复习篇 01 用空间向量证明线面位置关系 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高二数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

01 用空间向量证明线面位置关系 【题型1】 用空间向量研究直线、平面的平行 【基础知识】 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【经典例题】 角度1 证明直线、平面平行 【例1】（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示；(2)求证：平面． 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 2（22-23高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 角度2 由直线、平面平行关系求几何量 【例1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【巩固练习】 1（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 2（2023·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱的体积为，，为的中点，为的中点，是与的交点． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由． 【题型2】用空间向量研究直线、平面的垂直 【基础知识】 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【经典例题】 角度1 证明直线、平面垂直 【例1】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明.(2)求证平面. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值；(2)用向量法证明：平面平面． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 角度2 由直线、平面垂直关系求几何量 【例1】（2023·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【巩固练习】 1（21-22高二上·浙江·期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 2（22-23高二上·新疆·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（    ）    A． B． C． D． 3（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【A组---基础题】 1（2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 2（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 3（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4（23-24高二上·安徽池州·期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 5（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 6（22-23高二上·湖北·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【B组---提高题】 1（21-22高一下·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 用空间向量证明线面位置关系 【题型1】 用空间向量研究直线、平面的平行 【基础知识】 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是， 则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【经典例题】 角度1 证明直线、平面平行 【例1】（22-23高二上·广东深圳·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点，设 ，，． (1)用，，表示； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据向量运算求解即可； （2）先根据向量运算关系得，进而得共面，再根据平面即可证明. 【详解】（1）解：因为四棱锥的底面为平行四边形， ，为的中点， 所以， ， （2）证明：因为， ， 所以，，即， 所以共面， 因为平面， 所以平面. 【例2】（2024高二上·全国·专题练习）如图所示，在直角梯形中，，，，是的中点，分别为的中点，将沿折起，使得平面，试用向量方法证明 平面. 【答案】证明见解析 【分析】建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量即可求解. 【详解】由题意可知底面为正方形， 因为平面，平面，所以两两垂直， 如图以为原点，以为方向向量建立空间直角坐标系， 则有关点及向量的坐标为： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，取可得平面的一个法向量为， 因为，又在平面外， 所以 平面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，，且平面，则平面，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，，D错. 故选：B. 2（22-23高二下·浙江·期末）如图几何体为圆台一部分，上下底面分别为半径为1，2的扇形，，体积为．    (1)求； (2)劣弧上是否存在使∥平面．猜想并证明． 【答案】(1)； (2)不存在，证明见解析. 【分析】（1）设，由扇形的面积公式分别表示出上底的面积，下底的面积，再代入体积公式即可得，在中由余弦定理求解即可； （2）过作的垂线交劣弧于，以所在的直线分别为轴，建立空间坐标系，利用空间向量证明即可. 【详解】（1）解：由题意可知，设， 设上底的面积为，下底的面积为， 则，， 所以，解得， 在中由余弦定理可得， 所以； （2）不存在，证明如下： 证明：过作的垂线交劣弧于， 由（1）可知，所以， 以所在的直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，    则，，，， 设， 则，，， 设平面的法向量为， 由，可得， 因为，所以， 取，则有， 如果平面，则有， 即， 即，矛盾，所以平面不成立， 故劣弧上不存在使∥平面. 角度2 由直线、平面平行关系求几何量 【例1】（24-25高二上·广东佛山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，，，， (1)证明：平面平面； (2)在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析. 【分析】（1）运用两次证明线线平行，得到线面平行，再用面面平行判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，写出关键点坐标，求出方向向量和平面法向量计算证明即可. 【详解】（1）如图，连接,由于平面，平面,则. 且，，则. 又，则，故. 