复习篇 07 对数与对数函数【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义人教A版2019

07 对数与对数函数 【题型1】 对数的运算与换底公式 【基础知识】 1对数的概念 ① 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) ② 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． ③ 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 ④ 结论 (1)负数和零没有对数 (2) 特别地，，， 2 对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 1 ② ③ 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 2（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则=（    ） A． B． C． D．或 3（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 【题型2】对数型函数的图象 【基础知识】 对数函数 ① 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. ② 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南漯河·期中）已知函数，若，，则（    ） A．25 B．20 C．10 D．5 【巩固练习】 1（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 2（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 3（23-24高三上·四川内江·阶段练习），则的范围是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3】对数函数单调性的应用 【经典例题】 情况1 比较对数式大小 【例1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 3（2024·四川成都·二模）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 情况2 解简单的对数方程或不等式 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·广西柳州·期中）已知集合则（    ） A． B． C．或 D． 2（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 情况3 根据对数型函数的单调性求参数 【例1】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知，若在上单调，则的范围是（   ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型4】 对数(型)函数的值域 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【巩固练习】 1（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 2（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型5】 对数(型)函数性质的综合练习 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【巩固练习】 1（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 2（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【A组---基础题】 1（2024高二上·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·福建莆田·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（   ） （参考数据：，） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 4（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 5（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8（多选）（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数若，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 9（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知实数满足且，则 . 10（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【B组---提高题】 1（23-24高二下·广东东莞·期末）已知实数满足且，若，则（    ） A． B． C． D． 2（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 3（24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 07 对数与对数函数 【题型1】 对数的运算与换底公式 【基础知识】 1对数的概念 ① 概念 一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作 (底数，真数，对数) ② 两个重要对数 常用对数以为底的对数，记为； 自然对数以无理数为底的对数的对数，记为． ③ 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 ④ 结论 (1)负数和零没有对数 (2) 特别地，，， 2 对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 1 ② ③ 【经典例题】 【例1】（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）“学如逆水行舟，不进则退：心似平原跑马，易放难收”（明：《增广贤文》）是勉励人们专心学习的．假设初始值为，如果每天的“进步率”都是，那么一年后是；如果每天的“退步率”都是，那么一年后是一年后“进步者”是“退步者”的倍．