复习篇 08 函数的应用 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

08 函数的应用 【题型1】 函数零点定理的应用 【基础知识】 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2 函数零点定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【经典例题】 【例1】（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 2（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【题型2】函数图象的变换 【基础知识】 1 函数图像的变换 (1) 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 (2)对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. (3)翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【经典例题】 【例1】（2022高三·全国·专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．  B．  C．  D．  2（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 3（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．  B．  C．  D． 4（21-22高一下·四川南充·开学考试）关于函数，下列描述不正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则 【题型3】函数零点与方程的解 【基础知识】 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例2】（22-23高一上·海南海口·阶段练习）设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． 2（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 4（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6（22-23高三·全国·课后作业）已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【题型4】 函数模型及其应用 【基础知识】 指数、对数、幂函数模型性质比较 在上 的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间，相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【巩固练习】 1（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 2（24-25高一上·全国·课后作业）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功，标志着探月工程“绕、落、回”三步走规划圆满收官，近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：kg）是火箭（除推进器外）的质量，（单位：kg）是推进器与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为． (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：） 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·课前预习）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 4（22-23高一下·江苏盐城·期末）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 5（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 8（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的取值范围为 9（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ． 10（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 11（24-25高一上·福建厦门·期中）铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 【B组---提高题】 1（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 3（多选）（24-25高一上·吉林·期中）关于的方程，下列结论正确的是（   ） A．存在实数，使得方程恰有2个解 B．存在实数，使得方程恰有3个解 C．存在实数，使得方程恰有5个解 D．存在实数，使得方程恰有8个解 4（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)记，若与在有两个互异的交点，交点横坐标分别为，且，求证：. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 08 函数的应用 【题型1】 函数零点定理的应用 【基础知识】 1 函数零点的概念 对于函数，使的实数叫做函数的零点. 2 函数零点定理 如果函数在上的图象是连续不断的，且，那么函数在至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解. 【经典例题】 【例1】（23-24高三上·广东深圳·期末）已知函数在内有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可列式求解. 【详解】是增函数，也是增函数，所以是上的增函数. 因为在内有零点， 所以，解得. 故选：A 【巩固练习】 1（24-25高一上·广东东莞·期中）函数的零点为1，2，则不等式的解集为（   ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】由一元二次方程根与系数的关系和一元二次不等式的解法求出即可； 【详解】由题意可知，1,2为方程的两个根， 所以，解得， 所以即，即， 解得或， 所以不等式的解集为或， 故选：C 2（24-25高一上·山东菏泽·期中）若函数有三个零点，，，若，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先可得，，从而得到，再由零点存在性定理判断即可. 【详解】依题意可得，则， 所以，显然为连续函数， 又，所以，，， ，， 根据零点存在性定理可知的第三个零点. 故选：A 3（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数解析式，明确其单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【详解】由函数可知单调递增， 因为，， ，， 所以零点所在区间是， 故选：B 【题型2】函数图象的变换 【基础知识】 1 函数图像的变换 (1) 平移变换 口诀：左加右减，上加下减 例：的图像可以看成由先向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到。 (2)对称变换 例：图像可看成图像关于轴对称得到. 例：图像可看成图像关于轴对称得到. (3)翻折变换 例：的图像可看成由图像对称变换得到. 【经典例题】 【例1】（2022高三·全国·专题练习）函数的图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的图象与轴的交点是结合函数的平移变换得函数的图象与轴的公共点是，即可求解. 【详解】由于函数的图象可由函数的图象左移一个单位而得到，函数的图象与轴的交点是， 故函数的图象与轴的交点是，即函数的图象与轴的公共点是，显然四个选项只有A选项满足. 故选：A. 【巩固练习】 1（23-24高一上·江苏扬州·期中）函数的图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到答案. 【详解】将的图象向右平移1个单位长度，再向上平移一个单位，即可得到函数的图象. 故选：B. 2（2024·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【分析】先求的对称中心，结合图象变换可得答案. 【详解】因为，所以，即的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象，先向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 3（23-24高一上·甘肃武威·开学考试）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图像为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图像，即可判断平移之后的函数图像. 【详解】    因为，可得函数的大致图像如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图像为C选项中的图像. 故选：C 4（21-22高一下·四川南充·开学考试）关于函数，下列描述不正确的是（    ） A．函数在区间上单调递增 B．函数的图象关于直线对称 C．函数的图象与x轴有且仅有两个交点 D．若，但，则 【答案】D 【分析】根据函数图象变换作出的图象，结合图象分析判断A、B、C的正误，对于D：取特值分析判断. 【详解】因为， 将关于y轴对称，可得， 将位于x轴下方的部分对折至x轴上方，可得， 将向右平移2个单位，可得，据此可得的图象，    结合图象可知：函数在区间上单调递增，函数的图象关于直线对称，函数的图象与x轴有且仅有两个交点，故A、B、C正确； 例如：，可得满足选项D条件， 但，故D错误； 故选：D. 【题型3】函数零点与方程的解 【基础知识】 方程根与函数零点的关系 方程有实数根 ⇔函数有零点 ⇔函数的图象与轴有交点，且交点横坐标为. 拓展 方程有实数根函数与函数有交点，且交点横坐标为. 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·北京·期中）已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令 ，由题意可得的图象与的图象有解，画出的图象，数形结合即可求解. 【详解】设，则. 因为方程有解， 所以的图象与的图象有解. 当时，， 根据对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且. 作出函数的图象如图所示：    由图可得，的图象与的图象有解， 则. 故选:D. 【例2】（22-23高一上·海南海口·阶段练习）设函数，若关于x的方程有4个不等实根，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象的对称变换画出函数的图象，数形结合即可求解. 【详解】函数的图象如图所示， 关于x的方程有4个不等实根，即可转化为函数与直线有4个不同的交点， 所以. 故选：A. 【例3】（24-25高一上·全国·课后作业）设，，均为实数，且，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的图象与性质画出图象，即可得出结论. 【详解】由题意得，分别是函数与，，图象的交点横坐标． 在同一坐标系内作出函数，，，的图象， 如图所示，由图可得．      故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·课堂例题）下列区间中存在方程的根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据零点存在定理即可求解. 【详解】因为当时， 当时，根据零点存在定理可得存在方程的根. 故选：B 2（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知函数，若实数，则方程的不同实根个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】画出的图象，结合图象来求得正确答案. 【详解】由，得， 做出分段函数与直线的图象，如下图所示， 当时，由图象可得出函数的图像与直线的交点个数为3， 即方程的不同实根个数为3. 故选：D 3（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用零点存在性定理分段求解即可. 【详解】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2. 故选：C 4（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将题目转化为函数与的图象有交点，再作出函数图象即可得到实数的范围. 【详解】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是. 故选：A. 5（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 6（22-23高三·全国·课后作业）已知函数，若a、b、c互不相等，且，则abc的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】不妨设，作出的图像，根据图像可得的范围，根据可得，进而可求得答案. 【详解】不妨设，作出的图像，如图所示： 由图像可知， 由得，即，∴，则， ∴， ∴的取值范围是. 故选∶C． 7（2024·浙江丽水·二模）已知正实数满足，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，，，令，，则问题转化为判断函数与对应函数的交点的横坐标的大小关系，数形结合即可判断. 【详解】因为，，为正实数，且满足，，， 则，，， 所以，，， 则，，， 令，， 由对勾函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增，且， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 满足的即为与的交点的横坐标， 在同一平面直角坐标系中画出、、、的图象如下所示： 由图可知. 故选：A 8（24-25高一上·北京平谷·期中）设函数，的单调递减区间是 ；若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】画出图形，结合图象即可得单调区间；根据图形分析可得，进而求出范围. 