又,则,又,则四边形为平行四边形.则. 平面,平面,则平面(∗). 由于，，则.又，则, 则,则，则. 平面,平面,则平面(∗∗). 平面,结合 (∗)，(∗∗)，得到平面平面. （2）由前面证明知道，四边形为矩形，平面， 则两两垂直，可建立空间直角坐标系.则 , 设,则. 设平面法向量为，且. 则,则，则解得. 又,若平面，则. 则， 则，解得.此时. 故棱上存在一点，使得平面，. 【巩固练习】 1（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可. 【详解】   因为为正方体，所以平面，， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， ，， 设，，， ，，， 因为∥平面，所以， 因为，所以，即， ， 所以当时，最小，最小为. 故选：A. 2（2023·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱的体积为，，为的中点，为的中点，是与的交点． (1)证明：； (2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）连接，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而可得 （2）利用空间向量，设，求出平面的法向量，再由线面平行的关系可得，从而可求出的值， 【详解】（1）由棱柱的体积公式，可得， 又，可知， 中，，为的中点，可得， 又平面，平面， 可得，而，平面，平面， 所以平面，即有， 连接， 由，， 则，可得， 即有，而，平面,平面 所以平面， 则； （2）以为原点，以，，为坐标轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则 令，可得， 设，， 则， 所以， 当时，可得平面， 所以，即． 所以在线段上存在点，且当时，平面． 【题型2】用空间向量研究直线、平面的垂直 【基础知识】 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【经典例题】 角度1 证明直线、平面垂直 【例1】（24-25高三上·山东青岛·期中）如图，在三棱锥中，为在平面内的射影点，已知，，，，. (1)请以、为基底表示，并证明. (2)求证平面. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）平面中：延长到，使；延长到，使，可得点为的重心，利用向量的运算可用、表示，利用数量积运算可证明； （2）由条件可证得平面，得；利用向量的运算求得，，进而得，利用勾股定理证得，然后利用线面垂直的判定定理证得结论． 【详解】（1）如图： 平面中：延长到，使；延长到，使. 因为，所以， 所以点为的重心. 所以 ， 所以. 又因为， 即. 因为 . 所以. （2）如图： 因为平面，平面，所以； 又，，平面，，所以平面， 又平面，所以. 又因为， 所以， 所以； 在中，，，所以. 又， 所以， 所以. 在中，，，所以. 在中，，，， 因为，所以. 又，平面，，所以平面. 【例2】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在直三棱柱中，侧面是正方形，分别为棱的中点，且． (1)求的值； (2)用向量法证明：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意可得，，所以以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，即可求解； （2）通过证明平面与平面的法向量的数量积为，即可证明. 【详解】（1）在直三棱柱中，， 又平面， 所以平面，因此两两垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 所以， 所以． （2）由（1）知， ， 设平面BEA的法向量为，平面的法向量为， 则，即，令，则； ，即 令，则，所以， 所以平面平面． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 角度2 由直线、平面垂直关系求几何量 【例1】（2023·云南曲靖·模拟预测）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据题意，先由线面垂直的判定定理得到平面，从而得到面面垂直； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后结合法向量与空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）证明：在中，因， 所以，所以，又， 且，平面，所以平面， 又平面， 所以平面平面. （2）假设存在点，使得平面平面. 取中点为，连接，则， 因为平面平面， 平面平面， 所以平面. 如图所示建立空间直角坐标系， 不妨设，则，，则， 设是平面的法向量，则，取. 设，其中. 则 连接，因 平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量. 设是平面的法向量， 则，取. 由平面平面，知，有，解得. 故在侧棱上存在点，使得平面平面. 【巩固练习】 1（21-22高二上·浙江·期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出 【详解】令，因为， 所以，令， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 所以 因为，， 所以， 所以，解得， 故选：D 2（22-23高二上·新疆·期末）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，分别为的中点，，，若平面，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ，又平面， ，，解得：. 故选：C. 3（23-24高二上·四川绵阳·期中）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）． (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可. 【详解】（1）因为在梯形中，，，为的中点， 所以，所以四边形为平行四边形， 因为线段点，所以为线段的中点， 所以中，， 因为平面，平面， 所以平面； （2） 因为平行四边形中，， 所以四边形是菱形，则，垂足为， 所以，， 因为平面，平面，所以是二面角的平面角， 因为二面角为直二面角，所以，即， 如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系， 线段上存在点，使得平面平面， 设，， 因为，所以， 由设平面的法向量为， 则， 令，则， 由，设平面的法向量为， 则，令，则可得， 则， 解得，即 为线段的中点，此时. 【A组---基础题】 1（2023·四川泸州·一模）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论一定正确的是（    ）    A．平面平面 B．平面平面 C．直线平面 D．