复习篇 06 指数与指数函数【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

06 指数与指数函数 【题型1】 指数幂的运算 【基础知识】 1 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 2 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的正分数指数幂的意义： 3 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【巩固练习】 1（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 3（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型2】 指数型函数图象的应用 【基础知识】 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．  B．  C．  D．   2若 ，则方程有（    ）个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 3（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【题型3】 指数函数单调性的应用 【经典例题】 情况1 比较指数式大小 【例1】（24-25高一上·山东济宁·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·福建厦门·期中）若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·广东梅州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 情况2 解简单的指数方程或不等式 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 3（23-24高二下·江西南昌·期末）已知实数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 4（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则的解集为 ． 情况3 根据指数型函数的单调性求参数 【例1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·全国·期中）是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型4】 指数(型)函数的值域 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 【巩固练习】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是 ． 【题型5】 指数(型)函数性质的综合练习 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数的图像经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 【巩固练习】 1（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【A组---基础题】 1（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 3（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   4（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 5（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 6（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 7（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9（多选）（24-25高一上·广东惠州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的最大值为 B．若，则的值为 C．函数的减区间是 D．已知在上是增函数，若，则 10（24-25高一上·北京平谷·期中）已知指数函数（且）的图象经过点． (1)求指数函数的解析式； (2)若，，请写出的最大值； (3)求满足不等式的实数的取值范围． 11（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． (1)求实数、的值及的值域； (2)解不等式； (3)若对任意恒有成立，求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 4（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． (1)分别求函数，的解析式； (2)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 06 指数与指数函数 【题型1】 指数幂的运算 【基础知识】 1 次方根与分数指数幂 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且. 式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数. 2 正数的正分数指数幂的意义 ① 正数的正分数指数幂的意义，规定： 巧记“子内母外”(根号内的作分子，根号外的作为分母) ② 正数的正分数指数幂的意义： 3 实数指数幂的运算性质 ① ② ③ 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·湖南株洲·期中）已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用均值不等式结合指数幂的运算即可求得答案. 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 当且仅当，即时，取等号，故的最小值为6， 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高一上·云南临沧·阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算求得正确答案. 【详解】. 故选：B. 2（24-25高三上·天津河西·期中）已知，，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】由对数式化为指数式，再由指数的运算化简得解. 【详解】由可得， 所以， 故选：C 3（24-25高一上·江苏南京·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，平方差公式结合指数运算可得. 