复习篇 01 空间向量及其运算+数量积的运算+运算的坐标表示 - 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义人教A版2019

01 空间向量及其运算+数量积的运算+运算的坐标表示 【题型1】空间向量及其线性运算 【基础知识】 1 空间向量的运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 2 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 4 空间向量数量积的性质 (1) (2) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量将线段的长度转化成求解向量的模长度. 【详解】如图，由已知，，， ∵， ∴ ， ∴，即， 故选：A. 【例2】（22-23高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得 ，由数量积公式计算即可. 【详解】由题知，， 所以 ， 所以，解得， 故选：C 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，，则线段的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5 【答案】C 【分析】由可得，利用数量积运算即可得出结果. 【详解】因为，即，所以， 因为平行六面体各条棱长均为，， 所以，， 因为， ∴ ， 所以，即线段的长度为. 故答案为：5. 2（19-20高二下·四川雅安·阶段练习）若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为 A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用空间向量的运算，求得的值. 【详解】依题意空间四边形的四个面均为等边三角形，设棱长均为. 而， 则 所以. 故选：D 【点睛】本小题主要考查空间向量的运算，属于基础题. 3（21-22高二上·湖南·期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可. 【详解】∵，∴ ，∴，， 故选：C. 【题型2】空间向量运算的坐标表示 【基础知识】 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. 【经典例题】 【例1】（11-12高二·甘肃兰州·期末）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】计算出，得到答案. 【详解】因为， 所以， 当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 【例2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，再根据向量的数量积运算求解即可. 【详解】由已知可得，且. 又，故，即， 故，，又，故. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量减法的计算方法及模的计算方法求解. 【详解】. 故选：C. 2（24-25高二上·福建厦门·期中）设x、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示列式计算即得. 【详解】向量，，，且，， 则，，解得，于是， 所以. 故选：B 3（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出与，再根据计算可得. 【详解】因为， 所以，， 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为. 故选：B 4（24-25高二下·江西南昌·期中）设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出，再求出，再用坐标求模即可. 【详解】解：因为，，， 所以，则， 所以. 又因为，且， 所以，则， 所以， 所以， 所以. 故选：A. 【题型3】 空间向量的平行、垂直的坐标表示 【基础知识】 若， 则 , , ， 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】根据向量垂直和平行满足的坐标关系可得即可根据模长公式求解. 【详解】由，可得，且， 解得故则， 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据题意，由向量共线列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可设，即， 即，解得，所以. 故选：A 2（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用空间向量垂直的坐标表示，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得， 故选：A. 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知向量，，且与互相平行，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据空间向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由题意得，， 与互相平行， ，解得． 故选：B． 4（22-23高二上·云南昆明·阶段练习）已知向量，，，则有（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于A，利用向量的线性运算的坐标表示即可求解； 对于B，利用向量的摸的坐标表示即可求解； 对于C，利用向量的线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示即可求解； 对于D，利用向量的数量积的坐标运算即可求解. 【详解】对于A，因为，，， 所以，，所以，故A不正确； 对于B，因为，，， 所以 ，， 所以，故B不正确； 对于C，因为，，所以，又， 所以，即，故C正确. 对于D，因为，，， 所以，，，所以，故D不正确. 故选：C. 5（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可根据已知的和的坐标，通过计算向量数量积、向量的模，即可做出判断. 【详解】因为向量，，所以，故，所以选项A正确；，，所以，故选项B正确；，所以，故选项C错误；，所以，，故，所以选项D正确. 故选：C. 【题型4】 数量积的运算 【基础知识】 1 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 2 若，则 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江西·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 【答案】B 【分析】由向量的线性关系先表示出，再由向量的数量积得到结果. 【详解】∵， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，设出点，可知，所以表示点与点之间距离的平方，分析求解即可. 【详解】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设点， 所以，， 所以， 因为表示点与点之间距离的平方， 所以当点的坐标为时，取得最大值为， 当与点重合时，取得最小值， 所以的取值范围为：. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的数量积求解即可. 【详解】长方体， 平面， 平面， ，， . 故选：C. 2（24-25高二上·北京·阶段练习）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 【答案】A 【分析】由求解即可． 【详解】，所以． 故选：A． 3（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别将用表示，再根据空间向量数量积的运算律求解即可. 【详解】如图所示，设， 由题意知，且三向量两两夹角均为， ， ． 故选：B. 4（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】变形，结合图形得到当与重合时取值最小值，求出答案. 【详解】 ，当且仅当与重合时，等号成立， 故的最小值为12. 故选：D 5（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，即可判断得出结论. 【详解】因为M为的中点，所以， 可得， 所以，即， 可得是直角三角形. 故选：C 【A组---基础题】 1（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】B 【分析】首先求出的坐标，再根据向量模的坐标表示计算可得. 【详解】由于， 则， 于是. 故选：B 2（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在平行六面体中，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【分析】选择基底，利用基底表示出向量，结合向量运算求解模长. 【详解】由题意，，两边平方可得 ； 所以. 故选：A. 3（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出向量、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】因为，，则，， 所以，. 故选：B. 4（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量垂直的充要条件与空间向量数量积的坐标公式，建立方程，解之即得. 【详解】由与垂直， 可得（*）， 因，，则，，， 代入（*），可得，解得. 