7.1 相交线 -2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

7.1 相交线 一、两条直线相交 如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。两条直线相交，形成4个角。 1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。邻补角互补。 2.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。对顶角相等。 二、两条直线垂直 如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 1.垂线段：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。 2.垂线的性质： a.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 b.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 c.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三、两条直线被第三条直线所截 1.定义：两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角. 2.内错角：像∠2与∠7，这两个角都在直线a、b之间，并且在直线c的两侧，像这样的一对角叫做内错角. 同旁内角：像∠2和∠5都在直线a、b之间，并且在直线c的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 巩固课内例1:邻补角与对顶角 1．如图，点O在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知直线、相交，，则 . 3．如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 巩固课内例2:画垂线 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 3．如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 巩固课内例3:判断同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 2．如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 3．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 类型一、邻补角的定义 1．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点，是直角，平分，，则的度数为 ． 3．如图，直线，相交于点O，射线把分成两部分．    (1)图中______，______； (2)若，，求的度数． 类型二、对顶角的定义 1．下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    3．如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 类型三、垂线的定义 1．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 2．如图，直线相交于点O，于点O， 度． 3．如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 类型四、同位角、内错角、同旁内角的定义 1．如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 2．如图，的同位角是 ，的内错角是 ， 与 是同旁内角．    3．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 类型一、对顶角相等 1．如图，直线、相交于点O，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 3．如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 类型二、邻补角求解 1．如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点O．若，平分，则 ． 3．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 类型三、垂线段最短 1．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 3．找一找，标一标． (1)市政府在人民广场的南偏东（    ）°方向的（    ）米处． (2)从市政府修一条管道到东大街，怎么样修最短？请在图上画出来． (3)城南公园在人民广场南偏西方向的800米处，请在图中表示出城南公园的位置． 类型四、点到直线的距离 1．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 类型一、相交线中的规律 1．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 2．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 3．观察图形，回答下列各题： （1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角； （2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角； （3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角； （4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角； 类型二、垂直作图 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A． B． C． D． 2．如图所示,王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面,在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤,看门框AB是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面,则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道理吗? .       3．如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （2）过点P画OA的垂线，垂足为H； （3） 的长度是点C到直线OB的距离； （4）线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 ．（用“<”号连接） 1．下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A． ①正确，②正确 B．①错误，②正确 B． C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 4．如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 5．