复习篇 03 用空间向量证明线面的位置关系 -2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义人教A版2019

03 用空间向量证明线面的位置关系 【题型1】 用空间向量研究直线、平面的平行 【基础知识】 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【经典例题】 角度1 证明线面平行 【例1】（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 角度2 证明面面平行 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【巩固练习】 1（24-25高二上·贵州·期中）若两互相平行的平面，的法向量分别为，，则实数m的值为（   ） A． B．4 C． D．2 2（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【题型2】用空间向量研究直线、平面的垂直 【基础知识】 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【经典例题】 角度1 证明线面垂直 【例1】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【巩固练习】 1（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 3（24-25高二上·广东·期中）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 角度2 证明面面垂直 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 2（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 3（24-25高二上·山东临沂·期中）已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 5（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 6（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 7（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 8（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【B组---提高题】 1（2023高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 2（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 03 用空间向量证明线面的位置关系 【题型1】 用空间向量研究直线、平面的平行 【基础知识】 判定空间中的平行关系 (1)线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即 (2)线面平行 设直线的方向向量是，平面的法向量是，且， 则要证明，只需证明，即 (3)面面平行 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证 ，即证 【经典例题】 角度1 证明线面平行 【例1】（24-25高二上·辽宁大连·阶段练习）如图，在四面体中，面是的中点，是的中点，点在棱上，且.请建立适当的空间直角坐标系，证明：面. 【答案】证明见解析 【分析】解法一：以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明； 解法二：取的中点为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行的方法进行证明. 【详解】解法一： 以为坐标原点，所在直线为z轴，线段的延长线为y轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 设，由题意得，， 因为，所以 即，即， 所以，所以， 又因为面的一个法向量为，所以，所以， 又因为面，所以 面. 解法二： 取的中点，连接，因为为的中点， 所以 ，所以平面， 过作，交BC于， 以为坐标原点，的方向分别为x轴､y轴､z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系. 因为为中点，设， 则， 设点的坐标为. 因为，所以. 因为为的中点，故，又为的中点，故， 所以， 又平面的一个法向量为，故，所以， 又平面，所以 平面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·四川达州·期中）已知平面的法向量为.若，直线平面，则直线的方向向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用线面平行的向量方法可解. 【详解】直线平面，设直线l的方向向量为,则，即. 对于A，，不满足题意； 对于B，，不满足题意； 对于C，，不满足题意； 对于D，，满足题意； 故选：D. 2（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面EFC，则 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据求解即可. 【详解】如图所示，以A为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则得一个法向量为. 因为平面，则， 设，则，所以， 解得，所以，即. 故答案为： 角度2 证明面面平行 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，是棱的中点．试用向量的方法证明：平面平面．    【答案】证明见解析 【分析】先根据直棱柱及建立空间直角坐标系由向量关系得出线线平行，再应用面面平行判定定理得证． 【详解】因为，，是棱的中点， 所以，所以为正三角形． 因为为等腰梯形，，， 所以． 取的中点，连接，则，所以． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·贵州·期中）若两互相平行的平面，的法向量分别为，，则实数m的值为（   ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】由题意得法向量，共线，所以存在实数，使，利用向量运算的坐标表示求解. 【详解】因为，则它们的法向量，共线， 所以存在实数，使，即， 则，所以． 故选：A． 2（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，为矩形，平面，，，，分别是，，的中点．求证： (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知可证得两两垂直，所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量证明； （2）证明平行于平面，结合面面平行判定定理证明结论. 