江苏省泰州市靖江市2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

2023-2024学年江苏省泰州市靖江市九年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数中，y一定是x的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.甲、乙两名同学参加跳绳训练，他们成绩的平均数相同，成绩方差如下：，，则成绩较稳定的同学是(    ) A. 甲 B. 乙 C. 一样稳定 D. 无法判断 3.神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是我们知道圆盘一周为，，这体现了(    ) A. 轴对称 B. 旋转 C. 平移 D. 黄金分割 4.以点为圆心画，若的半径，则与x轴的位置关系是(    ) A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定 5.已知正六边形ABCDEF的半径为6，则这个正六边形的面积为(    ) A. 54 B. C. 36 D. 6.已知一元二次方程的较小根为，则下面对的估计正确的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.______. 8.已知一组数据96，89，92，95，98，这组数据的极差是______. 9.小明制作了如图所示的三角形标靶，其中是直角三角形，，，D为AB的中点，现以C为圆心、CD长为半径画弧，交CA于点E，则图中扇形CED的面积是______. 10.将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为______. 11.如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为，看这栋楼底部C的俯角为，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是______结果保留根号 12.如图，点A、B、C、D、E在上，的度数为，则的度数是______. 13.如图，AB是的直径，E是上异于A、B的一点，连接AE、BE，直径交AE于点P，且D在优弧ABE上，若，，则PC的长为______. 14.已知二次函数、b、c为常数，且中，函数值y与自变量x之间满足下列数量关系： x … 0 1 2 3 … y … … 则方程的实数根为______. 15.如图，直线与x轴y轴分别交于A、B两点，与双曲线在第二象限内交于点当点A的坐标为，且时，k的值为______. 16.已知直线：与直线：交于点，则代数式取最大值时，点P到原点的距离为______. 三、解答题：本题共10小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题12分 计算：； 解方程： 18.本小题8分 交警部门在一个路口对某个时段来往的车辆的车速进行监测假设监测车速均为整数，统计数据如下表： 车速 40 41 42 43 44 45 频数 6 8 15 a 3 2 其中车速为单位：的车辆数分别占监测的车辆总数的、 求出表格中a的值； 结合调查，估计该路口此时段车速的中位数是______； 如果一辆汽车行驶的车速不超过时，就认定这辆车安全行驶.若一年内在该时段通过此路口的车辆有20000辆，试估计其中安全行驶的车辆数. 19.本小题8分 已知关于x的一元二次方程 若该方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围； 在的条件下，该方程有一个实数根为，求方程的另一个根和a的值. 20.本小题8分 我国通过药品集中采购，大大减轻了群众的医药负担.如果某种药品经过两次降价，药价从每盒140元下调至35元，求平均每次降价的百分率是多少？ 21.本小题10分 如图，AB是的直径，D为上异于A、B的一点，点C在BA的延长线上，且求证：CD是的切线. 22.本小题10分 如图，在河对岸有一灯杆AB，在灯光下，小丽在点D处测得自己的影长，沿BD方向前进到点F处测得自己的影长设小丽的身高为，即，求灯杆AB的高度. 23.本小题10分 2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星“机械臂成功发射.如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为机械臂，，，，A、C两点之间的距离为， 求出手臂机器人处于目前工作状态下时，点C到工作台的距离； 求机械臂BC的长. 参考数据：，， 24.本小题10分 某剧院举办文艺演出，经调研，如果票价定为每张30元，那么1200张门票可以全部售出；但如果票价每张增加x元，则售出的门票数量张与元的函数关系部分图象如图所示. 由图象可知，票价每增加1元，则门票数量会减少______张； 要使门票收入恰好为36270元，票价应定为每张多少元； 销售总监认为：票价越高，则门票收入越高.请你从数学的角度进行判断、分析是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请你给出建议，当票价定为多少时，门票收入最高. 25.本小题12分 已知点A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为弧AB所对的圆周角. [知识回顾] 如图1，在中，点A、C位于直线OB的异侧， ①求的度数； ②若的半径为10，，求AC的长； [知识应用] 尺规作图：如图2，EF是的直径，O为圆心，在直径EF上方的半圆上找两点M、N，使得保留作图痕迹，不写作法； [逆向思考] 如图3，若P为圆内一点，且，，求证：点P为该圆的圆心. 26.本小题14分 如图1，已知二次函数、b、c为常数，且的图象，与x轴交于A、B两点点在B点左侧，与y轴交于点，且其函数表达式可以变形为的形式.已知点P为该抛物线在第一象限内的一动点，设其横坐标为 求出点A、点B的坐标和该二次函数的表达式； 连接BC，过点P作轴于点Q，交BC于点N，直线AP交y轴于点M，连接 ①求出直线AP的函数表达式用含有m的代数式表示； ②设四边形MNQO的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求S的最大值； 如图2，若直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点H，直线AP，BP分别交直线l于点E、在点P运动的过程中，是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解：由二次函数的定义可得是二次函数， 故选： 形如、b、c为常数，的函数叫做二次函数，由此判断即可． 