如图，直线AB、CD相交于点O，于点O，， 度． 6．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 7．如图，说出与，与，与与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的，各是什么角？ 8．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 9．如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 10．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.1 相交线 一、两条直线相交 如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做两直线的交点。两条直线相交，形成4个角。 1.邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角。邻补角互补。 2.对顶角：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两条边，分别是另一个角的两条边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角。对顶角相等。 二、两条直线垂直 如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。垂直是相交的一种特殊情形，两条直线垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 1.垂线段：由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足间的线段叫做垂线段。垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。 2.垂线的性质： a.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 b.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 c.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 三、两条直线被第三条直线所截 1.定义：两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角. 2.内错角：像∠2与∠7，这两个角都在直线a、b之间，并且在直线c的两侧，像这样的一对角叫做内错角. 同旁内角：像∠2和∠5都在直线a、b之间，并且在直线c的同一旁，像这样的一对角叫做同旁内角. 巩固课内例1:邻补角与对顶角 1．如图，点O在直线上，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角度的计算，余角补角的计算等．根据题意可得，继而利用邻补角计算即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O在直线上， ∴， 故选：C． 2．如图，已知直线、相交，，则 . 【答案】/度 【分析】本题考查了对顶角相等，掌握其性质，角度的计算是解题的关键． 根据图示可得，结合，即可求解． 【详解】解：根据题意可得， ∵， ∴， 解得，， 故答案为： ． 3．如图，O为直线上一点，平分． (1)请你数一数，图中有 个小于平角的角； (2)的余角有 ； (3)求出的度数． 【答案】(1)9 (2)、 (3) 【分析】本题考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，以及邻补角的定义是解题的关键． （1）根据角的定义，在图中找出小于的角即可． （2）根据角平分线的定义，角之间的关系及平角的定义即可得出答案； （3）先利用角平分线的定义和邻补角的定义求得和，即可得出答案． 【详解】（1）图中小于平角的角有，，，，，，，，，共9个． 故答案为：； （2）平分 的余角有、； （3），平分， ，， ． 巩固课内例2:画垂线 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了垂线段的画法的判断，根据垂线段的画法依次判断即可． 【详解】解：四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段所在直线的垂线段，其余均错误， 故选：C． 2．如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．如图，点是的边上的一点，请过点画出，的垂线，分别交于点，，哪条线段的长度表示点到直线的距离？ 【答案】作图见详解，线段表示点P到直线的距离 【分析】本题考查了点到直线的距离，先根据题意画出图形，再根据点到直线的距离的定义得出即可．能熟记点到直线的距离的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图， 线段的长度表示点到直线的距离． 巩固课内例3:判断同位角、内错角、同旁内角 1．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 2．如图，若，则的同位角的大小是 ，的内错角的大小是 ，的同旁内角的大小是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查内错角、同位角以及同旁内角，观察图形易得的同位角、内错角都为的邻补角，接下来结合的度数计算即可；同样由图可得的同旁内角为的对顶角，与为对顶角，据此解答． 【详解】解：由图可得的同位角、内错角都为的邻补角， 又， 则其同位角大小为； 的内错角大小为； 的同旁内角为的对顶角，则大小为； 故答案为：；；． 3．分别指出下列图中的同位角、内错角、同旁内角． 【答案】图1中同位角有：与，与，与，与；内错角有：与，与；同旁内角有：与，与； 图2中同位角有：与，与；同旁内角有：与． 【分析】本题考查了同位角、内错角，同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． 根据两直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角是同位角，可得同位角；两个角在截线的两侧，被截两直线的中间的角是内错角，可得内错角；两个角在截线的同侧，被截两直线的中间的角是同旁内角，可得同旁内角． 【详解】解：如图1， 同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与． 如图2， 同位角有：与，与； 同旁内角有：与． 类型一、邻补角的定义 1．下列各图中，与互为邻补角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角．根据对顶角的定义：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，进行判定即可得出答案． 【详解】解：选项A和C中的图形都没有公共顶点，选项B中虽然有公共顶点，但一个角的两边不是另一个角的两边的反向延长线，故选项A、B和C中的∠1与∠2不互为邻补角； 根据对顶角的定义即可判断D选项中，∠1与∠2互为邻补角． 故选：D． 2．如图，直线、相交于点，是直角，平分，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先求解 再求解 再利用角平分线的定义可得答案. 