(新课预习衔接)第三单元 长方体和正方体(讲义)-2024-2025学年五年级下册数学人教版

长方体和正方体 【思维导图+典型例题+知识精讲+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：小红为妈妈准备了一件生日礼物，下图是这件礼物的包装盒，它的长、宽、高分别是25厘米、15厘米、6厘米。现在用彩带把这个包装盒捆上，接头处长18厘米，一共需要多少厘米的彩带？ 【答案】122厘米 【分析】观察图形可知，捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高＋接头处的长度，据此解答。 【详解】25×2＋15×2＋6×4＋18 ＝50＋30＋24＋18 ＝122（厘米） 答：一共需要122厘米的彩带。 例题2：小明计划用铁丝做一个棱长是9cm的正方体框架，如果用这根铁丝做一个长10cm，宽8cm的长方体框架，这个长方体框架的高是多少cm？ 【答案】9cm 【分析】先根据正方体的棱长总和＝棱长×12，求出铁丝总长度；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可得长方体的棱长总和÷4－长－宽＝高；据此计算。 【详解】9×12÷4－10－8 ＝27－10－8 ＝9（cm） 答：这个长方体框架的高是9cm。 【点睛】灵活运用正方体、长方体的棱长总和公式。 例题3：一个正方体容器棱长2分米，向容器中倒入6升水，再把一块不规则的石块放入水中，这时容器中水深1.8分米，求不规则石块的体积是多少？ 【答案】1.2立方分米 【分析】已知正方体容器棱长2dm，向容器中倒入6L水，再把一块石头放入水中，根据正方体的体积公式，求出正方体内6升水与石头的体积和，减去6升水的体积。由此解答。 【详解】6升＝6立方分米 2×2×1.8－6 ＝7.2－6 ＝1.2（立方分米） 答：这块石头的体积是1.2立方分米。 【点睛】此题属于不规则物体的体积计算，用排水法来解答，注意单位的换算。 例题4：建筑工地要挖一个长50米，宽30米，深40米的长方体土坑，一共要挖出多少立方米的土？ 【答案】60000立方米 【分析】根据长方体的体积公式，直接列式计算出土坑的体积，即挖出的土的体积。 【详解】50×30×40＝60000（立方米） 答：一共要挖出60000立方米的土。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高。 例题5：一个无盖的玻璃鱼缸，长6分米，宽4分米，高5分米，这个鱼缸最多能装水多少升？做这个鱼缸需要多少玻璃？（玻璃的厚度忽略不计） 【答案】120升，124平方分米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高算出鱼缸的体积，忽略厚度就是它内部的容积，再根据1升＝1立方分米进行单位换算即可； 根据无盖的玻璃鱼缸，可知玻璃的面积是5个面的面积，则根据长方体表面积公式可知，玻璃鱼缸面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，即可算出至少需要的玻璃面积。 【详解】鱼缸水的体积： （立方分米） ＝120（升） 玻璃面积： （平方分米） 答：这个鱼缸最多能装水120升，做这个鱼缸需要124平方分米玻璃。 【点睛】本题考查长方体体积和表面积，解答本题的关键是掌握长方体体积和表面积计算公式。 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 1．长方体的特征 【知识点归纳】 长方体的特征： 1．长方体有6个面．有三组相对的面完全相同．一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同． 2．长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等．按长度可分为三组，每一组有4条棱． 3．长方体有8个顶点．每个顶点连接三条棱．三条棱分别叫做长方体的长，宽，高． 4．长方体相邻的两条棱互相垂直． 2．长度的单位换算 【知识点归纳】 1千米＝1000米， 1米＝10分米＝100厘米＝1000毫米； 1分米＝10厘米＝100毫米； 1厘米＝10毫米． 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 3．体积、容积及其单位 【知识点归纳】 体积，或称容量、容积，几何学专业术语，是物件占有多少空间的量． 体积的国际单位制是立方米． 常用的单位：立方米、立方分米、立方厘米、立方毫米． 4．