第5章 曲线运动 章末复习（思维导图+3知识点+4个重难点9题型+单元检测卷） -2024-2025学年高一下学期物理知识详解与题型练习（人教版（2019）必修第二册）

第5章 曲线运动 章末复习（解析版） 目录 一、单元思维导图 2 二、主要知识点 2 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 2 知识点2：运动的合成与分解 3 知识点3：平抛运动的基本规律 3 三、重难点讲解 5 重难点1：小船渡河问题 5 题型1：船速大于水流速度 6 题型2：船速小于水流速度 10 题型3：小船渡河模型的另类应用 15 重难点2：速度关联问题 19 题型4：绳关联问题 20 题型5：杆关联问题 24 重难点3：与斜面有关的平抛运动 29 题型6：从斜面上抛问题 30 题型7：对着斜面抛问题 36 题型8：平抛运动中的追击相遇问题 41 重难点4：斜抛运动 46 题型9：斜抛运动 47 四、单元检测 54 一、单元思维导图 二、主要知识点 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1. 曲线运动 （1） 定义：物体的运动轨迹是曲线的运动，如水平抛出的小球，绕地球运转的卫星等； （2） 速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向； （3）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动； 2. 物体做曲线运动的条件 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 3. 对物体做曲线运动条件的理解 （1）无力不转弯，转弯必有力；曲线运动是变速运动，因此必定有加速度，而力是产生加速度的原因，因此做曲线运动的物体在任何时刻受到的合力都不是0. （2）从力的效果理解曲线运动的条件：当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，合力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度. 4. 合力方向与轨迹的关系 （1）物体做曲线运动的轨迹夹在合力方向与速度方向之间，并且轨迹向力的方向弯曲； （2）合力方向指向轨迹的“凹”侧。 5. 速率变化情况的判断 （1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大 （2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小 （3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变 知识点2：运动的合成与分解 1. 遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2. 合运动与分运动的关系 （1）等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3. 合运动的性质判断 4. 两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线. 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点3：平抛运动的基本规律 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 三、重难点讲解 重难点1：小船渡河问题 1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动. 2. 三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度). 3. 三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽). （2）过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d。船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝. （3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图8所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d. 4. 小结：小船渡河问题的处理方法 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点： （1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线. （2）运动分解的基本方法是按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解. （3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关. （4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理. 题型1：船速大于水流速度 1．（23-24高一下·广东肇庆·期末）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河宽120m。船在静水中的速度为4m /s，水流速度为3m /s，下列说法正确的是（    ） A．若小船渡河的位移最短，则渡河时间为 30 s B．调整船头的方向，小船渡河的时间可能为 40 s C．调整船头的方向，小船在河水中的合速度可能达到10 m/s D．若船头方向始终垂直于河岸渡河，则渡河位移为120m 【答案】B 【详解】AD．若船头垂直于河岸渡河，则时间最短，最短时间为30s，此时位移不是最短，垂直河岸方向位移为120m，沿河岸方向位移为 x=3×30m=90m 合位移为 故AD错误； B．若调整船头方向，船速与河岸垂直时，渡河时间最短为 小船渡河的时间可能为40s，故B正确； C．根据速度的合成原理，小船在河水中的速度范围为 1m/s<v<7 m/s 故C错误。 故选B。 2．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）一艘小船从河岸A处出发渡河，若小船保持船头与河岸垂直，则经过40s到达正对岸下游120m的C处，如图所示。若小船船头保持与河岸成α角方向行驶，则经过50s恰好到达正对岸的B处。小船在静水中的速度大小和水流速度均不变，下列说法正确的是（    ） A．水流速度大小为4m/s B．船在静水中的速度大小为5m/s C．河宽为150m D． 【答案】BD 【详解】A．水流速度大小为 A错误； BC．根据题意得 解得 B正确，C错误； D．根据题意得 D正确。 故选BD。 3．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）2023年夏季，中国北方地区遭遇了罕见的持续暴雨天气，京津冀地区多地遭受洪涝灾害，河北省涿州市成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船由河岸的A点出发，经过一段时间到达对岸，已知水速为，船在静水中的速度为，两河岸的最近距离为d。下列说法正确的是（　　） A．若，船渡河的最小位移为d B．船到达对岸时的速度一定大于 C．船渡河的最短时间为 D．若v2>v1船渡河的位移最短时，船渡河的时间为 【答案】D 【详解】AB．欲使船到达正对岸，则船的速度应斜向上指向上游，使得合速度垂直河岸，此时应有，合速度大小对岸时的速度与的大小关系不确定，故AB错误； C．欲使船的渡河时间最短，则船的速度垂直河岸，渡河的时间为 故C错误； D．船渡河的位移最短时，船渡河的时间为 故D正确。 故选D。 4．（23-24高一上·四川成都·期末）如图，小船在静水中的速度为v1=5m/s，当小船在A处，船头与上游河岸夹角θ=53°过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=240m，小船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，sin53°=0.8，cos53°=0.6则下列说法中正确的（　　） A．河中水流速度为4m/s B．小船的此次渡河时间为60s C．小船若重新渡河，其渡河的最短时间为80s D．若小船在此次渡河过程中，水流速度突然增大，则小船渡河时间增大 【答案】B 【详解】A．由题意知，船头垂直河岸渡河，其渡河时间最短，船头应朝上游，与上游河岸方向成角，则 解得河水流速为 故A错误； B．小船的渡河时间为 故B正确； C．小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，则 故C错误； D．渡河时间与水流速度无关，若小船在渡河过程中，仅水流速度突然增大，则小船渡河时间不变，故D错误。 故选B。 5．（多选）（22-23高一下·福建福州·期末）双人皮划艇决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为，皮划艇在静水中的速度为，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是（　　） A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面 B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短 C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小 D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为 【答案】BD 【详解】A．当时，由矢量三角形定则可知，皮划艇一定不能到河道的正对面，故A错误； B．皮划艇船头对着河道正对面时，划艇垂直河岸的分速度v最大，河宽d一定，由 可得过河时间最短，故B正确； C．当船头方向不变时，根据运动的独立性，若水流速度增大，过河时间不变，故C错误； D．若皮划艇正好到达河道的正对面，则合速度为 过河时间为 故D正确。 故选BD。 题型2：船速小于水流速度 6．（22-23高一上·吉林通化·期末）两岸平行的河流，宽度为300m，各处河水流速均为4m/s。小船在静水中的速度为5m/s，则（　　） A．若小船要以最短时间过河，则航程为300m B．若船头与上游河岸夹角合适，则过河所需的时间可能为55s C．若小船要以最短航程过河，则所需的时间为100s D．船头垂直河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，则过河时间将增大 【答案】C 【详解】A．若小船要以最短时间过河，则需将船头垂直河岸行进，此时航程为 故A错误； B．船头垂直河岸过河时，渡河时间最短。小船最短过河时间为 故过河所需的时间不可能为55s。故B错误； C．由于船速大于水速，要航程最短，则需船的合速度垂直河岸过河，此时所需时间为 故C正确； D．船头垂直河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，由以上分析可知，过河时间不变。故D错误。 故选C。 【点睛】小船过河模型，船头垂直河岸时，渡河时间最短。航程最短需要先判断船速和水速之间的关系，再确定行进方向。 7．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在某次运输作业中，小船从河岸的A点出发，到达河中一小岛B上取得物资后将其送上河的另一岸，到达河岸的位置没有要求，已知河宽200m，水流速度处处平行于河岸，大小为，小船在静水中行驶的速度为4m/s。下列说法正确的是（　　） A．要经过小岛B。小船渡河的最短时间大于50s B．小船到达河对岸的最小路程为281.25m C．小船以最小路程到达河岸后能够原路返回 D．若小船在静水中行驶速度可变，小船要沿直线从A运动到B，最小行驶速度为2.75m/s 【答案】AB 【详解】A．小船的船头始终垂直于河岸，其渡河时间最短，则其所需要时间为 小船到小岛所在平面用时为 小船距离小岛距离 若小船船头始终与河岸垂直到达与小岛同一平面，距离小岛还有6.25m，即需要小船停止前进，等待水流将小船冲向小岛，即小船经过小岛到达对岸的时间应该大于50s，故A项正确； B．由题意可知，小船先经过小岛后再到达对岸，所以其运动过程分为两个过程。