【详解】解： ， 平分， 故答案为： 【点睛】本题考查的是对顶角相等，邻补角的含义，角平分线的定义，角的和差关系，掌握“几何图形中角的和差关系”是解本题的关键. 3．如图，直线，相交于点O，射线把分成两部分．    (1)图中______，______； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察图象，根据对顶角和补角的定义找角； （2）设，则，可得，求得，再结合即可求解． 【详解】（1）解：∵直线，相交于点， ∴和是对顶角． ∴， ∵的补角是． ∴， 故答案为：，． （2）∵， ∴设，则， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题主要考查角的相关定义以及角度的和差倍分，要结合图象找隐藏的角度关系． 类型二、对顶角的定义 1．下面四个图形中，与是对顶角的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角．两条边互为反向延长线的两个角叫对顶角，根据定义结合图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； B、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； C、符合对顶角的定义，故本选项符合题意； D、不符合对顶角的定义，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是 ，的对顶角是 ．    【答案】 和 【分析】本题主要考查了邻补角和对顶角的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 根据邻补角和对顶角的定义即可直接得出答案． 【详解】解：由图形可知，的邻补角是和， 的对顶角是， 故答案为：和，． 3．如图，直线，相交于点O， 平分 (1)直接写出图中的对顶角为 ，的邻补角为 ； (2)若 求 的度数． 【答案】(1)；，． (2) 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，与角平分线有关的计算，对顶角和邻补角： （1）根据对顶角和邻补角的定义，作答即可； （2）设，进而得到，根据，求出的值，进而求出的度数，再根据角平分线的定义，求出的度数． 【详解】（1）解：的对顶角为， 的邻补角为，． 故答案为：；，． （2）∵， ∴设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 类型三、垂线的定义 1．如图，已知，，所以与在同一条直线上的理由是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C．过一点只能作一条垂线 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了垂线的基本事实，根据垂线的基本事实结合图形得出结论是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：因为，， 所以直线与重合， 其理由是：同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故选：B． 2．如图，直线相交于点O，于点O， 度． 【答案】 【分析】此题主要考查了垂线的性质．根据垂直定义可得的度数，然后再根据可得． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 3．如图，已知直线、相交于点O，于点O，是内的一条射线． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查几何图形中的角度计算，垂直的定义： （1）根据可得，等量代换可得，再根据平角的定义即可求解； （2）根据角的和差关系可得，根据垂直的定义可得，进而可得，则． 【详解】（1）解： ， ． ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ． 类型四、同位角、内错角、同旁内角的定义 1．如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 2．如图，的同位角是 ，的内错角是 ， 与 是同旁内角．    【答案】 【分析】本题主要考查了三线八角，涉及同位角、内错角、同旁内角的定义有关知识，数形结合，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断即可得到答案，熟记同位角、内错角、同旁内角的定义，识别图形是解决问题的关键． 【详解】解∶ 如图，的同位角是，的内错角是，与是同旁内角．    故答案为∶ ；；；． 3．如图，直线DE和BC被直线AB所截． (1)与、与，与各有什么特殊的位置关系？ (2)与是内错角吗？为什么？ (3)如果，那么等于吗？和互补吗？为什么？ 【答案】(1)与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 (2)与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 (3)，和互补，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．也考查了同位角、内错角和同旁内角的定义． （1）回忆内错角、同位角和同旁内角的定义：在两被切直线的内侧，且在切线异侧的两个角叫作内错角，在被切直线同一侧， 而且在切线同侧的两个角叫作同位角，在两被切直线的内侧，且在切线同侧的两个角叫作同旁内角．再根据图形中角的位置关系，即可得到答案； （2）根据图形中和的位置关系，可知和不在一条直线的两侧，即可判断答案； （3）根据同旁内角互补两直线平行，可得到再根据平行线的性质，即可得到答案． 【详解】（1）∵与两个角都在两直线的中间， 截线的两侧， ∴与是内错角， ∵与两个角都在两直线的中间， 截线的同旁， ∴与是同旁内角， ∵与两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧位置， ∴与是同位角． 故答案为：与是内错角，与是同旁内角，与是同位角 （2）∵内错角必须在两条被截直线之间， ∴与不是内错角． 故答案为：与不是内错角．因为内错角必须在截线的两侧，两条被截直线之间 （3）理由: ∵，而， ， ∵和互补，， ∴和也互补． 故答案为：，和互补 类型一、对顶角相等 1．如图，直线、相交于点O，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义和对顶角的性质．解决本题的关键是熟记对顶角相等．根据对顶角相等可得，由于平分，可得的度数，再由平角的定义可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，直线、相交于点O，平分，，， ， ． 【答案】 37 53 【分析】由邻补角定义即可得出结果；由对顶角相等得出，由角平分线定义即可得出结果；求出，即可得出的度数．本题考查了对顶角相等的性质以及角平分线定义；熟练掌握各个角之间的数量关系是解决问题的关键． 【详解】解：，平分， ； ∵ ， ． 故答案为：37，53 3．如图，已知直线相交于点O，与互余，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了余角的定义，角的平分线，以及角的和差，关键是理清图中角之间的关系，利用数形结合的思想求解．先计算出的度数，进而可得的度数，即可求得的度数，由对顶角的定义即可解答． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴． 类型二、邻补角求解 1．