复习篇 04 函数的单调性 【提高复习+自主学习】-2024-- 2025学年高一数学寒假进阶学习讲义（人教A版2019）

04 函数的单调性与最值 【题型1】判断函数单调性与求参数 【基础知识】 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 1 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 ④ 复合函数的单调性 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·广东茂名·期中）函数，对且，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·山东青岛·期中）“”是函数“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【题型2】 利用函数单调性解不等式 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（云南省2024年1月普通高中学业水平考试数学试题）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数是定义在上的减函数，且，则解集为（    ） A． B． C． D． 3（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【题型3】 利用函数单调性求最值 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 【题型4】分段函数的单调性与最值问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一上·重庆·期中）给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A．-6 B．2 C．4 D．6 【巩固练习】 1（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义函数，且当时，函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型5】恒成立问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏南通·期中）若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型6】抽象函数的单调性 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【巩固练习】 1（24-25高一上·河南郑州·期中）已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 2（多选）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【A组---基础题】 1（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 4（24-25高二上·云南文山·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8（24-25高一上·广西南宁·期中）函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 9（多选）（23-24高二下·河北·期末）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 10（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【B组---提高题】 1（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4（24-25高一上·重庆·期中）给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 04 函数的单调性与最值 【题型1】判断函数单调性与求参数 【基础知识】 1 函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递增(图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上单调递减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则. 比如：递增，则. ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 1 定义法 ② 数形结合 ③ 性质法 ④ 复合函数的单调性 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数满足对任意， ，当时都有成立，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得在R上的增函数，用一次函数与二次函数的单调性及端点值的大小关系列不等式组即可求解. 【详解】因为函数满足对任意， ，当时都有成立， 所以在R上的增函数， 于是，即， 解得，即. 故选：A 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可. 【详解】由题意可得，即，解得或， 令（或），则， 因为的对称轴为， 所以在上递减，在上递增， 因为在定义域内递增， 所以在上递减，在上递增. 故选：C 2（24-25高一上·广东茂名·期中）函数，对且，，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件分析函数单调性，结合二次函数对称轴可得结果. 【详解】因为对且，， 所以在上为增函数. 由得二次函数开口向上，对称轴为直线， ∴，故. 故选：C. 3（24-25高一上·全国·课后作业）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象性质可得函数在上单调，进而可以求解． 【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调， 则或，解得或， 又，即，所以或， 即的取值范围是. 故选：C. 4（24-25高一上·山东青岛·期中）“”是函数“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】由函数的单调区间求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】由函数在区间上单调递增，得，解得， 显然能推出，反之不能推出， 所以“”是函数“在区间上单调递增”的必要不充分条件. 故选：B 【题型2】 利用函数单调性解不等式 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由绝对值的定义化简函数式，结合单调性求解． 【详解】， ，则，解得， 故选：C． 【例2】（24-25高一上·江西鹰潭·期中）已知定义在上的函数f（x）满足对，，都有，若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定的不等式，构造函数并确定单调性，再利用单调性求解不等式. 【详解】由，得，令， 则，因此函数在上单调递增，由，得， 由，得，即， 则，解得，所以原不等式的解集为. 故选：C 【巩固练习】 1（云南省2024年1月普通高中学业水平考试数学试题）函数是定义域为的增函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义域为的增函数， 所以由，得， 解得，即的取值范围为. 