小船从A点到小岛过程最短位移即为从A点直接到B点，设AB连线与河岸的夹角为，若要按最短位移到达小岛B，则有几何关系可知 即，由于水速大于船速，所以小船无法沿直线到达河对岸，小船的最短位移时，小船船头与河岸上游夹角为θ，由几何关系有 解得 所以小船的合速度与河岸下游的最大夹角为，所以小船可以沿A到B的直线运动到达小岛B处，设小船以最小位移到小岛距离为，由几何关系有 小船从小岛到对岸过程，最短位移则是船头与河岸上游呈时，即小船的实际运动方向与河岸下游的夹角为，其过河位移最小，设该过程小船位移为，有 所以小船过河最短位移为 故B项正确； C．因为船速小于水速，所以船不能完全抵消水的运动，故船会被水流带往下游，即船不能原路返回，故C项错误； D．由运动的合成与分解可知，当小船速度方向与AB连线方向垂直时，其小船的速度最小，设为，合速度与河岸下游夹角为，由几何关系有 解得 故D项错误。 故选AB。 8．（22-23高一上·湖北孝感·期末）如图所示，甲、乙两船从A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，甲船出发时船头刚好指向C点，乙船恰能沿BC到达正对岸的C点，则下列说法正确的是（　　）    A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇 C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇 【答案】D 【详解】由题意可知，水流速度为船速的一半，两船沿垂直河岸的分速度相等，所以两船在BC的中点相遇。 故选D。 9．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，有一条宽为的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为，水流速度为，下列说法正确的是（　　） A．小船在河水中行驶轨迹为曲线 B．小船在河水中的速度为 C．小船渡河时间为 D．小船在渡河过程中位移大小为 【答案】C 【详解】A．由于小船在静水中的速度、水流速度均恒定，故小船的合速度恒定，小船在河水中做匀速直线运动，轨迹为直线，A错误； B．小船在河水中的速度为 B错误； C．小船渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，故渡河时间为 C正确； D．小船沿河流方向的位移为 小船在渡河过程中位移大小为 D错误。 故选C。 10．（2022·福建福州·模拟预测）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和船头正对河岸的冲锋舟速度v2之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设冲锋舟以最小速度v1和船头正对河岸速度v2分别从A到B，冲锋舟最小速度v1垂直于AB连线 冲锋舟速度v2垂直于水平河岸 可知 故选项D正确。 题型3：小船渡河模型的另类应用 11．如图所示，某同学将一张矩形素描纸贴着水平桌面边缘以恒定速度抽出，同时另一位同学从素描纸边缘A点用铅笔以恒定速度在素描纸上画线，画完后发现素描纸被画线分割成两个矩形。已知素描纸的宽度为，下列说法正确的是（　　） A．画线速度方向与素描纸宽边平行 B．画线速度与抽纸速度的夹角为 C．铅笔在素描纸上画线的时间约为4s D．铅笔在素描纸上画线的时间约为5s 【答案】D 【详解】AB．因为素描纸被画线分割成两个矩形，所以画线速度沿抽纸速度方向的速度分量与大小相等，假设画线速度与抽纸速度的夹角为，则 解得 故AB错误； CD．画线速度垂直于宽边的速度分量 则 故C错误，D正确。 故选D。 12．（2022·河北秦皇岛·三模）《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。已知大龟在静水中游动的速度大小与河水的流速大小之比为2∶1，出发点A到正对岸B点的距离为d，河岸平直。若大家以最短的时间渡河，则大家上岸的地点与B点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使渡河时间最短，大龟游动的速度应垂直河岸，渡河时间 大家上岸的地点与B点的距离 又 解得 选项B正确。 13．（22-23高一下·四川甘孜·阶段练习）跑马射箭是民族马术中的一个比赛项目，如图甲所示，运动员需骑马在直线跑道上奔跑，弯弓射箭，射击侧方的固定靶标，该过程可简化为如图乙（俯视图）所示的物理模型：假设运动员骑马以大小为的速度沿直线跑道匀速奔驰，其轨迹所在直线与靶心的水平距离为d。运动员应在合适的位置将箭水平射出，若运动员静止时射出的弓箭速度大小为（大于），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员应瞄准靶心放箭 B．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为 C．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为 D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，箭射中靶心的时间为 【答案】B 【详解】A．当箭射出的同时，箭也要参与沿跑道方向的匀速运动，若运动员瞄准靶心放箭，则箭的合速度方向不会指向靶心，不会击中靶，选项A错误； BC．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，则需箭射出时速度方向与直线跑道垂直，此时箭射中靶心的最短时间为 选项B正确，C错误； D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，则箭的合速度方向垂直直线跑道，此时箭射中靶心的时间为 选项D错误。 故选B。 14．（多选）（23-24高一下·湖北·开学考试）骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图所示。在某次比赛中，选手骑马沿直线AB匀速前进，速度大小为，射出的箭可看作做匀速直线运动，速度大小为，靶中心距AB所在竖直面的垂直距离为d，某次射箭时箭的出射点恰好与靶心等高，下列说法正确的是（　　） A．为确保可以命中靶心，且箭运动时间最短，箭射出方向需指向靶心 B．为确保可以命中靶心，且箭运动时间最短，箭的运动时间为 C．为确保可以命中靶心，且箭运动位移最短，若，则最短位移为d D．为确保可以命中靶心，且箭运动位移最短，若，则命中时的速度大小为 【答案】BC 【详解】A．为确保可以命中靶心，且箭运动最短时间，则箭射出方向一定要垂直于AB，使合速度指向靶心。故A错误； B．为确保可以命中靶心，且箭运动最短时间，箭射出方向一定垂直与AB，最短时间为 故B正确； C．为确保可以命中靶心，且箭运动最短位移，由于，如图 合速度可以垂直于AB，所以最短位移等于d。故C正确； D．由于，则合速度为 故D错误。 故选BC。 15．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图所示，两同学在一张白纸上，共同研究运动的合成规律，甲同学手拿铅笔，让笔尖从O点开始，沿着直尺向右匀速画线，与此同时，乙同学推动直尺紧贴纸面沿着y轴正方向做初速度为零的加速运动，该过程中直尺始终与x轴平行，则铅笔在白纸上留下的痕迹可能是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】笔尖参与了水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的加速直线运动，加速度方向竖直向上，合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，笔尖做曲线运动，加速度的方向大致指向轨迹凹的一向。 故选C。 重难点2：速度关联问题 1. 模型特点 沿绳(杆)方向的速度分量大小相等. 2. 思路与方法 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v 分速度→ 方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则. 3. 解题的原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示. 题型4：绳关联问题 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（　　） A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为5 m/s D．5 s时小船到岸边距离为10 m 【答案】C 【详解】A．几何关系可知，开始时船与滑轮间的绳长为40m，故5 s时船与滑轮间的绳长为 设此时绳与水面的夹角为，则有 故绳与水面的夹角为，故A错误； B．结合以上分析，5 s时小船前进的距离为 故B错误； C．设5 s时小船的速率为，把其沿绳方向和垂直于绳方向分解，则有 代入题中数据，解得 故C正确； D．5 s时小船到岸边距离为 故D错误。 故选 C。 17．（多选）（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）如图所示，物体A和B分别用不可伸长的轻绳连接跨过定滑轮（不计摩擦）。当用水平力F拉物体B水平向右做匀速直线运动的过程中（　　） A．物体A也做匀速直线运动 B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速率小于物体B的速率 D．拉力F保持不变 【答案】BC 【详解】AC．由速度的分解规律可知 可知 向右过程中，减小，增大，增大，故A错误；故C正确； B．A做加速运动，则拉力大于重力，故B正确； D．由于，根据余弦变化规律可知，速度变化越来越快，根据 可知增大，物体B在水平方向上平衡，有 可知F增大，故D错误； 故选BC。 18．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，质量为m的物体通过一根跨过光滑定滑轮的轻绳与汽车相连，汽车以速度 v向右做匀速直线运动，细绳与水平面间夹角为θ，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物体做匀加速直线运动 B．物体的速度大小为 C．物体做加速运动且速度小于车的速度 D．绳子的拉力等于 mg 【答案】C 【详解】将汽车的速度分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则物体的速度大小为 则当汽车以速度 v向右做匀速直线运动时，细绳与水平面间夹角θ减小，物体的速度变大，即物体做变加速运动，其速度小于车的速度，物体的加速度向上，处于超重状态，则绳子的拉力大于mg，故选项C正确，ABD错误。 故选C。 19．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度匀速上升经过、，经过点时绳与竖直杆间的角度为，经过点时A与定滑轮的连线处于水平方向，则（　　） A．经过点时，B的速度方向向下 B．经过点时，B的速度等于 C．当A从至的过程中，B处于失重状态 D．当A从至的过程中，B受到的拉力大于重力 【答案】D 【详解】AB．将A的速度分解为沿绳子分速度和垂直绳子分速度，如图所示 其中等于B的速度，则A经过点时，B的速度为 当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，，所以B的速度，故AB错误； CD．设绳子与竖直方向的夹角为，则有 当A匀速上升时，夹角增大，因此B做向下减速运动，加速度方向向上，处于超重状态，由牛顿第二定律可知，绳对B的拉力大于B的重力，故C错误，D正确。 故选D。 20．（多选）（23-24高一上·山东德州·期末）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳跨过光滑定滑轮在另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g。现将小环在与定滑轮顶部等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（　　） A．小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定等于mg B．小环到达B处时，重物上升的高度为（﹣1）d C．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为 D．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为 【答案】BC 【详解】A．小环释放后的极短时间内，其下落的速度v增大，绳与竖直杆间的夹角θ减小，故小环沿绳方向的速度 v1＝vcosθ 增大，即重物上升的速度增大，由此可知，小环释放后的极短时间内重物具有向上的加速度，绳中张力一定大于2mg，故A错误； B．