八年级数学开学摸底考（苏科版八上全部）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．近似数6.16万精确到（    ）． A．百分位 B．千分位 C．百位 D．万位 1. 【答案】C 【解析】解：近似数6.16万精确到百位． 故选：C 2．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点.只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．则判定△OAB≌△OA′B′的依据是（    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 2. 【答案】A 【解析】解： ∵O是AA′，BB′的中点， ∴AO=A′O，BO=B′O， 又∵∠AOB与∠A′OB′是对顶角， ∴∠AOB=∠A′OB′， 在△AOB和△A′OB′中， ∴△AOB≌△A′OB′（SAS）， ∴A′B′=AB， ∴只要量出A′B′的长度，就可以知道工作的内径AB是否符合标准， ∴判定△OAB≌△OA′B′的理由是SAS． 故选A． 3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3. 【答案】C 【解析】要使△ABP与△ABC全等， 必须使点P到AB的距离等于点C到AB的距离， 即3个单位长度， 所以点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C． 4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4. 【答案】C 【解析】解：由作图可知， M N是线段BC的垂直平分线， ∴BD=CD=AC-AD=6-2=4， 故选：C 5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③  ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是　　 A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 5. 【答案】A 【解析】解：某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：， 甲工作了4天，乙工作了天， 即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工， 可知在③应填入的内容为：甲乙合作了4天， 故选：A． 6．已知m为任意实数，则点不在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 6. 【答案】D 【解析】∵m为任意实数，＞0， ∴点不在第三、四象限． 故选D． 7．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7. 【答案】B 【解析】解：把代入得，解得， 点坐标为， 时，， 不等式的解集为． 故选：B． 8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 8. 【答案】B 【解析】解：如图： 由题意可知： ∵， ∴，即， ∴， ∴这个风车的外围周长是． 故选：B． 9．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 9. 【答案】C 【解析】解：∵点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为1， ∴点P的横坐标是﹣1，纵坐标是2， ∴点P的坐标为（﹣1，2）． 故选：C． 10．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 10. 【答案】D 【解析】∵点A坐标为，点坐标为， ∴， ∴有最小值是． 故选：D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 11．用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数为 ． 11.【答案】 【解析】解：对0.2356精确到百分位得到的近似数为， 故答案为；． 12．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 ． 12.【答案】 【解析】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为： 13．若是正比例函数，则m的值为 ． 13.【答案】 【解析】解：根据题意得：， ， 故答案为：． 14．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为 ． 14.【答案】 【解析】解：∵， 直线与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为， 则与坐标轴围成的三角形的面积为， 解得， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为15，则的周长是 ． 15.【答案】9 【解析】解：∵的垂直平分线分别交、于点、， ∴， ∵， ∴， ∵的周长为15， ∴， ∴． 故答案为：9． 16．如图，一次函数的图像与轴交于点．将该函数图像绕点．逆时针旋转，则得到的新图像的函数表达式为 ． 16.【答案】 【解析】解：一次函数的图像与轴交于点，则， 设一次函数的图象与y轴交于点B，则， 设旋转后的直线为l，过点B作垂足为点D，过点D作轴，轴，如图， 则为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， 则，解得， ∴， 设直线l的解析式为，代入点，得∶ ，解得， 则设直线l的解析式为∶． 故答案为∶． 17．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使中等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有 个． 17.【答案】5． 【解析】如图， ∵AB=， ∴①若AB=BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点； ②若AB=AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点； 若AC=BC，则不存在这样格点． ∴这样的C点有5个． 故答案为5． 18．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 18.【答案】 【解析】解：如图所示，延长至，使得，连接， ∵和是等腰直角三角形，， ∴，，即， ∴， ∴四边形的面积等于， 当面积最大时，四边形面积最大， ∴当时，取得最大值， ∵，， ∴四边形的面积的最大值为， 故答案为：． 3、 解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．(8分，每题4分）计算： (1) (2)求中x的值． 19.【答案】(1) (2) 【解析】（1）解： （2）解： 解得： 20．