复习篇 03 直线方程【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假基础讲义人教A版2019

03 直线方程 【题型1】直线的倾斜角与斜率 【基础知识】 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期中）直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型2】两条直线平行与垂直的判定 【基础知识】 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．12 B．20 C．26 D．32 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江温州·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【题型3】直线方程 【基础知识】 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 【经典例题】 情况1 直线方程的理解或直接使用 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 3（24-25高二上·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 情况2 对称或反射问题 【例1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·云南玉溪·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【题型4】 距离问题 【基础知识】 1两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. 2 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 3 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·四川南充·期中）中，，，则的面积 A．4 B．5 C．6 D．7 3（24-25高二上·河北沧州·期中）已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（     ） A． B． C． D．8 4（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【题型5】 综合问题 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 2（23-24高二上·江西九江·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 【A组---基础题】 1（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线和直线，则是两直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 4（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 7（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 8（多选）（24-25高二上·山西朔州·期中）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 9（24-25高二上·山东淄博·期中）已知的三个顶点，，， (1)边所在直线的方程 (2)边上的中线所在直线的方程. (3)的面积 10（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【B组---提高题】 1（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 2（19-20高一上·江西新余·期末）已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 3（24-25高二上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. (1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; (2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; (3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 直线方程 【题型1】直线的倾斜角与斜率 【基础知识】 直线的倾斜角 定义 当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 特别地，当直线与轴平行或重合时，规定. 范围 直线倾斜角 与轴垂直时，. 直线的斜率 定义 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，记作. 当直线与轴平行或重合时，， 当直线与轴垂直时，不存在. 倾斜角与斜率之间的关系 ，. 斜率公式 经过两点的直线的斜率公式是 使用斜率公式的时候要注意的前提条件. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·广东汕头·期中）直线l：（参数，）的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数的取值范围，结合直线斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】直线 ， 因为，所以，设直线的倾斜角为， 则直线的斜率， 因为，所以，或. 故选：B. 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）若、、三点共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率公式可得出，可得出实数的值. 【详解】由于、、三点共线，则， 即，解得. 故选：A. 2（2024高三·全国·专题练习）已知两点、，直线过点且与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线、的斜率，数形结合可得出直线斜率的取值范围，进而可得出直线倾斜角的取值范围. 【详解】如图所示，直线的斜率，直线的斜率. 由图可知，当直线与线段有交点时，直线的斜率， 因此直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 【题型2】两条直线平行与垂直的判定 【基础知识】 1两直线平行 (1) 对于斜率分别为，的两条直线，有. 2 两直线垂直 对于斜率分别为，的两条直线，有. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，两直线，若，则的最小值为（    ） A．12 B．20 C．26 D．32 【答案】D 【分析】由垂直关系可构造关于a,b的方程，再结合基本不等式即可求得的最小值. 