小环到达B处时，绳与竖直杆间的夹角为45°，重物上升的高度 故B正确； CD．设小环在B处时的速度大小为v，其沿绳方向的分速度大小为 v1＝vcos45°＝v 由于小环沿绳方向的速度大小与重物上升的速度大小相等，所以小环在B处的速度大小与重物上升的速度大小的比值等于，故C正确，D错误。 故选BC。 题型5：杆关联问题 21．（多选）（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）如图所示，O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑。已知墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲从a点运动到O点过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球甲的最大速度为 B．小球甲的最大速度为 C．小球甲运动到b点时，小球乙的速度为 D．小球甲运动到c点时，小球乙的速度为 【答案】BC 【详解】AB．由分析知，当小球甲运动到O点时，小球乙的速度为零，此时小球甲的速度最大，设其最大速度为v甲，根据机械能守恒定律有 解得 故A错误，B正确； C．小球甲运动到b点时，设小球乙的速度为v2时，对应的小球甲的速度大小为v1，杆与竖直方向的夹角为，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得 其中 ， 解得 小球甲运动到b点时，小球乙的速度等于 ，选项C正确； D．小球甲运动到c点时，设小球乙的速度为v4时，对应的小球甲的速度大小为v3，杆与竖直方向的夹角为，对小球甲、乙组成的系统，由机械能守恒定律可得 其中 ， 解得 选项D错误。 故选BC。 22．（多选）（22-23高一下·四川遂宁·阶段练习）如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（　　） A．当时，A、B两球速度大小相等 B．当时，A球速度的大小小于B球速度 C． D． 【答案】AC 【详解】当杆与竖直方向的夹角为θ时，根据运动的分解，如图所示 沿杆方向两分速度大小相等，则 即 当 时，可得 故选AC。 23．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，B球沿槽上滑的速度为vB，则此时A球的速度vA的大小为（　　） A．vB B． C． D．vBtanα 【答案】D 【详解】对B球的速度合成与分解可知，杆运动的速度为 对A球分析可知 故选D。 24．（多选）如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是（　　） A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， D．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， 【答案】AD 【详解】A．杆子和半圆柱体时刻保持接触，则在垂直接触点切线方向速度应时刻保持相等，将和沿接触点切线和垂直接触点切线进行分解，得，杆向下运动，角变大，变大，变大，杆做加速运动，A正确； B．由A项分析可知，B错误； C．根据，得，C错误； D．由C项分析可知，D正确． 故选AD。 25．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成=30°角，B球的速度大小为v2，则（　　） A．v2=v1 B．v2=2v1 C．v2=v1 D．v2=v1 【答案】C 【详解】球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有 v11=v1sin30°=v1 球B此时速度方向与杆成=60°角，因此v21=v2cos60°=v2 沿杆方向两球速度相等，即v21=v11，解得v2=v1 故选C。 重难点3：与斜面有关的平抛运动 1. 沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2. 垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 3. 撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 题型6：从斜面上抛问题 26．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 【答案】A 【详解】AB．已知 根据几何关系可知竖直位移之比 水平位移之比为 根据 可得小球做平抛运动的时间之比为 根据 可得初速度大小之比为 故A正确，B错误； CD．小球击中斜面时速度与水平方向的夹角 则 所以 根据几何关系可知此时速度与斜面的夹角 两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为1∶1，故CD错误。 故选A。 27．如图所示，从倾角为的斜面上的A点以水平速度抛出一个小球，不计空气阻力，重力加速度大小为g，它落到斜面上B点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设小球从抛出至落到斜面上所用的时间为t，在这段时间内，水平位移和竖直位移分别为 由几何关系知 所以小球的运动时间 故选B。 28．（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 【答案】AD 【详解】设甲抛出小石子的初速度为v0，Q点相对于P点的竖直高度为H，则 甲抛出的小石块落在P点时竖直方向的速度 甲抛出小石块的水平位移 联立可得 对乙同学 解得 甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 选项BC错误，AD正确。 故选 AD。 29．（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对运动员在空中的运动沿平行斜面和垂直斜面方向分解可知，运动员从A运动到P点和从P点运动到B点所用时间相等，因此运动员沿平行斜面方向的分运动从A到C的时间与从C到B的时间相等，运动员沿平行斜面做加速度为的匀加速运动，设整个运动时间为t，则 由于从A到P的水平位移与从P到B的水平位移相等，因此 则 运动员做平抛运动有 ， 又 解得 则 故选A。 30．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，求： （1）他们飞行的时间之比； （2）他们飞行的水平位移之比； （3）他们在空中离坡面的最大距离之比。 【答案】（1）2∶1；（2）4∶1；（3）4∶1 【详解】（1）运动员从跳台a处水平飞出，设初速度为v0，飞行时间为t，斜坡的倾角为θ，运动员在空中做平抛运动，落到斜坡上时有 解得 可得他们飞行时间之比为 t1∶t2＝v1∶v2＝2∶1 （2）运动员飞行的水平位移为 他们飞行的水平位移之比为 x1∶x2＝v12∶v22＝4∶1 （3）运动员在空中离坡面的最大距离为 他们在空中离坡面的最大距离之比为 s1∶s2＝v12∶v22＝4∶1 题型7：对着斜面抛问题 31．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　) A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 【答案】A 【详解】 过b做一条与水平面平行的一条直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在我们所画水平线上c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间。 故选A。 32．（多选）如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为，小球从O点的正上方高度为H的P点以速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，，之关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的图像对应的函数表达式为 B．图乙中a的数值为 C．若图乙中，则H的值为 D．若，图乙中，则平抛运动的时间为 【答案】BD 【详解】A．设小球平抛运动的时间为t，如图所示 由几何关系得，，解得 根据几何关系有，整理得，故A错误； B．结合A项分析和题图乙可得，故B正确； C．由题图乙可得图像的斜率 又，若，则，故C错误； D．若，时，，根据，解得 根据，解得，故D正确。 故选BD。 33．如图所示，小球以初速度正对倾角为的斜面水平抛出，若小球到达斜面时位移方向垂直于斜面，则其飞行时间为（重力加速度为g，不计空气阻力）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过抛出点作斜面的垂线，如图所示，当小球落在斜面上的B点时，位移方向垂直于斜面，设小球运动的时间为t，则水平方向有 竖直方向有 由几何知识得，解得 故选D。 34．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示是位于同一竖直平面内的游戏装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角的固定斜面，A是斜面上距离O点水平距离的点。游戏时让小球从距离O点某高度处自由落下，在O点与三棱柱碰撞（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同。若小球恰好垂直斜面打在A点为游戏取胜，重力加速度g取，，，不计空气阻力。求游戏取胜时： (1)小球落在A点的速度大小v； (2)小球自由下落时距离O点的高度H； (3)小球在空中运动的总时间t。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）小球由O点运动至A做平抛运动。将小球在A点的速度v分解为、，并将v反向延长交水平位移的中点P如图所示： 设O、A的两点的高度差为h，由几何知识知 代入数据得 竖直方向有，解得 而，解得 （2）小球平抛运动中，解得 小球与三棱柱碰撞后，速度方向变为水平向右，大小不变，即小球自由下落到O点的速度大小为 由，解得 （3）设小球做自由落体运动的时间为，做平抛运动的时间为，有， 解得， 小球在空中飞行的时间 35．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，现让小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以初速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求： （1）小球水平抛出的速度v0； （2）小滑块的初速度v。 【答案】（1）3m/s；（2）5.35m/s 【详解】(1)设小球落入凹槽时竖直速度为，则有 因此有 (2)小球落入凹槽时的水平位移 则滑块的位移为 根据牛顿第二定律，滑块上滑的加速度为 由于滑块上滑的加速度方向沿斜面向下，所以根据公式 可得小滑块的初速度为 题型8：平抛运动中的追击相遇问题 36．（多选）（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）军事演习中，点的正上方离地高处的蓝军飞机以水平速度投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在点右方地面上点以速度斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在、连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程（　　） A．两弹飞行的水平速度大小相等 B．初速度大小关系为 C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面高度处 【答案】AC 【详解】AB．由于两弹恰在M、N连线的中点正上方相遇，说明它们的水平位移大小相等，又由于运动的时间相同，所以它们在水平方向上的速度大小相等，设v2与水平方向夹角为，即 则，故A正确，B错误； C．两弹都只受到重力，都做匀变速运动，加速度相同，所以拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动，故C正确； D．根据题意可知两弹运动的时间相同，但不知道拦截炮弹竖直方向初速度的具体值，所以不能判断两弹相遇点距离地面的高度，故D错误。 故选AC。 37．