（8分）已知：是的函数，函数关系式为． (1)当m为何值时，该函数是一次函数? (2)当m、n为何值时，该函数是正比例函数? (3)当m、n为何值时，该函数经过第一、二、三象限? 20.【答案】(1) (2)且 (3)且 【解析】（1）解：该函数是一次函数， ， ； （2）解：该函数是正比例函数， 且， 且； （3）解：该函数经过第一、二、三象限， ，， 且． 21．（10分）如图，， ， ， ，D，E分别为垂足． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 21.【答案】(1)详见解析 (2) 【解析】（1） ， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）在中，， ， ， ． 22．（10分）如图，为锐角三角形，在所在直线的右上方找一点D，使，且．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 22.【答案】见解析 【解析】解：如图所示，点D即为所求； 由作图可知：是线段AC的垂直平分线，， ∴ ∵ ∴ ∴． 23．（10分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 23.【答案】(1)； (2)该商店继续购进了件航天模型玩具． 【解析】（1）解：因每件玩具售价为x元， 依题意得； （2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具， 依题意得：， 解得， 答：该商店继续购进了件航天模型玩具． 24．（10分）正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)将正比例函数图像平移到经过点，此时新的函数图像交轴于点，求的面积． 24.【答案】(1)； (2) (3) 【解析】（1）把点的代入， 得， 解得， 故正比例函数解析式为； 把点和分别代入得， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）∵正比例函数和一次函数的图像交于点， ∴不等式的解集为． （3）∵， ∴， 将向上平移5个单位得到， ∴点， ∵，，， ∴． 25．（10分）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 25.【答案】（1）1；（2）的坐标为或或；（3）且 【解析】解：（1）与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， 根据“关联距离”的定义得：， 故答案为：1； （2）当在上方时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， ； 当在下方时，如图：   ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图：    当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故答案为：且． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点． (1)求直线，函数关系式； (2)设点的横坐标为，若点在线段上． ①若，求四边形的面积； ②若点是线段的三等分点，求的值． (3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 26.【答案】(1)，； (2)；或 (3) 【解析】（1）解：直线经过点， ， ， ， 直线经过点和点， ∴， 解得， ； （2）当时，代入函数，得， ，则，， 过点作轴于点， ， ，， ， ； 点在上， ， 点在上， ， 则，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述，点是线段的三等分点，则或； （3）解：根据轴对称性质得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短得：当直线时，线段最短， 设，过点作轴， 则，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 最小值为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共24分） 11._____________ 12._____________ 13._____________ 14._____________ 15._____________ 16._____________ 17._____________ 18._____________ 三、解答题（共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（8分，每题4分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.（8分） 21.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（10分） 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25． （10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 26.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考试卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．近似数6.16万精确到（    ）． A．百分位 B．千分位 C．百位 D．万位 2．如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条AA′、BB′组成，O为AA′、BB′的中点.只要量出A′B′的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽AB的长度．则判定△OAB≌△OA′B′的依据是（    ） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 3．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 5．某市开发区在一项工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，共有三种施工方案：①甲队单独完成这项工程，刚好如期完工；②乙队单独完成此项工程要比规定工期多用5天；③  ，剩下的工程由乙队单独做，也正好如期完工．某同学设规定的工期为天，根据题意列出了方程：，则方案③中被墨水污染的部分应该是　　 A．甲乙合作了4天 B．甲先做了4天 C．甲先做了工程的 D．甲乙合作了工程的 6．已知m为任意实数，则点不在（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 7．如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为2的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ） A． B． C． D． 9．若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（　　） A．（1，﹣2） B．