故选：C. 2（24-25高一上·湖南怀化·期中）函数是定义在上的减函数，且，则解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的几何意义等价转化得或，利用函数的单调性和相应函数值即可求得不等式解集. 【详解】因，由，得或， 又因函数在上单调递减，故可得或， 即的解集为. 故选：B. 3（23-24高一上·天津·期中）若函数是定义域为，且对，且，有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对给定不等式合理变形，转化为，再利用定义法判断出在上单调递增，转化为，求解不等式即可. 【详解】欲求的解集， 则求解集即可，且令， 故求的解集即可， 因为，，， 所以，即， 故得在上单调递增，则求的解集即可， 解得，则不等式的解集为，故C正确. 故选：C 【题型3】 利用函数单调性求最值 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·湖南·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数的单调性求解. 【详解】由得，所以的定义域为． 因为与在上均为增函数， 所以在上为增函数， 所以，即函数的值域为. 故选：A. 【巩固练习】 1（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数，，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式和函数定义域，可由定义法先求出函数的单调性，再根据单调性求出函数值域. 【详解】由题意得，设，且， 则 ， 因为，所以， 又因为， 若， 则，此时， 所以在上为减函数； 若， 则，此时， 所以在上为增函数； 综上所述，函数在上为减函数，在上为增函数， 所以， 因为， 所以， 所以函数，的值域为， 故答案选：B. 2（24-25高一上·江苏扬州·期中）定义，设，则下列结论不正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C．当时，的最大值为 D．在上单调递减 【答案】B 【分析】把表示为分段函数，作出函数图象，结合图象和函数解析式，对选项进行判断. 【详解】，解得或， 所以，函数图像如图所示， ，A选项正确； 不等式的解集为，B选项错误； 当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确； 时，，在上单调递减，D选项正确. 故选：B. 【题型4】分段函数的单调性与最值问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·广东·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先判断在上单调递减，依题意可得，即可得解. 【详解】因为在上单调递减， 当时，，则在上单调递减， 则需满足，解得，即实数的范围是. 故选：C. 【例2】（24-25高一上·重庆·期中）给定函数.，，，用表示，中的较小者，记为，则的最大值为（    ） A．-6 B．2 C．4 D．6 【答案】C 【分析】先利用条件可求得，进而可求的最大值. 【详解】由，得，解得或， 由，得，解得， 又， 所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 所以的最大值为. 故选：C. 【巩固练习】 1（22-23高一上·贵州六盘水·期末）已知函数是上的增函数，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分段函数的单调性可得答案. 【详解】因为是R上的增函数， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 故选：D. 2（23-24高一上·江苏宿迁·期中）若函数存在最大值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，无最大值，所以函数在时取到最大值，然后根据反比例函数的图像和性质分析即可. 【详解】当时，， 又函数存在最大值， 所以函数在时取到最大值，又时，， 当时，显然不合题意，当时， 为反比例函数， 所以，故， 故选：D. 3（2024高三·全国·专题练习）已知集合，定义函数，且当时，函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分类讨论去掉绝对值符号 ，变成分段函数，画出图像，即可解决. 【详解】由于 当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 综上，可画出函数的图象， 如图，由图可知，要使函数的值域为， 则有， 故选：A. 【题型5】恒成立问题 【经典例题】 【例1】（24-25高一上·天津·期中）已知，且恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，由基本不等式和一元二次不等式，得到，不等式化为在上恒成立，由对勾函数单调性得到最小值为，从而得到答案. 【详解】，由基本不等式得， 令，则，解得或（舍去）， 在上恒成立， 故在上恒成立， 由对勾函数性质可知在上单调递增， 故当时，取得最小值，最小值为，故. 故选：C 【巩固练习】 1（24-25高一上·辽宁沈阳·期中）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数求出最小值，再借助恒成立建立不等式求解. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由对任意实数恒成立，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：D 2（24-25高一上·江苏南通·期中）若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由参变量分离法可得，求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围. 【详解】命题“，不等式恒成立”是真命题，则， 令，则，则，可得， 因为函数、在区间上均为减函数， 所以，函数在区间上为减函数， 故当时，，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 3（24-25高一上·河北·期中）已知满足的使得恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式，得到在上恒成立，考虑和两种情况，参变分离，得到. 【详解】由，求出， 在上恒成立， ， 当时，，， 当时，， 其中，当且仅当时，等号成立， 故， 综上，的取值范围为. 故选：A 【题型6】抽象函数的单调性 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则（    ） A． B．在上为增函数； C． D．解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A，用赋值法即可求值；对于B，根据增函数的定义证明即可；对于C，对条件进行适当变形即可得结论；对于D，对不等式进行变形，利用单调性即可求解不等式. 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，令，则，，即， 所以函数为减函数，故B错误； 对于C，，即，故C正确； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确. 故选：ACD. 【巩固练习】 1（24-25高一上·河南郑州·期中）已知的定义域为，且满足，对任意，都有，当时，.