【详解】由得，即， 故， 故 故. 故选：C 【题型2】 指数型函数图象的应用 【基础知识】 1 指数函数概念 一般地，函数且叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为. 2 图像与性质 函数名称 指数函数 定义 函数且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 变化对图 象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 【经典例题】 【例1】（23-24高一上·广东韶关·期中）已知函数若函数图象与直线有且仅有三个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数的图象，结合图象求解即可. 【详解】将的图象向下平移1个单位得到，再将的图象的轴下方的图象以轴为对称轴翻转至轴上方可得到， 将的图象向右平移1个单位得到， 所以的图象如图所示，    由图可知，当时，函数与图象有且仅有三个不同的交点. 故选：B. 【巩固练习】 1（24-25高一上·上海·期中）函数与函数在同一平面直角坐标系中的图像可能为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】通过二次函数的大致图像确定对应参数的取值范围，再由指数型函数图像得到对应参数的取值范围，对吧对应参数的取值范围是否相同. 【详解】A选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，A选项错误； B选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，B选项错误； C选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，C选项正确； D选项，由二次函数图像可知：，由指数型函数图像可知：，D选项错误； 故选：C. 2若 ，则方程有（    ）个实数根. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】在同一坐标系内作出函数与的图象，求出两个图象交战个数即可. 【详解】由，得，令函数与， 在同一坐标系内作出与的图象，如图， 观察图象知，函数与的图象有2个交点， 所以方程有2个实数根. 故选：C 3（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】将问题转化为函数与的交点个数，作出函数图象即可得到结果. 【详解】函数的零点个数等价于方程的解得个数， 即函数与的交点个数， 作出函数与的图象如下图所示， 由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点， 函数的零点个数为2. 故选：C. 【题型3】 指数函数单调性的应用 【经典例题】 情况1 比较指数式大小 【例1】（24-25高一上·山东济宁·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性即可依次判断的大小即得． 【详解】因为是增函数，所以，是减函数，所以， 故 又函数在第一象限内为增函数，故， 又为减函数，故， 综上可得． 故选：B． 【巩固练习】 1（24-25高一上·福建厦门·期中）若，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】因为 所以由指数函数为增函数知，， 由幂函数在上单调递增可知，， 所以， 故选：A 2（24-25高一上·北京·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数、指数函数的单调性，判断大致范围即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，， 所以. 故选：C 3（24-25高一上·广东梅州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小. 【详解】先比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 再比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 又因为，所以， 故选：. 情况2 解简单的指数方程或不等式 【例1】（23-24高二下·浙江·期中）已知，则使成立的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数的单调性，再根据函数的单调性得出不等式，最后解一元二次不等式求解. 【详解】因为,所以是单调递增函数， 又因为，所以, 所以, 所以x的取值范围为. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高一上·山东青岛·期中）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数单调性计算集合，绝对值不等式化简得出集合，再根据并集定义计算即得. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2（2024·四川成都·模拟预测）已知函数，若实数满足，则（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】探讨给定函数的对称性及单调性即可求解. 【详解】函数，， 而，因此， 又函数在上递增， 则函数在上递增，于是， 所以. 故选：B 3（23-24高二下·江西南昌·期末）已知实数满足，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】将化为，构造函数，再根据函数的单调性即可得解. 【详解】由，得， 令，则， 因为都是增函数， 所以函数是增函数， 所以，所以. 故选：D. 4（23-24高一上·贵州遵义·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】由解析式得，即关于对称，再应用定义求证上单调性，结合对称性及不等式有，即可求解集. 【详解】由，则， 所以关于对称， 当，令，则 ，而， 所以，即在上递增， 根据对称性知：在上递减， 由，则，即， 所以，即，可得， 故不等式解集为. 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据解析式求得，并确定区间单调性为关键. 情况3 根据指数型函数的单调性求参数 【例1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数“同增异减”的性质，再由二次函数在区间上的单调性即可得结果. 【详解】根据题意可知是由指数函数和二次函数复合而成的， 由复合函数单调性可得只需使函数在区间上单调递减即可， 易知函数关于对称，所以可得，即； 即的取值范围是. 