（2，1） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1） 10．在平面直角坐标系中，点A坐标为，点坐标为，则A，之间距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共100分） 二、填空题：本题共3小题，每小题8分，共24分。 11．用四舍五入法，对精确到百分位得到的近似数为 ． 12．在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为 ． 13．若是正比例函数，则m的值为 ． 14．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线的解析式为 ． 15．如图，在中，的垂直平分线分别交于点，连接，若的周长为15，则的周长是 ． 16．如图，一次函数的图像与轴交于点．将该函数图像绕点．逆时针旋转，则得到的新图像的函数表达式为 ． 17．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使中等腰三角形（是其中一腰），则图中符合条件的格点有 个． 18．如图，和是等腰直角三角形，，连接、．若，，则四边形面积的最大值为 ． 3、 解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19．(8分，每题4分）计算： (1) (2)求中x的值． 20．（8分）已知：是的函数，函数关系式为． (1)当m为何值时，该函数是一次函数? (2)当m、n为何值时，该函数是正比例函数? (3)当m、n为何值时，该函数经过第一、二、三象限? 21．（10分）如图，， ， ， ，D，E分别为垂足． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 22．（10分）如图，为锐角三角形，在所在直线的右上方找一点D，使，且．（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 23．（10分）我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件． (1)设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式； (2)当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣小组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？ 24．（10分）正比例函数和一次函数的图像交于点，且一次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求正比例函数和一次函数的表达式； (2)利用图像，求关于的不等式的解集； (3)将正比例函数图像平移到经过点，此时新的函数图像交轴于点，求的面积． 25．（10分）【概念学习】 对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：分别为图形和图形上任意一点，将两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．    【理解概念】 （1）如图②，已知点在边长为3的正方形内，则______． 【深入探索】 （2）如图③，在等边中，点的坐标是，点在轴上，点是轴上一点，若，求点的坐标． 【拓展延伸】 （3）已知，当时，对于每一个，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，则的取值范围是______． 26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，直线经过原点和点，直线经过点和点．点是轴上的一动点，过点作直线轴，交直线于点，交直线于点． (1)求直线，函数关系式； (2)设点的横坐标为，若点在线段上． ①若，求四边形的面积； ②若点是线段的三等分点，求的值． (3)过点作直线的对称点，当点在轴上运动时，点也随之运动．在此运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级下学期开学摸底考 数学·参考解析 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C C A D B B C D 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 11．0.24 12． 13． 14. 15. 9 16. 17.5 18. 3、 解答题：本题共8小题，共76分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 19.(8分，每题4分） 【解析】（1）解： （2）解： 解得： 20.（8分） 【解析】（1）解：该函数是一次函数， ， ； （2）解：该函数是正比例函数， 且， 且； （3）解：该函数经过第一、二、三象限， ，， 且． 21．（10分） 【解析】（1） ， ， 又， ， ， 在与中， ， ； （2）在中，， ， ， ． 22．（10分） 【解析】解：如图所示，点D即为所求； 由作图可知：是线段AC的垂直平分线，， ∴ ∵ ∴ ∴． 23．（10分） 【解析】（1）解：因每件玩具售价为x元， 依题意得； （2）解：设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具， 依题意得：， 解得， 答：该商店继续购进了件航天模型玩具． 24．（10分） 【解析】（1）把点的代入， 得， 解得， 故正比例函数解析式为； 把点和分别代入得， 解得， 故一次函数的解析式为． （2）∵正比例函数和一次函数的图像交于点， ∴不等式的解集为． （3）∵， ∴， 将向上平移5个单位得到， ∴点， ∵，，， ∴． 25．（10分） 【解析】解：（1）与边长为3的正方形的边上的点的最小距离为1， 根据“关联距离”的定义得：， 故解析为：1； （2）当在上方时，如图：   ， ， 的坐标是， 的坐标是； 当在线段上时，过作于，如图：   ， ， 是等边三角形，， ， ， 的坐标是， ， ； 当在下方时，如图：   ， ， ； 综上所述，的坐标为或或； （3）如图：    当时，， 直线过定点， 当时，，， 当时，，， 把代入得：， 解得， 把代入得：， 解得， 线段和一次函数是常数，的图象之间的“关联距离” ， 直线与平行四边形无公共点， 由图可知，此时． ∵ ∴且 故解析为：且． 26．（10分） 【解析】（1）解：直线经过点， ， ， ， 直线经过点和点， ∴， 解得， ； （2）当时，代入函数，得， ，则，， 过点作轴于点， ， ，， ， ； 点在上， ， 点在上， ， 则，， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上所述，点是线段的三等分点，则或； （3）解：根据轴对称性质得：， 当点在轴上运动时，点在直线上运动， 根据垂线段最短得：当直线时，线段最短， 设，过点作轴， 则，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 最小值为． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$