复习篇 04 用空间向量求空间角- 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

04 用空间向量求空间角 【题型1】 求异面直线所成的角 【基础知识】 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【例】在正方体中，直线与直线夹角 ，向量与直线所成角等于 . 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【题型2】求线面所成角 【基础知识】 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【例1】在正方体中，直线与平面所成角为，向量与向量所成角为，判断与的关系. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． (1)求证：平面ADE； (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【巩固练习】 1（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3（24-25 高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 4（天津市第一百中学、咸水沽第一中学2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面平面，求线段的长. 【题型3】求二面角 【基础知识】 1 二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： 2 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【例1】在正方体中，易得平面与平面的法向量分别是 、，其夹角是，二面角为，平面与平面的夹角，判断三个角之间的关系！ 【例2】两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为 . 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）四棱锥中，底面为正方形，为锐角． (1)求证：平面平面； (2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【巩固练习】 1（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【A组---基础题】 1（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高二上·河北保定·期中）若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 4（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 5（24-25高三上·青海西宁·期中）如图，平面，，，，，点分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与直线所成角的正弦值． 6（24-25高三上·四川自贡·期中）如图平面．    (1)若平面，证明：； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值． 【B组---提高题】 1（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且．则下列结论中错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当E向运动时，二面角的大小不变 C．二面角的最小值为45° D．当E向运动时，总成立 2（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 用空间向量求空间角 【题型1】 求异面直线所成的角 【基础知识】 求异面直线所成的角 已知为两异面直线，与分别是上的任意两点，所成的角为， 则 解释 ①向量所成角的范围是，而异面直线所成的角范围是； ②与的关系相等或互补； 故，不要漏了“绝对值符号”. 【例】在正方体中，直线与直线夹角 ，向量与直线所成角等于 . 解析 因为，所以是直线与直线夹角， 又因为是等边三角形，所以，而向量与直线所成角等于. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·北京·期中）如图，在直三棱柱中，，则直线与直线所成的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量数量积求向量夹角，即可确定异面直线与直线所成的角. 【详解】， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 所以， 又，所以， 因此直线与直线所成的角为. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京延庆·期中）设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】， 设所成角为，则，故 故所成角为， 故选：C 2（24-25高二上·山东·期中）如图，在棱长为2的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值的最大值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先建立空间直角坐标系，然后求出对应点的坐标，然后结合空间向量的运算求解即可． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,0,，,0,，,0,，,2,， 设，， 则,,， 则，， 则， 设直线与直线所成角为， 则，当且仅当时取等号， 则直线与直线所成角的余弦值的最大值为， 故选：D．    【题型2】求线面所成角 【基础知识】 求直线和平面所成的角 设直线方向向量为，平面法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角的余角，即有. 解释 如下图，当时，；当时，； 在求直线和平面所成的角实际过程中，较难判断平面的法向量的方向，但不管如何均有. 【例1】在正方体中，直线与平面所成角为，向量与向量所成角为，判断与的关系. 解析 因为平面，所以直线与平面所成角， 而平面的法向量与向量所成角，由图易得. 所以， 若把平面的法向量改为，则时，. 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M是AD的中点，N是AB的中点． (1)求证：平面ADE； (2)求直线CM与平面DEN所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知线面关系，证明平面，有，又可证，可证得平面； （2）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 由，知，， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，是的中点，所以， 又，平面， 所以平面． （2）平面，，以为坐标原点， 以，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 故，，， 设平面的法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值． 【巩固练习】 1（23-24高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在空间直角坐标系中，已知向量是平面的一个法向量，且，则直线与平面所成角的正弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，根据空间向量的数量积的定义计算即可. 【详解】直线与平面所成角的正弦值等于 . 故选：B 2（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，D为的中点，则与平面所成的角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，表示与平面的法向量，利用公式即可求出线面角的正弦值. 【详解】 取中点，则，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则， ∴， 由图可知，平面的法向量为. 设与平面所成的角为，则， 故与平面所成的角的正弦值为. 故选：B. 3（24-25 高二上·河南·阶段练习）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设棱长为1，，建立如图坐标系，根据计算点P坐标和向量，再写出平面的一个法向量的坐标，根据构建关系，求其值域即可. 【详解】如图，设正方体棱长为1，，则， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系． 则，故，，又，则，所以． 在正方体中，可知体对角线平面， 所以是平面的一个法向量， 所以． 所以当时，取得最大值，当或1时，取得最小值． 所以. 故选：A． 4（天津市第一百中学、咸水沽第一中学2024-2025学年高三上学期期中联考数学试题）如图，在四棱锥中，底面正方形，底面，，、分别为线段、的中点，为线段上的动点.    (1)证明：平面； (2)若点为的中点，求与平面所成角的正弦值； (3)若平面平面，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）取的中点，根据条件先证明出平面平面，由此可证明平面； （2）建立合适空间直角坐标系，然后求解出平面的一个法向量，根据与法向量夹角的余弦值求解出与平面所成角的正弦值； （3）设，然后求解出平面的一个法向量，根据条件得到，由此可求的值，则的长可求. 【详解】（1）取的中点，连接，因为为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为为的中点，且四边形是正方形，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面.    （2）由题意，以为原点，分别以方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示， 因为，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 设与平面所成角为，所以， 所以与平面所成角的正弦值为.    （3）设，所以， 因为，所以，所以， 设平面的一个法向量为， 所以，取，则，所以， 因为平面的一个法向量，且平面平面， 所以，解得， 所以. 【题型3】求二面角 【基础知识】 1 二面角 二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点，分别在两个半平面内作射线 ，，则为二面角的平面角，二面角的取值范围是. 如图： 2 平面与平面的夹角 平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角不大于的二面角称为平面与平面的夹角. 3 空间向量求平面与平面的夹角 求法：设平面与平面的法向量分别为， 再设的夹角为，平面与平面的平面角为，则为或， 则. (与线面所成角的情况一样，均由法向量的方向导致两种情况的出现) 【例1】在正方体中，易得平面与平面的法向量分别是 、，其夹角是，二面角为，平面与平面的夹角，判断三个角之间的关系！ 解析 两个法向量的、的夹角，二面角为是个钝角，则平面与平面的夹角，而. 所以三角关系是. 【例2】两平面的法向量分别为，则两平面的夹角为 . 解析 两平面的法向量分别为， 所以，则两平面的夹角为． 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）四棱锥中，底面为正方形，为锐角． (1)求证：平面平面； (2)若与平面所成角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明平面平面； （2）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线，以该垂线为轴建立空间直角坐标系，根据与平面所成角为以及为锐角计算得到，再得到平面与平面的法向量和，最后利用计算即可. 【详解】（1）四边形为正方形，，又，且， 平面PAB，平面，又平面， 平面平面. （2）以为原点，分别为轴，过作平面的垂线，以该垂线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 由（1）可知轴在平面内， 由题意可得，， 则，， 易知平面的法向量为， ，得， 解得或， 为锐角，，即， ，设平面的法向量为， ，得，取，得， 易得平面的法向量为， 设平面与平面夹角为，则， 综上，平面与平面夹角的余弦值为． 【巩固练习】 1（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知平面的一个法向量分别为，，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面与的夹角的余弦值与法向量的关系求解即可. 【详解】设，，则， 所以平面与的夹角的余弦值为. 故选：D. 2（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，且． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； 【详解】（1）因为平面，平面， 所以， 又因为， 所以，而，且平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点，则直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，根据空间向量的坐标表示可得，结合空间向量数量积的定义计算即可求解. 【详解】， 直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 2（23-24高二上·河北保定·期中）若直线的一个方向向量是，平面的一个法向量是，则直线与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得. 【详解】已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是， 设直线与平面所成角为，则， 所以， 所以，故直线与平面所成角为. 故选：. 3（24-25高二上·河南·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：C 4（23-24高二上·河南漯河·期末）如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 5（24-25高三上·青海西宁·期中）如图，平面，，，，，点分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与直线所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理即可证得； （2）以点为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】（1）连接，因为，， 所以．又因为，所以四边形为平行四边形， 又因为点分别为的中点，所以且， 因为，，所以且， 又因为点分别为的中点， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以，， 又，故以点为原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系（如图）． 因为， 所以，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以． 设平面与直线所成角， 则， 所以与直线所成角的正弦值为． 5（24-25高三上·四川自贡·期中）如图平面．    (1)若平面，证明：； (2)若，求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明过程见解析； (2). 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到⊥，由线面垂直得到，从而证明出线面垂直，得到⊥，再由线面平行的性质得到，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量坐标，求出两个平面的法向量，利用法向量的夹角余弦公式即可求出面面角的夹角余弦值. 【详解】（1）因为，故， 所以⊥， 又平面，平面， 所以， 因为，平面， 所以⊥平面， 因为平面， 所以⊥， 因为平面，平面，平面 平面， 所以， 因为⊥， 所以； （2）由（1）知，⊥，又，故， 因为， 在中，由余弦定理得， 即，解得， 因为，所以⊥， 过点作⊥于点，则， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，故， 设平面的法向量为， 则， 令，则，则， 设平面和平面夹角为， 则. 【B组---提高题】 1（24-25高二上·云南玉溪·期中）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且．则下列结论中错误的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．当E向运动时，二面角的大小不变 C．二面角的最小值为45° D．当E向运动时，总成立 【答案】D 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可判断CD的正误，根据动点的运动性质可判断B的正误，利用体积公式可判断A的正误. 【详解】因为为定值，故为定值，到平面的距离即为到平面的距离， 故三棱锥的体积为定值，故A正确. 平面即为平面，而平面即为平面， 故当向运动时，二面角不变，故B正确. 建立如图所示的空间几何体， 则 设平面的法向量为， 又， 所以，取，则， 平面的法向量为，所以， 设二面角的平面角为，则为锐角，故， 当，故，所以， 当且仅当时取最大值即取最小值，故C正确. 因为在上，且，故可设， ， 所以， 故不恒为零，故D错. 故选:D 2（24-25高二上·重庆·阶段练习）长方体，，，动点满足，，则二面角的正切值的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先建系，再根据向量垂直得出再结合，得出，最后应用空间向量法计算二面角余弦结合同角三角函数关系求出正切范围即可. 【详解】 以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 已知，， 则，，，. 因为，所以, , 因为，所以, 因为，所以， 设平面的法向量为， 设平面的法向量为，，. 由，即， 令，则，， 则为平面的一个法向量. 设二面角为，由图可知为锐角， 所以. . ，. 所以 则. 则二面角的正切值的取值范围是 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是应用向量关系得出结合即可得出正切值取值范围. 3（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】(1)为中点，证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）取中点，连接、，利用平行线的传递性证明出，即可得出结论； （2）取中点，连接、，推导出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离； （3）设点，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，可求得、的长，即可得出结论. 【详解】（1）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，则，所以，当为的中点时，、、、四点共面. （2）取中点，连接、， 因为，，则，所以，， 则为等腰直角三角形，所以，，且， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，所以，则， 因为，则，所以，，， 因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. （3）假设在棱上存在点满足题设条件， 设点，，， 设平面的一个法向量为，则  ， 取，则，，故， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，故， 设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角， 所以， 所以，即，（舍去）， 此时，，则， 故在棱上存在点，当时， 半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$