则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用单调性定义可判断函数为增函数，再结合单调性可求不等式的解. 【详解】设且， 对任意，都有即， , ，， 又当时,，, 在上是增函数， 令,则, 令,，则， ， 结合的定义域为，且在上是增函数， 又恒成立， ， ，不等式的解集为， 故选：B. 2（多选）（24-25高一上·山西太原·期中）已知函数对于一切实数，都有，当时，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．是增函数 D． 【答案】AD 【分析】令，，结合可求得，可判断A；令，可判断B；令，由可判断C. 令，由可判断D； 【详解】对于A，令，，则； 由时，得：，，A正确； 对于B，令，得，B错误， 对于C，设， ； ，，即，又， ，在上单调递减，C错误； 对于D，令，则； 当时，，，， 对于任意，，D正确； 故选：AD 【A组---基础题】 1（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数法可求得函数的递减区间. 【详解】对于函数，有，即，解得， 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在上单调递增，在上单调递减， 且内层函数在上为增函数， 由复合函数法可知，函数的递减区间为. 故选：A. 2（24-25高一上·广东中山·阶段练习）定义在上的函数满足，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件判断函数单调性，利用单调性解不等式求参数范围. 【详解】因为函数满足， 所以函数在上单调递增， 根据题设不等式关系，有， 即，解得或. 故选：A 3（24-25高一上·天津·期中）函数在区间上的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将函数展开，结合其图象的对称性和单调性即可求得其最值. 【详解】因 可知函数图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增， 又 故当时，取得最大值4；当时，取得最小值0. 故选：D. 4（24-25高二上·云南文山·期末）已知在上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可. 【详解】由在上满足可得在上单调递减； 所以需满足，解得； 即实数的取值范围为. 故选：B 5（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）已知函数对，且都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，对，且都有成立， 所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：B 6（24-25高一上·浙江·期中）若关于的不等式在当时恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为一次函数在区间上的函数值恒大于，由此求解出结果. 【详解】因为， 所以关于的一次函数在时恒有， 所以只需在时都有即可，所以，解得， 所以的取值范围是， 故选：A. 7（24-25高一上·湖北·期中）已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得在上递增，然后将化为，由单调性结合定义域可得答案. 【详解】由条件得，，，在上递增. 由得， 则或． 故选：B． 8（24-25高一上·广西南宁·期中）函数是上的单调函数且对任意的实数都有，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据特殊值判断函数是上的单调增函数，利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】对任意的实数都有， ，即， ，，函数是上的单调函数， 函数是上的单调增函数，， 即，解得， 即不等式的解集为． 故选：. 9（多选）（23-24高二下·河北·期末）定义在上的函数满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．可能在上单调递增 【答案】ABD 【分析】令赋值判断A； 令和赋值判断B； 令赋值判断C； 由，可得，令，求出，判断D. 【详解】令，则，故A正确； 令，则，即， 令，则，即，故B正确； 令，则，即，所以为奇函数，故C错误； 当时，由，可得， 令，则，此时在上单调递增，故D正确. 故选：ABD. 10（24-25高一上·甘肃天水·阶段练习）已知函数. (1)求函数的定义域； (2)试判断函数在上的单调性，并给予证明； (3)试判断函数在的最大值和最小值. 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3)最大值是，最小值是 【分析】（1）利用函数的定义域概念求解； （2）利用函数单调性的定义判断并证明； （3）利用函数的单调性和最值关系求解. 【详解】（1）要使函数有意义，则，解得， 所以定义域为. （2）由题，， 判断函数在上是增函数，证明如下： ， ， 因为， 所以， 所以，所以， 所以函数在上是增函数. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 所以 【B组---提高题】 1（24-25高一上·广西桂林·期中）已知定义在上的函数在上单调递减，且对任意的，总有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性和对称轴的关系可得，再将对任意的，都有恒成立问题，转化为只要，即可求得的范围. 【详解】因为函数对称轴为， 函数在上单调递减，则， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为，， 即,则， 若对任意的，都有， 则只要 即可，即 ，解得：， 又因为，则 . 故选：D. 2（24-25高一上·江苏盐城·期中）已知函数，若对于任意的、，且，都有成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，分析可知，函数在上为减函数，分、两种情况讨论，在时，直接验证即可；在时，根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】因为对于任意的、，且， 都有成立， 在不等式两边同时除以可得， 则， 构造函数，则， 所以，函数在上单调递减， 当时，在上单调递增，不合乎题意， 当时，若使得函数在上单调递减， 则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：D. 3（24-25高一上·四川内江·期中）已知函数，，若对于任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对勾函数与二次函数的性质，可得两个函数分别在给定区间上的值域，由题意可得集合的包含关系，建立不等式组，可得答案. 【详解】当时，，则， 当且仅当，即时，等号成立； 由对勾函数可知当时，， 由函数，则其对称轴为直线， 所以函数在上单调递减，当时，， 由题意可得，可得，解得， 可得. 故选：B. 4（24-25高一上·重庆·期中）给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点为－2和3 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. （2）（i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$