【详解】解：作出函数图像如下 由图象可知的单调递减区间是（区间开闭均可）； 若互不相等的实数，，满足 不妨设，则关于对称，所以 根据图像可得 所以，所以的取值范围为. 故答案为：（区间开闭均可）；. 【题型4】 函数模型及其应用 【基础知识】 指数、对数、幂函数模型性质比较 在上 的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 先慢后快，指数爆炸 先快后慢，增长平缓 介于指数函数与对数函数之间，相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南·期末）为研究某种病毒的繁殖速度，某科研机构对该病毒在特定环境下进行培养观察，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此病毒的数量，单位为万个，得到如下数据： 1 2 3 4 5 6 （万个） 10 50 250 若该病毒的数量（单位：万个）与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择. (1)判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于12亿个？ 参考数据：. 【答案】(1)选择函数更合适，解析式为 (2) 【分析】（1）利用现有函数模型，代入题设相关数据并检验即可判断； （2）利用（1）中结论，结全对数的运算法则即可得解. 【详解】（1）若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得与相差太大，不符合题意； 若选， 将和代入 可得，解得，故， 将代入，得，符合题意， 综上，选择函数更合适，解析式为. （2）依题意，设至少需要个单位时间， 则，即， 两边同时取对数，可得， 则， ，的最小值为14， 故至少经过14个单位时间该病毒的数量不少于12亿个. 【巩固练习】 1（24-25高一上·浙江杭州·期中）鸡蛋在冰箱冷藏的环境下，可以有效减缓鸡蛋内部的变化速度，延长其保质期．已知新鲜鸡蛋存储温度（单位：摄氏度）与保鲜时间（单位：小时）之间的函数关系式为．新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时． (1)新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时； (2)已知新鲜鸡蛋在冰箱里冷藏一般能存30天至45天左右，若某超市希望保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于40天，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度？（结果保留两位小数） 参考数据： 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得； （2）令，结合指数函数的性质计算即可得. 【详解】（1）依题意得，则， 当时，， 即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为7摄氏度的情况下，其保鲜时间约为小时； （2）由题意令，得，即， 则， 则， 即 解得： 故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于摄氏度. 2（24-25高一上·全国·课后作业）2020年12月17日凌晨，经过23天的月球采样旅行，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆预定区域，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功，标志着探月工程“绕、落、回”三步走规划圆满收官，近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式计算火箭的最大速度，其中（单位：）是喷流相对速度，（单位：kg）是火箭（除推进器外）的质量，（单位：kg）是推进器与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知型火箭的喷流相对速度为． (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求型火箭的最大速度； (2)经过材料更新和技术改进后，型火箭的喷流相对速度提高到了原来的倍，总质比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值．（参考数据：） 【答案】(1) (2)在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74 【分析】（1）代入求解； （2）分别表示出材料更新和技术改进前和后得最大速度，然后作差根据对数函数运算求解； 【详解】（1）依题意，得． （2）材料更新和技术改进前火箭的最大速度， 材料更新和技术改进后火箭的最大速度． 若要使火箭的最大速度至少增加，则， 即， 所以，即， 所以．因为， 所以，所以在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·全国·课后作业）下列函数中，增长速度最快的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据一次函数，幂函数，对数函数和指数函数的增长差异判断. 【详解】为指数函数，为二次函数，是对数函数， 是一次函数， 因为当足够大时，指数函数增长速度最快. 故选：A 2（24-25高一上·全国·课前预习）在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断. 【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B． 故选：B． 3（23-24高一下·湖南·期中）函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用零点的存在性定理判断即可. 【详解】对于，则为上的增函数， 而，，，，，由于， 根据零点存在性定理，知道函数的零点所在区间为. 故选：C. 4（22-23高一下·江苏盐城·期末）函数的零点为，且，，则k的值为（    ） A．1 B．2 C．0 D．3 【答案】A 【分析】利用函数的零点存在定理求解. 【详解】解：因为在上单调递增， 又， 所以， 故选：A 5（24-25高一上·全国·课后作业）函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】求出函数定义域，转化为的交点个数问题，数形结合得到答案. 【详解】由题意知，函数的定义域为．令， 在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，如图所示． 由图得两个函数图象有2个交点，故函数有2个零点. 故选：C． 6（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出的图象，根据图形即可得出结果. 【详解】当时，，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为，顶点坐标为，作的图象如下，    由图可知，函数图象有3个交点， 则， 即实数k的取值范围为. 故选：D． 