如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提． 根据邻补角的定义求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，直线，相交于点O．若，平分，则 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了邻补角的性质，角平分线的定义，熟练掌握邻补角互补，角平分线的定义是解题的关键；根据邻补角互补可得，由角平分线的定义可求出，即可求出． 【详解】解：因为直线相交于点O， 所以与互为邻补角， 所以， 因为平分， 所以， 因为， 所以． 故答案为：． 3．如图，直线相交于点O，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角相等，邻补角的定义，熟练掌握上述知识是解题关键． （1）根据角平分线的定义可求出，再结合对顶角相等求解即可； （2）根据邻补角互补，结合题意可求出，再由（1）同理即可求解． 【详解】（1）解：因为，平分， 所以， 所以； （2）解：因为，， 所以． 因为平分， 所以， 所以． 类型三、垂线段最短 1．如图，点P是直线a外的一点，点在直线a上，且，垂足为点，则下列正确的语句是（   ） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．三条线段中，最短 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离及垂线段的性质．解题的关键是掌握垂线段的性质，从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短． 根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”，“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】A．线段的长是点到的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； B．三条线段中，依据垂线段最短可知最短，原说法正确，故此选项符合题意； C．线段的长是点A到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意； D．线段的长是点C到直线的距离，原说法错误，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．如图，在中，过点C作于点D，M是边上的一个动点，连接．若，则线段的长的最小值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查点到直线的距离，根据垂线段最短可得结论． 【详解】解：∵，且， 根据“垂线段最短”可知，当点M与点D重合时，最短， 所以，的最小值为的长， 所以，的最小值为6， 故答案为：6． 3．找一找，标一标． (1)市政府在人民广场的南偏东（    ）°方向的（    ）米处． (2)从市政府修一条管道到东大街，怎么样修最短？请在图上画出来． (3)城南公园在人民广场南偏西方向的800米处，请在图中表示出城南公园的位置． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3)画图见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，方向角，垂线段最短等知识，解题的关键是理解方向角的定义． （1）测量出的长度，可得结论； （2）根据垂线段最短，由市政府向东大街作垂线即可画出图形； （3）如图，画，，则即为所求． 【详解】（1）解：由测量可得：， ∴实际距离为：， 市政府在人民广场的南偏东方向的1600米处； ； （2）解：如图，过作于，则线段即为所求； （3）解：如图，画，，则城南公园的位置在点Q处． 类型四、点到直线的距离 1．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离∶直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 2．如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，点、、、均在格点上，只用直尺在给定的网格中，按下列要求作图． (1)作线段，作射线； (2)点到直线的距离为线段________的长度； (3)在线段上找一点，使它到、、、四个点的距离之和最小，作图的理由为________． 【答案】(1)见解析 (2) (3)两点之间线段最短 【分析】本题主要考查了网络作图．熟练掌握画线段，画射线，点到直线的距离，两点之间线段最短，是解题的关键． （1）连接画出线段，连接并延长画出射线即可； （2）根据可得点到直线的距离为线段的长度； （3）根据两点之间线段最短，可得的最小值为的长，得点到、、、四个点的距离之和最小值为． 【详解】（1）连接，连接并延长，即得． （2）点到直线的距离为线段的长度 故答案为： （3）连接，交于点， 则， 当点O运动到上时，，最小， 则，最小． 故答案为：两点之间线段最短． 类型一、相交线中的规律 1．a，b，c为同一平面内的任意三条直线，那么它们的交点可能有（    ）个 A．1，2或3 B．0，1，2或3 C．1或2 D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，掌握分类讨论思想是解题关键． 分以下四种情况①三条直线两两平行，②三条直线交于一点，③两条直线平行与第三条直线相交，④三条直线两两相交不交于同一点解答即可． 【详解】解：①三条直线两两平行，没有交点； ②三条直线交于一点，有一个交点； ③两条直线平行与第三条直线相交，有两个交点； ④三条直线两两相交不交于同一点，有三个交点． 综上，它们的交点可能有0，1，2或3个． 故选：B． 2．一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有 个交点；8条直线两两相交，最多有 个交点． 【答案】 【分析】由已知一平面内，三条直线两两相交，最多有3个交点；4条直线两两相交，最多有6个交点；5条直线两两相交，最多有10个交点总结出：在同一平面内，n条直线两两相交，则有  个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵由已知总结出在同一平面内，n条直线两两相交，则最多有 个交点， ∴8条直线两两相交，交点的个数最多为 ． 故答案为：． 【点睛】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 3．观察图形，回答下列各题： （1）图A中，共有＿＿＿＿对对顶角； （2）图B中，共有＿＿＿＿对对顶角； （3）图C中，共有＿＿＿＿对对顶角； （4）探究（1）--（3）各题中直线条数与对顶角对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成＿＿＿＿＿＿＿＿对对顶角； 【答案】（1）2对；（2）6对；（3）12对；（4）n(n-1) (n≥2). 【详解】试题分析：（1）图A中，共有2对对顶角；（2）图B中，共有6对对顶角；（3）图C中，共有12对对顶角；（4）找出对顶角的对数与直线的条数n之间的关系式为：n（n－1）（n≥2）. 试题解析： （1）2对； （2）6对； （3）12对； （4）2条直线相交时，对顶角对数为：1×2=2对； 3条直线相交时，对顶角对数为：3×2=6对； 4条直线相交时，对顶角对数为：4×3=12对； … n条直线相交时，对顶角对数为：n（n－1）（n≥2）对. 点睛：本题关键在于找出直线的条数与对顶角对数的关系式. 