本题考查了二次函数的定义，熟知二次函数的定义是解题的关键． 2.【答案】A  【解析】解：因为，， 所以， 所以成绩较稳定的同学是甲． 故选： 根据方差的意义求解可得． 本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 3.【答案】D  【解析】解：因为是黄金分割数， 所以体现了黄金分割． 故选： 根据黄金分割的定义判断即可． 本题考查了黄金分割，解题的关键是理解黄金分割的定义，属于中考常考题型． 4.【答案】A  【解析】解：点P的坐标为， 点P到x轴的距离是2， 的半径，， 以点为圆心，与x轴的位置关系相离， 故选： 先求出点P到x轴的距离，再根据直线与圆的位置关系得出选项即可． 本题考查了坐标与图形的性质和直线与圆的位置关系等知识点，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：如图，由正六边形的性质可知，，是正三角形， ， 故选： 根据正六边形的性质，正三角形的性质以及直角三角形的边角关系，三角形面积的计算方法进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正六边形的性质，正三角形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 6.【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了求一元二次方程的解和估算无理数的大小的应用，关键是求出方程的解和能估算无理数的大小．求出方程的解，求出方程的最小值，即可求出答案． 【解答】 解：， ， ， 方程的最小值是， ， ， ， ， 故选 7.【答案】  【解析】解： 故答案为： 根据特殊角的三角函数值即可求解． 考查了特殊角的三角函数值，是基础题目，比较简单． 8.【答案】9  【解析】解：这组数据的极差为， 故答案为： 根据极差的定义求解即可． 本题主要考查极差，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差． 9.【答案】  【解析】解：是直角三角形，且D为斜边AB的中点， ， 故答案为： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，得出CD的长，再求出的度数即可解决问题． 本题考查扇形面积的计算及直角三角形斜边上的中线，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及扇形的面积公式是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：将抛物线向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度后，所得抛物线的表达式为 故答案为： 直接利用平移规律“左加右减，上加下减”解题． 本题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 11.【答案】  【解析】解：过点A作，垂足为D， 由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， ， 这栋楼的高度是， 故答案为： 过点A作，垂足为D，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 连接AB，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】 解：连接AB， 的度数为， ， 四边形ABCD内接于， ， ， 故答案为： 13.【答案】9  【解析】解：是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ， ， 故答案为： 根据圆周角定理及勾股定理求出，根据三角形中位线的判定与性质求出，再根据线段的和差求解即可． 此题考查了圆周角定理、勾股定理，根据圆周角定理求出是解题的关键． 14.【答案】，  【解析】解：由图中数据可知：该抛物线的对称轴是直线， 则点关于对称轴的对称点为 所以方程的实数根为，， 故答案为：， 根据图表中的数据可以推知该抛物线的对称轴是直线，所以由抛物线的轴对称性质求得点关于对称轴的对称点为由此得到答案． 本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．解题时，需要熟悉二次函数与一元二次方程的关系． 15.【答案】  【解析】解：将点A的坐标代入直线解析式得：， ， 直线解析式为， 令，， ， 线段AB的中点D坐标为， ， 点A是线段CD的中点， 点在反比例函数的图象上， 故答案为： 将A点坐标代入解析式求出b值，得到点B坐标，根据条件可得线段AB中点坐标，再利用中点坐标公式求出点C坐标即可得到k值． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用中点坐标公式求出点C的坐标是关键． 16.【答案】5  【解析】解：把点分别代入或得，，， ，， ， ， 当时，代数式取得最大值， 点， 点P到原点的距离为：， 故答案为： 把点分别代入或即可得到，，代入得到，然后利用二次函数的性质得到当时，代数式取得最大值，从而求得，利用勾股定理即可求得结果． 本题是两条直线相交问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，能够把得到是解题的关键． 17.【答案】解：原式 ； ， ， 则，即， ， ，  【解析】先计算绝对值、负整数指数幂、算术平方根、代入三角函数值，再计算加减即可； 利用配方法求解即可． 本题主要考查实数的运算和解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18.【答案】42  【解析】解：辆， ， 把车速从小到大排列，处于中间位置的是42，43， 则该路口此时段车速的中位数是， 监测车速均为整数， 故答案为：42； 一辆汽车行驶的车速不超过时， 时不是安全行驶， 辆， 答：安全行驶的车辆数约为19200辆． 利用“频率=频数总数”可得样本容量，再用样本容量乘即可得出a的值； 把车速从小到大排列，处于中间位置的是42，43，推测中位数即可； 根据题意求出安全行驶速度的范围，再利用样本估计即可． 此题考查了频数率分布表及用样本估计总体，正确列出算式并掌握运算法则是解答本题的关键． 19.【答案】解：根据题意得， 解得； 设方程的另一个根为t， 根据根与系数的关系得，， 解得，， 即方程的另一个根为，a的值为  【解析】利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； 设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得，，然后解方程组即可． 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式． 20.【答案】解：设平均每次降价的百分率是x， 由题意得：， 解得：，不合题意，舍去， 答：平均每次降价的百分率是  【解析】设平均每次降价的百分率是x，根据药价从每盒140元下调至35元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21.【答案】证明：如图，连接OD， ， ， 又， ∽， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线．  【解析】通过证明∽，可得，由余角的性质可证，可得，即可得结论． 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，切线的判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 22.【答案】解：由题意得：，，， ， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， 解得：， ， 解得：， 灯杆AB的高度为  【解析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明A字模型相似∽，∽，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，中心投影，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 23.【答案】解：过点A作CD的垂线，垂足为M，连接AC， 因为，， 所以四边形AMDO是矩形， 所以， 在中， ， 所以 答：点C到工作台的距离为 连接AC，过点A作BC的垂线，垂足为N， 因为， 所以 在中， ， 即 在中， 在中， ， 所以 答：机械臂BC的长为  【解析】过点A作CD的垂线，垂足为M，在中用勾股定理即可解决问题． 过点A作CB的垂线，垂足为N，根据AB的长及的度数，解直角三角形ABH，再用勾股定理求出CN的长，最后用即可． 本题考查解直角三角形，通过作垂线构造出合适的直角三角形是解题的关键． 24.【答案】30  【解析】解：由题意，张 故答案为：  由题意，票价每张增加x元， 或 或 答：票价应定为每张31元或39元． 不正确．理由如下： 由可知，当票价为31元和39元时，门票收入一样． 由题意，设门票总收入为W元， ， 当时，W随x的增大而增大，，票价为时，W有最大值 答：票价为35元时门票收入最高为36750元． 依据题意，张，进而判断得解；  依据题意，由票价每张增加x元，从而，解方程即可得解； 依据题意，由可可以判断得解；再设门票总收入为W元，从而，进而根据二次函数的图象与性质进行判断可以得解． 本题主要考查了二次函数的应用，一次函数的应用，解题时把函数解析式整理成顶点式形式是关键． 25.【答案】解：①，， ， ②连接AB，过A作，垂足为D， ，， 是等腰直角三角形， ， ，的半径为10， ， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形ABD中，， ， ，即 舍去，不符合题意或， ， ， ； 解：如图，分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作EF的垂直平分线l， 直线l交于N，两点，在上任取一点G，在上任取一点M，连接EM，MN，EG，NG，点M、N为所求； ，EF是的直径， ， ， 四边形EGNM是的内接四边形， ； 证明：延长AP交圆于点N，连接BN，则， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 点P为该圆的圆心．  【解析】①由圆周角定理可得出答案； ②连接AB，过A作，垂足为D，证出是等腰直角三角形，求出，由勾股定理求出，则可得出答案； 分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作EF的垂直平分线l，直线l交于N，两点，在上任取一点G，在上任取一点M，连接EM，MN，EG，NG，点M、N为所求； 延长AP交圆于点N，连接BN，则，由等腰三角形的判定与性质证出，则可得出结论． 此题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰直角三角形的性质，垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 26.【答案】解：二次函数、b、c为常数，且的图象，与x轴交于A、B两点点在B点左侧，其函数表达式可以变形为的形式， ，， 把点代入得，， ， 二次函数的表达式为， 即； ①点P为该抛物线在第一象限内的一点， ， 设直线AP的解析式为， ， 解得， 直线AP的函数表达式为； ②，， 直线BC的解析式为； 轴于点Q，交BC于点N， ， 在中，当时，， ， ， 轴， ， 四边形MNQO是矩形， ； 即S关于m的函数关系式为； ， 的最大值为； 为定值， 抛物线的对称轴为直线， 设直线BP的解析式为， ， 解得， 直线BP的解析式为， ，， ， 故为定值，定值为  【解析】根据题意得，，把点代入得到； ①根据题意得到，设直线AP的解析式为，待定系数法即可得到结论； ②待定系数法求得直线BC的解析式为；得到，求得，推出，得到四边形MNQO是矩形，根据矩形的面积公式得到S关于m的函数关系式，然后根据二次函数的性质得到结论； 求得抛物线的对称轴为直线，待定系数法得到直线BP的解析式为，求得，，于是得到结论． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质，折叠的性质，勾股定理，一次函数解析式是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$