照此计算，大约经过（ ）天“进步者”是“退步者”的倍（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可列方程，结合指对数的转化公式化简求值. 【详解】设经过天“进步者”是“退步者”的倍， 即， 即， 化简可得， 故选：A. 【巩固练习】 1（2024·浙江台州·一模）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（   ） A．3 B．2 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性求解. 【详解】根据题意，是定义在上的奇函数， 当时，， 则. 故选：B 2（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知，则=（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】因为， 所以，其中， 因为在单调递增， 所以， 整理得， 即， 解得或， 当时，不满足题意； 当时，满足题意； 此时， 故选：C. 3（24-25高三上·北京丰台·期中）霉菌有着很强的繁殖能力，主要依靠孢子进行繁殖.已知某种霉菌的数量与其繁殖时间（天）满足关系式：.若繁殖5天后，这种霉菌的数量为20，10天后数量为40，则要使数量达到200大约需要（ ）（，结果四舍五入取整） A．20天 B．21天 C．22天 D．23天 【答案】C 【分析】利用待定系数求出参数，再求解自变量t的值，利用对数运算即可求得结果. 【详解】由题可得：，两式相除可得，即， 设繁殖天后数量达到200， 则，又，则， ∴，则，即， ∴， ∴， 则要使数量达到200大约需要22天. 故选：C. 【题型2】对数型函数的图象 【基础知识】 对数函数 ① 对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. ② 图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠低； 在第四象限内，越大图象越靠高． 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·河南漯河·期中）已知函数，若，，则（    ） A．25 B．20 C．10 D．5 【答案】C 【分析】根据分段函数的图象判断所在区间，根据二次函数图象的对称性得的值，利用对数函数的图象和对数运算可得的值，进而求解即可. 【详解】由题意，函数的图象如下， 根据，且， 结合函数图像可得，， 根据二次函数图象的对称性得，即； 当时，，当时，； 由，得，即，解得，即， 所以， 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高一上·河南·期末）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用的性质与函数值排除BCD，再利用函数的平移与对称变换判断A，从而得解. 【详解】对于，必有，故CD错误； 又，故B错误； 将函数在轴下方图象翻折到上方可得函数的图象， 再将其在轴右侧图象翻折到左侧，右侧不变，可得函数的图象， 进而将得到的函数图象向右平移1个单位， 可得函数的图象，故A正确. 故选：A. 2（24-25高一上·全国·课后作业）方程的解的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．2或3或4 【答案】A 【分析】将方程根的个数转化为函数交点的个数问题，数形结合作出函数图象计算即可. 【详解】方程的解的个数， 等价于函数和函数的图象的交点个数， 作出两函数的图象，如图所示． 数形结合可得，函数和函数的图象的交点个数为2， 故方程的解的个数为2． 故选：A 3（23-24高三上·四川内江·阶段练习），则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象，可得出，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】作出函数的图象如下图所示： 由图象可知，，且， 所以，即， 所以， 因为函数在上单调递减，且时，， 所以当时，， 即的范围是. 故选：C. 4（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数．若是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数图像可得、各有两解，从而可用表示四根之和，结合的范围可求和的范围. 【详解】 的图象如图所示，设， 结合图像可得：，且，， 而，故， 故， 设，而在为增函数， 故， 故选：D. 【题型3】对数函数单调性的应用 【经典例题】 情况1 比较对数式大小 【例1】（24-25高一上·江苏南通·期中）已知，，，则有（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为对数函数、均为上的增函数， 则，即. 故选：B. 【巩固练习】 1（23-24高一上·河南·期末）设，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小. 【详解】因为函数在上单调递增，且，所以，即， 因为函数在上单调递减，且，所以，即； 因为函数在上单调递增，且，所以，即； 所以. 故选B. 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， ， 所以. 故选：B 3（2024·四川成都·二模）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为， ， ，且 . 所以. 故选：A 情况2 解简单的对数方程或不等式 【例1】（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知集合 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解集合和集合，再找出它们的公共部分. 【详解】由可得且. 解得；解得. 所以集合.    先对因式分解，得到. 解得. 所以集合.    集合，集合. 那么. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高一上·广西柳州·期中）已知集合则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据对数不等式以及一元二次不等式求集合，进而可求交集. 【详解】由可得，解得，可得； 由，解得或，可得或； 所以 . 故选：D. 2（24-25高二上·安徽·开学考试）已知，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两种情况，结合指数函数和对数函数单调性解不等式，求出答案. 