【详解】由得：， 化简得：， ， 当且仅当时等号成立， 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江温州·期中）设，则“”是“直线与直线平行”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由两条直线平行的充要条件判断即可； 【详解】解：因为直线与直线平行， 所以且，所以或. 又因为“”成立可得“或”成立， 而“或”成立不能得到“”成立， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 故选：B. 2（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线与垂直，垂足为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线垂直的充要条件求出，再把点代入直线，可把值求出，再把已知点代入另一直线中，求出得解． 【详解】因为直线：与直线：互相垂直， 则，解得， 又因两直线垂足为，则，解得， 将代入直线，则， 解之得， 所以. 故选：B. 3（24-25高二上·山东济南·阶段练习）已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，进而求出倾斜角即可计算作答. 【详解】直线的斜率为，而直线l与直线垂直， 且为直线的倾斜角，于是得，而， 则，计算可得. 故选：C. 【题型3】直线方程 【基础知识】 直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点 为斜率 不包括垂直于轴的直线 斜截式 为斜率 是直线在轴上的截距 不包括垂直于轴的直线 两点式 经过两点 且 不包括垂直于轴和轴的直线 截距式 是直线在轴上的非零截距 是直线在轴上的非零截距 不包括垂直于轴和轴或原点的直线 一般式 为系数 无限制，可表示任何 位置的直线 【经典例题】 情况1 直线方程的理解或直接使用 【例1】（24-25高二上·浙江·期中）已知直线，直线，则下列结论正确的是（    ） A．直线的斜率 B．直线过定点 C．若，则或 D．若，则或 【答案】D 【分析】时，直线的斜率不存在，可判断A；求出直线所过定点的坐标，可判断B； 根据两直线平行的充要条件求出实数的值，可判断C；根据两直线垂直的充要条件求出的值，可判断D. 【详解】对于A，当时，，直线的斜率不存在，故A错误； 对于B，， 当，可得， 所以直线过定点，故B错误； 对于C选项，当时，或， 解得，故C错误； 对于D选项，当时，，解得或，故D正确. 故选：D. 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏镇江·期中）将直线绕点顺时针旋转得到直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知：，所以，可得到的斜率，再由点斜式方程，即可得到答案. 【详解】由方程可知：的斜率为， 由题意可知：，所以，所以， 因为过点，所以由直线点斜率式方程可知的方程为：， 即. 故选：C. 2（2024高二·全国·专题练习）对于直线l：，下列说法不正确的是（ ） A．l的斜率一定存在 B．l恒过定点 C．时，l的倾斜角为60° D．时，l不经过第二象限 【答案】C 【分析】由直线方程的相关性质逐一判断即可. 【详解】对A,直线方程为，斜率为，一定存在，故A正确； 对B，，所以直线过点，故B正确； 对C，时斜率为，倾斜角为，故C错误； 对D，时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故D正确. 故选：C． 3（24-25高二上·广东·阶段练习）数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点坐标为，则△ABC欧拉线的方程为（    ） A．x+y-4=0 B．x-y+4=0 C．x+y+4=0 D．x-y-4=0 【答案】A 【分析】根据给定条件，判断三角形形状并求出垂心及外心，进而求出欧拉线的方程. 【详解】由，得，则的垂心为，外心为， 所以欧拉线的方程为，即. 故选：A 情况2 对称或反射问题 【例1】（23-24高二上·江苏常州·阶段练习）两直线方程为，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两直线的交点，再在直线取点，并求其关于直线的对称点，由两点即可求出结果. 【详解】联立直线和的方程，得到，故直线和的交点为， 在上取一点，设它关于直线的对称点为， 则有，整理得，解得，即， 由，，可得所求直线方程为，即， 故选：C. 【巩固练习】 1（23-24高二上·湖北武汉·期中）一束光线从点射出，沿倾斜角为的直线射到轴上，经轴反射后，反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先求得入射光线所在直线与轴的交点，进而求得反射光线所在直线方程. 【分析】倾斜角为的直线，斜率为， 所以入射光线为， 令，解得，所以入射光线与轴的交点为， 反射光线的斜率为，则反射光线的方程为. 故选：D 2（24-25高二上·云南玉溪·期中）与直线关于轴对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出直线的斜率及与轴的交点，从而得到所求直线的斜率，再由点斜式计算可得. 【详解】直线的斜率为，且过点， 则直线关于轴对称的直线的斜率为，且过点， 所以所求直线方程为，即. 故选：D 3（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）如图所示，已知点，从点射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点，则光线所经过的路程是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出关于直线的对称点和它关于轴的对称点，则的长就是所求路程． 【详解】依题意，直线方程为，设关于直线的对称点， 则，解得，即，又关于轴的对称点为， ，光线所经过的路程即的周长， 而的周长为， 所以光线所经过的路程是． 故选：B 【题型4】 距离问题 【基础知识】 1两点距离公式 平面上的两点间的距离公式. 2 点到直线的距离公式 点到直线的距离. 3 两平行直线间的距离 两条平行线与间的距离. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·重庆·期中）已知直线与圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为，当取最小值时，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由切线长公式知当时，最小，结合点到直线距离公式求得的最小值，然后作关于直线的对称点，可知当点为与直线的交点时，最小，由对称知，此时与重合，从而易得最小值． 【详解】由可知圆心为，半径， 由题意， 所以当时，取最小值， 由点到直线的距离公式可得， 此时， 过作直线的对称点，连接，，与直线的交点即为所求的点， 由于与关于直线对称，，与关于直线对称， 因此与就是同一条直线，即点即为所求的点， 所以的最小值为. 故选：C    【巩固练习】 1（2018·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为. 【详解】 为单位圆上一点，而直线过点， 所以的最大值为，选C. 【点睛】与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化． 2（24-25高二上·四川南充·期中）中，，，则的面积（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】求直线的方程和，以及点到直线的距离，即可得面积. 【详解】由题意可知：， 可知直线，即， 可得点到直线的距离， 所以的面积. 故选：C. 3（24-25高二上·河北沧州·期中）已知点在直线上，点在直线上，点的坐标为，且，，三点不共线，则周长的最小值为（     ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用对称将三角形周长转化为四点共线问题，求出两点之间距离即可. 【详解】依题意，点关于直线的对称点，关于直线的对称点， 则， 的周长 ， 当且仅当点分别是直线与直线及直线的交点时取等号， 所以周长的最小值为. 故选：C 4（22-23高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法错误的是（    ） A．点的坐标为 B． C． D．的最大值为5 【答案】D 【分析】根据定点判断方法、直线垂直关系、勾股定理、三角函数辅助角求最值即可得解. 【详解】因为可以转化为， 故直线恒过定点A，故A选项正确； 又因为：即恒过定点B， 由 和 , 满足 ， 所以 , 可得 , 故B选项正确； 所以 , 故C选项正确; 因为 , 设为锐角, 则, 所以, 所以当 时, 取最大值 , 故选项D错误. 故选：D. 【题型5】 综合问题 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知，，，直线． (1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标； (2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程； 【答案】(1)证明见解析；定点为 (2) 【分析】（1）方程整理得，可得方程组，解之即得定点坐标； （2）判断为正三角形，推理点为的三等分点（靠近点），由求得，设，利用求出点坐标，即得直线方程. 【详解】（1）由，整理得， 由解得，即直线经过定点； （2） 如图，因，，，,可得：, 即为正三角形，又由，可知点为的三等分点（靠近点）， 则,由题意，直线必与边相交（否则若与边相交于点,则,不合题意）， 设交点为，依题意，由，可得, 解得，则.设点， 由,可得，解得，即, 于是，,故直线的方程为：， 即. 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川·期中）在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. (1)建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； (2)求点的坐标； (3)求的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； （2）设，关于直线、的对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. （3）由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 2（23-24高二上·江西九江·期中）已知圆的圆心在直线上，且经过点和． (1)求圆的标准方程； (2)若自点发出的光线经过轴反射后，其反射光线所在的直线与圆相切，求反射光线所在直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知设圆心，根据，可解得与半径，即可得圆的方程； （2）求点关于轴的对称点，可知直线过点，设直线方程，利用圆心到直线的距离为半径，列方程，可得直线方程. 【详解】（1）因为圆的圆心在直线上， 设， 由可得，解得， 可知圆心，半径， 所以圆的标准方程为； （2）取点关于轴的对称点， 可知直线过点，且与圆相切， 若直线的斜率不存在，则， 此时圆心到直线的距离，不合题意； 所以直线的斜率存在，设为，则，即， 则圆心到直线的距离，整理得， 解得或， 所以直线的方程为或. 【A组---基础题】 1（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）直线的倾斜角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由斜率得倾斜角的正切，再利用同角间的三角函数关系求得正弦值． 【详解】由题意，又，所以， 从而，，而， 所以， 故选：A． 2（24-25高二上·山东淄博·期中）已知直线和直线，则是两直线平行的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出参数的值，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得或， 因此，是两直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 3（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知直线过点，且在轴与轴上的截距互为相反数，则直线的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设所求直线的横截距为，分和讨论，设出直线方程，将点代入，求出即可得出答案. 【详解】设所求直线的横截距为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 当时，可设直线为，将点代入，可得， 所以直线方程为， 综上，直线的方程为或. 故选：C. 4（24-25高二上·安徽·期中）已知入射光线所在的直线的倾斜角为，与y轴交于点，则经y轴反射后，反射光线所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设得反射光线所在直线的斜率为，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】由题意，所求反射光线所在直线的斜率为，且与y轴交于点， 所求直线的方程为，即. 故选：A 5（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线，直线是直线绕点逆时针旋转得到的直线，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，表示出直线的倾斜角，再利用和角的正切公式求出斜率即可得解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，， 则直线的倾斜角为， 故其斜率， 而直线过点，则直线的点斜式方程为， 即直线的方程是. 