复习篇 05 圆锥曲线最值问题【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

05 圆锥曲线最值问题 【题型1】 几何法 【基础知识】 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径. ② 圆上点到圆外直线的距离 圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离； ③三点共线模型 一动点到两定点的距离分别为， 当共线，且点在之间时，取到最小值； 当共线，且点在同侧时，取到最大值； 其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ④ 将军饮马模型 点在直线同侧，点在直线上，那； ⑤垂线段最值模型 点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为． (1) 点是外， (2) 点是内， 【经典例题】 【例1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【题型2】 代数法 【基础知识】 理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值. 【经典例题】 角度1 线段、三角形面积的最值或范围 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点 的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 3（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 角度2 斜率的最值或范围 【例1】（2022·福建福州·模拟预测）已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 角度3 向量的最值或范围 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【巩固练习】 1（23-24高二上·天津·期中）已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 2（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 角度4 其他几何量的最值或范围 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 2（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 3（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 3（21-22高三下·湖北·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·陕西西安·期中）若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5（21-22高二上·河北·阶段练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 6（21-22高二·全国·课后作业）已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 8（21-22高二上·山东·阶段练习）已知椭圆： ，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值. 【B组---提高题】 1（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为20 C．的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为 D．直线的斜率之差可能为1 3（2024·全国·模拟预测）已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为． (1)求的方程； (2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 05 圆锥曲线最值问题 【题型1】 几何法 【基础知识】 常见的几何模型 ① 圆外点到圆上点的距离 圆外一点与圆上一点的距离最小值是，最大值是圆的半径. ② 圆上点到圆外直线的距离 圆上一动点到圆外一定直线的距离最小值是，最大值是圆的半径，是圆心到直线的距离； ③三点共线模型 一动点到两定点的距离分别为， 当共线，且点在之间时，取到最小值； 当共线，且点在同侧时，取到最大值； 其本质是三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ④ 将军饮马模型 点在直线同侧，点在直线上，那； ⑤垂线段最值模型 点是内外的一点，点在上，与点到射线的距离之和为． (1) 点是外， (2) 点是内， 【经典例题】 【例1】（2024·西藏林芝·模拟预测）已知抛物线上一点到准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案. 【详解】由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；    点到直线的距离为，到准线的距离为， 由抛物线的定义知：， 所以点到直线和准线的距离之和为， 且点到直线的距离为， 所以的最小值为. 故选：D 【例2】（23-24高二上·浙江绍兴·期中）椭圆的左右焦点分别为,为椭圆上一动点，已知点到椭圆右焦点距离与到右准线距离之比为离心率，为圆上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据椭圆上的点到右焦点与右准线距离之比为求出，再求出最小值即可. 【详解】如图所示， , 易知，则，则， 所以，所以， 所以， 所以当且仅当与重合的时候，此时， 此时， 故选：C 【巩固练习】 1（24-25高二上·吉林·期中）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 2（2024·安徽合肥·模拟预测）已知点在圆上运动，点为椭圆的右焦点与上顶点，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知，且圆在椭圆内，则确定与圆相切时取得最小值，即可求解. 