（多选）（2024·湖南·二模）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 【答案】BC 【详解】B．由于相遇处在OS连线靠近O的三等分点M的正上方，则有 可得两小球初速度大小关系为，故B正确； A．由，可得 竖直方向满足 解得 此时斜抛的小球竖直方向的分速度大小为，解得，则此时斜抛小球恰到最高点，故A错误； D．相遇时离地高度为，故D错误； C．OS的间距为，故C正确。 故选BC。 38．如图所示，从O点正上方高H处的一点先后平抛两个小球1和2，球2直接恰好越过高为h的竖直挡板A落到水平地面上的B点，球1则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，而后也落在B点。设球1与地面碰撞时水平分速度大小方向都不变，竖直分速度大小不变方向相反，球与地面碰撞的时间忽略不计，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．挡板的高度为 B．两小球的水平初速度之比为 C．两小球越过挡板前在空中运动的时间之比为 D．A点到O点和A点到B点的水平距离之比为 【答案】A 【详解】B．根据平抛运动的特征，竖直高度决定时间，设两小球从平抛开始到落点B点所用时间分别为和，则有 由水平方向做匀速直线运动可得，解得，故选项B错误； C．两小球越过挡板时水平位移相等，则两小球越过挡板前两小球在挡板上方的时间为，挡板下方的时间为，则，所以， 球1越过挡板前在空中运动的时间 球2越过挡板前在空中运动的时间 则两小球越过挡板前在空中运动的时间也为，故C错误； A．在竖直方向自由落体有，所以，故选项A正确； D．由球2越过挡板前后两段时间相等，故前后两段的水平位移相等，故A在的中点，D错误。 故选A。 39．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图所示，在距地面高为的A处以水平初速度投掷飞镖，与A点水平距离为的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度匀速上升，在升空过程中恰好被飞镖击中。飞镖在飞行过程中空气阻力不计，飞镖和气球均视为质点，重力加速度为g。 （1）求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小； （2）求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔； （3）假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。    【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1）从飞镖飞出到击中气球过程中，对飞镖来说 飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小 （2）飞镖的竖直位移 气球上升的位移 气球上升的时间 两个动作之间的时间间隔为 （3）竖直方向上速度变为 根据运动学公式 解得 飞镖的落地点与B点的水平距离 40．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）某中学举办了“水火箭比赛”，同学们积极参与，展示了功能各异的水火箭。某组同学的水火箭可以实现“定点打靶”。将目标置于高的竖直墙面上，水火箭装置置于水平地面上A点，发射位置到墙体的水平距离，调整发射角度（为初速度与水平方向夹角），当初速度为时，水火箭恰好垂直墙体击中目标。不计空气阻力，取重力加速度大小，水火箭与目标均可视为质点。 (1)求水火箭发射的初速度； (2)若在水火箭前进方向的水平地面上B点放置一枚“拦截型”水火箭，其发射方向竖直向上，A点与B点距离为。为模拟真实的拦截效果，发射水火箭后后发射拦截火箭，要使拦截火箭拦截成功，则“拦截型”水火箭的发射速度v是多少。 【答案】(1)，与水平方向的夹角正切值为；(2) 【详解】（1）初速度为的水火箭做斜上抛运动恰好垂直墙体击中目标，由逆向思维法可等效为平抛运动，则有，，解得， 则水火箭发射的初速度大小为 与水平方向的夹角满足 （2）水火箭发射时的竖直分速度为 设水火箭到被拦截所用时间为，则有，可得 要使拦截火箭拦截成功，对发射水火箭，竖直方向有 对“拦截型”水火箭，竖直方向有 解得“拦截型”水火箭的发射速度为 重难点4：斜抛运动 1. 运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2. 轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3. 对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4. 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 题型9：斜抛运动 41．（24-25高三上·安徽·阶段练习）将一个小球从水平地面上同一点A先后两次抛出，两次小球均落在了水平面上同一点B，小球第一次的运动轨迹为1，第二次的运动轨迹为2。不计空气阻力，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．第一次小球抛出的初速度大 B．第二次小球抛出的初速度大 C．第一次小球在空中运动的时间长 D．第二次小球在空中运动的时间长 【答案】D 【详解】AB．第一次小球抛出时竖直分速度小，水平分速度大，因此两抛出的初速度大小关系不能确定，故AB错误； CD．由于第二次最大高度高，设小球运动时间为，在竖直方向，根据可知，运动时间为 因此第二次小球运动的时间长，故C错误，D正确。 故选D。 42．（2025·全国·模拟预测）某球员正对篮筐进行投篮练习，篮球出手后打到篮筐前沿没有入筐，如图所示。球场边录像机拍摄到球出手时手与篮筐前沿连线与水平方向夹角为11°，篮球出手速度大小为，方向与水平方向夹角为37°。若篮筐前沿距地高度是，，，g取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．篮球从出手到打到筐前沿所用时间是 B．出手点到球筐前沿的水平距离是 C．篮球打到篮筐时的速度大小为 D．篮球在飞行过程中距地最大高度为 【答案】AD 【详解】A．篮球做斜抛运动，设篮球出手时速度大小为，则从出手到篮球打到篮筐前沿，水平位移 竖直位移 由题意知 解得 A正确。 B．出手点到篮筐前沿的水平距离 B错误； C．打到篮筐前沿时水平速度 竖直速度 “-”表示速度方向竖直向下，篮球打到篮筐前沿时的速度大小为 C错误； D．篮球从最高点到篮筐前沿的竖直高度 又篮筐距地高度，故篮球在飞行过程中距地最大高度 D正确。 故选AD。 43．（24-25高三上·山东·阶段练习）运动员某次发球，将球从离台面高h0处发出，球落在A点反弹后又落在B点，两次擦边。A、B间距离为L，球经过最高点时离台面的高度为，重力加速度为g。若碰撞后竖直方向速度大小变为原来的一半，忽略球的旋转、空气阻力等因素。用v、θ（速度与水平方向的夹角）表示乒乓球离开球拍时的速度大小及方向，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】反弹后小球能够上升到h高度处，所以有 解得 水平方向速度 反弹后竖直方向速度 则反弹前 则发球时竖直方向速度vy0满足 解得 所以小球离开球拍时速度大小 方向 故选BD。 44．（24-25高一下·全国·课前预习）如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。 (1)斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？ (2)做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ (3)做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ (4)做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 【答案】(1)运动的合成与分解 (2)初速度和抛射角 (3)初速度和抛射角 (4)初速度和抛射角， 【详解】（1）斜抛运动也是曲线运动，我们采取运动的合成与分解的方法进行分析和研究； （2）根据斜上抛运动规律，斜上抛运动竖直方向分运动做上抛运动，上抛运动的时间为 所以做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由抛出的初速度和抛射角共同决定； （3）物体做斜上抛运动，竖直分运动为竖直上抛，水平分运动为匀速直线运动，上升到最高点时竖直分速度为零，由各分运动具有独立性，可知竖直高度决定于竖直分运动，高度为 可知最大高度由抛出时初速度和抛射角共同决定； （4）斜上抛运动水平分运动为匀速直线运动，水平位移公式为 可知水平射程抛出的初速度和抛射角共同决定；在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角为 由 射程x最大。 45．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某同学课间站在操场上利用一个自制玩具做游戏，将两个小球A、B分别固定在一根较长的绳子两端并让两个小球自然垂下，左右手距地高度始终为1.44米不变，右手掐住小球A上方0.64m处的绳子，左手掐住小球B上方0.8m处的绳子。右手以及下方的小球A始终保持静止，左手控制下方的小球B以左手掐住绳子的点（可认为是静止的）为圆心、以的速度在竖直面做匀速圆周运动，当两个小球高度相同时左右手同时松开，观察到A小球比B小球早落地，请通过计算说明两个小球落地的时间差。（绳子的质量可以忽略不计，，，。） 【答案】 【详解】由题意可知，A球离地高度为 当两个小球高度相同时左右手同时松开，A球做自由落体运动，则有 解得 设手松开时，连接B球绳子与竖直方向的夹角为，根据几何关系可得 解得 可得 由于A小球比B小球早落地，可知手松开时B球速度垂直绳子斜向上，竖直方向有 代入数据解得 或（舍去） 则两个小球落地的时间差为 四、单元检测 60分钟限时检测卷 一、单选题（共32分） 1．（本题4分）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变 B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动 C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上 D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】物体做曲线运动的条件、曲线运动概念和性质 【详解】A．物体做曲线运动时，它的速度时刻在改变，故A错误； B．物体受恒力作用时仍然可以做曲线运动，如平抛运动，故B错误； C．做曲线运动的条件，物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上，故C正确； D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，物体可能做匀变速曲线运动，如平抛运动，故D错误。 故选C。 2．（本题4分）运动员将排球击出后，排球在空中划出一段优美的弧线，如图中虚线所示。则排球在P点处受到的合外力方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】物体运动轨迹、速度、受力的相互判断 【详解】AC．排球做曲线运动时，合外力指向曲线的内侧，并且排球处于上升过程，速度减小，运动方向与合外力方向成钝角，A正确，C错误； BD．根据曲线运动的特点，排球受到的合外力指向运动轨迹的内侧，BD错误。 故选A。 3．（本题4分）如图所示，在浩瀚的大海上，帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行，帆船以大小为的速度朝正北方向航行。若以帆船为参考系，则下列说法正确的是（　　） A．帆板朝正南方向航行，速度大小为v B．帆板朝正东方向航行，速度大小为v C．帆板朝南偏东30°方向航行，速度大小为2v D．帆板朝北偏东30°方向航行，速度大小为2v 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】互成角度的两个匀速直线运动的合成 【详解】以帆船为参考系，帆板具有向东的速度v和向南的速度，二者的合速度为 所以 即速度方向南偏东30°。 故选C。 4．（本题4分）在一次施工中，塔吊将重物从点吊起，从起吊开始计时，以为原点，设水平向右为方向、竖直向上为方向，重物、方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　）    A．