体积、容积进率及单位换算 【知识点归纳】 体积单位： 1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米 1立方分米＝1000立方厘米， 容积单位： 1升＝1000毫升 1升＝1立方分米＝1000立方厘米 1毫升＝1立方厘米 单位之间的换算，大单位换算成小单位要乘它们之间的进率；小单位换算成大单位要除以它们之间的进率． 5．长方体和正方体的表面积 【知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 6．长方体和正方体的体积 【知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 7．长方体、正方体表面积与体积计算的应用 【知识点归纳】 （1）长方体： 底面是矩形的直平行六面体，叫做长方体． 长方体的性质：六个面都是长方形，（有时有两个面是正方形）；相对的面面积相等；12条棱相对的4条棱长相等；8个顶点；相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫长、宽、高；两个面相交的边叫做棱；三条棱相交的点叫做顶点． 长方体的表面积：等于它的六个面的面积之和． 如果长方体的长、宽、高、表面积分别用a、b、h、S表示，那么：S表＝2（ab+ah+bh） 长方体的体积：等于长乘以宽再乘以高． 如果把长方体的长、宽、高、体积分别用a、b、h、V表示，那么：V＝abh （2）正方体： 长宽高都相等的长方体，叫做正方体． 正方体的性质：六个面都是正方形；六个面的面积相等；有12条棱，棱长都相等；有8个顶点；正方体可以看做特殊的长方体． 正方体的表面积：六个面积之和． 如果正方体的棱长、表面积分别用a、S表示，那么：S表＝6a2 正方体的体积：棱长乘以棱长再乘以棱长． 如果把正方体的棱长、体积分别用a、V表示，那么：V＝a3 第四部分 高频真题 1．一个无盖的长方体玻璃水缸，长8分米，宽5分米，高5分米，水深3分米。制造这个缸需要多少平方分米玻璃？将一块石头放入水缸中，完全淹没后水面上升了0.2分米，这块石头的体积是多少？ 2．一个长方体礼品盒（如图），长20厘米，宽20厘米，高5厘米，打结处长25厘米，捆扎这个礼品盒至少需要准备一根多长的丝带？ 3．长方体的体积是210立方厘米，长7厘米，高是5厘米．它的宽是多少？ 4．一个里面棱长20cm的正方体鱼缸装满水，把水倒入另一个长25cm，宽16cm的长方体鱼缸里，这个长方体鱼缸的水有多深？ 5．小明用胶棒和胶珠制作正方体模型．每只胶棒长10厘米，单价是1.5元，每粒胶珠售0.5元．要制作一个边长为10厘米的正方体，费用需要多少元？ 6．一个长方体水槽中装满水（如图），将一个棱长是2dm的正方体石块放入水槽中（石块底面与水槽底面完全接触），水槽中的水溢出多少立方分米？ 7．有一个游泳池，从里面量得长8m，宽6m，深2m，现在要对游泳池的底部和四壁进行粉刷，要粉刷的面积是多少平方米？ 8．有500根同样的方木，每根方木横截面的面积是25平方分米，长是4米，这些方木一共有多少立方米？ 9．一个长方体机油桶，长8分米，宽5分米，高2分米。如果每升机油重0.72千克，这个机油桶可装机油多少千克？ 10．有一个长8dm，宽5dm，高9dm的长方体玻璃缸，里面水深3.8dm，把一个实心铁球完全浸没在水中，水上升了5dm，求这个实心铁球的体积？ 11．将四个大小相同的正方体粘成一个长方体（如图）后，表面积减少24平方分米，求长方体的表面积和体积． 12．把一段长1.2米的方钢截成三段后，表面积比原来增加了56平方厘米，原来这段方钢的体积是多少？ 13．要粉刷一间教室的顶棚和四壁，教室长8米，宽6米，高3米，除去门窗面积18平方米。如果每平方米用涂料0.3千克，那么共需要涂料多少千克？ 14．一块长28cm，宽24cm的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4cm的正方形，然后做成盒子。这个盒子用了多少铁皮？ 15．一个空的长方体水箱，从里面量长为6分米，宽为5分米。先倒入82L水，再侵入一块棱长为2分米的正方体铁块，铁块全部浸没，这时水面离水箱口1分米。这个水箱的容积是多少？ 16．如图，将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升1.5厘米，如果将其放入B容器中（全部淹没水中），水位会上升几厘米？（水没有溢出） 17．一个长方体的无盖水族箱，长是9m，宽是80cm，高是18dm． （1） 这个水族箱占地多少平方米？ （2） 需要用多少平方米的玻璃？ （3） 如果每平方米玻璃120元，共要多少钱？ （4） 它的体积是多少？ 18．两个正方体的木块，拼成一个长方体后，棱长之和减少了24厘米，这两个正方体木块原来棱长总和是多少？ 