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 故的解集为. 故选：A 情况3 根据对数型函数的单调性求参数 【例1】（23-24高一下·内蒙古·期末）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知在分别单调递增，再结合分段函数单调性列式求解即可. 【详解】当时，单调递增， 则由题意可得， 化简得，即得, 解得，故a的取值范围是. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）已知，若在上单调，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由在上单调且恒为正可得． 【详解】由题意在上单调且恒为正， 所以或，且，解得或， 故选：D． 2（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数（且）在上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据每段上函数均为增函数且结合临界处函数值的大小可得关于的不等式组，求出其解后可得的取值范围. 【详解】因为为上的增函数，故：， 解得， 故选：C. 【题型4】 对数(型)函数的值域 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东广州·期末）函数（，，），若，则的值为（   ） A．4 B．4或 C．2或 D．2 【答案】C 【分析】将，利用换元，化为，分类讨论a的取值范围，结合函数单调性以及最值的差，列式求解，即得答案. 【详解】由题意得，， 令，则， 则函数，即为， 当时，在上单调递增，由可得： ； 当时，在上单调递减，由可得： ； 故的值为2或， 故选：C 【巩固练习】 1（23-24高一上·江西抚州·期末）若函数且在区间上的最大值比最小值多2，则（    ） A．4或 B．4或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】对参数的取值分类讨论，根据对数函数单调性，求得最值，结合题意，即可求得参数值. 【详解】由题意解得或（舍去）， ①当时，函数在定义域内为增函数， 则由题意得， 所以即，解得或（舍去）； ②当时，函数在定义域内为减函数， 则由题意得， 所以即，解得； 综上可得：或． 故选：A. 2（22-23高一上·山西大同·期末）若函数在区间上的最大值与最小值的差不小于3，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性可得函数的单调性，从而可求出函数在上的最值，再列出不等式，即可得解，注意对数的真数大于零. 【详解】令，则函数为减函数， 又函数为增函数， 所以函数是减函数， 故在区间上的最大值是，最小值是， 由题设得，则， 所以，解得， 故实数的取值范围是. 故选：A. 3（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果. 【详解】当时，， 因为的值域是，又在上单调递减， 所以. 故选：C. 【题型5】 对数(型)函数性质的综合练习 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·山东青岛·期中）已知函数． (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或． (3) 【分析】（1）根据对数的运算性质，结合换元法，将转化为，，利用二次函数的性质即可求解， （2）换元，解一元二次不等式，进而根据对数的单调性求解， （3）换元，分离参数，将问题转化为在上恒成立，即可利用函数的单调性求解最值得解. 【详解】（1）因为 令，，则， 函数转化为，， 则二次函数，对称轴为， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5， 故当时，函数的值域为． （2）由题得，令， 则，即，解得或， 当时，即，解得； 当时，即，解得， 故不等式的解集为或． （3）由于对于上恒成立， 令，，则，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递增，也在上单调递增， 所以函数在上单调递增，它的最大值为， 故时，对于恒成立． 【巩固练习】 1（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知，函数是奇函数，. (1)求实数的值； (2)若，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，然后检验，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化为，再由函数的单调性可得，由二次函数的值域可得，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为函数是奇函数，所以， 即，即，解得， 因为，所以. 当时，，此时的定义域为， 关于原点对称，满足题意. 综上，. （2）由题意得，， 由（1）知，， 易得在上单调递增，故. ， 当时，，所以， 所以， 解得，即实数的取值范围为. 2（22-23高一上·河北保定·期末）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围； (3)若将区间划分成2022个小区间，且满足，试判断和式是否为定值，若是，请求出这个值，若不是请说明理由． 【答案】(1) (2) 或 (3)是定值，1 【分析】（1）利用对数函数的单调性，即可求得答案； （2）将在上有实数解，转化为在上有实数解，结合对数函数单调性求函数值域，即可求得答案； （3）利用在区间上是增函数，化简已知和式，脱掉绝对值符号，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 得， ， 所以不等式的解集为； （2）在上有实数解， 在上有实数解， 因为在上是单调递增函数， 故， 则，即 ， 解得或； （3）由知，在区间上是增函数， 对任意划分， 均有， ++ ， 所以此和式为定值1. 【点睛】关键点睛：解答此题的关键是解答第三问时，要结合函数的单调性，化简和式，脱去绝对值符号，进而求解. 【A组---基础题】 1（2024高二上·云南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】. 故选：C. 2（24-25高一上·福建莆田·期中）已知，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的图象与性质可以判断即，根据中间变量1，可以比较. 