故选：D 【巩固练习】 1（24-25高三上·福建福州·开学考试）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数复合函数单调性求参. 【详解】因为在上单调递增， 令 又因为在R上单调递增，所以在上单调递增， 对称轴为，所以. 故选：B. 2（24-25高一上·全国·期中）是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分段函数为增函数，保证每段都增，比较端点即可. 【详解】是上的单调递增函数，则满足 ，解得. 故选：B. 【题型4】 指数(型)函数的值域 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数，则（    ） A．当时，为偶函数 B．既有最大值又有最小值 C．在上单调递增 D．的图象恒过定点 【答案】ACD 【分析】由奇偶性定义判断A，根据指数函数的单调性与二次函数性质求最值判断B，由复合函数的单调性判断C，计算后即可判断D． 【详解】当时，，定义域为，因为，所以为偶函数，A正确； 因为，所以，则有最大值，没有最小值，B错误； 因为在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，C正确； 当时，，所以的图象恒过定点，D正确. 故选：ACD. 【巩固练习】 1（2023·湖南岳阳·模拟预测）若函数在上的最小值与最大值的和等于24，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性求出最值即可得解. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以， 则，所以. 故选：C. 2（24-25高一下·福建厦门·期中）已知的值域为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对进行分类，分，和，利用指数函数和分段函数的性质，直接求出函数的值域，再结合条件，即可求解. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则解得， ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：C. 3（24-25高一上·福建福州·期中）设函数，若表示不超过x的最大整数，则函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数可得，进而结合指数函数求出的取值范围，进而结合的定义即可求解. 【详解】函数，即， 因为，所以， 则，即， 则， 又表示不超过x的最大整数， 所以函数的值域是. 故答案为：. 【题型5】 指数(型)函数性质的综合练习 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东深圳·期中）已知函数的图像经过点，. (1)求的解析式； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)求关于的不等式的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将点的坐标代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，通过计算即可证明； （3）由函数的对称性以及单调性将不等式化简，然后分，以及讨论，即可得到结果. 【详解】（1）由题意可知，解得或，（舍去）， 所以. （2）证明：因为， 所以曲线关于点对称，故曲线是中心对称图形. （3）由（1）可知，， 易知函数在上单调递增，且，所以在上单调递减. 由（2）可知，， 由，得， 即， 根据在上单调递减，得， 整理得，，即. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得. 综上可知，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【巩固练习】 1（24-25高一上·广东江门·期中）已知函数. (1)判断奇偶性并证明； (2)利用定义证明在R上单调递增； (3)若存在实数，使得成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出定义域为R，且，得到为奇函数； （2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （3）由函数奇偶性和单调性得到，变形得到，换元后得到函数最小值，从而得到. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 定义域为R，又， 所以为奇函数； （2）证明：由（1）知，， 任取，且， 则 因为，则 所以，即， 所以在R上单调递增. （3）为奇函数， 由，得， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 由题意，存在实数，使得成立，则只需， 令，则， ，当时，，即， 【A组---基础题】 1（23-24高二下·福建南平·期末）若，，则（    ） A．10 B．20 C．50 D．100 【答案】B 【分析】先根据指对数转化，再应用指数运算律计算即可. 【详解】因为，又因为可得, 所以. 故选：B. 2（24-25高一上·江苏徐州·期中）若是方程的根，则（   ）. A． B． C．7 D． 【答案】C 【分析】结合韦达定理，通过平方关系即可求解. 【详解】设方程的另一根为， 由韦达定理可得：，即，同时， 所以， 故选：C 3（24-25高一上·北京·期中）函数的大致图象是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数的值域，以及指数函数的图象特征，即可判断选项. 【详解】，所以，排除AC，且，排除D. 故选：B 4（24-25高二上·海南海口·阶段练习）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，先求出集合，再利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 由，得到，得到，所以，得到， 故选：D. 5（24-25高一上·北京·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序. 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增. ，所以，即. 又因为，. 对于，，即. 则. 故选：B. 6（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的值，再解指数不等式即可. 【详解】由题意：当时，， 因为，当时，，所以. 所以 ， 所以 . 故选：B 7（23-24高三上·北京大兴·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将不等式转化为两个函数，在同一坐标系下作出两个函数的图象，由图像可得结果. 