19．一种纸袋，打开后的形状是长方体，长50厘米，宽8厘米，高40厘米，做这个纸袋至少需要多少平方厘米硬纸板？这个纸袋可以盛多少立方厘米物体？ 20．学校有一个长方体形的沙坑，长7m，宽2m，深0.6m，这个沙坑占地多少平方米？学校运来7m3的沙子，可以铺多厚？ 21．一个长方体无盖水箱，长50厘米，宽40厘米，高78厘米。做这个水箱至少需要多少平方厘米的铁皮？ 22．游泳馆建了一个长150米、宽16米、深2米的长方体游泳池。 （1）将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （2）在游泳池内壁1.6米高处用红漆画一条水位线，按水位线注入水，应注入水多少立方米？ 23．一段长20分米的长方体木料，将它截成5段后，表面积增加了40平方分米。这根木料的体积是多少立方分米？ 24．王师傅要用玻璃做一个长8分米，宽5分米，高6分米的无盖长方体鱼缸，用角钢做它的框架，做这个鱼缸至少需要角钢多少米？（接头处忽略不计） 25．把棱长30厘米的正方体钢坯，锻造成宽15厘米，高为9厘米的长方体钢条，正方体的体积是多少立方厘米？长方体的长是多少厘米？ 26．把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体后，小长方体的表面积之和比原大正方体的表面积增加了144cm2。 （1）画出示意图并标注条件中的数据。 （2）小长方体的长、宽、高分别是多少cm？ （3）原大正方体的体积是多少cm3？ 27．青岛港是中国北方第一大港，也是东北亚国际航运枢纽中心，每天都有成千上万个集装箱在港口装卸。某个装满货物的集装箱为长方体形状，长10米，宽8米，高4米。如果每立方分米货物重0.3千克，这一箱货物有多少吨？ 28．在一个棱长为2.5分米的正方体盒子四周贴上商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？ 29．用铁皮做一个无盖的长方体水箱，长6分米，宽5分米，高4分米，制作这个水箱至少需要多少平方分米的铁皮？它的容积是多少升（忽略铁皮厚度）？ 30．用一根长36dm的铁丝围成一个正方体框架，这个正方体的体积是多少dm3？ 31．一根铁丝恰好可以焊接成一个长14厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，若这根铁丝也恰好能焊接成一个正方体框架，那么这个正方体框架的棱长是多少厘米？ 32．一个长方体玻璃鱼缸，长4dm，宽3dm，水深2dm，把一块假山石放入水中（完全浸没），水面上升到2.3dm，这块假山石的体积是多少立方分米？ 33．在长40厘米、宽30厘米的长方形铁皮的四个角上，分别剪去一个边长5厘米的正方形后，正好折成一个无盖的铁盒。如果每毫升汽油重0.75克，那么这个铁盒最多能装多少克汽油？ 34．有大、中、小三个没放满水的正方体水池，它们的棱长分别是4米、3米和2米，把两堆碎石分别沉入中、小水池中，两个水池水面分别长高了4厘米和11厘米。如果将这两堆碎石都沉入大水池中，大水池中水面将上升多少？ 35．一个长方体油箱，从里面量长和宽都是6分米，高5分米。桶内盛汽油，每升汽油重0.8千克。这个油箱最多可盛汽油多少千克？ 36．一个棱长是50厘米的正方体水缸中原有46厘米高的水，放入一个石块后，水面上涨并溢出了缸外，经测量，溢出缸外的水正好是1.2升，这个石块的体积是多少？ 37．将一个长方体恰好截成两个完全相同的正方体，表面积增加了280平方厘米。这个长方体原来的表面积是多少平方厘米？ 38．冰墩墩毛绒玩具的包装盒是棱长为20厘米的正方体。刘老师买了2个，把它们用彩带捆起来（如图）。至少需要多长的彩带？（接头处忽略不计） 39．如图是爸爸给淘气做的一个无盖玻璃鱼缸。 （1）做这个鱼缸需要多少平方分米的玻璃？（接缝处不计） （2）鱼缸中有多少升水？（玻璃的厚度不计） （3）再将一些鹅卵石浸没到鱼缸里，水面上升了2厘米，这些鹅卵石的体积一共是多少立方分米？ 40．工厂要制作一批长方体的录音机套，现量得它的长是50厘米．宽20厘米，高12厘米．做200个这样的录音机套至少用布多少平方米？（没有底面） 41．为了物品的安全，快递公司在收件时给一个长方体盒子打上胶带（如下图）． （1）一共需要多长的胶带？（接口处忽略不计） （2）这个长方体盒子的表面积是多少？ （3）它的体积是多少？ 42．做一个棱长是6分米的正方形无盖鱼缸，需要玻璃多少平方分米？它的容积是多少升？ 43．某款长方体礼盒，经测量发现：它的长、宽、高都是质数，且前面和上面的面积之和是209平方厘米，你能求出这个礼盒的体积是多少立方厘米吗？ 44．小明和小刚用同样长的铁丝做框架。