【详解】因为时，的图象永远在图象的上方， 所以，即， 又，，所以， 所以， 故选：A. 3（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）当阳光射入海水后，海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用表示其总衰减规律，其中是消光系数，（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度处和海面的光强．已知某海域6米深处的光强是海面光强的，则该海域消光系数的值约为（   ） （参考数据：，） A．0.2 B．0.18 C．0.15 D．0.14 【答案】C 【分析】理解题意，代值后，将指数式化成对数式，取近似值计算即得. 【详解】依题意得，，化成对数式，， 解得，． 故选：C． 4（2024·广东湛江·一模）函数零点的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】数形结合思想，分别作出和的图象即可求解. 【详解】解：由，得函数的定义域为， 函数零点的个数零点个数， 即函数的图象和函数的图象的交点个数， 如图所示： 数形结合可得函数的图象和函数的图象的交点个数为． 故选:C． 5（24-25高三上·广西南宁·阶段练习）已知，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的奇偶性得出不等式，再结合单调性列不等式，最后解绝对值不等式即可. 【详解】由题意知函数定义域为，关于原点对称， 因为，所以为偶函数， 所以，当单调递增， 所以, 所以或,所以或. 所以解集为. 故选：A. 6（24-25高三上·江苏泰州·期中）已知函数（且）在上为单调函数，则函数值的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于求出的范围可得答案． 【详解】因为的对称轴为，开口向上的抛物线， 所以当时，单调递增， 当时，， 又因为在上为单调函数， 所以，解得， 所以，可得. 故选：D. 7（多选）（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，若有四个不同的零点，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】数形结合，可判断A的真假；根据时，函数图象的对称性，可判断B的真假；根据时，函数的解析式即对数的运算可判断C的真假；举反例可说明D是错误的. 【详解】左函数草图如下： 对A：由图可知，若有四个不同的零点，则，故错误； 对B：因为，且关于直线对称，所以，故B正确； 对C：因为，所以，， 由 ，故C正确； 对D：因为，所以，因为函数在上单调递减，所以，即，故D错误. 故选：BC 8（多选）（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数若，且，则下列结论正确的是（） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】画出的函数图象，数形结合然后逐一判断即可. 【详解】函数的图象如图所示.    设，则, 则直线与函数的图象的4个交点的横坐标分别为. 对于A，因为函数的图象关于直线对称，所以，故A错误; 对于B，由图象知且，得，即，即，故B正确; 对于C，由图象知，则，得，所以，故C正确; 对于D，由图象知，所以，故D正确. 故选：BCD. 9（24-25高三上·江苏无锡·期中）已知实数满足且，则 . 【答案】 【分析】利用指数与对数的换算结合换底公式计算即可. 【详解】由可知， 所以，即， 所以. 故答案为： 10（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)若对于恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助换元法，令，可得，结合二次函数单调性计算即可得； （2）借助换元法，令，可得对于恒成立，参变分离后可得对于恒成立，借助对勾函数性质计算即可得. 【详解】（1）令，当时，， ， 由函数在上单调递减， 则， ， 故当时，求该函数的值域为； （2）由可得， 即对于恒成立， 当时，，恒成立； 当时，， 又在上单调递减，故， 故，即； 综上所述：. 【B组---提高题】 1（23-24高二下·广东东莞·期末）已知实数满足且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数运算法则将等式变形，根据指数函数值域及对数不等式可得的范围 【详解】由得， 由得， 因此， 又，所以， 又，所以， 利用得， 又，所以，即， 所以，即， 故选：A 2（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据在上的单调性得到 或 ，根据，得到关于的不等式或的解集为，根据，得到关于的不等式或的解集为，由 ，可求出结果. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以，， 又已知在区间上的最大值为， 所以 或 ， 因为，所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或或或的解集为， 由于，所以， 所以，， 所以关于的不等式或的解集为， 所以 ， 所以，所以，所以，又，所以， 所以实数的最大值为. 故选：C 3（24-25高一上·江苏南通·期中）定义：若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都有唯一的使成立，则称该函数为“伴随函数”． (1)判断是否为“伴随函数”，并说明理由； (2)若函数在定义域上为“伴随函数”，试证明：； (3)已知函数在上为“伴随函数”，若，，恒有，求的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）取，结合“伴随函数”的定义判断即可； （2）推导出，结合指数运算可证得结论成立； （3）分、两种情况讨论，当时，可知不是“伴随函数”；当时，函数在上单调递增，根据求出的值，利用基本不等式求出的最小值，再利用参变量分离得出，令，可得，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 取，则，此时，不存在，使得， 因此，函数不是“伴随函数”. （2）因为函数在定义域上为增函数，则存在， 使得， 若，则， 根据题意，存在，使得，矛盾， 故，所以，， 所以，，即. （3）若，则当时，， 此时，不存在，使得，则函数不是“伴随函数”， 所以，，所以，函数在上单调递增， 则，， 由“伴随函数”的定义可得， 因为，解得，即，， 当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为，，恒有， 则，所以，， 令，则，由题意可得， 令，，函数在上单调递增， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$