故选：C. 5（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且 ，则（    ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据空间向量垂直、平行的坐标运算得解. 【详解】因为， 所以，解得， 由可知，，解得， 所以， 故选：B 6（23-24高二上·广东潮州·阶段练习）向量，，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．，使得 D．当时，与夹角为 【答案】C 【分析】A应用向量垂直坐标表示求参数；B由向量模长的坐标运算求参数；C由向量平行的坐标表示判断；D由向量夹角的坐标公式求夹角. 【详解】A：由，则，对； B：，对； C：要使，则，显然等式不可能成立，故不存在，错； D：由题设，则，而， 所以，对. 故选：C 7（24-25高二上·广西柳州·开学考试）在正四棱柱中，，设，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，进而计算可求的值. 【详解】在正四棱柱中，， . 故选：C. 8（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量加法的几何意义及数量积的运算律整理化简，即可得答案. 【详解】由题设，易知，且， . 故选：C 9（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可求得，再结合数量积的定义分析运算. 【详解】因为，则， ， 又， 故当，即与同向时，有最大值. 所以. 故选：D 【B组---提高题】 1（24-25高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由空间向量平行六面体法则可得，利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【详解】由题意可得，， ， 所以，向量、、两两夹角为， 由空间向量数量积的定义可得， 同理可得， 因为， 故 ， 因此，. 故选：D. 2（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点，利用空间向量的线性运算及数量积公式结合夹角余弦的范围计算即可. 【详解】如图所示，延长交底面圆周于B，过Q作底面圆于G点， 显然， 由题意可知， 所以的取值范围为. 故选：D. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 01 空间向量及其运算+数量积的运算+运算的坐标表示 【题型1】空间向量及其线性运算 【基础知识】 1 空间向量的运算 (1) 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图). ， ， (2) 运算律 ① 加法交换律:； ② 加法结合律:； ③ 数乘分配律:； 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则. 2 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 3 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 4 空间向量数量积的性质 (1) (2) 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建福州·期中）如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为3，且它们彼此的夹角都是，则对角线长为（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高二上·山东临沂·期中）四面体中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）如图，平行六面体各条棱长均为，，，则线段的长度为（    ） A．3 B．4 C．5 D．5 2（19-20高二下·四川雅安·阶段练习）若空间四边形的四个面均为等边三角形，则的值为 A． B． C． D．0 3（21-22高二上·湖南·期末）如图所示，平行六面体中，，，若线段，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．90° 【题型2】空间向量运算的坐标表示 【基础知识】 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. 【经典例题】 【例1】（11-12高二·甘肃兰州·期末）已知向量，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）向量，若，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·全国·课后作业）已知，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高二上·福建厦门·期中）设x、，向量，，且，，则（   ） A． B． C．3 D．4 3（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二下·江西南昌·期中）设，向量，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3】 空间向量的平行、垂直的坐标表示 【基础知识】 若， 则 , , ， 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·四川成都·期中）设x，，向量，，，且，，则等于（   ） A． B．3 C． D．4 【巩固练习】 1（24-25高二上·广东佛山·期中）已知向量，，若，则（   ） A． B．2 C． D．1 2（24-25高二上·天津西青·期中）已知空间向量，若 ，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高二上·全国·课后作业）已知向量，，且与互相平行，则（   ） A．1 B． C． D．2 4（22-23高二上·云南昆明·阶段练习）已知向量，，，则有（     ）． A． B． C． D． 5（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知向量，，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】 数量积的运算 【基础知识】 1 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 2 若，则 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·江西·期中）如图，在三棱锥中，平面，，，点为的中点，则（    ）    A．8 B．4 C．－8 D．－4 【例2】（24-25高二上·江苏常州·期中）已知棱长为2的正方体内有一内切球，点在球的表面上运动，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·北京顺义·期中）如图，在长方体中，是棱上一动点，，则等于（    ） A．1 B． C．4 D． 2（24-25高二上·北京·阶段练习）棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（    ）    A．1 B．－1 C． D． 3（24-25高二上·安徽·期中）已知四面体的所有棱长都等于，棱的中点分别是，则（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·广西·期中）如图，边长为4的正方形是圆柱的轴截面，为上底面圆内一点，则的最小值为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 5（24-25高二上·山东潍坊·期中）A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足，，，M为的中点，则是（    ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．不确定 【A组---基础题】 1（23-24高二上·浙江丽水·期末）已知向量，则的值是（    ） A． B． C．8 D．12 2（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图所示，在平行六面体中，，，则（    ） A．2 B． C． D．1 3（24-25高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，，则的值为（   ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·陕西咸阳·期中）已知，，且与垂直，则的值为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高二上·广东深圳·期中）设，向量，且 ，则（    ） A． B． C．2 D．8 6（23-24高二上·广东潮州·阶段练习）向量，，则下列说法错误的是（    ） A．，则 B．若，则 C．，使得 D．当时，与夹角为 7（24-25高二上·广西柳州·开学考试）在正四棱柱中，，设，则（    ） A．2 B． C．4 D．8 8（24-25高二上·安徽阜阳·期中）如图，在正方体中，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 9（24-25高二上·海南·期中）已知是空间中的三个单位向量，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【B组---提高题】 1（24-25高二上·重庆·期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·上海·期中）已知圆锥的底面半径为2，高为4，点为圆锥底面上任意一点，点为圆锥侧面（点异于顶点且不在底面圆周上）上任意一点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$