【详解】由题意知，，且圆在椭圆内， 当与圆相切时，取得最小值， 此时， 所以， 所以的最小值为. 故选：A 3（24-25高三上·江苏南通·期中）已知动点在拋物线上，定点．圆上两个动点满足，则的最小值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】过作抛物线准线的垂线，垂足为，则，利用题中条件得，结合进行求解即可. 【详解】    由题意知圆心与抛物线的焦点重合为，抛物线的准线为， 过作抛物线准线的垂线，垂足为，则， 由，则为中点，故，， 又圆的半径为，则可得，    又， 当三点共线时，取得最小值为， 则可得， 故选：D． 【题型2】 代数法 【基础知识】 理解几何量之间的变化规律，找到“变化源头”，通过引入恰当的参数(一般与源头有关)，把所求几何量表示成参数的式子，再利用求函数最值的方法（基本不等式、换元法、数形结合等）求得几何量的最值. 【经典例题】 角度1 线段、三角形面积的最值或范围 【例1】（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点 的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合，代入点的坐标，列式计算得解. （2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答. 【详解】（1） 椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，，解得：或（舍去）， 得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁·期中）已知椭圆的一个焦点为，点是上关于原点对称的两点.则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合勾股定理，即可根据二次函数的性质求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接，则四边形为平行四边形， 设，由椭圆的对称性得， 其中，即， 所以， 令， 所以当时，，当或3时，， 即的取值范围是. 故选：D    2（23-24高二下·江西吉安·阶段练习）已知是椭圆的左､右焦点，为上一点，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用椭圆的定义知，利用基本不等式即可求出的最小值. 【详解】因为是椭圆的左、右焦点，P在椭圆上运动， 所以. 所以，所以（当且仅当时等号成立）. 所以. 即的最小值为1. 故选：A 3（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 角度2 斜率的最值或范围 【例1】（2022·福建福州·模拟预测）已知为焦点在轴上的双曲线，其离心率为，为上一动点（除顶点），过点的直线，分别经过双曲线的两个顶点，已知直线的斜率，则直线的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由离心率可得由题意可得，由斜率，即可得斜率的取值范围. 【详解】设双曲线的方程为 为上一动点，上顶点下顶点离心率为，即可得 直线为直线PA, 直线为直线PB, 则， ，又，，可得， 故选：C 【例2】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，设是第一象限内椭圆上的一点，的延长线分别交椭圆于点，连接，若的周长为.    (1)求椭圆的方程； (2)当轴，求的面积； (3)若分别记的斜率分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）运用离心率和椭圆定义得到方程组，计算即可； （2）设，当时，可得，即，故求得直线方程为，直曲联立，借助韦达定理，再用面积公式计算即可； （3）设，与椭圆分别联立，求出，，表示出，借助基本不等式可解. 【详解】（1）由题意：，解得：， 故椭圆方程为； （2）设， 当轴时，由在第一象限，可得， 即，故求得直线方程为， 联立，得， 整理得， ， 所以； （3）设，因为在椭圆上，故， 由题意， 故将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即. 同理：将直线与椭圆方程联立， 可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以， 故 由在第一象限内，故 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上关于轴对称的两点，直线的斜率分别为.若椭圆的离心率为，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】依据题意列出斜率，结合基本不等式求解最值即可. 【详解】设，不妨设点是椭圆长轴的左端点， 则.因为椭圆的离心率， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立，故A正确. 故选：A. 2（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A.若存在直线l与椭圆交于不同的两点B，C，的重心为F，则l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设坐标，利用三角形重心的坐标表示得出坐标的关系式，结合点差法表示出l的斜率，再利用对勾函数的性质计算范围即可. 【详解】设椭圆的左焦点为， 由已知，设，l的斜率为， 因为重心为F， 所以， 所以， 易知，根据点差法可得：， 所以, 又中点一定在椭圆内部，即， 令，则，故， 由对勾函数的性质可知，显然， 故直线l的斜率取值范围是. 故选：A．    3（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3． (1)求E的方程； (2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积及双曲线的定义，利用勾股定理求解即可； （2）设直线方程，联立双曲线方程，由根与系数的关系及斜率公式化简可得，代入中化简即可得出最值. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为()， ， 由题可知， ，即， 又， 故E的方程为. （2）如图，    由题可知，且直线的斜率不为， 设直线的方程为，， 将方程和联立，得， ， ， ，, 直线与的右支有交点，， 当时，取得最小值，且最小值为. 