在水平方向做匀变速直线运动 B．运动轨迹为抛物线 C．内的位移大小为 D．在相等时间内的速度变化量不相等 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一个匀速和一个变速运动的合成 【详解】A．图像斜率代表速度，图甲可知斜率不变，故重物在水平方向做匀速直线运动，故A错误； B．图甲可知甲水平方向速度为 可知水平方向位移 图像斜率代表加速度，图乙可知加速度 可知竖直方向位移 联立以上得 所以重物的运动轨迹为抛物线，故B正确； C．图甲可知0~8s内水平方向位移大小 图像面积表示位移，则内竖直方向位移大小 故合位移 故C错误； D．以上分析可知，重物的加速度为0.5m/s2，且为恒定值，根据 可知在相等时间内的速度变化量相等，故D错误。 故选 B。 5．（本题4分）如图所示，某同学站在篮球架的正前方练习定点投篮，已知篮球投出时篮筐与篮球球心的高度差为1.13m，篮球球心与篮筐边缘的最短水平距离为4.0m，篮球的直径为24cm，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。若某次投篮练习中，篮球在到达最高点时，篮球底部刚好可以越过篮筐边缘，则篮球投出时的速度大小为（　　） A．5m/s B．8m/s C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】斜抛运动 【详解】篮球底部刚好能越过篮筐的边缘，则篮球到达篮筐边缘时刚好运动到最高点，且篮球的下边缘与篮筐等高。运动过程中篮球上升的高度 将篮球的初速度沿水平方向和竖直方向分解，将篮球的运动当成逆向的平抛运动处理，则有 ，， 则 故选C。 6．（本题4分）如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】速度偏转角与位移偏转角 【详解】小球在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，小球在A点时速度与水平方向的夹角为θ1，则 位移与竖直方向的夹角为θ2，则 则 故选A。 7．（本题4分）某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】斜抛运动 【详解】设铅球抛出时初速度大小为，第一次抛出时铅球做平抛运动，设平抛运动时间为，则水平方向有 竖直方向有 联立解得 设第二次抛出时运动时间为，水平方向有 竖直方向设向下为正方向，则有 代入，解得 故选B。 8．（本题4分）如图所示，乒乓球台的水平长度为2L，中间的球网高度为h，运动员在球台左上方将球水平发出，发球点距球台左边缘O点的水平距离为，球在己方台面上反弹后恰好掠过球网并落在对方球台边缘P处，虚线为乒乓球运动的轨迹。已知乒乓球在台面上反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变但方向相反，Q为乒乓球在己方台面上的落点，O、P、Q在同一直线上，且与球台侧边平行，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．发球点距O点的竖直高度为 B．发球点距O点的竖直高度为 C．发球速度大小为 D．发球速度大小为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】平抛运动速度的计算、平抛运动位移的计算 【详解】从乒乓球反弹到运动到最高点逆过程看做反向平抛运动，则整个运动可看作3次平抛运动，总的水平位移为 每次平抛运动 则乒乓球从反弹在掠过球网到运动到最高点的 看作反向平抛运动，设发球点距O点的竖直高度为H，此过程运动时间为，则 以上各式联立，解得 故选C。 二、多选题（共12分） 9．（本题6分）如图所示，质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，重力加速度大小为，当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为时。则下列说法中正确的是（　　） A．P的速率为 B．P的速率为 C．绳的拉力大于 D．绳的拉力小于 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】斜牵引运动的运动分解、牛顿第二定律的简单应用 【详解】AB．将小车的速度v分解为沿细绳方向的速度和垂直细绳方向的速度，则P的速度等于沿细绳方向的速度，即的速率为，选项A错误，B正确； CD．小车以速率水平向右做匀速直线运动时，细绳和水平方向的夹角为减小，可知P的速度变大，即P沿斜面做加速运动，根据 可知绳的拉力 选项C正确，D错误。 故选BC。 10．（本题6分）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】杆连接物体运动的分析 【详解】AB．设轻杆与竖直方向的夹角为θ，则v1在沿杆方向的分量为 v2在沿杆方向的分量为 而，图示位置时，有 ， 联立可得此时甲、乙两球的速度大小之比为 故A错误，B正确； CD．当甲球即将落地时，有，此时甲球的速度达到最大，而乙球的速度为零，故C错误，D正确。 故选BD。 三、实验题（共16分） 11．（本题6分）用玻璃管演示红蜡块运动的实验过程如图所示，红蜡块在水平方向和竖直方向均做匀速直线运动。以红蜡块开始运动的时刻为计时零点，运动的起点为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。红蜡块沿水平方向和竖直方向的速度大小分别为、。 (1)0~t时间内红蜡块沿y轴方向的位移大小为 （用t、表示），合速度大小为 （用、表示）； (2)实际情况下，红蜡块在竖直向上做的是先加速后很快匀速的运动，则实验中观察到红蜡块的运动轨迹大致为______（填标号）。 A． B． C． 【答案】(1) (2)C 【难度】0.85 【知识点】研究蜡块运动的分解 【详解】（1）[1]0~t时间内红蜡块沿y轴方向的位移大小为 [2]合速度大小为 （2）红蜡块在竖直向上做的是先加速后很快匀速的运动，由于水平方向速度不变，可知在加速过程中运动相同的水平位移时，时间相同，由于竖直方向速度在增大故该段过程相同水平方向位移间隔内竖直方向的位移在增大，即图线向下凸起。 故选C。 12．（本题10分）采用如下图所示的实验装置做”探究平抛运动的特点”的实验。 （1）实验时不需要下列哪个器材 填器材前的字母 A．弹簧测力计   B．重垂线   C．打点计时器  D．坐标纸 （2）以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有 。 A．要求斜槽轨道保持水平且光滑 B．每次小球释放的初始位置可以任意选择 C．每次小球应从同一高度由静止释放 D．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接 （3）如图为一小球做平抛运动时用闪光照相的方法获得的相片的一部分，图中背景小方格的边长为1.25cm取，则： ①拍摄时间 S； ②图中点 平抛的起点选填“是”或“不是”； ③小球运动的初速度v0= m/s； ④小球过点的竖直方向速度vBy= m/s。 【答案】 AC C 0.05 不是 1 【难度】0.85 【知识点】研究物体平抛运动实验的步骤和数据处理、研究物体平抛运动实验的目的、原理、器材 【详解】（1）[1]A．该实验不需要测量小球的重力，所以不需要弹簧测力计，因此A不需要； B．实验时需要用重锤线确定y轴，故B需要； C．该实验是用刻度尺来测量位移，用竖直方向做自由落体法求时间，故C不需要； D．坐标纸用来记录小球轨迹和数据分析，故D需要。 故选AC。 （2）[2]A．该实验需要要求斜槽轨道有一定倾斜角度，末端水平且光滑，故A不合理； BC．由于要画同一运动的轨迹，必须每次在相同位置静止释放小球，以保证相同的初速度，故B不合理，C合理； D．描点法描绘运动轨迹时，应将各点连成平滑的曲线，不能连成折线或者直线，故D不合理。 故选C。 （3）[3][4][5][6]根据可得 因与竖直位移之比为，不是从开始的连续奇数比，可知点不是平抛的起点位置，初速度 通过点的竖直速度 四、解答题（共40分） 13．（本题8分）小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 【答案】（1）；（2）， 【难度】0.85 【知识点】过河时间最短问题 【详解】（1）设船头与河岸的夹角为，由图乙知，河宽为，则小船渡河的时间 当时，即当船头垂直河对岸行驶时，小船渡河的时间最短，小船渡河的最短时间 （2）当河水的流速最大（设为）时，小船渡河的速度最大，有 其中 解得 小船渡河的最大速度与河岸下游的夹角满足 解得 14．（本题14分）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 【答案】 【难度】0.65 【知识点】平抛运动速度的计算 【详解】频闪仪每隔0.05s发出一次闪光，每相邻两个球之间被删去3个影像，故相邻两球的时间间隔为 设抛出瞬间小球的速度为，每相邻两球间的水平方向上位移为x，竖直方向上的位移分别为、，根据平抛运动位移公式有 令，则有 已标注的线段、分别为 则有 整理得 故在抛出瞬间小球的速度大小为 15．（本题18分）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。 （1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。 （2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。 （3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。 【答案】（1）；（2）；（3），或， 【难度】0.15 【知识点】平抛运动位移的计算、牛顿定律与直线运动-复杂过程 【详解】（1）虫子做匀加速直线运动，青蛙做平抛运动，由几何关系可知 青蛙做平抛运动，设时间为，有 联立解得 ， （2）若蛙和虫同时开始运动，时间均为，则虫的水平分加速度和竖直分加速度分别为 ， 相遇时有 解得 则最小的坐标为 若蛙和虫不同时刻出发，轨迹相切时，青蛙的平抛运动有 ， 可得轨迹方程为 虫的轨迹方程为 两轨迹相交，可得 整理可知 令，即 解得 虫在x轴上飞出的位置范围为 （3）设蛙的运动时间为，有 解得 ， 若青蛙两次都向右跳出，则 解得 ， 若青蛙一次向左跳出，一次向右跳出，则 解得 ， 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5章 曲线运动 章末复习（解析版） 目录 一、单元思维导图 2 二、主要知识点 2 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 2 知识点2：运动的合成与分解 3 知识点3：平抛运动的基本规律 3 三、重难点讲解 5 重难点1：小船渡河问题 5 题型1：船速大于水流速度 6 题型2：船速小于水流速度 8 题型3：小船渡河模型的另类应用 9 重难点2：速度关联问题 11 题型4：绳关联问题 12 题型5：杆关联问题 14 重难点3：与斜面有关的平抛运动 16 题型6：从斜面上抛问题 17 题型7：对着斜面抛问题 19 题型8：平抛运动中的追击相遇问题 21 重难点4：斜抛运动 23 题型9：斜抛运动 24 四、单元检测 27 一、单元思维导图 二、主要知识点 知识点1：物体做曲线运动的条件与轨迹分析 1. 曲线运动 （1） 定义：物体的运动轨迹是曲线的运动，如水平抛出的小球，绕地球运转的卫星等； （2） 速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向； （3）运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动是变速运动； 2. 物体做曲线运动的条件 当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。 3. 对物体做曲线运动条件的理解 （1）无力不转弯，转弯必有力；曲线运动是变速运动，因此必定有加速度，而力是产生加速度的原因，因此做曲线运动的物体在任何时刻受到的合力都不是0. （2）从力的效果理解曲线运动的条件：当物体受到的合力的方向跟物体的速度方向不在同一条直线上，而是成一定角度时，合力产生的加速度方向跟速度方向也成一定角度. 4. 合力方向与轨迹的关系 （1）物体做曲线运动的轨迹夹在合力方向与速度方向之间，并且轨迹向力的方向弯曲； （2）合力方向指向轨迹的“凹”侧。 5. 