精品解析：辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题

辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，则（ ） A 2 B. 3 C. 5 D. 33 5. 如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（ ） A B. C. D. 6. 已知a，b均为正实数，若，则（ ） A B. C. D. 7. 某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是” “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 10. 在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是（ ） A. 男生样本数据的分位数是86 B. 男生样本数据的中位数大于女生样本数据的众数 C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 11. 定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于点对称 C. D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______________． 14. 若，则的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 16. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 17. 若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． （1）若为区间上的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； （3）设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省五校联考2024-2025学年高一上学期1月期末考试数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用交集的定义求解即得. 【详解】集合，集合， 所以. 故选：C. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由全称命题的否定是特称可得结果； 【详解】由全称命题的否定是特称可得命题“”的否定是. 故选：D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 4. 已知函数，则（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 33 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的分段函数，依次判断代入计算即得. 【详解】函数，则， 所以. 故选：B. 5. 如图，①②③④对应四个幂函数图象，则①对应的幂函数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象及幂函数的性质判断即可. 【详解】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C 6. 已知a，b均为正实数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，作差比较大小. 【详解】由a，b均为正实数，， 得 ，当且仅当时取等号， 所以. 故选：D 7. 某中学的学生社团准备进行一次针对本校学生在食堂加塞插队行为的调查，为了消除被调查者的顾虑，使他们能如实作答，学生社团精心设计了一份问卷： 在回答问题前，请自行抛一个硬币：如果得到正面，请按照问题一勾选“是”或“否”；如果得到反面，请按照问题二勾选“是”或“否” （友情提示：为了不泄露您的隐私，请不要让其他人知道您抛硬币的结果．） 问题一：您的身份证号码最后一个数是奇数吗？问题二：您是否有在食堂加塞插队的行为？ “是” “否” 学生社团随机选取了400名学生进行问卷调查，问卷全部被收回，且有效．已知问卷中有115张勾选“是”．根据上述的调查结果，估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出回答第一个问题和回答第二个问题勾选“是”的人数，再利用古典概率公式求得答案. 【详解】依题意，抛掷一枚硬币，得到正面或反面是等可能的， 则回答第一个问题的人数为人，回答第二个问题的人数为人， 又身份证号码最后一个数是否为奇数是等可能的，则回答第一个问题选择是的人数为， 因此回答第二个问题选择是的人数为人， 所以估计该校学生在食堂有加塞插队行为的概率为. 故选：A 8. 已知函数，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由对数的运算性质得到其为奇函数，再由复合函数的单调性得到其为递增函数，然后利用函数的奇偶性和单调性解不等式即可； 【详解】由题意可得令，定义域为， 则， 所以，即为奇函数， 又由复合函数的单调性可得在定义域上为增函数， 所以， 等价于，解得或 故选：B. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各组向量中，不能作为基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合坐标运算，根据平面向量的基底定义逐个选项判断即可. 【详解】要使平面中两个向量作为基底， 必须满足是非零向量，且不共线，即不存在倍数关系，故A正确； 对于B，由，B正确； 对于D，由，D正确； 对于C，两向量不存在倍数关系，所以C错误. 故选：ABD 10. 在高一年级随机抽取10名男生和10名女生的竞赛成绩（满分100分），按从低到高的顺序排列，得到下表中的样本数据： 男生 82 85 86 87 88 90 90 92 94 96 女生 82 84 85 87 87 87 88 88 90 92 则下列说法正确的是（ ） A. 男生样本数据的分位数是86 B. 男生样本数据的中位数大于女生样本数据的众数 C. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变 D. 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的方差不变 【答案】BC 【解析】 【分析】根据百分位数、中位数、众数、平均数、方差的定义一一判断即可. 【详解】对于A：，所以男生样本数据的分位数是，故A错误； 对于B: 男生样本数据的中位数为，女生样本数据的众数为87，故B正确； 对于C：女生样本数据的平均数为， 女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数为，故C正确； 对于D：女生样本数据中去掉一个最高分和一个最低分后所得数据的平均数不变，但是极差变小，所以方差变小，故D错误. 故选：BC. 11. 