小明做了一个长方体框架，长7厘米、宽5厘米，高6厘米。小刚做了一个正方体框架，棱长是多少厘米？（铁丝都没有剩余） 45．如图，一个密闭的长方体容器内装有15厘米深的水。如果把该容器长25厘米、宽10厘米的面作为底面放在桌面上，这时水面的高度是多少厘米？（玻璃的厚度忽略不计）（图中单位：厘米）    46．一个长60厘米，宽40厘米，高30厘米的长方体水箱中放入10个完全一样的石球（完全淹没），水面高25cm，把10个石球拿出来后，水面降到13cm，求每个石球的体积是多少？ 参考答案： 1．170平方分米；8立方分米 【分析】由题意可知，求玻璃的面积就是求长方体五个面的面积，根据长方体的五个面的面积公式：S＝（ah＋bh）×2＋ab，据此求出需要玻璃的面积；再根据不规则物体的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此进行计算即可。 【详解】（8×5＋5×5）×2＋8×5 ＝（40＋25）×2＋8×5 ＝65×2＋8×5 ＝130＋40 ＝170（平方分米） 8×5×0.2 ＝40×0.2 ＝8（立方分米） 答：制造这个缸需要170平方分米玻璃，这块石头的体积是8立方分米。 2．125厘米 【分析】需要丝带的长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处丝带的长度，据此解答。 【详解】20×2＋20×2＋5×4＋25 ＝40＋40＋20＋25 ＝80＋20＋25 ＝100＋25 ＝125（厘米） 答：捆扎这个礼品盒至少需要准备125厘米长的丝带。 【点睛】本题主要考查利用长方体的棱长之和公式解决实际问题，最后的结果需要加打结处丝带的长度。 3．6厘米 【详解】210÷7÷5=6（厘米） 答：它的宽是6厘米 4．20cm 【分析】把正方体鱼缸里的水倒入长方体鱼缸里，那么水的体积不变；根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，求出水的体积；再根据长方体的体积＝长×宽×高可知，长方体的高＝体积÷（长×宽），代入数据计算，求出长方体鱼缸里水的深度。 【详解】20×20×20 ＝400×20 ＝8000（cm3） 8000÷（25×16） ＝8000÷400 ＝20（cm） 答：这个长方体鱼缸的水有20cm深。 【点睛】明确水的体积不变，灵活运用正方体、长方体的体积计算公式是解题的关键。 5．22元 【详解】试题分析：根据正方体的特征：正方体的12条棱的长度都相等，正方体有8个顶点，所以要用12根胶棒和8个胶珠，根据单价×数量=总价列式解答． 解：1.5×12+0.5×8， =18+4， =22（元）， 答：费用需要22元． 点评：此题考查的目的是掌握正方体的特征． 6．8立方分米 【分析】将正方体石块放入装满水的长方体水槽中，则水槽中溢出的水的多少就是正方体的体积。 【详解】2×2×2＝8（立方分米） 答：水槽中的水溢出8立方分米。 【点睛】掌握水槽中溢出的水与正方体石块的关系是解决问题的关键。 7．104平方米 【分析】对游泳池的底部和四壁进行粉刷，求出长方体前、后、左、右、下，5个面的面积和即可。 【详解】8×6＋6×2×2＋8×2×2 ＝48＋24＋32 ＝104（平方米） 答：要粉刷的面积是104平方米。 【点睛】本题考查了长方体表面积，完整的长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 8．500立方米 【分析】首先根据长方体的体积公式：v＝sh，求出一根方木的体积，再用一根方木的体积乘500即可。 【详解】25平方分米＝0.25平方米 0.25×4×500 ＝1×500 ＝500（立方米） 答：这些方木一共有500立方米。 【点睛】此题考查的目的是使学生牢固掌握长方体的体积公式，能够根据长方体的体积的计算方法解决有关的实际问题。 9．57.6千克 【详解】8×5×2×0.72＝57.6（千克） 答：这个机油桶可装机油57.6千克。 10．200dm3 【分析】水面上升的部分是一个长方体，它的体积恰好等于铁球的体积。据此，结合长方体体积公式，列式求出铁球的体积即可。 【详解】8×5×5＝200（dm3） 答：这个实心铁球的体积是200dm3。 【点睛】本题考查了长方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高。 11．72平方分米，32立方分米 【详解】试题分析：由图意可知：减少的面积是正方体6个面的面积，从而可以求出1个面的面积，进而求出长方体的表面积；正方形每个面的面积已求出，从而可以求出长方体的长、宽、高的值，于是可以求出这个长方体的体积． 