7（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可. 【详解】因为时，，又因为单调递增，所以； 若，则，所以时，，即； 若，则，所以时，，即. 综上所述，， 故选：D. 8（多选）（24-25高一上·江苏南通·期中）已知函数若方程有4个不同的零点，，，，且，则（   ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】BCD 【分析】根据函数图象可得，即可结合图象，根据选项即可求解. 【详解】作出的图象如下：令，则， 故，，A错误，BC正确， 令，则或 ，结合图象可知，D正确. 故选：BCD 9（24-25高一上·吉林·期中）已知函数，方程有四个不同解，，，，则实数的取值范围是 ；的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知与有个交点，结合图象即可得实数的取值范围；根据图象结合二次函数对称性可得，根据对数函数可得，，代入结合对勾函数单调性即可结果. 【详解】根据题意作出函数的图象，如图所示， 当时，令，解得或， 因为即为， 由题意可知：与有个交点， 结合图象可知实数的取值范围是； 不妨设，则，，， 且，显然，可得， 则，即， 可得， 由对勾函数可知在上单调递增，且， 则，即，可得 所以的取值范围为. 故答案为：；. 10（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）对于二次函数，若存在，使得成立，则称为二次函数的不动点． (1)求二次函数的不动点； (2)若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设的不动点为，可得，解出方程即可； （2）结合韦达定理，由条件可得，，进而结合基本不等式求出所求最值. 【详解】（1）由题知，设的不动点为， 则，即， 解得或， 即的不动点为或. （2）由题知，设的不动点为， 则，即， 所以，， 因为，所以，，解得 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 11（24-25高一上·福建厦门·期中）铁观音是中国十大名茶之一，盛产于福建．经验表明，某种铁观音茶用的水冲泡，等茶水温度降至饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度（单位：）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间分钟 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用表中前3组数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求模型， （i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ii）求刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）. （参考数据，） 【答案】(1)选②，理由见解析； (2)（i）（ii）分钟 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为定值排除①③, 代入数据②中求参数得函数解析式； （2）（i）根据指数函数的性质可知稳定在；（ii）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【详解】（1）由所给数据可知，函数应该为减函数，故③为增增函数，不合题意；又，，，不是常数，故①不符合题意；故选②. 则，解得， 所以. （2）（i）由可知，且无限趋近， 所以由题意室温为. （ii）由题意，即， 所以（分钟）， 即刚泡好的铁观音茶达到最佳饮用口感的放置时间大约分钟. 【B组---提高题】 1（23-24高三上·山东德州·阶段练习）已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出的图象，设，可知关于t的方程在有两个不同的实数根，根据二次函数图象的性质即可求解. 【详解】作函数的图象如下：        由函数图象可知：要使关于x的方程有6个不同的实数根， 设，则关于t的方程在有两个不同的实数根， 因此 ，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：. 2（22-23高一上·江苏南通·期中）已知函数（），若存在，使，则称点是函数的一个“H点”.则函数 “H点”的个数为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据“H点”的特征，利用数形结合判断存在的个数. 【详解】由，若是函数的一个“H点”，则其关于原点的对称点为，即，所以“H点”关于原点的对称点也在函数图像上， 所以要判断函数 “H点”的个数，需要知道函数图像上关于原点的对称点有多少个，作函数在上的部分图像关于原点对称的图像，如图所示，与在上的部分图像有两个交点， 所以函数 “H点”的个数为4. 故选：C 3（多选）（24-25高一上·吉林·期中）关于的方程，下列结论正确的是（   ） A．存在实数，使得方程恰有2个解 B．存在实数，使得方程恰有3个解 C．存在实数，使得方程恰有5个解 D．存在实数，使得方程恰有8个解 【答案】ACD 【分析】将方程根的问题转化成函数图象交点问题，分析函数奇偶性，单调性，最值，画出函数图像，根据图像观察交点个数即可得结果. 【详解】关于的方程可化为， 令， 对于函数 或， 由于，故其为偶函数， 当时，令， ，其在上单调递减，在上单调递增. 令，得， 由复合函数单调性得 在上单调递减， 在单调递增； 同理可得在上单调递减， 在上单调递增， 又，， ， ， 故的草图如下： 当时，与图中曲线有2个交点，即原方程恰有2个不同的实根； 当时，与图中曲线有5个交点，即原方程恰有5个不同的实根； 当时，与图中曲线有8个交点，即原方程恰有8个不同的实根； 由图可知不存在实数，使得方程恰有3个不同的实根. 故选：ACD. 4（23-24高一上·河南漯河·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的奇偶性； (2)记，若与在有两个互异的交点，交点横坐标分别为，且，求证：. 【答案】(1)时，为偶函数；时，为非奇非偶函数； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据奇偶性的定义，结合函数解析式，讨论时，的关系，即可判断； （2）求得在上解析式，并分析其单调性，结合题意，求得的范围以及之间的关系； 再对要证明的目标式进行消元和等价转化，只需证明即可，最后根据的范围，即可证明. 【详解】（1）易知定义域为，关于原点对称； 又，故， 故当时，，为偶函数； 当时，，且，故此时为非奇非偶函数. （2）， 令，且，解得；令，且，解得，故， 当时，均单调递减， 故也单调递减； 当时，单调递增； 故与在有一个交点，在有一个交点； 故，， 则，，且； 故，； 又因为，且，则； 要证，即证：， 只需证， 即证， 也就是证， 就是证， 即证； 又因为，，，故，故. 故. 【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键，一是能够找到的范围，以及的关系；二是，对要证明的不等式进行等价转化，核心是要通过消元进行处理；属综合困难题. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$