定义域为R的函数满足，且函数的图像关于直线对称，则（ ） A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于点对称 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性，对称性与周期性的性质，逐一分析各选项即可得解. 【详解】由，得，所以， 所以的图像关于点对称，故选项A正确； 由得，即， 所以的图像关于点对称，又因为函数的图像关于直线对称， 则，所以，所以， 所以，即，所以是周期函数，且周期为， 故选项B错误，C正确； 若，且的图像关于点对称，所以，所以， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数式与对数式的互化关系，结合指数运算计算得解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二次函数单调性列式求解. 【详解】由函数在区间上单调递减，得. 故答案为：. 14. 若，则的最大值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知可知，代入到所求式子，进行分离变形，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，时取等号． 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）解不等式分别求出集合，然后再利用补集的概念求解； （2）根据条件得出是的真子集，分类讨论求解集合B，根据集合关系列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 当时，， 所以或， 又，所以或； 【小问2详解】 因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集， 则，所以，， 当时，，， 由题意，解得； 当时，，， 由题意，解得； 综上实数的取值范围为或． 16. 某校的体育组为了了解本校高一学生的体能状况，随机抽取了名高一学生进行体能测试，将所得评分（百分制）按体育组制定的体能测试评价标准整理，得到频率分布直方图．已知评分在[70，80）中的学生有100人．体能测试评价标准如下表： 测试评分 [0，40） [90，100] 体能等级 E D C B A （1）求的值及频率分布直方图中的值； （2）在抽取的体能等级为的学生中，按照测试评分的分组，分为两层，通过分层抽样抽取出三人进行体能训练．根据以往数据统计，经体能训练后，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，测试评分在中的学生的体能等级转为的概率为，假设经体能训练后的等级转化情况相互独立，求在抽取出的三人中，经体能训练后至少有一人的体能等级转为的概率. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用公式求n的值，利用矩形的面积和为1求的值； （2）设事件“在抽取3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”，利用对立事件的概率公式求解； 小问1详解】 由已知条件可得，又因为每组小矩形的面积之和为1. 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以调查评分在中的人数是调查评分在中人数的， 若按分层抽样抽取3人，则调查评分在中有1人，在中有2人， 设事件“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”. 因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立， 所以， 所以， 故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为· 17. 若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． （1）若为区间上的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在；理由见解析. 【解析】 【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值. （2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况. 【小问1详解】 因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. 【小问2详解】 不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 18. 如图1所示，在中，点在线段BC上，满足是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点． （1）若，求实数x，y的值； （2）若，求实数的值； （3）如图2，过点的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算以为基底表示，进而求解； （2）根据向量的线性运算以为基底表示,又因为两向量共线所以具有倍数关系，求出的值； （3）根据向量的线性运算以为基底表示，又因为三点共线，所以系数之和为1，得出，然后应用基本不等式中1的代换求出的最小值. 【小问1详解】 因为所以， 所以, 所以. 【小问2详解】 由题意可知：， ， 又因为三点共线，所以存在实数使得, ， 所以，解得：， 所以. 【小问3详解】 易知， 由（2）知， 又因为三点共线,所以，又， 所以：， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 19. 已知函数为偶函数． （1）求实数的值； （2）判断在上的单调性，并用单调性的定义进行证明； （3）设函数的反函数为，若关于的方程有唯一的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）在上是单调递增函数，证明见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）利用函数的单调性定义证明即可. （3）先根据反函数的概念求得，将题干方程转化为有唯一的实数解，令，则有唯一的正实数解，结合二次函数的性质分析即可求解. 【小问1详解】 因为是偶函数，所以， 即，整理得恒成立，又不恒为0， 所以，即. 【小问2详解】 在上是单调递增函数． 证明如下：任取，设，则 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数． 【小问3详解】 函数的反函数为， 方程有唯一的实数解， 即有唯一的实数解， 又为定义域上的单调递增函数，所以有唯一的实数解， 令，则有唯一的正实数解， 即有唯一的正实数解， 当即时，方程，解得，不满足题意， 当即时，记，则， 当即时，函数开口向下，且， ，则必然与轴有两个交点，且分布在轴两侧， 即有唯一的正实数解，符合题意； 当即时，函数开口向上，且， 则要使有唯一的正实数解，则， 解得； 综上所述，实数的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$