精品解析：天津市第一百中学、实验滨海中学2024-2025学年高二上学期青海生期末联考数学试卷

2024-2025学年第一学期高二年级数学学科期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点(1， 0)和点(0， 1)的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 150° 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 4. 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ） A. 0.25升 B. 0.5升 C. 1升 D. 1.5升 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分. 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 10. 已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列是递减数列 D. 数列是递增数列 11. 已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 直线过焦点 B. 当时，，两点横坐标的和为5 C. 当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D. 以为直径的圆与相切 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 13. 若数列的前项和公式为，则的通项公式为__________. 14. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 16. 已知数列为等差数列，；数列是公比为的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点的圆C的切线方程． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 19. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期高二年级数学学科期末试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷.第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用 2B 铅笔涂在答题卡中相应的位置.第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置.答案写在试卷上均无效，不予记分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 过点(1， 0)和点(0， 1)的倾斜角为（ ） A. 45° B. 60° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系计算可得； 【详解】解：过点和点的直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以， 故选：C 2. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算出的值，由此可知准线方程. 【详解】因为抛物线，所以， 因为准线方程为，所以准线方程为， 故选：D. 3. 如图，在四面体中，，点为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】综合应用空间向量的线性运算即可解决. 【详解】因为，所以 故 . 故选：B. 4. 现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ） A. 0.25升 B. 0.5升 C. 1升 D. 1.5升 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质即可求解. 【详解】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ， 由题意可得， 所以， 故选：B 5. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程. 【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 故选：D 6. 为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点，若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由抛物线方程求出，再根据抛物线的定义求出，然后代入抛物线方程解出即可； 【详解】因为抛物线，所以， 由抛物线的定义得：，解得， 则，所以点坐标为， 故选：D. 7. 圆关于直线对称，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出圆的圆心坐标，根据条件可得直线过圆心，从而可得，再结合基本不等式“1”的妙用方法计算即可得解. 【详解】由圆可得标准方程为， 因为圆关于直线对称， 该直线经过圆心，即，， ， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 8. 若点在椭圆上，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为（ ） A. B. 3 C. 4 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆定义得到，再利用余弦定理得到，两者联立解出，再利用三角形面积公式求出面积即可. 【详解】由椭圆的标准方程，可得，所以， 又因为，即， 因为， 在，根据余弦定理可得， 即， 又因为，所以， 所以， 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，选错或不选得0分. 9. 已知双曲线的实轴长是虚轴长的3倍，则下列关于双曲线的说法正确的是（ ） A. 实轴长为6 B. 虚轴长为2 C. 焦距为 D. 离心率为 【答案】AB 【解析】 【分析】对含参数的双曲线方程，一般先考虑焦点位置，再确定的值，利用条件求出各个基本量，再逐一判断选项即可. 【详解】由双曲线方程可知，且，由题意，，代入解得：， 故实轴长为，虚轴长为，故A项，B项都正确； 焦距，故C项错误；离心率为，故D项错误. 故选：AB. 10. 已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有（ ） A. 数列是等差数列 B. C. 数列是递减数列 D. 数列是递增数列 【答案】BD 【解析】 【分析】根据的关系作差即可得，进而可结合选项逐一求解. 【详解】由得， 相减可得，所以，故为等比数列，且公比为3， 又，故，BD正确， AC错误， 故选：BD 11. 已知抛物线，为其焦点，直线与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A. 直线过焦点 B. 当时，，两点横坐标的和为5 C. 当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D. 以为直径的圆与相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的点斜式方程可判断A正确，联立直线与抛物线方程利用韦达定理可得B错误，由焦半径公式计算可得C正确，再结合梯形中位线性质可证明D正确. 【详解】对于A，易知抛物线的焦点； 由直线可得，由直线的点斜式方程可得直线过定点，可得A正确； 对于B，当时，， 联立，整理可得， 由韦达定理可得，因此，两点横坐标的和为6，即B错误； 对于C，结合B选项，由焦半径公式可得， 即直线截抛物线所得的弦长为8，即C正确; 对于D，易知准线方程为，分别作垂直于准线，垂足为，如下图所示： 因为直线过焦点，可得， 线段的中点到准线的距离为，可得， 以为直径的圆与准线相切，可得D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等差数列的前n项和．若，则公差_______． 【答案】2 【解析】 【分析】转化条件为，即可得解. 【详解】由可得，化简得， 即，解得. 故答案为：2. 13. 若数列的前项和公式为，则的通项公式为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用和的关系式求解即可. 【详解】当时：； 当时：； 经检验，不满足上式， 综上所述：. 故答案为：. 14. 如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出向量,的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案. 【详解】以A为原点，在平面内过点作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 在正三棱柱中，设，则， 则， 故，， 设异面直线与所成角为，则， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面内的动点与两个定点的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状. 【答案】；以为圆心，半径为2的圆 【解析】 【分析】先设，再由两点间距离计算列式，最后平方化简可得轨迹方程. 【详解】设，由， 得，化简得， 即 故曲线是以为圆心，半径为2的圆； 16. 已知数列为等差数列，；数列是公比为的等比数列，，. （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】(1) ； (2) 【解析】 【分析】（1）将等差和等比数列的各项都化为首项和公差或公比的形式，从而求得基本量；根据等差和等比数列通项公式求得结果；（2）通过分组求和的方式，分别求解出等差和等比数列的前项和，加和得到结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为 解得：， ，， （2） 【点睛】本题考查等差数列、等比数列通项公式和前项和的求解，分组求和法求解数列的和的问题，属于基础题. 17. 已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且． （1）求圆C的标准方程； （2）求过点的圆C的切线方程． 【答案】（1） （2）和． 【解析】 【分析】（1）求出圆心C到直线的距离，然后利用勾股定理即得. （2）首先判断点P在圆外，然后讨论过点P的切线斜率存在时和过点P的直线斜率不存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求. 【小问1详解】 圆心C到直线的距离， 圆C的半径， 圆C的方程为． 【小问2详解】 点满足，所以点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设过点P的切线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得， 解得， 所以切线方程为； 当过点P的直线斜率不存在时，方程为， 易知直线与圆相切． 综上所述，过点P的切线方程为和． 18. 如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点． （1）平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在一点，使∥平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值． 【答案】（1）证明：因为，为中点，则， 且平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再结合面面垂直的性质分析证明； （2）建系标点，求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角； （3）设，利用空间向量结合线面平行可得，即可得结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得 由题意可知：平面的法向量， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 线段上是否存在一点，使平面. 设，则， 若平面，则， 可得，解得， 即，可知， 所以存在点，使平面，此时. 19. 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. （1）求这两条曲线的方程； （2）求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； （3）若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【小问1详解】 设椭圆方程为，双曲线方程为，. 则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. 【小问2详解】 曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. 【小问3详解】 不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $