复习篇 02 用空间向量求空间角和距离【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

02 用空间向量求空间角和距离 【题型1】 求异面直线所成的角 【基础知识】 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为 。 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】 因为，所以，所以， 如图所示，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则, 所以 , 所以异面直线与所成角的余弦值为, 【巩固练习】 1（24-25高二上·湖南·期中）刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用基向量表示和，再利用异面直线所成角的向量公式即可求解. 【详解】依题意得，， 所以 ， 又，， 所以设异面直线AE与BD所成的角为， 则 故选：A. 2（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求向量夹角，即可确定异面直线与直线所成的角. 【详解】， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 又，所以， 因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 【题型2】线面所成角 【基础知识】 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为棱的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，且，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）连接，交与点，证明，结合线面平行判定定理证明结论； （2）根据线面垂直判定定理证明平面，根据面面垂直判定定理证明结论； （3）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【详解】（1）连接，交与点，连接， 因为四边形为菱形，所以点为线段的中点， 又点为棱的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为四边形为菱形， 所以，又， 所以，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （3）因为，，又， 所以，又， 所以两两垂直， 以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 【巩固练习】 1（24-25高二上·广西河池·阶段练习）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系标点，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，， 如图，在底面ABCD中，过点D作，垂足为H， 以D为坐标原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 则， 可得，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 可得平面的一个法向量为， 设到平面的夹角为， 则， 可得，所以到平面的夹角余弦值为. 故选：B． 2（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用坐标法，利用线面角的向量求法，三角函数的性质及二次函数的性质即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为. 则，，，，，. 所以，，，． 设平面的法向量为， 则 令，则，，可得. 又，设直线与平面所成的角为，则 ， 从而当时，取到最大值，又，故时直线与平面所成的角最大． 故选：C 3（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先由题设证明，，从而建立空间直角坐标系，计算即可得证. （2）求出平面的法向量，再由线面角的向量法公式即可计算得解. 【详解】（1）因为，， 所以，因为平面，与平面所成角为， 所以为与平面所成角，即， 则，又平面， 所以， 所以可建立如图所示的空间直角坐标系，    则由题， 所以 ，， 所以， 所以，即. （2）设平面的法向量为， 则，所以，所以由（1）得， 取，则，又直线与平面所成角为， 所以 ，解得. 【题型3】求二面角 【基础知识】 1 二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： 2 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【详解】（1）平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2）取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， （3）假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ，    【巩固练习】 1（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 2（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图， 在四棱锥中， 四边形是矩形， 是正三角形， 且平面平面，为棱的中点. (1)若为棱的中点， 求证：平面； (2)在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为 若存在，指出点的位置并给以证明； 若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是线段的中点时，可使得平面与平面的夹角的余弦值为. 【分析】（1）取的中点，连接，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）利用面面垂直的性质定理推导出平面，取的中点，连接，易证，，然后以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）取的中点，连接， 分别为的中点，所以，且， 因为四边形是矩形，所以，， 又为棱的中点，所以且， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）假设在棱上是否存在点满足题意，如图，连接， 在等边中，为棱的中点，所以， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 取的中点，连接，易证，， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故， 设， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以，. 易知平面的一个法向量为， 所以， 整理可得，解得，合乎题意， 所以，当点为线段的中点时，与平面的夹角的余弦值为. 【题型4】 点到直线的距离 【基础知识】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.    (1)证明：平面； (2)求动点到线段的距离的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求解线面角的正弦； （3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可. 【详解】（1）因为折叠前为中点，，所以，折叠后， 所以，所以，在折叠前分别为中点， 所以，又因为折叠前，所以， 所以在折叠后，； 以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则为中点， 所以，设平面的法向量为， 又，所以， 令，则，所以，所以，所以， 所以平面.    （2）设，动点在线段上， 所以，即，即， 所以， 设点到线段的距离为，则，， ，令， 则，根据二次函数的性质可知， 所以，由此可知动点到线段的距离的取值范围为. 【巩固练习】 1（23-24高二上·河南商丘·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，以及直线的方向向量，利用向量法直接求解即可. 【详解】如图，以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，如下所示： 易知，，; 取， ，则， 所以点到直线的距离为 ． 故选：B. 2（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点，    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用中位线，判定面面平行关系，再转换成线面平行关系； （2）构建空间直角坐标系，计算平面的法向量，结合点到面的距离公式进行求解． 【详解】（1）取的中点M，连接    在中，， ， 在四边形中，且， 四边形是平行四边形，， 面面 又面面 面面 又面， 面； （2）取中点，连接 为等腰三角形， 面面，面面， 面 在，易得 以为原点，分别为轴，以建立空间直角坐标系 ， ， 设平面的法向量为， ，设，取 ． 【题型5】 点到平面的距离 【基础知识】 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】建系标点，求平面AEF的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图所示，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面AEF的法向量为，则， 令，则，可得， 所以点到平面AEF的距离. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川广安·期中）在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，用向量法求解. 【详解】如图， 以D为坐标原点， ，分别为x轴，y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系， 则．从而. 设平面的法向量为，则，即，得， 令，则，所以点E到平面的距离为． 故选：C 2（24-25高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点；再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积. 【详解】如图1，分别取的中点为,的中点为，则,，连接 ， 因为底面为直角梯形，，，， 所以四边形为正方形，, 因为平面，， 所以平面，平面， 所以 ； 所以， 而平面，平面，则, 所以, 又为的中点，所以 ， 所以点到三棱锥各个顶点的距离均为， 故为三棱锥的外接球球心； 如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，则, 与底面所成的角为 ，则为等腰直角三角形，, 则，，，. 设平面的法向量为， 因为，， 所以 令，得. 因为， 所以点到平面的距离. 设截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积为. 故选：A. 【A组---基础题】 1（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系利用空间向量求得，即可得结果. 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 设，由，则，， 所以，，，，． 因为为的中点，所以，，， 所以，所以， 即异面直线与所成角的大小为． 故选：D 2（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 3（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可. 【详解】    如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 直线与平面所成的角为， 则，令，即， 所以， 所以. 故选：B 4（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间点到直线的向量距离公式求出答案 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 则， 点B到直线的距离为 . 故选：C 5（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形，利用空间向量的坐标运算表示面面夹角的余弦值，即可确定点位置，即可求解. 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 6（24-25高二上·广西·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用空间坐标运算，即可求得点F到平面的距离，又可证得平面，即可得出直线到平面的距离. 【详解】在直三棱柱中，， 如图所示，以为原点建立空间直角坐标系， 因为，E、F分别为的中点， 则，，，，， 所以，，，    设平面的法向量为，则， 即，取，则，， 所以是平面的一个法向量， 又因为， 所以点F到平面的距离为. 因为在直三棱柱中，分别为的中点， 则且，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 则点F到平面的距离即为直线到平面的距离. 故选：B. 7（24-25高二上·贵州·期中）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解； （3）利用向量法根据点到面的距离公式求解. 【详解】（1）在图①中，由题知：四边形为正方形，且； 则在②中，，，且平面， 则平面； 又，平面，又平面，； 又，且为的中点，则； 又平面， 则平面，又平面，． （2）由（1）知：平面，平面， 则平面平面； 由题知：二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取的中点为，连接，则, 又平面平面，平面， 所以平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系； 则，、、、， 则、、、， 设，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则． （3）由（2）知：， 则平面的一个法向量可以为，且， 则点到平面的距离为． 8（24-25高二上·四川广元·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题设中的边的关系可证明，再结合线面垂直的判定和性质可得； （2）结合（1）中结果可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面法向量后可求夹角的正弦值； （2）设，利用点到平面的距离公式可求的值. 【详解】（1）因为为中点，故，而，故， 而，平面， 故平面，而平面，故. （2）因为，结合（1）中可得， 而，故，故， 结合（1）中及可建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 故平面的法向量为， 设平面的法向量为，而， 则即，取，则， 故，而，故. （3）设，其中， 由（2）可得平面的法向量为， 故到平面的距离为，由题设有， 故，故. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）设AC与BD交于点F，证明平面ABD，根据面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，根据空间角的向量求法，即可求得答案； （3）利用向量法求出直线DM与平面ABE所成角的正弦值的表达式，结合基本不等式即可求得最大值. 【详解】（1）如图所示，设AC与BD交于点F，连接EF，    由于底面底面，故， 又，即，平面， 故平面，又平面，故，， 为底面圆的内接正三角形，且边长为， 则，； 又，即, 而∽，则，即， 结合，平面ABD，， ∴平面ABD，又平面， ∴平面平面. （2）以点F为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系，    结合（1）可知， 则， 则， 设平面ABE的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取为， 则，由原图可知二面角为锐角， 故二面角的余弦值为； （3）由（2）可得, 设，则， 设直线DM与平面ABE所成角为， 则， 则， 令，则 ， 当且仅当，即时取等号， 即当时，取最大值4，则取最大值1， 故直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值为1. 2（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）由题意列出方程组，解得的值，直接写出椭圆方程； （2）①求出平面中坐标，再建立空间直角坐标系得到坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值. 【详解】（1）由题意可得，解得，∴， ∴椭圆的标准方程为：. （2）翻折后，如图：    ①当B为椭圆的下顶点时，由题意知，直线， 联立方程组可得，解得或，∴ 令原来轴负半轴所在直线为轴，则，，，， ∴，，， 设为平面的一个法向量，则， 令，所以，即， 设直线与平面的夹角为， 则， ②联立方程组，整理得， ，∴， 设，，则，，， ，， ∴， 令函数， 由二次函数的对称轴：，∴， 所以当时，的体积最大，此时. 【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 02 用空间向量求空间角和距离 【题型1】 求异面直线所成的角 【基础知识】 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·贵州贵阳·期中）图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，为下底面圆周上一点，满足，则异面直线AE与所成角的正弦值为 。 【巩固练习】 1（24-25高二上·湖南·期中）刍甍是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体.现有一个刍甍如图所示，底面 BCDE为矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，则异面直线AE与BD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【题型2】线面所成角 【基础知识】 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，点为棱的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)若，且，，求直线与平面所成角的正弦值． 【巩固练习】 1（24-25高二上·广西河池·阶段练习）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，E为棱的中点，则到平面的夹角余弦值为（   ） A． B． C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）如图，正方体中，，，，当直线与平面所成的角最大时，（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·上海·阶段练习）如图，在四棱锥中，，，，，平面，与平面所成角为，为中点，    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角为，求的值. 【题型3】求二面角 【基础知识】 1 二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： 2 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·湖北·期中）如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形，    (1)求证：平面 (2)求PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【巩固练习】 1（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 2（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）如图， 在四棱锥中， 四边形是矩形， 是正三角形， 且平面平面，为棱的中点. (1)若为棱的中点， 求证：平面； (2)在棱上是否存在点 ，使得平面与平面的夹角的余弦值为 若存在，指出点的位置并给以证明； 若不存在，请说明理由. 【题型4】 点到直线的距离 【基础知识】 若为直线外的一点， 在直线上，为直线的方向向量，， 则点到直线距离为 PS 公式推导 如图，. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建三明·阶段练习）如图所示中，分别为中点.将沿向平面上方翻折至右图所示的位置，使得.连接得到四棱锥，记的中点为，连接，动点在线段上.    (1)证明：平面；(2)求动点到线段的距离的取值范围. 【巩固练习】 1（23-24高二上·河南商丘·期中）如图，在正方体中，分别是棱的中点，则点到直线的距离为（   ） A． B． C．1 D． 2（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知三棱柱的所有棱长都为2，，且平面平面，点又分别是的中点，    (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 【题型5】 点到平面的距离 【基础知识】 点到平面的距离 若点为平面外一点，点为平面内任一点，平面的法向量为，则到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值，即. PS 公式推导 如图，. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·广东湛江·期中）如图，在直三棱柱中，，，E，F分别为，BC的中点，则点到平面AEF的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川广安·期中）在长方体中，，，点E是棱的中点，则点E到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·广东·期中）如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（   ） A． B． C． D． 【A组---基础题】 1（2024高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，为的中点，则异面直线与所成角的大小是（   ） A． B． C． D． 2（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3（24-25高二上·河南郑州·阶段练习）在正方体中，直线与平面所成的角为（    ）.    A． B． C． D． 4（22-23高二上·重庆铜梁·阶段练习）在棱长为2的正方体中，点M为棱的中点，则点B到直线的距离为（    ） A． B． C．2 D． 5（22-23高二上·江西吉安·期末）如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高二上·广西·期中）如图，在直三棱柱中，分别为的中点，则直线到平面的距离为（    ）    A． B． C． D． 7（24-25高二上·贵州·期中）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，求点到平面的距离． 8（24-25高二上·四川广元·期中）如图，在三棱锥中，分别为的中点，.    (1)证明：： (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值：苦不存在，请说明理由. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，AC为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，在母线PC上，且，，.    (1)求证：平面平面ABD； (2)求二面角的余弦值. (3)设线段PO上动点为，求直线DM与平面ABE所成角的正弦值的最大值. 2（24-25高二上·山东德州·期中）已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为，，椭圆上一点到焦点的最小距离为，直线与椭圆交于A、B两点（其中点A在x轴上方，点B在x轴下方），当过时，的周长为.    (1)求椭圆的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，使y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）垂直. ①当B为椭圆的下顶点时，求折叠后直线与平面所成角的正弦值； ②求三棱锥体积的最大值. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$