解：正方体每个面的面积：24÷6=4（平方分米）， 长方体的表面积：4×18=72（平方分米）； 因为2×2=4平方分米， 所以正方形的边长为2分米； 因此长方体的长、宽、高分别为8、2、2分米； 长方体的体积：8×2×2=32（立方分米）； 答：长方体的表面积是72平方分米，体积是32立方分米． 点评：此题主要考查长方体表面积和体积的计算方法，关键是明白减少的面积是正方体6个面的面积，从而可以逐步求解． 12．1680立方厘米 【详解】试题分析：截成3段后，表面积就增加了4个方钢的横截面的面积，根据题干中增加的表面积56平方厘米，先求出方钢的横截面的面积，再利用长方体的体积公式即可解决问题． 解：1.2米=120厘米， 56÷4×120=1680（立方厘米）， 答：原来这段方钢的体积是1680立方厘米． 点评：抓住切割特点，根据增加的表面积求出方钢的横截面的面积，是解决此类问题的关键． 13．34.2千克 【分析】先求需要粉刷的面积，就是用教室顶棚的面积加上四面墙壁的面积减去门窗的面积，长、宽、高已知，根据长方体的表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出需要粉刷的面积，再乘0.3，即可解答。 【详解】[8×6＋（8×3＋6×3）×2－18]×0.3 ＝[48＋（24＋18）×2－18]×0.3 ＝[48＋42×2－18]×0.3 ＝[48＋84－18]×0.3 ＝[132－18]×0.3 ＝114×0.3 ＝34.2（千克） 答：共需要涂料34.2千克。 14．608平方厘米 【分析】用长方形铁皮的面积减去切掉的四个小正方形的面积即可求出这个盒子用了多少铁皮。 【详解】28×24－4×4×4 ＝672－16×4 ＝672－64 ＝608（平方厘米） 答：这个盒子用了608平方厘米铁皮。 【点睛】解答本题的关键是要明确做盒子用的铁皮就是长方形铁皮减去切掉的四个小正方形。 15．120L 【分析】由题意可知：倒入82L水再浸入一块棱长为2分米的正方体铁块，水面离水箱口还有1分米，所以水箱的容积＝水的体积＋铁块的体积＋长方体水箱的底面积×1；由此进行解答。 【详解】82＋2×2×2＋6×5×1 ＝82＋8＋30 ＝120（L） 答：这个水箱的容积是120L。 【点睛】本题考查了长方体的容积，此题关键是要仔细分析题意，能够理解水箱的容积＝水的体积＋铁块的体积＋长方体水箱的底面积×1。 16．3厘米 【分析】将石块放入A容器中（全部淹没水中），水位上升1.5厘米，上升部分水的体积就是石块的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个石块的体积，再除以B容器的底面积就是B容器中水位上升的高度。 【详解】8×8×1.5 ＝64×1.5 ＝96（立方厘米） 96÷32＝3（厘米） 答：水位会上升3厘米。 【点睛】此题考查了体积的等积变形，关键是明确两个容器中上升部分水的体积都等于石块的体积，即两个容器中上升部分水的体积是相等的。 17．(1) 80cm=0.8m  9× 0.8=7.2 (m2) (2) 18dm=1.8m  (9×1.8+0.8× 1.8)× 2+9× 0.8=42.48 (m2) (3) 42.48×120=5097.6 (元) (4)9× 0.8× 1.8=12.96(m3) 【详解】略 18．72厘米 【分析】把两个正方体的木块拼成一个长方体后，减少了8条棱，根据减少的棱长之和求出正方体的棱长，最后根据“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出原来两个正方体的棱长之和，据此解答。 【详解】24÷8＝3（厘米） 3×12×2 ＝36×2 ＝72（厘米） 答：这两个正方体木块原来棱长总和是72厘米。 【点睛】根据题意求出正方体的棱长，并掌握正方体的棱长之和公式是解答题目的关键。 19．5040平方厘米；16000立方厘米 【分析】求做这个纸袋至少需要多少平方厘米硬纸板，就是求出这个长方体的表面积，用50×8＋（50×40＋40×8）×2解答即可；求这个纸袋可以盛多少立方厘米物体，就是求它的体积，用50×8×40解答即可。 【详解】50×8＋（50×40＋40×8）×2 ＝400＋4640 ＝5040（平方厘米）； 50×8×40 ＝400×40 ＝16000（立方厘米）； 答：做这个纸袋至少需要5040平方厘米硬纸板，这个纸袋可以盛16000立方厘米物体。 【点睛】熟练掌握长方体的表面积和体积计算公式是解答本题的关键。 20．14平方米， 0.5 m 【分析】占地面积指的是底面积，用长×宽即可；用沙子体积÷沙坑底面积＝可以铺的厚度。 【详解】7×2＝14（m2） 7÷14＝0.5（m） 答：这个沙坑占地14平方米，可以铺0.5 m厚。 