速率变化情况的判断 （1）当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大 （2）当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小 （3）当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变 知识点2：运动的合成与分解 1. 遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则. 2. 合运动与分运动的关系 （1）等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止. （2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响. （3）等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果. 3. 合运动的性质判断 4. 两个直线运动的合运动性质的判断 标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线. 两个互成角度的分运动 合运动的性质 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 如果v合与a合共线，为匀变速直线运动 如果v合与a合不共线，为匀变速曲线运动 知识点3：平抛运动的基本规律 1. 平抛运动的条件和性质 （1）条件：物体只受重力作用，具有水平方向的初速度。 （2）性质：加速度恒定，竖直向下，是匀变速曲线运动。 2. 平抛运动的规律 （1）规律：（按水平和竖直两个方向分解可得） （2）水平方向：不受外力，以v0为速度的匀速直线运动， （3）竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动， （4）平抛运动的轨迹：是一条抛物线 （5）合速度：大小：即， （6）方向：v与水平方向夹角为，即 （7）合位移：大小：即， （8）方向：S与水平方向夹角为，即 （9） 两个推论： ①做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中A点和B点所示，即xB＝. ②做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ. 3. 对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间 由竖直方向上的自由落体运动，可以得到时间，可见，平抛运动在空中的飞行时间由抛出点到落地点的竖直距离和该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，抛体飞行的时间就越长，与抛出时的初速度大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程，可以写出其水平射程 可见，在g一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 4. 小结：平抛运动的分解方法与技巧 （1）如果知道速度的大小或方向，应首先考虑分解速度. （2）如果知道位移的大小或方向，应首先考虑分解位移. （3）两种分解方法： ①沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动； ②沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的匀减速运动. 三、重难点讲解 重难点1：小船渡河问题 1. 船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动. 2. 三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度). 3. 三种情景 （1）过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽). （2）过河路径最短(v2<v1时)：合速度垂直于河岸时，航程最短，s短＝d。船头指向上游与河岸夹角为α，cos α＝. （3）过河路径最短(v2>v1时)：合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河.确定方法如下：如图8所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短.由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d. 4. 小结：小船渡河问题的处理方法 求解小船渡河问题有两类：一是求最短渡河时间，二是求最短渡河位移，无论哪类都必须明确以下四点： （1）解决这类问题的关键是：正确区分分运动和合运动，船的航行方向也就是船头所指方向的运动，是分运动，船的运动也就是船的实际运动，是合运动，一般情况下与船头指向不共线. （2）运动分解的基本方法是按实际效果分解，一般用平行四边形定则沿水流方向和船头指向分解. （3）渡河时间只与垂直河岸的船的分速度有关，与水流速度无关. （4）求最短渡河位移时，根据船速v船与水流速度v水的大小情况用三角形定则求极限的方法处理. 题型1：船速大于水流速度 1．（23-24高一下·广东肇庆·期末）某地防汛演练中，战士驾驶小船进行救援，河岸是平直的，河宽120m。船在静水中的速度为4m /s，水流速度为3m /s，下列说法正确的是（    ） A．若小船渡河的位移最短，则渡河时间为 30 s B．调整船头的方向，小船渡河的时间可能为 40 s C．调整船头的方向，小船在河水中的合速度可能达到10 m/s D．若船头方向始终垂直于河岸渡河，则渡河位移为120m 2．（多选）（23-24高一下·陕西西安·期末）一艘小船从河岸A处出发渡河，若小船保持船头与河岸垂直，则经过40s到达正对岸下游120m的C处，如图所示。若小船船头保持与河岸成α角方向行驶，则经过50s恰好到达正对岸的B处。小船在静水中的速度大小和水流速度均不变，下列说法正确的是（    ） A．水流速度大小为4m/s B．船在静水中的速度大小为5m/s C．河宽为150m D． 3．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）2023年夏季，中国北方地区遭遇了罕见的持续暴雨天气，京津冀地区多地遭受洪涝灾害，河北省涿州市成为受灾最为严重的地区之一。救援小组在某次救援时，船由河岸的A点出发，经过一段时间到达对岸，已知水速为，船在静水中的速度为，两河岸的最近距离为d。下列说法正确的是（　　） A．若，船渡河的最小位移为d B．船到达对岸时的速度一定大于 C．船渡河的最短时间为 D．若v2>v1船渡河的位移最短时，船渡河的时间为 4．（23-24高一上·四川成都·期末）如图，小船在静水中的速度为v1=5m/s，当小船在A处，船头与上游河岸夹角θ=53°过河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d=240m，小船在静水中速度大小不变，水流的速度不变，sin53°=0.8，cos53°=0.6则下列说法中正确的（　　） A．河中水流速度为4m/s B．小船的此次渡河时间为60s C．小船若重新渡河，其渡河的最短时间为80s D．若小船在此次渡河过程中，水流速度突然增大，则小船渡河时间增大 5．（多选）（22-23高一下·福建福州·期末）双人皮划艇决赛中，假设在一段平直的河道中水流速度为，皮划艇在静水中的速度为，河道宽为d，运动员划动皮划艇过河，则下列说法正确的是（　　） A．调整皮划艇船头方向，一定能够到达河的正对面 B．皮划艇船头对着正对岸时，过河时间最短 C．若水流速度增大，则皮划艇过河最短时间减小 D．若皮划艇能到达河正对面，则皮划艇过河时间为 题型2：船速小于水流速度 6．（22-23高一上·吉林通化·期末）两岸平行的河流，宽度为300m，各处河水流速均为4m/s。小船在静水中的速度为5m/s，则（　　） A．若小船要以最短时间过河，则航程为300m B．若船头与上游河岸夹角合适，则过河所需的时间可能为55s C．若小船要以最短航程过河，则所需的时间为100s D．船头垂直河岸过河时，如果途中河水流速突然增大，则过河时间将增大 7．（多选）（23-24高一上·重庆沙坪坝·期末）如图所示，在某次运输作业中，小船从河岸的A点出发，到达河中一小岛B上取得物资后将其送上河的另一岸，到达河岸的位置没有要求，已知河宽200m，水流速度处处平行于河岸，大小为，小船在静水中行驶的速度为4m/s。下列说法正确的是（　　） A．要经过小岛B。小船渡河的最短时间大于50s B．小船到达河对岸的最小路程为281.25m C．小船以最小路程到达河岸后能够原路返回 D．若小船在静水中行驶速度可变，小船要沿直线从A运动到B，最小行驶速度为2.75m/s 8．（22-23高一上·湖北孝感·期末）如图所示，甲、乙两船从A、B两个码头同时开始渡河，船头与河岸均成60°角，两船在静水中的速度大小相等，甲船出发时船头刚好指向C点，乙船恰能沿BC到达正对岸的C点，则下列说法正确的是（　　）    A．两船不会相遇 B．两船在C点相遇 C．两船在AC的中点相遇 D．两船在BC的中点相遇 9．（22-23高一下·广东广州·期中）如图，有一条宽为的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为，水流速度为，下列说法正确的是（　　） A．小船在河水中行驶轨迹为曲线 B．小船在河水中的速度为 C．小船渡河时间为 D．小船在渡河过程中位移大小为 10．（2022·福建福州·模拟预测）洪水无情人有情，每一次重大抢险救灾，都有子弟兵的身影。如图所示，水速为v，消防武警驾驶冲锋舟若采取冲锋舟最小速度和船头正对河岸两种行驶方案，沿与平直河岸成30°角的线路把被困群众从A处送到对岸安全地B处，则两种方案中冲锋舟最小速度v1和船头正对河岸的冲锋舟速度v2之比为（　　） A． B． C． D． 题型3：小船渡河模型的另类应用 11．如图所示，某同学将一张矩形素描纸贴着水平桌面边缘以恒定速度抽出，同时另一位同学从素描纸边缘A点用铅笔以恒定速度在素描纸上画线，画完后发现素描纸被画线分割成两个矩形。已知素描纸的宽度为，下列说法正确的是（　　） A．画线速度方向与素描纸宽边平行 B．画线速度与抽纸速度的夹角为 C．铅笔在素描纸上画线的时间约为4s D．铅笔在素描纸上画线的时间约为5s 12．（2022·河北秦皇岛·三模）《西游记》中，一只大龟浮水作舟，驮着唐僧师徒四人和白龙马渡过了通天河。已知大龟在静水中游动的速度大小与河水的流速大小之比为2∶1，出发点A到正对岸B点的距离为d，河岸平直。若大家以最短的时间渡河，则大家上岸的地点与B点的距离为（　　） A． B． C． D． 13．（22-23高一下·四川甘孜·阶段练习）跑马射箭是民族马术中的一个比赛项目，如图甲所示，运动员需骑马在直线跑道上奔跑，弯弓射箭，射击侧方的固定靶标，该过程可简化为如图乙（俯视图）所示的物理模型：假设运动员骑马以大小为的速度沿直线跑道匀速奔驰，其轨迹所在直线与靶心的水平距离为d。运动员应在合适的位置将箭水平射出，若运动员静止时射出的弓箭速度大小为（大于），不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．运动员应瞄准靶心放箭 B．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为 C．为保证箭能命中靶心且在空中运动的时间最短，箭射中靶心的最短时间为 D．为保证箭能命中靶心且在空中运动的距离最短，箭射中靶心的时间为 14．（多选）（23-24高一下·湖北·开学考试）骑马射箭是蒙古族传统的体育项目，如图所示。在某次比赛中，选手骑马沿直线AB匀速前进，速度大小为，射出的箭可看作做匀速直线运动，速度大小为，靶中心距AB所在竖直面的垂直距离为d，某次射箭时箭的出射点恰好与靶心等高，下列说法正确的是（　　） A．为确保可以命中靶心，且箭运动时间最短，箭射出方向需指向靶心 B．为确保可以命中靶心，且箭运动时间最短，箭的运动时间为 C．为确保可以命中靶心，且箭运动位移最短，若，则最短位移为d D．为确保可以命中靶心，且箭运动位移最短，若，则命中时的速度大小为 15．（22-23高一下·浙江温州·期末）如图所示，两同学在一张白纸上，共同研究运动的合成规律，甲同学手拿铅笔，让笔尖从O点开始，沿着直尺向右匀速画线，与此同时，乙同学推动直尺紧贴纸面沿着y轴正方向做初速度为零的加速运动，该过程中直尺始终与x轴平行，则铅笔在白纸上留下的痕迹可能是（　　） A．B．C． D． 重难点2：速度关联问题 1. 模型特点 沿绳(杆)方向的速度分量大小相等. 2. 思路与方法 合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v 分速度→ 方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则. 3. 解题的原则 把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图所示. 题型4：绳关联问题 16．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，有人在河面上方20 m的岸上用跨过定滑轮的长绳拴住小船，开始时绳与水面的夹角为30°。人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，那么（　　） A．5 s时绳与水面的夹角为60° B．5 s时小船前进了15 m C．5 s时小船的速率为5 m/s D．5 s时小船到岸边距离为10 m 17．（多选）（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）如图所示，物体A和B分别用不可伸长的轻绳连接跨过定滑轮（不计摩擦）。当用水平力F拉物体B水平向右做匀速直线运动的过程中（　　） A．物体A也做匀速直线运动 B．绳子的拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速率小于物体B的速率 D．拉力F保持不变 18．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期中）如图所示，质量为m的物体通过一根跨过光滑定滑轮的轻绳与汽车相连，汽车以速度 v向右做匀速直线运动，细绳与水平面间夹角为θ，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．物体做匀加速直线运动 B．物体的速度大小为 C．物体做加速运动且速度小于车的速度 D．绳子的拉力等于 mg 19．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮且不可伸长的轻绳与B相连，在外力作用下A沿杆以速度匀速上升经过、，经过点时绳与竖直杆间的角度为，经过点时A与定滑轮的连线处于水平方向，则（　　） A．经过点时，B的速度方向向下 B．经过点时，B的速度等于 C．当A从至的过程中，B处于失重状态 D．当A从至的过程中，B受到的拉力大于重力 20．（多选）（23-24高一上·山东德州·期末）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳跨过光滑定滑轮在另一端系一质量为m的小环，小环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d，重力加速度为g。现将小环在与定滑轮顶部等高的A处由静止释放，当小环沿直杆下滑距离也为d时（图中B处），下列说法正确的是（　　） A．小环释放后的极短时间内轻绳中的张力一定等于mg B．小环到达B处时，重物上升的高度为（﹣1）d C．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为 D．小环到达B处时，小环的速度与重物速度大小之比为 题型5：杆关联问题 21．（多选）（23-24高一下·新疆巴音郭楞·期末）如图所示，O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑。已知墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲从a点运动到O点过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球甲的最大速度为 B．小球甲的最大速度为 C．小球甲运动到b点时，小球乙的速度为 D．小球甲运动到c点时，小球乙的速度为 22．（多选）（22-23高一下·四川遂宁·阶段练习）如图所示，一个长直轻杆两端分别固定小球A和B，竖直放置，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为L。由于微小的扰动，A球沿竖直光滑槽向下运动，B球沿水平光滑槽向右运动，当杆与竖直方向的夹角为θ 时（图中未标出），关于两球速度vA与vB的关系，下列说法正确的是（　　） A．当时，A、B两球速度大小相等 B．当时，A球速度的大小小于B球速度 C． D． 23．如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成α角时，B球沿槽上滑的速度为vB，则此时A球的速度vA的大小为（　　） A．vB B． C． D．vBtanα 24．（多选）如图所示，有一个水平向左做匀速直线运动的半圆柱体，速度为，半圆柱面上搁着只能沿竖直方向运动的竖直杆，在竖直杆未下降到地面之前，下列说法正确的是（　　） A．竖直杆向下做加速直线运动 B．竖直杆向下做减速直线运动 C．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， D．杆同半圆柱体接触点和柱心的连线与竖直方向的夹角为时， 25．一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点），将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，如图所示，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成=30°角，B球的速度大小为v2，则（　　） A．v2=v1 B．v2=2v1 C．v2=v1 D．v2=v1 重难点3：与斜面有关的平抛运动 1. 沿着斜面平抛 （1）斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ，v0 θ( )α )α y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝。 （2）斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。 2. 垂直撞斜面平抛运动 方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形 v0 )θ H H-y x 3. 撞斜面平抛运动中的最小位移问题 v0 )θ θ 过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ. 题型6：从斜面上抛问题 26．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示，将一可视为质点的小球从倾角为α的斜面顶端A点以不同速度水平抛出，第一次落在B点；第二次落在斜面底端C点，已知AB∶BC = 1∶3，则关于两次小球运动情况，下列说法正确的是（　　） A．两次小球在空中的时间之比为 B．两次小球水平抛出的初速度之比为 C．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 D．两次小球击中斜面时速度与斜面夹角之比为 27．如图所示，从倾角为的斜面上的A点以水平速度抛出一个小球，不计空气阻力，重力加速度大小为g，它落到斜面上B点所用的时间为（    ） A． B． C． D． 28．（多选）（2024·辽宁沈阳·模拟预测）如图所示，甲同学爬上山坡底端C点处的一棵树，从树上Q点正对着山坡水平抛出一个小石块，石块正好垂直打在山坡中点P。乙同学（身高不计）在山坡顶端的A点水平抛出一个小石块，石块也能落在P点。已知山坡长度，山坡与水平地面间夹角为，重力加速度为g，空气阻力不计，，，则（　　） A．甲同学抛出的小石块初速度大小为 B．甲同学抛出的小石块初速度大小为 C．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 D．甲、乙两同学抛出的石块在空中飞行的时间之比为 29．（2024·安徽合肥·三模）如图所示，在某次跳台滑雪比赛中，运动员以初速度从跳台顶端A水平飞出，经过一段时间后落在倾斜赛道上的B点，运动员运动到P点时离倾斜赛道最远，P点到赛道的垂直距离为PC，P点离赛道的竖直高度为PD，赛道的倾角为，重力加速度为g，空气阻力不计，运动员（包括滑雪板）视为质点。则C、D两点间的距离是（　　） A． B． C． D． 30．（2024高三·全国·专题练习）近年来，国家大力开展冰雪运动进校园活动，目前已有多所冰雪特色学校，蹬冰踏雪深受学生喜爱。如图所示，现有两名滑雪运动员（均视为质点）从跳台a处先后沿水平方向向左飞出，其速度大小之比为v1∶v2＝2∶1，不计空气阻力，则两名运动员从飞出至落到斜坡（可视为斜面）上的过程中，求： （1）他们飞行的时间之比； （2）他们飞行的水平位移之比； （3）他们在空中离坡面的最大距离之比。 题型7：对着斜面抛问题 31．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　) A．b与c之间某一点 B．c点 C．c与d之间某一点 D．d点 32．（多选）如图甲所示，挡板OA与水平面的夹角为，小球从O点的正上方高度为H的P点以速度水平抛出，落到斜面时，小球的位移与斜面垂直；让挡板绕固定的O点转动，改变挡板的倾角，小球平抛运动的初速度也改变，每次平抛运动都使小球的位移与斜面垂直，，之关系图像如图乙所示，重力加速度，下列说法正确的是（　　） A．图乙的图像对应的函数表达式为 B．图乙中a的数值为 C．若图乙中，则H的值为 D．若，图乙中，则平抛运动的时间为 33．如图所示，小球以初速度正对倾角为的斜面水平抛出，若小球到达斜面时位移方向垂直于斜面，则其飞行时间为（重力加速度为g，不计空气阻力）（    ） A． B． C． D． 34．（23-24高一下·安徽·阶段练习）如图所示是位于同一竖直平面内的游戏装置，M是固定的直三棱柱，O是三棱柱表面上的一点。N是倾角的固定斜面，A是斜面上距离O点水平距离的点。游戏时让小球从距离O点某高度处自由落下，在O点与三棱柱碰撞（不计碰撞时间），碰后速度方向水平向右，速度大小与碰前相同。若小球恰好垂直斜面打在A点为游戏取胜，重力加速度g取，，，不计空气阻力。求游戏取胜时： (1)小球落在A点的速度大小v； (2)小球自由下落时距离O点的高度H； (3)小球在空中运动的总时间t。 35．如图所示，倾角为37°的粗糙斜面的底端有一质量m＝1 kg的凹形小滑块，小滑块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，现让小滑块以某一初速度v从斜面底端上滑，同时在斜面底端正上方有一小球以初速度v0水平抛出，经过0.4 s，小球恰好垂直斜面方向落入凹槽，此时，小滑块还在上滑过程中。已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g＝10 m/s2，求： （1）小球水平抛出的速度v0； （2）小滑块的初速度v。 题型8：平抛运动中的追击相遇问题 36．（多选）（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）军事演习中，点的正上方离地高处的蓝军飞机以水平速度投掷一颗炸弹攻击地面目标，反应灵敏的红军的地面高炮系统同时在点右方地面上点以速度斜向左上方发射拦截炮弹，两弹恰在、连线的中点正上方相遇爆炸，不计空气阻力，则发射后至相遇过程（　　） A．两弹飞行的水平速度大小相等 B．初速度大小关系为 C．拦截弹相对攻击弹做匀速直线运动 D．两弹相遇点一定在距离地面高度处 37．（多选）（2024·湖南·二模）如图所示，小球从O点的正上方离地高处的P点以的速度水平抛出，同时在O点右方地面上S点以速度斜向左上方与地面成抛出一小球，两小球恰在O、S连线靠近O的三等分点M的正上方相遇。g取，若不计空气阻力，则两小球抛出后到相遇过程（　　） A．两小球相遇时斜抛小球处于下落阶段 B．两小球初速度大小关系为 C．OS的间距为60m D．两小球相遇点一定在距离地面30m高度处 38．如图所示，从O点正上方高H处的一点先后平抛两个小球1和2，球2直接恰好越过高为h的竖直挡板A落到水平地面上的B点，球1则与地面碰撞一次后，也恰好越过竖直挡板A，而后也落在B点。设球1与地面碰撞时水平分速度大小方向都不变，竖直分速度大小不变方向相反，球与地面碰撞的时间忽略不计，不计空气阻力，则以下说法正确的是（　　） A．挡板的高度为 B．两小球的水平初速度之比为 C．两小球越过挡板前在空中运动的时间之比为 D．A点到O点和A点到B点的水平距离之比为 39．（22-23高一上·江苏南京·期末）如图所示，在距地面高为的A处以水平初速度投掷飞镖，与A点水平距离为的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以速度匀速上升，在升空过程中恰好被飞镖击中。飞镖在飞行过程中空气阻力不计，飞镖和气球均视为质点，重力加速度为g。 （1）求飞镖击中气球时，飞镖竖直方向的分速度大小； （2）求开始掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔； （3）假设飞镖击穿气球后，水平方向分速度保持不变，竖直方向分速度减小为击穿前的二分之一，求飞镖的落地点与B点的水平距离x。    40．（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）某中学举办了“水火箭比赛”，同学们积极参与，展示了功能各异的水火箭。某组同学的水火箭可以实现“定点打靶”。将目标置于高的竖直墙面上，水火箭装置置于水平地面上A点，发射位置到墙体的水平距离，调整发射角度（为初速度与水平方向夹角），当初速度为时，水火箭恰好垂直墙体击中目标。不计空气阻力，取重力加速度大小，水火箭与目标均可视为质点。 (1)求水火箭发射的初速度； (2)若在水火箭前进方向的水平地面上B点放置一枚“拦截型”水火箭，其发射方向竖直向上，A点与B点距离为。为模拟真实的拦截效果，发射水火箭后后发射拦截火箭，要使拦截火箭拦截成功，则“拦截型”水火箭的发射速度v是多少。 重难点4：斜抛运动 1. 运动规律 （1）水平方向：不受外力，以为初速度做匀速直线运动 （2）水平位移； （3）竖直方向：竖直方向只受重力，初速度为，做竖直上抛运动，即匀减速直线运动 （4）任意时刻的速度和位移分别是 2. 轨迹方程 ，是一条抛物线如图所示： Y V0y V0 o V0x X 3. 对斜抛运动的研究 （1）斜抛物体的飞行时间： 当物体落地时，由 知，飞行时间 （2）斜抛物体的射程： 由轨迹方程 令y=0得落回抛出高度时的水平射程是 4. 两条结论： ①当抛射角时射程最远， ②初速度相同时，两个互余的抛射角具有相同的射程，例如300和600的两个抛射角在相同初速度的情况下射程是相等的。 ③斜上抛运动的射高： 斜上抛的物体达到最大高度时=0，此时 代入即得到抛体所能达到的最大高度 可以看出，当时，射高最大 题型9：斜抛运动 41．（24-25高三上·安徽·阶段练习）将一个小球从水平地面上同一点A先后两次抛出，两次小球均落在了水平面上同一点B，小球第一次的运动轨迹为1，第二次的运动轨迹为2。不计空气阻力，小球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．第一次小球抛出的初速度大 B．第二次小球抛出的初速度大 C．第一次小球在空中运动的时间长 D．第二次小球在空中运动的时间长 42．（2025·全国·模拟预测）某球员正对篮筐进行投篮练习，篮球出手后打到篮筐前沿没有入筐，如图所示。球场边录像机拍摄到球出手时手与篮筐前沿连线与水平方向夹角为11°，篮球出手速度大小为，方向与水平方向夹角为37°。若篮筐前沿距地高度是，，，g取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，下列说法正确的是（　　） A．篮球从出手到打到筐前沿所用时间是 B．出手点到球筐前沿的水平距离是 C．篮球打到篮筐时的速度大小为 D．篮球在飞行过程中距地最大高度为 43．（24-25高三上·山东·阶段练习）运动员某次发球，将球从离台面高h0处发出，球落在A点反弹后又落在B点，两次擦边。A、B间距离为L，球经过最高点时离台面的高度为，重力加速度为g。若碰撞后竖直方向速度大小变为原来的一半，忽略球的旋转、空气阻力等因素。用v、θ（速度与水平方向的夹角）表示乒乓球离开球拍时的速度大小及方向，则（　　） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·全国·课前预习）如果物体被抛出时的速度v0不沿水平方向，而是斜向上方或斜向下方，且抛出后物体只受重力作用，则这个物体做斜抛运动，如图所示。 (1)斜抛运动也是曲线运动，那么我们应该采取什么样的方法来研究斜抛运动呢？ (2)做斜上抛运动的物体落回同一水平面的时间由什么因素决定？ (3)做斜上抛运动的物体上升的最大高度由什么因素决定？ (4)做斜上抛运动的物体水平射程由什么因素决定？在初速度v0大小不变的情况下，当初速度与水平方向的夹角θ为多少时，射程x最大？ 45．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）某同学课间站在操场上利用一个自制玩具做游戏，将两个小球A、B分别固定在一根较长的绳子两端并让两个小球自然垂下，左右手距地高度始终为1.44米不变，右手掐住小球A上方0.64m处的绳子，左手掐住小球B上方0.8m处的绳子。右手以及下方的小球A始终保持静止，左手控制下方的小球B以左手掐住绳子的点（可认为是静止的）为圆心、以的速度在竖直面做匀速圆周运动，当两个小球高度相同时左右手同时松开，观察到A小球比B小球早落地，请通过计算说明两个小球落地的时间差。（绳子的质量可以忽略不计，，，。） 四、单元检测 60分钟限时检测卷 一、单选题（共32分） 1．（本题4分）关于曲线运动，下列说法中正确的是（　　） A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变 B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动 C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上 D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动 2．（本题4分）运动员将排球击出后，排球在空中划出一段优美的弧线，如图中虚线所示。则排球在P点处受到的合外力方向可能正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（本题4分）如图所示，在浩瀚的大海上，帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行，帆船以大小为的速度朝正北方向航行。若以帆船为参考系，则下列说法正确的是（　　） A．帆板朝正南方向航行，速度大小为v B．帆板朝正东方向航行，速度大小为v C．帆板朝南偏东30°方向航行，速度大小为2v D．帆板朝北偏东30°方向航行，速度大小为2v 4．（本题4分）在一次施工中，塔吊将重物从点吊起，从起吊开始计时，以为原点，设水平向右为方向、竖直向上为方向，重物、方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物（　　）    A．在水平方向做匀变速直线运动 B．运动轨迹为抛物线 C．内的位移大小为 D．在相等时间内的速度变化量不相等 5．（本题4分）如图所示，某同学站在篮球架的正前方练习定点投篮，已知篮球投出时篮筐与篮球球心的高度差为1.13m，篮球球心与篮筐边缘的最短水平距离为4.0m，篮球的直径为24cm，重力加速度g取10m/s2，不计空气阻力。若某次投篮练习中，篮球在到达最高点时，篮球底部刚好可以越过篮筐边缘，则篮球投出时的速度大小为（　　） A．5m/s B．8m/s C． D． 6．（本题4分）如图所示，圆弧形凹槽固定在水平地面上，其中ABC是以O为圆心的一段圆弧，位于竖直平面内。现有一小球从水平桌面的边缘P点向右水平飞出，该小球恰好能从A点沿圆弧的切线方向进入凹槽。OA与竖直方向的夹角为θ1，PA与竖直方向的夹角为θ2。下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（本题4分）某运动员在练习投掷铅球时，两次将铅球以相同速率从点抛出，如图所示，两次铅球均落在位置，第一次抛出时速度方向水平，第二次抛出时速度方向与水平方向的夹角为，已知抛出点与落地点的竖直高度差为，水平距离为，重力加速度为，不计空气阻力，下列关于的关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（本题4分）如图所示，乒乓球台的水平长度为2L，中间的球网高度为h，运动员在球台左上方将球水平发出，发球点距球台左边缘O点的水平距离为，球在己方台面上反弹后恰好掠过球网并落在对方球台边缘P处，虚线为乒乓球运动的轨迹。已知乒乓球在台面上反弹前后的水平分速度不变，竖直分速度大小不变但方向相反，Q为乒乓球在己方台面上的落点，O、P、Q在同一直线上，且与球台侧边平行，不考虑乒乓球的旋转和空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．发球点距O点的竖直高度为 B．发球点距O点的竖直高度为 C．发球速度大小为 D．发球速度大小为 二、多选题（共12分） 9．（本题6分）如图所示，质量为的物体P置于倾角为的固定光滑斜面上，轻质细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率水平向右做匀速直线运动，重力加速度大小为，当小车与滑轮间的细绳和水平方向的夹角为时。则下列说法中正确的是（　　） A．P的速率为 B．P的速率为 C．绳的拉力大于 D．绳的拉力小于 10．（本题6分）甲、乙两光滑小球（均可视为质点）用铰链与轻直杆连接，乙球处于光滑水平地面上，甲球套在光滑的竖直杆上，初始时轻杆竖直，杆长为4m。无初速度释放，使得乙球沿水平地面向右滑动，当乙球距离起点3m时，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两球的速度大小之比为 B．甲、乙两球的速度大小之比为 C．甲球即将落地时，乙球的速度与甲球的速度大小相等 D．甲球即将落地时，甲球的速度达到最大 三、实验题（共16分） 11．（本题6分）用玻璃管演示红蜡块运动的实验过程如图所示，红蜡块在水平方向和竖直方向均做匀速直线运动。以红蜡块开始运动的时刻为计时零点，运动的起点为坐标原点O，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系。红蜡块沿水平方向和竖直方向的速度大小分别为、。 (1)0~t时间内红蜡块沿y轴方向的位移大小为 （用t、表示），合速度大小为 （用、表示）； (2)实际情况下，红蜡块在竖直向上做的是先加速后很快匀速的运动，则实验中观察到红蜡块的运动轨迹大致为______（填标号）。 A． B． C． 12．（本题10分）采用如下图所示的实验装置做”探究平抛运动的特点”的实验。 （1）实验时不需要下列哪个器材 填器材前的字母 A．弹簧测力计   B．重垂线   C．打点计时器  D．坐标纸 （2）以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有 。 A．要求斜槽轨道保持水平且光滑 B．每次小球释放的初始位置可以任意选择 C．每次小球应从同一高度由静止释放 D．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接 （3）如图为一小球做平抛运动时用闪光照相的方法获得的相片的一部分，图中背景小方格的边长为1.25cm取，则： ①拍摄时间 S； ②图中点 平抛的起点选填“是”或“不是”； ③小球运动的初速度v0= m/s； ④小球过点的竖直方向速度vBy= m/s。 四、解答题（共40分） 13．（本题8分）小船在静水中的速度大小与时间t的关系如图甲所示，河水的流速与小船离河岸的距离d的变化关系如图乙所示，河岸平直。取。求： （1）小船渡河的最短时间； （2）在小船以最短时间渡河的情况下，小船渡河的最大速度及其与河岸下游的夹角。 14．（本题14分）将一小球水平抛出，使用频闪仪和照相机对运动的小球进行拍摄，频闪仪每隔发出一次闪光。某次拍摄时，小球在抛出瞬间频闪仪恰好闪光，拍摄的照片编辑后如图所示。图中的第一个小球为抛出瞬间的影像，每相邻两个球之间被删去了3个影像，所标出的两个线段的长度和之比为3：7。重力加速度大小取，忽略空气阻力。求在抛出瞬间小球速度的大小。 15．（本题18分）小明设计了一个青蛙捉飞虫的游戏，游戏中蛙和虫都在竖直平面内运动。虫可以从水平x轴上任意位置处由静止开始做匀加速直线运动，每次运动的加速度大小恒为（g为重力加速度），方向均与x轴负方向成斜向上（x轴向右为正）。蛙位于y轴上M点处，，能以不同速率向右或向左水平跳出，蛙运动过程中仅受重力作用。蛙和虫均视为质点，取。 （1）若虫飞出一段时间后，蛙以其最大跳出速率向右水平跳出，在的高度捉住虫时，蛙与虫的水平位移大小之比为，求蛙的最大跳出速率。 （2）若蛙跳出的速率不大于（1）问中的最大跳出速率，蛙跳出时刻不早于虫飞出时刻，虫能被捉住，求虫在x轴上飞出的位置范围。 （3）若虫从某位置飞出后，蛙可选择在某时刻以某速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为；蛙也可选择在另一时刻以同一速率跳出，捉住虫时蛙与虫的运动时间之比为。求满足上述条件的虫飞出的所有可能位置及蛙对应的跳出速率。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$