【详解】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为四边形为矩形，所以， 所以两两垂直， 所以以为原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，，. 则，因为，，分别是，，的中点， 所以，，， 所以. 因为平面的一个法向量为， 所以，即. 又因为平面，所以平面. （2）因为， 所以，所以， 又平面，所以平面. 又因为，平面， 所以平面平面. 【题型2】用空间向量研究直线、平面的垂直 【基础知识】 判定空间的垂直关系 (1)线线垂直: 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. (2)线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) (3)面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【经典例题】 角度1 证明线面垂直 【例1】（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 【巩固练习】 1（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期中）已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由线面垂直关系可得出，结合空间向量共线的坐标表示可得出结果. 【详解】因为是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量， 且，则，所以，，解得，，故. 故选：D. 2（24-25高二上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点. (1)求证：. (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，然后以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标法证明线线垂直； （2）先求出平面的法向量，然后利用直线AM的方向向量与法向量共线即可证明线面垂直. 【详解】（1）因为四边形为矩形，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立空间直角坐标系， 由，，得，，，， ，，. 所以，， 所以，所以， 所以 （2）由（1）知，，，. 设是平面的法向量，则，， 所以，得， 取，得，，则. 因为，所以，即与共线. 所以平面. 3（24-25高二上·广东·期中）如图所示，已知平行六面体的底面是菱形，且．    (1)求证：； (2)当的值为多少时，能使平面？请给出证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可以构造空间向量，利用空间向量的数量积为0得到垂直关系； （2）根据线面垂直的性质知，要使平面，只需且，根据数量积的定义可知需证明，，结合向量的加减运算和数量积的定义，即可求出与的关系； 【详解】（1）证明：设，，，则， 底面是菱形，有，且两两所成角相等，设为， 则， ∴，即. （2）要使平面，只需且. 欲使，则可证明，即， 也就是， 即， 由于，显然当时，上式成立. 同理可得，当时，. 因此，当时，能使平面. 角度2 证明面面垂直 【例1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图所示，在直二面角中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）建立空间直角坐标系得出的坐标，要证平面，只需证明和即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面法向量和平面的一个法向量，利用向量夹角公式可求得余弦值. 【详解】（1）∵为正方形，∴， ∵二面角为直二面角，∴平面， 以线段的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 过点平行于的直线为轴，建立如图空间直角坐标系， 则，，，， 设()， ∵为上的点，， ∴设，∴， ∴，，， ∵平面，、平面，∴， 且，解得，，∴，， 所以，，∴，∴， ∵平面，平面，∴， 又，、平面，∴平面； （2）由题意可知，平面的法向量为， 设面的法向量为，，， ∴且，取，则，， ∴，∴，∴平面平面. 【巩固练习】 1（24-25高二上·浙江嘉兴·期中）已知，分别是平面，的法向量，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量的知识可知，两平面垂直等价于两法向量垂直，从而利用两法向量数量积为0求值. 【详解】因为，分别是平面，的法向量，且， 所以，即，解得， 故选：B. 2（2024高三·全国·专题练习）已知四棱锥底面是直角梯形，，，侧面底面.证明： (1)； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明底面，建立空间直角坐标系，计算得证； （2）取PA的中点M，连接DM，利用向量法先证明平面，从而可得面面垂直. 【详解】（1）取BC的中点O，连接PO， ∵平面底面，为等边三角形， 平面底面，平面， ∴底面. 以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴， OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设，则， ∴， ∴，， ∵， ∴，∴. （2）取PA的中点M，连接DM，则， ∵，，∴， ∴，即. ∵， ∴，即， 又∵平面PAB， ∴平面. ∵平面， ∴平面平面. 【A组---基础题】 1（24-25高二上·福建厦门·期中）已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由题意可知，结合向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，则， 可得，解得. 故选：B. 2（24-25高二上·北京·期中）已知不重合的平面与平面，若平面的法向量，，，则（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能 【答案】C 【分析】求出平面的一个法向量，利用空间位置关系的向量证明可得结论. 【详解】设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 即可知 易知两法向量既不垂直也不平行，所以平面、平面相交但不垂直. 故选：C 3（24-25高二上·山东临沂·期中）已知是直线的方向向量，为平面的法向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果直线垂直于平面，那么直线的方向向量与平面的法向量平行.两个向量平行，则它们对应坐标成比例，我们可以根据这个性质来求解的值. 【详解】因为，所以与平行. 对于两个平行向量和，根据向量平行的性质， 它们对应坐标成比例，即. 由，交叉相乘可得，解得. 故选：A. 4（24-25高二上·全国·课后作业）两平面的法向量分别为，若，则的值是（　　） A．－3 B．6 C．－6 D．－12 【答案】B 【分析】由，可得，则，从而可求得结果. 【详解】因为两平面的法向量分别为，且， 所以，所以. 