类型二、垂直作图 1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】满足两个条件：①经过点B．②垂直AC；由此即可判断. 【详解】解：根据垂线段的定义可知，图①线段BE，是点B作线段AC所在直线的垂线段， 故选A． 【点睛】本题考查作图-复制作图，垂线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．如图所示,王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面,在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤,看门框AB是否与铅锤线重合.若门框AB垂直于地面,则AB会重合于AE,否则AB与AE不重合.你能说出这里面的道理吗? .       【答案】过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 【详解】解：过A处用细线悬挂一铅锤，则AE过点A且垂直于地面BD，AB也经过点A，若AB垂直于地面BD，根据过一点有且只有一条直线垂直于已知直线可知AE与AB是同一条直线，即AB会重合于AE，反之，AB与AE不重合，因此这里面依据的道理是过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 故答案为：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线． 3．如图，在6×6的正方形网格中，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OB的垂线，交OA于点C； （2）过点P画OA的垂线，垂足为H； （3） 的长度是点C到直线OB的距离； （4）线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 ．（用“<”号连接） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PC；（4）PH＜PC＜OC 【分析】（1）根据网格画图即可； （2）根据网格画图即可； （3）根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离可得答案； （4）根据垂线段最短进行比较即可． 【详解】解：（1）如图所示； （2）如图所示； （3）线段PC的长度是点C到直线OB的距离， 故答案为：PC； （4）根据垂线段最短可得PH＜PC＜OC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度． 1．下列说法正确的有（   ） ①对顶角相等； ②互补的两个角是邻补角； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角； ④若两个角不是对顶角，则这两个角一定不相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是对顶角、邻补角的概念，熟记它们的概念和性质是解题的关键． 根据对顶角的概念、邻补角的概念判断即可． 【详解】解∶①对顶角相等，说法正确； ②互补的两个角不一定是邻补角，本小题说法错误； ③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角，说法正确； ④两个角不是对顶角，这两个角也可能相等，本小题说法错误； 故选∶B． 2．如图，直线相交于点O，射线，垂足为点O，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂直的定义，邻补角的定义，求出的度数是解题的关键．根据垂直的定义可求的度数，然后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴． 故选：C． 3．如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 4．如图，直线表示一段河道，点表示村庄，现要从河向村庄引水，图中有四种方案，其中沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，理解“从直线外一点，到直线上任意一点所引的线段中，垂直线段最短”是解题的关键．根据“垂线段最短”进行解答即可． 【详解】解：沿线段路线开挖的水渠长最短，理由是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 5．如图，直线AB、CD相交于点O，于点O，， 度． 【答案】47 【分析】本题考查垂直的定义，角的和差．根据垂直的定义得到，再根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 6．如图，点O在直线上，平分，，，设，利用方程的思想，求得 ． 【答案】20 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系，利用方程的思想是解题关键．设，由题意可得，进而得到，再根据角平分线的定义，得到，最后根据，求出即可． 【详解】解：设， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：20． 7．如图，说出与，与，与与分别是哪两条直线被哪一条直线所截得的，各是什么角？ 【答案】与是直线和直线被直线所截得的同位角；与是直线和直线被直线所截得的内错角；与是直线和直线被直线所截得的同旁内角；与是直线和直线被直线所截得的同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义．内错角定义：在两被切直线内侧，在切线异侧的两个角叫作内错角；同旁内角定义：在两被切直线内侧，在切线同侧的两个角叫作同旁内角；同位角定义：在被切直线同侧，且在切线同侧的两个角叫作同位角．据此即可求解． 【详解】解：与是直线和直线被直线所截得的同位角； 与是直线和直线被直线所截得的内错角； 与是直线和直线被直线所截得的同旁内角； 与是直线和直线被直线所截得的同旁内角 8．如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 9．如图，已知直线、相交于点，，点为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，对顶角、邻补角以及垂线，理解角平分线的定义，邻补角、对顶角以及垂直的定义是正确解答的关键． （1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可． 【详解】（1）解：平分，， ， ， ， ； （2）解：由于，可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即的度数为． 10．如图，点在直线上，点、与点、分别在直线两侧，且，． (1)如图1，若平分，平分，过点作射线，求的度数； (2)如图2，若在内部作一条射线，若：：，，试判断与的数量关系． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，角平分线的定义， （1）根据角平分线定义和周角是可得的度数；分两种情况：当在下方时；当在上方时，计算即可； （2）由，，设，则，再结合角平分线的性质可用表达出的度数，求出与的度数． 【详解】（1）平分， ， ， ． 当在下方时， 平分，， ， ， ， ， ． 当在上方时， 平分，， ， ， ， ，， ； （2）设，则， ， ， ， ， ， ． 当在的下方时，同理可得 ， ， ， ， ， ． 综上所述：或 学科网（北京）股份有限公司 $$