4.3.1 等比数列的概念（第1课时 等比数列的概念及通项公式）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式 4.3.1　等比数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.通过实例，理解等比数列的概念. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形． 情景导入 等差数列的定义： 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。 问题1：前面我们学习了等差数列，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的？ 情景导入 古巴比伦人用60进制计数，这里转化为十进制 情景1 1．两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列： 情景导入 情景2 2. 庄子曰:“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为： 情景导入 3．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20 min就通过分裂繁殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是 情景3 2，4，8，16，32，64，…… ⑤ 情景4 情景导入 复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息． 探究： 类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规律?你发现了什么规律? 新知探究 我们可以通过除法运算探究以上数列的取值规律． 这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于9． 等比数列的概念： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric progression）． 成立条件：q≠0，an ≠0 等比中项的概念 注意： a,b是同号的 等比数列通项公式的推导 公比q的范围 等比数列的单调性 （假设首项a1​>0） 备注 （与指数函数类比） q=1 无单调性（常数列） 类似于指数函数y=ax当a=1时，函数值为常数1，无单调性 q>1 递增 类似于指数函数y=ax当a>1时，随着x的增大，函数值递增 0<q<1 递减 类似于指数函数y=ax当0<a<1时，随着x的增大，函数值递减 课本例题 等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示 所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48． 课本练习 2.已知{an}是一个公比为q等比数列，在下表中填入适当的数. 2 8 2 0.2 4 16 50 0.08 0.0032 【答案】①②　 典例剖析 题型1　等比数列的概念 【答案】D　 题型2　等比数列的通项 【答案】C　 题型2　等比数列的通项 题型3　等比中项的应用 归纳总结： 归纳总结： 等比数列通项公式的求法 a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎刃而解．关于a1和q的求法通常有两种方法： (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法； (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算。 错因分析 易错辨析　忽略等比数列各项的符号规律致错 例3　在等比数列{an}中，a5＝1，a9＝81，则a7＝(　　) A．9或－9 B．9 C．27或－27 D．－27 解析：由等比中项的性质得＝a5a9＝81，∴a7＝±9，由于等比数列中的奇数项的符号相同，所以a7＝9. B 【易错警示】 出错原因：没有弄清等比数列各项的符号规律，直接由等比中项得 a7＝±9，错选A. 纠错心得：在等比数列中，奇数项的符号相同，偶数项的符号相同． 解此类题时要小心谨慎，以防上当． 错因分析 随堂检测 （3）设递增等比数列{an}的公比为q，且a1＝3,3a1,2a2，a3成等差数列，则q＝(　　) A．3　 B．1或3　 C．2　 D．2或3 【答案】A　 【解析】由数列{an}为等比数列，且a1＝3,3a1,2a2，a3成等差数列，得4a2＝3a1＋a3，即12q＝9＋3q2，∴q2－4q＋3＝0，解得q＝1或q＝3．又数列{an}是递增等比数列，∴q＝3． 课堂小结 课堂小结 2．等比中项的理解 (1)当a，b同号时，a，b的等比中项有两个；当a，b异号时，没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． (3)“a，G，b成等比数列”等价于“G2＝ab”(a，b均不为0)，可以用它来判断或证明三数是否成等比数列． 1．设{an}为等比数列，给出四个数列：①{2an}；②eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,n)))；③eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(2an))；④{log2|an|}，其中一定为等比数列的是________．(填序号) 【解析】　由题意可得，eq \f(an,an－1)＝q(q≠0)．①eq \f(2an,2an－1)＝eq \f(an,an－1)＝q，故是等比数列；②eq \f(a\o\al(2,n),a\o\al(2,n－1))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(an,an－1)))2＝q2，故是等比数列；③eq \f(2an,2an－1)＝2an－an－1不一定是常数；④eq \f(log2|an|,log2|an－1|)不一定为常数． 1．(2020年昆明期末)已知正项等比数列{an}中，a3＝eq \f(a4,a2)，若a1＋a2＋a3＝7，则a8＝ (　　) A．32　　 B．48　　 C．64　　 D．128 【解析】　由a3＝eq \f(a4,a2)，得a1q2＝eq \f(a1q3,a1q)＝q2，因为q≠0，所以a1＝1，又因为a1＋a2＋a3＝7，得1＋q＋q2＝7，解得q＝2或q＝－3(舍去)，故a8＝27＝128． 2．在等比数列{an}中，a2＝2，a3a5＝64，则eq \f(a5＋a6,a1＋a2)＝ (　　) A．4　　 B．8　　 C．16　　 D．64 【解析】　a2＝2，a3a5＝64，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a1q＝2，,a1q2·a1q4＝64，))得q4＝16，eq \f(a5＋a6,a1＋a2)＝eq \f(a1q4＋a1q5,a1＋a1q)＝q4＝16． 1.已知1既是a2与b2的等比中项，又是eq \f(1,a)与eq \f(1,b)的等差中项，则eq \f(a＋b,a2＋b2)的值是 (　　) A．1或eq \f(1,2)　　 B．1或－eq \f(1,2)　　　 C．1或eq \f(1,3)　 D．1或－eq \f(1,3) 【答案】D　 【解析】　由题意得a2b2＝(ab)2＝1，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝2，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝1，,a＋b＝2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝－1，,a＋b＝－2.))因此eq \f(a＋b,a2＋b2)的值为1或－eq \f(1,3)． 利用定义判断或证明数列是等比数列的方法 eq \f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq \f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列． 等比中项的应用要点 (1)计算与其他性质综合应用．可以简化计算，提高速度和准确度． (2)用来判断或证明等比数列．aeq \o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列． (1)给出下列数列： ①2,2,4,6,8,16,32，…； ②在数列{an}中，eq \f(a2,a1)＝2，eq \f(a4,a3)＝2； ③常数列c，c，c，…c． 其中等比数列的个数为__________． 【答案】 0　 【解析】　①不是等比数列，eq \f(a2,a1)≠eq \f(a3,a2)．②不一定是等比数列，因为不知道eq \f(a3,a2)的值，事实上，即使eq \f(a3,a2)＝2，数列{an}也未必是等比数列．③不一定是等比数列，当c＝0时，数列不是等比数列． (2)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，bn＝an＋1(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列． (2)证明：∵an＋1＝2an＋1， ∴an＋1＋1＝2(an＋1)，即bn＋1＝2bn． ∵b1＝a1＋1＝2≠0，∴bn≠0． ∴eq \f(bn＋1,bn)＝2，∴{bn}是等比数列． 1．等比数列定义的理解 (1)eq \f(an＋1,an)均为同一常数，即比值相等，由此体现了公比的意义，同时还应注意公比是从第2项起每一项与其前一项之比，不能前后颠倒次序． (2)等比数列的公比q不能为0，当q＝1时，等比数列为常数列，非0的常数列是特殊的等比数列． $$