直线平面 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，，， 设，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 同理可求平面的一个法向量为， ①当与重合即时设平面的一个法向量为， 此时，所以平面平面， 又平面的一个法向量为，满足，所以平面平面， 又，所以，显然直线与平面不平行，故C错误； 而直线平面，故D错误； ②当与不重合即时设平面的一个法向量为， 则，取， 此时，即平面平面， 又，所以平面与平面不垂直，故B错误； 综上可得若为线段上的点，均可满足平面平面，故A正确； 故选：A    2（24-25高二上·湖北荆门·阶段练习）如图，以等腰直角的斜边BC上的高AD为折痕，把和折成互相垂直的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中不正确的是（   ）    A． B． C． D．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直 【答案】D 【分析】根据面面垂直的性质定理可得平面，建立空间直角坐标系利用空间向量运算，ABC项利用向量数量积的坐标运算可得，D项分别求两平面的法向量坐标，再利用数量积可得. 【详解】由已知AD为等腰直角的斜边BC上的高，即， 则为的中点 ， 又平面平面，平面平面， ，平面， ∴平面，又平面， ∴，又， 以D为坐标原点，分别以DB、DC、DA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设斜边，则， 所以，    可得， A项，，故A正确； B项，，则，故B正确； C项，，则，故C正确； D项，因为平面ADC的一个法向量为， 设平面ABC的法向量为，则， 令，则，可得， 则， 平面ADC的法向量和平面ABC的法向量不垂直，故D错误． 故选：D. 3（24-25高二上·四川攀枝花·阶段练习）如图，在直三棱柱中，，，已知与分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点），若，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直三棱柱中三条棱两两垂直，本题考虑利用空间坐标系解决.建立空间直角坐标系，设出的坐标，利用求得关系式，写出的表达式，然后利用二次函数求最值即可. 【详解】在直三棱柱中，底面， 以点为坐标原点，，、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，设点、， ，， 由于，则，可得， ，则， . 故选：C. 4（23-24高二上·安徽池州·期中）如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．当时，三点共线 B．当时，平面 C．当时，平面 D．当时， 【答案】D 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，根据长方体的性质，可得判定A正确；求得的法向量为，结合，可判定B正确；求得平面的法向量为，结合，可判定C正确；由时，结合， 所以与不垂直，所以D错误. 【详解】以为原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 设，可得， 对于A中，当时，即为对角线的中点， 连接，在矩形中，可得也是的中点， 所以三点共线，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以，， 设平面的法向量为，则 ， 取，可得，所以， 所以，所以平面，所以B正确； 对于C中，当时，可得，所以， 设平面的法向量为，且， 则，取，可得，所以， 则，所以平面，所以C正确； 对于D中，当时，，由， 解得，则, 所以与不垂直，所以D错误. 故选：D. 5（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）如图，四棱锥的底面为平行四边形，，，为的重心.    (1)证明：平面； (2)若为的中点，求线段的长； (3)设为线段上的一个动点，是否存在点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，使得，理由见解析，. 【分析】（1）以为基底，表示表示，结合向量运算性质证明，由此证明结论； （2）利用基底表示，结合数量积性质求其模，可得结论； （3）设存在点，满足条件，且，利用基底表示，结合假设及数量积性质求，可得结论. 【详解】（1）由已知不共面，故为一组基底， 由已知， ， 所以， 由已知， 因为为的重心，所以， 所以， ， 所以，，即， 又平面，， 所以平面； （2）因为，， 又为的中点， 所以， 所以， 所以， 所以线段的长为；    （3）设存在点，使得，且，， 则， ， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以存在点，使得，此时. 6（22-23高二上·湖北·阶段练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，. (1)求与平面所成角的正弦值； (2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且 平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【分析】对于（1），取AB中点为H，先由条件证得PH⊥平面ABCD，后可得答案. 对于（2），由（1）分析可知AB⊥AC，建立以A为原点的空间直角坐标系，找到平面BEQF，平面PAD法向量，后可得答案. 【详解】（1）证明：取棱AB长的一半为单位长度. 则在中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，根据余弦定理， 得 得，故AB⊥AC. 又PB⊥AC，PB∩AB=B，平面PAB，AB平面PAB，故AC⊥平面PAB. 又平面ABCD，AC⊥平面PAB，则平面ABCD⊥平面PAB. 取AB中点H，连接PH，CH. 因是等边三角形，则PH⊥AB，又PH 平面PAB， 平面ABCD 平面PAB，平面ABCD⊥平面PAB，故PH⊥平面ABCD. 得∠PCH是CP与平面ABCD所成的角. 在直角三角形中，， ，. 故，即为所求. （2）假设存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD. 如图，以A为原点，分别以为x，y轴的正方向建立空间直角坐标系A-xyz， 则， ， 设是平面PAD的法向量，则 ，取. 设，其中. 则 连接EF，因AC∥平面BEQF，，平面PAC∩平面BEQF=EF， 故AC∥EF，则取与同向的单位向量. 设是平面BEQF的法向量， 则， 取. 由平面BEQF⊥平面PAD，知，有，解得. 故在侧棱PD上存在点Q且当时，使得平面BEQF⊥平面PAD. 【B组---提高题】 1（21-22高一下·河南南阳·期末）如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上． (1)设，当为何值时，的面积最小？ (2)当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)且 或 【分析】（1）根据线面垂直可得线线垂直，进而根据三角形中的边角关系可得，而三角形的面积为，要使得面积最小，则最大即可；（2）根据空间直角坐标系，根据平面法向量垂直得两平面垂直即可求解. 【详解】（1）因为 ,所以 , 由于 平面 , ,故在中， ， 在 中，由余弦定理可得 ， 在 中， 在 中， 因为 ，所以，当 时，即 ， 最大，此时，而也为最小值，故 （2）以为坐标原点，以 为 轴的正方向，过 向上作平面 的垂线为 轴正方向，如图，建立空间直角坐标系； 当时，此时是 中点，故 ,故 设 ,则 ; 设平面的法向量为 ，所以 ，取 ，则 同理可得平面的法向量为， 因为平面平面POF，所以 ，即 或 ， 故存在点 ,使得平面平面POF，且 或 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$