【点睛】关键是掌握长方体体积公式，长方体体积＝长×宽×高＝底面积×高。 21．16040平方厘米 【分析】长方体无盖水箱，只有前、后、左、右、下面5个面，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，列式解答即可。 【详解】50×40＋50×78×2＋40×78×2 ＝2000＋7800＋6240 ＝16040（平方厘米） 答：做这个水箱至少需要16040平方厘米的铁皮。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体表面积公式。 22．（1）3064平方米 （2）3840立方米 【分析】（1）根据题意，将游泳池的四壁和下底面贴上瓷砖，即贴瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，就是贴瓷砖的面积； （2）按水位线注入水，形成一个长150米、宽16米、高1.6米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求出应注入水的体积。 【详解】（1）150×16＋150×2×2＋16×2×2 ＝2400＋600＋64 ＝3064（平方米） 答：贴瓷砖的面积是3064平方米。 （2）150×16×1.6 ＝2400×1.6 ＝3840（立方米） 答：应注入水3840立方米。 【点睛】本题考查长方体的表面积、体积计算公式的灵活运用，求贴瓷砖的面积时要弄清长方体缺少哪个面，需要求哪几个面的面积，然后灵活运用长方体的表面积公式解答。 23．100立方分米 【分析】截成5段，需要截4次，每截一次增加2个截面，求出一个截面的面积，用截面面积×长＝木料体积，据此列式解答。 【详解】（5－1）×2 ＝4×2 ＝8（个） 40÷8×20＝100（立方分米） 答：这根木料的体积是100立方分米。 【点睛】关键是掌握并灵活运用长方体体积公式，先确定截面数量，求出一个截面面积是解答本题的关键。 24．7.6米 【分析】求需要角钢多少米，实际上是求长8分米，宽5分米，高6分米的长方体的棱长总和，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据即可得解。 【详解】（8＋5＋6）×4 ＝19×4 ＝76（分米） 76分米＝7.6米 答：做这个鱼缸至少需要角钢7.6米。 【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和的实际运用。 25．2700立方厘米，200厘米 【详解】试题分析：由正方体变成长方体，它的体积不变，先根据正方体的体积公式求出这块钢坯的体积，再根据长方体的体积公式求出它的长即可． 解：30×30×30=27000（立方厘米）； 27000÷9÷15 =3000÷15， =200（厘米）； 答：正方体的体积是2700立方厘米，它的长是200厘米． 点评：先找出在变形中不变的量是什么，再根据不变的量求解． 26．（1）见详解 （2）长2cm，宽6cm，高6cm （3）216cm3 【分析】（1）画出把一个大正方体切成三个完全相同的小长方体的示意图，并标注数据；（答案不唯一） （2）根据题意，把一个大正方体切成三个小长方体，要切2次；切一次增加2个截面；切2次增加4个截面，表面积增加4个截面的面积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积；这个截面是正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方体的棱长；用正方体的棱长除以3，就是小长方体的长；小长方体的宽和高都等于正方体的棱长； （3）根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算即可。 【详解】（1）如图： （答案不唯一） （2）144÷4＝36（cm2） 36＝6×6 所以大正方体的棱长是6cm。 小长方体的长是：6÷3＝2（cm） 小长方体的宽和高都是6cm。 答：小长方体的长是2cm、宽是6cm、高是6cm。 （3）6×6×6 ＝36×6 ＝216（cm3） 答：原大正方体的体积是216cm3。 【点睛】掌握正方体切割的特点，明确增加的表面积是哪些面的面积，熟记正方体的体积公式是解题的关键。 27．96吨 【分析】已知集装箱是一个长10米、宽8米、高4米的长方体，根据长方体的体积＝长×宽×高，以及进率“1立方米＝1000立方分米”，求出集装箱的体积；再用每立方分米货物的重量乘集装箱的体积，即是这一箱货物的重量。 【详解】10×8×4＝320（立方米） 320立方米＝320000立方分米 320000×0.3＝96000（千克） 96000千克＝96吨 答：这一箱货物有96吨。 