角度3 向量的最值或范围 【例1】（23-24高二下·上海·阶段练习）设双曲线的左、右顶点分别为，左、右焦点分别为，且的渐近线方程为．直线交双曲线于两点． (1)求双曲线的方程； (2)若为线段的中点，求直线的方程； (3)当直线过点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解方程即可得出答案； （2）由“点差法”可得直线的斜率为，再由点斜式方程求解即可； （3）讨论直线的斜率存不存在，存在时设直线的方程为，，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入，由反比例函数的单调性即可得出答案. 【详解】（1）由题意可得：，解得：. 所以椭圆的方程为：. （2）设，因为在椭圆上， 所以，两式相减可得： ， 则，因为为线段的中点， 所以， 所以，所以直线的方程为：， 化简可得：. （3）当直线的斜率不存在时，，， 此时，所以， 当直线的斜率存在时，设，因为直线过点， 设直线的方程为：， 联立可得：， 当时，， ， ， 令，则， 令，在在上单调递减， 又，所以 ， 所以的取值范围为. 【巩固练习】 1（23-24高二上·天津·期中）已知为椭圆的左右焦点，，点在椭圆上，是椭圆上的动点，则的最大值为（    ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】由题意可求出椭圆的标准方程，设，求出的表达式，结合二次函数的最值，即可求得答案. 【详解】由题意可知，则，， 点在椭圆上，则，结合， 解得，故， 设，则， 则 ， 当且仅当时，取最大值， 即的最大值为， 故选：B 2（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)记动点的轨迹为，若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）根据双曲线定义求出轨迹方程； （2）分直线斜率不存在和直线斜率存在两种情况，当斜率不存在时求出，斜率存在时，，得到答案. 【详解】（1）因为， 由双曲线定义可知：点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支， 所以，， 所以动点的轨迹方程为：. （2）①当直线斜率不存在时，设直线方程为：， 此时， 所以； ②当直线斜率存在时，设直线方程为：， 代入双曲线方程可得：， 可知其有两个不等的正实数根， 解得：， 所以 . 由得， ， 综上所述，的最小值为1. 角度4 其他几何量的最值或范围 【例1】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且．若，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由已知及椭圆概念，可得和，则可由表示，再由，可通过换元及函数单调性得到离心率的取值范围. 【详解】因为，所以．设，则， 在中，，所以， 即．则， 令，由，得，则， 由于函数在上单调递增， 则，所以， 即，所以， 故离心率． 故选：B． 【巩固练习】 1（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【详解】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 2（23-24高二下·浙江·阶段练习）已知为坐标原点，椭圆上两点满足，若椭圆上一点满足，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】设出点的坐标，用的坐标表示点M的坐标，再利用点在椭圆上结合斜率关系求出，然后求出的最大值作答. 【详解】设，则， 由，得， 所以 ， 由，得，即，又， 因此， 而， 于是，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：B 3（22-23高二上·浙江杭州·期末）已知双曲线的左焦点为，左顶点为，为上动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理表达出，结合不等式即可求解最值. 【详解】由题意可知： ， 故设，则, 当在轴上，此时为0，时当不在轴时， 在中，由余弦定理得 ，当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，由于,故最大为， 故选：B 【A组---基础题】 1（24-25高二上·陕西榆林·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，点在上，则的最大值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】由椭圆的定义结合均值不等式即可求解. 【详解】根据椭圆的定义，有， 又， 当且仅当时取等号，所以的最大值为4. 故选：C. 2（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，则椭圆上的点到点的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点点距离公式即可结合二次函数的性质求解. 【详解】设是椭圆上的一个动点，则，， 由于，故当时，取最大值， 故选：C 3（21-22高三下·湖北·阶段练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，动点在双曲线的右支上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，所以，再根据双曲线性质得的范围，则，再利用二次函数求值域即可. 【详解】因为动点在双曲线的右支上，由双曲线定义可得：， 所以，因为，，所以，， 所以，将代入得： . 故选：B． 4（23-24高二上·陕西西安·期中）若点和点分别为椭圆的中心和下焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量数量积的坐标表示，将用坐标表示出来，利用椭圆方程化简为二次函数最值问题即可求解. 【详解】 设，点为椭圆上的一点， 所以满足， 由题知，则， 所以， 化简得，， 所以当时，最大. 