【详解】因为，所以，即， 令，且均为增函数，则不等式为， 在同一坐标系下作出两个函数的图象，如图所示， 又当时， 当时，， 所以由图像可知：的解集为：， 故选：B.    8（24-25高一上·山东泰安·期中）已知函数（且），若有最小值，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对分类讨论，利用的不同取值范围，结合分段函数的单调性，分析函数的最小值情况，即可求得实数的取值范围． 【详解】， 当时，， 若，当时，为减函数，此时 ， 当时，为增函数，且此时，要使有最小值， 则，即，，则； 若，当时为减函数，此时 ， 当时，为减函数，且，要使有最小值， 则，即，则． 综上所述，或． 实数的取值范围是． 故选：D． 9（多选）（24-25高一上·广东惠州·期中）下列命题，其中正确的命题是（   ） A．函数的最大值为 B．若，则的值为 C．函数的减区间是 D．已知在上是增函数，若，则 【答案】ABD 【分析】对于A，利用指数函数单调性即可求得；对于B，运用指对数互化和换底公式，以及对数运算性质可得； 对于C，利用复合函数单调性即可判断；对于D，利用函数单调性的应用即可推得. 【详解】对于A，因， 因为函数为减函数，故得，即A正确； 对于B，由，可得 则，故B正确； 对于C，由，可得，解得， 即函数的定义域为， 设，显然该函数在上单调递增，在上单调递减， 而在定义域上为增函数， 故函数的减区间为，即C错误； 对于D，因为在上是增函数，由可得，则， 因，则，故得，即D正确. 故选：ABD . 10（24-25高一上·北京平谷·期中）已知指数函数（且）的图象经过点． (1)求指数函数的解析式； (2)若，，请写出的最大值； (3)求满足不等式的实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）直接将点带入函数得到答案； （2）由指数函数的值域即可得到的最大值； （3）代入化简，由指数函数的性质得到，解得答案. 【详解】（1）因为且的图象经过点， 所以，又，得， 所以. （2）由（1）知，则，即， 因为，所以的最大值为. （3）因为， 由得，即， 则，所以或 11（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． (1)求实数、的值及的值域； (2)解不等式； (3)若对任意恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，值域为 (2)或 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义结合可求得实数、的值； （2）分析函数的单调性，将所求不等式等价变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可； （3）由函数的单调性与奇函数的性质将所求不等式变形为，其中，利用参变量分离法结合对勾函数的单调性可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数是奇函数，则， 即， 化简可得 所以，解得或． 又，所以，所以，． 所以， 因为，则，所以， 所以， 即函数的值域为. （2）由（1）得， 任取、，且，则， 则， 所以，即函数为上的减函数， 由题意知：在上单调递减且为奇函数， 所以， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为或. （3）由上可知：在上单调递减且为奇函数， 由，即， 即，即， 化简得：， 又因为，当时，对恒成立， 当时，， 令， 令，则， 由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增， ，所以． 【B组---提高题】 1（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得且，分别作出相关的函数图象即可求解. 【详解】由，得 所以方程的实根为，方程的实根为， 在同一坐标系下画出的图象，显然， 故选:A． 2（24-25高一上·福建福州·期中）设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”，已知区间为函数的“稳定区间”，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意可知函数与函数在区间上同增或者同减，则根据同增或同减分两种情况讨论即可. 【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增, 若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， ①若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立， 可得，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立， 即，不等式组无解； 综上所述；. 故选；C. 3（多选）（24-25高一上·安徽合肥·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一.用其名字命名的高斯取整函数为，表示不超过的最大整数.例如: .已知函数则下列说法中正确的是（   ） A．是奇函数 B．在R上是增函数 C．是偶函数 D．的值域是 【答案】ABD 【分析】由奇偶函数的定义可得选项A正确；分析函数单调性可得选项B正确；分析函数的值域可得的值域，同时也可判定不是偶函数，选项C错误，选项D正确. 【详解】由得，由定义域为得是奇函数，故A正确. ， 因为在上是增函数，且，所以在上是减函数，故在上是增函数，B正确. 由于，故， ∴，∴， 当时，， 当时，， ∴不是偶函数，的值域是，故C不正确，D正确． 故选：ABD． 4（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知为上的奇函数，为上的偶函数，且． (1)分别求函数，的解析式； (2)设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助奇函数与偶函数定义计算即可得； （2）由题意可得在上的值域为在上的值域的子集，借助换元法计算可得在上的值域，再结合对称轴与区间的关系分类讨论并计算即可得. 【详解】（1）由，则， 由为上的奇函数，为上的偶函数， 则有，， 故， 即， 即， 则； （2）由题意可得在上的值域为在上的值域的子集， ， 令，则在上单调递增，故当时， 故时，； 当，， 则当时，在上单调递增，故， 则有，解得； 当时，在上单调递减，故， 则有，无解； 当时，，， 则有，解得； 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题重点在于对在上的值域的求解，关键点是对对称轴进行分类，根据与区间的关系进行分类讨论. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$