故选：A 6（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）设，若过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，AB中点为Q，则的值为（　　） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【分析】求解直线经过的定点，根据两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解. 【详解】由于经过的定点为，所以， 直线变形为， 所以经过定点，故， 因为，所以两直线垂直，如图， 因此为直角三角形， 所以， 故选：A 7（23-24高二上·湖南常德·期中）若直线：关于直线l：对称的直线为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直线与l的交点在直线上，并且直线上任取一点，该点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】联立，解得，即与l的交点为. 又点在上，设A关于l的对称点为， 则，解得，即， 所以直线的斜率， 从而直线的方程为， 即. 故选：D 8（多选）（24-25高二上·山西朔州·期中）已知的三个顶点是，，，则（   ） A．边的长度是 B．直线的方程为 C．边上的高所在直线的方程为 D．的面积是4 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合距离公式、斜率坐标公式、直线的点斜式方程逐项求解判断. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，直线的斜率，方程为，即，B正确； 对于C，边上的高所在直线的斜率为，方程为，即，C错误； 对于D，点到直线的距离，的面积是，D正确. 故选：ABD 9（24-25高二上·山东淄博·期中）已知的三个顶点，，， (1)边所在直线的方程 (2)边上的中线所在直线的方程. (3)的面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出，再由斜截式求出直线的方程； （2）首先求出的中点的坐标，从而求出，再由点斜式计算可得； （3）首先求出，以及点到直线的距离，最后由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为，，所以， 所以直线的方程为，即； （2）因为，的中点为， 又，所以， 所以边上的中线所在直线的方程为，即； （3）因为， 点到直线：的距离， 所以. 10（24-25高二上·广东广州·期中）如图，A、B是射线OM、ON上的两点，点Q是线段AB上一点，点Q到OM、ON的距离分别为2，．测得，．以点O为坐标原点，射线OM为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系，点Q在第一象限． (1)求点Q的坐标； (2)设点P在平面xOy内，，且，线段AB上一动点C离点P最近时的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意写出直线的直线方程，利用两个距离建立方程，解得点到直线的距离公式，可得答案； （2）根据两直线垂直与点到直线距离，结合两点之间距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】（1）由题意可得射线所在直线的斜率， 直线的方程为，一般式为， 由点到的距离为，且为轴，则设，， 由点到的距离为，则，整理可得， 解得或（舍去），所以点的坐标为. （2）由，且，则，由题意易知时，距离最近， 设，直线的斜率， 由题意可得，且在上，直线的斜率， 由，则，可得，即， 直线的方程为，整理可得， 点到的距离， 由，则到的距离为，可得， 所以，，解得或， 因为在线段上，所以，则，解得， 所以点的坐标为. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·吉林长春·期中）如图，在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴对称点的坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可． 【详解】建立如图所求的直角坐标系，得， 则直线方程为， 且的重心为，即， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为， 根据光线反射原理知四点共线， 所以直线的方程为，，即， 又直线过， 所以，解得或（舍去）， 所以，,, 所以. 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 2（19-20高一上·江西新余·期末）已知在中，其中，，的平分线所在的直线方程为，则的面积为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】首先求得直线与直线的交点的坐标，利用到直线的距离相等列方程，解方程求得点的坐标.利用到直线的距离以及的长，求得三角形的面积. 【详解】直线的方程为，即. 由解得. 设，直线的方程分别为 ，即 ，.根据角平分线的性质可知，到直线的距离相等，所以 ， ，由于，所以上式可化为，两边平方并化简得 ，解得（），所以. 所以到直线的距离为，而，所以. 故选：C    【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查直线与直线交点坐标，考查点到直线距离公式、两点间的距离公式，考查角平分线的性质，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 3（24-25高二上·湖北·期中）在平面直角坐标系中，过点作斜率分别为的直线，若，则称直线是定积直线或定积直线. (1)已知直线是定积直线，且直线，求直线的方程; (2)如图所示，已知点，点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线上的点(与均不重合)，且直线是定积直线，直线是定积直线，直线是定积直线，求点的坐标; (3)已知点，直线是定积直线，若，求三角形的面积. 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】（1）根据新定义求得的斜率，得直线方程； （2）设直线的斜率分别为，由新定义列方程组解得，求得直线方程，再联立直线方程求得交点坐标； （3）设出点坐标，根据新定义列出关系式，得到动点轨迹方程，假定在轴上方，根据直线斜率与角之间关系转化列出等式，求出点坐标，进而求得三角形面积. 【详解】（1）由已知得，又， 且直线过点， 的方程; （2）（2）设直线的斜率分别为， 则. 得（负值舍去）， 当时， 直线的方程为，直线的方程为 联立得；故所求为； （3）设， 得的轨迹方程为: 由图形的对称性，不妨设在轴上方，则 ，得，即此时的纵坐标为 . 所以三角形的面积为. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$