28．25平方分米 【详解】2.5×2.5×4＝25（平方分米） 29．118平方分米；120升 【分析】做这个水箱至少需要多少平方分米铁皮，首先明确它无盖，是求它的5个面的总面积，根据长方体的表面积的计算方法解答；求水箱的容积，根据长方 体的体积计算公式：V＝Sh，把数据代入公式解答. 【详解】6×5＋6×4×2＋5×4×2 ＝30＋48＋40 ＝118（平方分米） 6×5×4 ＝30×4 ＝120（立方分米） ＝120升 答：作这个水箱至少需要118平方分米的铁皮，它的容积是120升。 【点睛】本题考查了长方体表面积和体积公式的应用。根据题意灵活应用长方体表面积、体积计算公式是解答本题的关键。 30．27dm3 【分析】由题意可知，铁丝的长度为正方体的棱长之和，正方体的棱长＝棱长之和÷12，再利用“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积。 【详解】棱长：36÷12＝3（dm） 体积：3×3×3＝27（dm3） 答：这个正方体的体积是27dm3。 【点睛】灵活运用正方体的棱长之和公式求出正方体的棱长是解答题目的关键。 31．8厘米 【分析】先根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出长方体框架的棱长和，再根据题意可知：长方体框架的棱长和也就是正方体的棱长和，用正方体的棱长和除以12就可以计算出正方体框架的棱长。 【详解】（14＋6＋4）×4÷12 ＝24×4÷12 ＝8（厘米） 答：这个正方体框架的棱长是8厘米。 【点睛】此题的解题关键是熟练掌握长方体和正方体的棱长和公式。 32．3.6dm3 【详解】4×3×（2.3－2） =12×0.3 =3.6（dm³） 答：这块假山石的体积是3.6立方分米. 33．2250克 【详解】（40－5×2）×（30－5×2）×5 ＝30×20×5 ＝3000（立方厘米） ＝3000（毫升） 3000×0.75＝2250（克） 答：这个铁盒最多能装2250克汽油。 34．5厘米 【分析】已知大、中、小三个正方体水池的棱长分别是4米、3米和2米，先根据进率：1米＝100厘米，换算成400厘米、300厘米和200厘米；根据正方形的面积＝边长×边长，即可求出大、中、小三个水池的底面积。 根据题意，把两堆碎石分别沉入中、小水池中，两个水池水面分别长高了4厘米和11厘米，那么这两堆碎石的体积之和等于中、小水池中水面上升部分的体积之和。根据长方体的体积＝底面积×高，分别求出中、小水池中水面上升部分的体积，再相加，即是这两堆碎石的体积之和。 如果将这两堆碎石都沉入大水池中，大水池水面上升部分的体积也等于这两堆碎石的体积；根据长方体的高＝体积÷底面积，求出大水池中水面上升的高度。 【详解】4米＝400厘米 3米＝300厘米 2米＝200厘米 两堆碎石的体积之和： 300×300×4＋200×200×11 ＝360000＋440000 ＝800000（立方厘米） 大水池中水面上升： 800000÷（400×400） ＝800000÷160000 ＝5（厘米） 答：大水池中水面将上升5厘米。 【点睛】本题考查不规则物体体积的求法以及长方体体积计算公式的灵活运用，明确放入碎石的体积等于水面上升部分的体积是解题的关键。 35．144千克 【分析】先根据“长方体的容积＝长×宽×高”求出这个油箱的容积，再乘每升汽油的质量，求出这个油箱最多可以盛汽油的质量，据此解答。 【详解】6×6×5 ＝36×5 ＝180（立方分米） 180立方分米＝180升 180×0.8＝144（千克） 答：这个油箱最多可盛汽油144千克。 【点睛】掌握长方体的容积计算公式并求出油箱的容积是解答题目的关键。 36．11200立方厘米 【分析】先算出水面上升的高度，再根据长方体的体积＝长×宽×高，求出放入石块后水面上升部分的体积，最后加上溢出缸外的水的体积，求出来就是这个石块的体积，据此解答。 【详解】50×50×（50－46） ＝50×50×4 ＝10000（立方厘米） 1.2升＝1200毫升＝1200立方厘米 10000＋1200＝11200（立方厘米） 答：这个石块的体积是11200立方厘米。 37．1400平方厘米 【分析】将一个长方体恰好截成两个完全相同的正方体，表面积增加了两个截面，原长方体表面积包含10个正方体的面，求出一个截面的面积，乘长方体表面中正方形的数量即可。 【详解】280÷2×10 ＝140×10 ＝1400（平方厘米） 答：这个长方体原来的表面积是1400平方厘米。 【点睛】关键是熟悉长方体和正方体的特征，灵活计算长方体表面积。 38．