故选：C 5（21-22高二上·河北·阶段练习）已知双曲线：的左､右焦点分别为，，其离心率为，过坐标原点的直线交双曲线于A，两点，为双曲线上异于A，的一动点，设，的斜率分别为，，则的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线与双曲线的位置关系，表示出，，可求得，根据基本不等式可得. 【详解】设，，由题意得A，关于原点对称，∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B. 6（21-22高二·全国·课后作业）已知双曲线（，）的左、右顶点分别为，，点在直线上运动，若的最大值为，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式求最值，即可得，进而可求离心率. 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为，，，，则． 依题意不妨设点在第一象限，坐标为，则，， 所以． 因为，所以，当且仅当时等号成立，则． 因为的最大值为，所以，即，则， 所以，故， 故选:A． 7（24-25高三上·上海·期中）已知抛物线经过点，直线过点且与抛物线有两个不同的交点，. (1)求抛物线的准线方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)若直线交轴于，直线交轴于，设为原点，，，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3)2. 【分析】（1）将点代入求参数，即可得准线方程； （2）设且，联立抛物线结合判别式求参数范围； （3）根据题意，设直线，和，由向量的线性关系求得、，应用韦达定理化简求值即可. 【详解】（1）由在抛物线上，可得，故，则准线为； （2）由题意，直线的斜率存在且不为0， 设且，联立抛物线得， 所以，则，故直线的斜率范围是. （3）由题意，根据（2）易知，当直线与抛物线相切，即时过， 令，，且，且，， 若，得，所以， 同理得，而，故，， 由题意，同理可得， 所以 ，而，， 所以. 8（21-22高二上·山东·阶段练习）已知椭圆： ，，为椭圆的左右焦点，为椭圆上一点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线：，过点的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线分别交直线、直线于、两点，求最小值. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）设，根据题中条件求出，得出，根据椭圆的定义，求出的值，再根据即可求出的值，即可求出椭圆方程； （2）由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线，设，，根据韦达定理、中点坐标公式、弦长公式，以及题中条件，得到，再根据基本不等式即可求出结果. 【详解】（1）解：设，则，所以，即. ，则由椭圆定义， ，则，故椭圆的标准方程为； （2）解：由题意直线的斜率必定不为零，于是可设直线：， 联立方程得， 设，，由题意，， 由韦达定理，，则， ， ， ， ， 又， ， 当且仅当即时取等号. 【B组---提高题】 1（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）已知双曲线C：的右焦点为F，离心率为，过原点的直线与C的左右两支分别交于M，N两点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由双曲线的对称性与定义得到，关于的表达式，从而利用题设条件与余弦定理得到关于的表达式，再利用基本不等式即可得解. 【详解】如图，记双曲线C的左焦点为，连接，由对称性可知，四边形是平行四边形， 则，因为，则， 设，则，又， 所以，即，，则， 因为，所以， 在中，， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 此时由于，当且仅当时，等号成立， 注意当时，，不满足题意， 故，所以当时，有解， 且由得，满足题意，所以的最小值为．   故选：B    2（多选）（24-25高二上·江苏常州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为为椭圆上异于的动点，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最大值为20 C．的外接圆圆心到x轴的距离的最小值为 D．直线的斜率之差可能为1 【答案】AC 【分析】得用已知椭圆求得，再结合每个选项的条件逐项计算可判断结论. 【详解】由椭圆C：的方程可知，，解得， 所以，即，故A正确； 因为，所以， 当且仅当时取等号，故B错误； 由的外接圆的圆心在的垂直平分线上，可得圆心在轴上， 由 ， 所以为锐角，且在短轴的端点处时，最大， 由外接圆的半径为可知，越大，半径越小， 此时外心到x轴的距离最小，设外心为，取在上顶点时， 所以，解得，故C正确； 设，由，得，所以， 不妨取，则，， ， 当且仅当时取等号， 所以直线的斜率之差不可能为1，故D不正确. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：根据点在椭圆上，可求得为定值，进而可利用基本不等式判断直线的斜率之差是否可能为1. 3（2024·全国·模拟预测）已知是坐标原点，抛物线的焦点为，点在上，线段是圆的一条直径，且的最小值为． (1)求的方程； (2)过点作圆的两条切线，与分别交于异于点的点，求直线斜率的最大值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用展开计算求最值可得的值； （2）设直线的方程为，直线的方程为，根据与圆相切求出满足的二次方程，求出直线斜率的斜率，利用导数求解最值. 【详解】（1）连接，由题意知 ，当点与点重合时取等号， 得， 所以的方程为； （2）由题意知， 连接，则， 所以． 又当时，圆与轴相切，不满足题意； 当时，圆与轴相切，不满足题意， 故且． 设直线的方程为， 因为直线为圆的切线，所以， 整理得．② 设直线的方程为， 同理可得， 所以是关于的方程的两个根， 所以．设， 由得，同理可得， 所以直线的斜率为， 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，． 所以直线斜率的最大值为． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$