据“同旁内角互补，两直线平行”判定，需添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．生活情境·丁字尺 绘图员画图时经常使用丁字尺，丁字尺分尺头、尺身两部分，尺头的里边和尺身的上边应平直，并且一般互相垂直，也有把尺头和尺身用螺栓连接起来，可以转动尺头，使它和尺身成一定的角度．用丁字尺画平行线的方法如下面的三个图所示．画直线时要按住尺身，推移丁字尺时必须使尺头靠紧图画板的边框．利用丁字尺画平行线的理论依据是 ． 3．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 巩固课内例3:平行线的性质 1．如图，是的平分线，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，，，，则 ． 3．如图，，直线与交于点，与交于点，过点作射线，，求的度数． 巩固课内例4:平行线的判定与性质 1．将一副三角尺按下列方式进行摆放，则的是（   ） A．   B．   C．   D．   2．如图，，，平分，，有下列结论：①；；；，其中正确的结论是 填写序号 3．已知：如图，与相交于点F，点D在上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 类型一、平面两直线的位置关系 1．、、为同一平面内的三条直线，若与不平行，与不平行，那么与（   ） A．一定不平行 B．一定平行 C．一定互相垂直 D．可能相交或平行 2．如图所示，能相交的是 ，一定平行的是 ．（填图形序号） 3．如图，已知方格纸上有两条线段，根据下列要求完成以下操作： (1)过点作的平行线； (2)连接，取中点，过点作的平行线与交于点． 类型二、同位角相等，两直线平行 1．如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 2．如图，已知：，．是否能证明出？ ．（填能或不能） 3．如图，，，平分，直线与直线平行吗？为什么？ 类型三、内错角相等，两直线平行 1．如图，已知，则图中所有平行的直线是（   ）    A． B． C． D．， 2．中考新趋势·结论开放性试题  如图，已知，请你添加一个条件，使得能利用“内错角相等，两直线平行”来判断，你添加的条件是 ． 3．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 类型四、同旁内角互补，两直线平行 1．已知是的同旁内角，，则（） A． B． C．或 D．的大小不确定 2．如图，已知直线分别与直线，相交，，那么与的位置关系是 ． 3．如图，若，，，，试说明． 类型五、垂直同一直线的两直线平行 1．如图，工人师傅用角尺画出工件边缘的垂线a和b，得到，理由是（ ） A．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．平行于同一条直线的两条直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．在同一平面内，如果，，则a c． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、C、D都在格点上．请按要求画图： (1)如图1，在线段上找一点P，使最小； (2)如图2，在线段上找一点Q，使，画出线段； (3)在（2）的条件下，若，则与的位置关系为 （填“平行”，“相交”或“垂直”）． 类型一、用直尺、三角板画平行线 1．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 2．下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 3．如图所示，在内有一点P． (1)过P画； (2)过P画． 类型二、两直线平行，同位角相等 1．如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线，一块三角尺的直角顶点在直线上，若，则的度数为 ． 3．如图，在中，点分别是上的点，点是上的点，连接，． (1)试说明； (2)若是的平分线，，求的度数． 类型三、两直线平行，内错角相等 1．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点A在直线a上，点C在直线b上，，若，则 ． 3．如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，且，点D在线段上，连接，且平分． 求证：． 证明：（已知）， （________________）， （平角的定义）， ∴， 平分（已知）， ________（角平分线的定义）， （________________）， （已知）， （________________）， （________________）． 类型四、两直线平行，同旁内角互补 1．如图，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知平分，则 ． 3．如图，已知，平分，平分，求证：． 类型五、平行公理的应用 1．下列说法中正确的是（    ） A．不相交的两条直线叫做平行线 B．相等的角是对顶角 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面中过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．生活情境·风车 如图，当风车的一片叶子旋转到与地面平行时，叶子所在的直线与地面 ，理由是 ． 3．按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 类型六、求平行线之间的距离 1．如图，直线，点在上，点在上，若，则下列线段的长度是到的距离的是（　　） A． B． C． D． 2．在同一平面上，直线a，b，c是三条平行直线．如果直线a和b的距离为6，直线b和c的距离为3，那么直线a和c的距离为 ． 3．如图，，平分，平分，． (1)问：与平行吗？试说明理由． (2)过点作于点，如图若，，，求，所在的直线之间的距离． 类型一、平行线的性质与判定求角 1．如图，直线，分别与直线交于点，，把一块含角的三角板按如图所示的位置摆放．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，、分别是、上的点，、分别平分、，若，，则 （用含，的代数式表示）    3．如图，，三角形的顶点F，G分别落在直线，上，交于点H，平分，若，求的度数． 类型二、平行线中的数量关系 1．如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（    ） A． B． C． D．无法表示 2．如图，已知，则三者之间的数量关系是 ． 3．综合与探究： 已知，，分别是，上的点，点在，之间，连接，． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． (3)如图3，与的平分线交于点，猜想与之间有何数量关系？并说明理由． 类型三、平行线中的角平分线 1．如图，直线，M、N分别在直线，上，H为平面内一点，连接，，延长至点G，和的角平分线相交于点E．若，则可以用含α的式子可以表示为（　　） A． B． C． D． 2．醒狮是传统的中国文化艺术表演形式之一，轩轩从中找到了数学图形．如图，，，，和的角平分线EH、GH交于点H，则 度． 3．小明学习了角平分线的定义以及平行线的判定与性质的相关知识后，对角之间的关系进行了拓展探究．如图，直线，直线是直线，的第三条截线，，分别是，的平分线，并且相交于点K．   问题解决： （1），的平分线，所夹的的度数为______； 问题探究： （2）如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； 拓展延伸： （3）在图3中作，的平分线相交于点K，作，的平分线相交于点，依此类推，作，的平分线相交于点，求出的度数． 类型四、三角形旋转平行求t 1．如图，一副直角三角板按图1所示的方式摆放（它们的直角顶点重合），现将含30°角的三角板ABC固定不动，将含45°角的三角板ADE绕直角顶点A以每秒10°的速度顺时针转动一周（如图2），设运动时间为t秒，若三角板ADE的直角边AE与三角板ABC的斜边BC平行，则t等于（    ）秒 A．6或18 B．12或18 C．6或24 D．12或24 2．将一副直角三角板如图1，摆放在直线上（，，，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度，顺时针方向旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转．在旋转过程中，当三角板的其中一边与平行时， ． 3．将一副三角尺按如图1所示的方式摆放，直线，现将三角尺绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角尺绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，如图2，易知，．若，边与边平行，求满足条件的t的值． 1．如图，已知，过边上一点作直线，经测量，要使，直线绕点按逆时针方向至少旋转（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在延长线上，下列条件不能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边对齐，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．文化情境·潜望镜 世界上最早记载潜望镜原理的古书是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是 ． 5．小泽在课桌上摆放了一副三角板，如图所示，得到，依据是 ． 6．如图，点分别在直线上，且，若在同一平面内存在一点O，使，则 ． 7．如图，于点，，求证： 8．如图，已知点、、都是方格纸中的格点（图中每1个小方格都是边长为1的正方形），请用直尺画图． (1)在网格中找一个格点，连结，使； (2)在网格中找一个格点，作直线，使； (3)连接，，则的面积为________． 9．【探究】如图①，已知， （1）若，，求的度数； （2）求证：； 【应用】如图②，已知，若，，，则_____________． 10．已知：如图，，点B为上一点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为线段上一点，的角平分线与的角平分线相交于点H，请直接写出与的数量关系，不必写出证明过程； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，且平分，延长交的延长线于点F，过点F作交线段于点G，平分交线段的延长线于点P，若，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$