240厘米 【分析】从图中可知，这两个正方体组合成一个长为20厘米，宽为20厘米，高为20×2＝40厘米的长方体；捆扎这个包装盒至少需要彩带的长度＝2条长＋2条宽＋4条高，据此解答。 【详解】20×2＝40（厘米） 20×2＋20×2＋40×4 ＝40＋40＋160 ＝240（厘米） 答：至少需要240厘米长的彩带。 【点睛】本题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和。 39．（1）79平方分米；（2）45升；（3）3立方分米 【分析】（1）求做这个鱼缸需要的玻璃，也就是求这个无盖鱼缸的表面积； （2）求鱼缸中有多少升水，也就是求此时水的体积； （3）将一些鹅卵石浸没到鱼缸里，水面上升2厘米，求出上升2厘米这部分水的体积，也就是这些鹅卵石的体积；据此解答。 【详解】（1） （平方分米） 答：做这个鱼缸需要79平方分米的玻璃。 （2） （升） 答：鱼缸中有45升的水。 （3）2厘米＝0.2分米 （立方分米） 答：这些鹅卵石的体积一共是3立方分米。 【点睛】解答本题的关键是熟记长方体表面积和体积的计算公式，同时注意第三小问中的单位换算。 40．53.6平方米 【详解】50×20＋（50×12＋20×12）×2＝2680（平方厘米） 2680平方厘米＝0.268平方米 0.268×200＝53.6（平方米） 答：做200个这样的录音机套至少用布53.6平方米． 41．（1）196cm （2）1416cm2 （3）2700cm3 【详解】（1）25×4+18×4+6×4=196（cm） （2）（25×18+25×6＋18×6）×2=1416（cm2） （3）25×18×6=2700（cm3） 42．216升 【详解】试题分析：（1）由题意可知：需要的玻璃的面积，就等于鱼缸的表面积减去上盖的面积，也就是其中5个面的面积，鱼缸的棱长已知，利用正方体的表面积公式即可求解； （2）正方体的棱长已知，利用正方体的体积V=a3即可以求出鱼缸的容积． 解：（1）6×6×5， =36×5， =180（平方分米）； 答：需要玻璃180平方分米． （2）6×6×6， =36×6， =216（立方分米）， =216（升）； 答：这个鱼缸的容积是216升． 【点评】此题主要考查正方体的表面积和体积的计算方法在实际中的应用，解答时要注意单位的换算． 43．374立方厘米 【分析】前面和上面的面积之和是209平方厘米，即长×宽＋长×高＝209，且长、宽、高都是质数，据此可以求出长、宽、高，然后根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】长×宽＋长×高＝209 长×（宽＋高）＝209 209＝11×19 要么宽＋高＝11，要么宽＋高＝19 11＝2＋9＝3＋8＝4＋7＝5＋6，这样都有一个数是合数； 19＝2＋17＝3＋16＝5＋14＝7＋12＝11＋8＝13＋6，只有2和17都是质数。 所以这个长方体的长、宽、高分别11厘米，17厘米，2厘米。 11×2×17 ＝22×17 ＝374（立方厘米） 答：这个长方体的体积是374立方厘米。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握质数的意义及应用，长方体的体积公式及应用，关键是求出长方体的长、宽、高。 44．6厘米 【分析】根据长方体的总棱长公式：L＝（a＋b＋h）×4，据此求出铁丝的长度；再根据正方体的总棱长公式：L＝12a，即用铁丝的长度除以12即可求出正方体框架的棱长。 【详解】 （厘米） 答：棱长是6厘米。 【点睛】本题考查长方体和正方体的总棱长，熟记公式是解题的关键。 45．6厘米 【分析】根据题意，水的体积没有变，先根据：长方体的体积＝长×宽×高，计算出水的体积；把该容器长25cm、宽10cm的面作为底面放在桌面上，水的高度＝水的体积÷底面积，据此解答。 【详解】10×10×15 ＝100×15 ＝1500（立方厘米） 1500÷（25×10） ＝1500÷250 ＝6（厘米） 答：这时水面的高度是6厘米。 【点睛】此题考查了长方体的体积计算，关键能够掌握等体积变形的运用。 46．2880立方厘米 【分析】由题意得，把10个石球拿出来后，水面下降的高度为25－13＝12（厘米），且这个长方体水箱长60厘米，宽40厘米，则下降部分水的体积就是10个石球的总体积，再除以10，就得到每个石球的体积。 【详解】60×40×（25－13）÷10 ＝2400×12÷10 ＝28800÷10 ＝2880（立方厘米） 答：每个石球的体积为2880立方厘米。 【点睛】本题属于排水法求物体的体积，关键是计算出水面下降的高度，也就是物体放入前与拿出后水面高度的差。在本题中，还需将这个体积再平均分成10份。 学科网（北京）股份有限公司 $$