故选：B 5（24-25高二上·北京·期中）正方体中，、分别为、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】B 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设，则、、、、、 、、、、， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，，， 则，取，则， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，，且平面，则平面，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，，D错. 故选：B. 6（2024高三·全国·专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.证明： (1)； (2)平面； (3)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，论证即可； （2）易得向量为平面的一个法向量，再论证即可； （3）易得平面的法向量为，再求得平面的一个法向量为，论证即可. 【详解】（1）证明：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系： 可得. 由为棱的中点，得. （1）向量， 故， 所以. （2）因为， 又平面，平面， 所以，，平面， 所以平面， 所以向量为平面的一个法向量， 而， 所以， 又平面，所以平面. （3）由（2）知平面的法向量为， 向量，， 设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得， 所以为平面的一个法向量. 且， 所以 所以平面平面. 7（24-25高二上·重庆·期中）已知矩形ABCD，，，为CD中点，沿AE折成直二面角，为BC为中点.          (1)求证：； (2)在棱DE上是否存在点N，使得平面ADM?若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在； 【分析】（1）取的中点，连接，由面面垂直的性质得到，再由中位线的性质得到，然后由线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立如图所示坐标系，平面的法向量，利用解出即可； 【详解】（1）    取的中点，连接， 因为矩形ABCD，，， 所以， 由为CD中点，所以， 因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由为的中点，为四边形的中位线，， 所以，又平面，， 所以平面， 由平面，所以. （2）    作平面，以为原点，以所在直线为建立空间直角坐标系， 由（1）得为四边形的中位线，所以， 由得，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，取，则， 设点存在，，， 所以，所以， 由平面得， 所以，解得， 即，所以 所以存在点N，使得平面ADM，. 8（23-24高二上·全国·课后作业）如图所示，已知平行六面体的底面为正方形，分别为上、下底面的中心，且在底面上的射影是.    (1)求证：平面平面； (2)若点分别在棱上，且，问点在何处时，? 【答案】(1)证明见解析 (2)为的三等分点（靠近点） 【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，结合空间向量的坐标运算可得轴，进而得到平面，进而求证； （2）设，结合空间向量数量积的坐标表示求解即可. 【详解】（1）证明：如图所示，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.    设. . ， 轴，又轴和平面垂直， 平面， 又平面， 平面平面. （2）由，结合（1）可知，. 设，则，故点的坐标为， ， 由， 即，解得. 故当为的三等分点（靠近点）时，有. 【B组---提高题】 1（2023高三·全国·专题练习）如图，已知平面四边形ABCP中，D为PA的中点，PAAB，CDAB，且PA＝CD＝2AB＝4．将此平面四边形ABCP沿CD折成直二面角，连接PA、PB，设PB中点为E． (1)证明：平面PBD平面PBC； (2)在线段BD上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)这样的点F存在，为线段BD上靠近点D的一个四等分点 【分析】（1）利用面面垂直的性质可得PD平面ABCD，可得PDBC，通过题意得数据可得到BDBC，再利用线面垂直的判定定理可得到BC平面PBD，再用面面垂直的判定定理即可得证； （2）假设F存在，建立空间直角坐标系，利用点F在线段BD上求得，再求平面PBC的法向量，利用EF平面PBC可得即可求得答案 【详解】（1）易得， 所以直二面角的平面角为∠PDA＝90°， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以PD平面ABCD，因为平面ABCD，所以PDBC， 又在平面四边形ABCP中，由已知数据可得，，且， 所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD， 故BC平面PBD， 因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC； （2）假设线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC， 则由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示． 所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则PB的中点E(1，1，1)， 因为点F在线段BD上，所以，所以， 则， 又，设平面PBC的法向量为， 所以令则，所以， 因为EF平面PBC，所以，所以，解得， 所以线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点 2（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知四棱锥的底面为直角梯形，平面，.    (1)若点是棱上的点，且满足，证明：平面； (2)若点为棱上的一点（不含端点），试探究上是否存在一点N，使得平面ADN平面BDN？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，. 【分析】（1）利用空间向量证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，设，由平面平面解出即可. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，, 因为点是棱上靠近的三等分点，即，则， 则，，， 设平面的一个法向量为，满足 令，则，则． ，∴， 又平面，所以平面． （2）存在． 设，则，，，    设平面的一个法向量为，满足 令，则，故取． ，， 设平面的法向量为， 满足 令，则，故取， 若平面平面，则，即 解得，此时为的中点，则． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$