拔尖专训课件 2024-2025学年沪科版数学八年级下册

拔尖专训4 用一元二次方程解决问 题（营销问题） 1 1.某商店以20元/ 的单价新进一批商品，经调查发现，在一 段时间内，销售量与销售单价（元/ ）之间的函数关 系如图所示，要使销售利润达到800元，则销售单价应定为 ________元/ . 40或60 返回 2 （第2题） 2.某超市为迎接“元旦”小长假购物高潮， 经销甲、乙两种品牌的洗衣液.市场上甲种 品牌洗衣液的进价比乙种品牌洗衣液的进 价每瓶便宜10元，该超市用6 000元购进的 甲种品牌洗衣液与用8 000元购进的乙种品 牌洗衣液的瓶数相同. 3 （第2题） （1）甲种品牌洗衣液每瓶的进价为____元； 30 【点拨】设甲种品牌洗衣液每瓶的进价为 元， 则乙种品牌洗衣液每瓶的进价为 元， 根据题意得，解得 ， 经检验， 是原方程的解，且符合题意， 甲种品牌洗衣液每瓶的进价为30元. 4 （第2题） （2）在销售中，该超市决定将甲种品牌的 洗衣液以每瓶45元售出，每天固定售出100 瓶；但调查发现，乙种品牌的洗衣液每瓶 售价50元时，每天可售出140瓶，并且当乙 种品牌的洗衣液每瓶售价每提高1元时，乙 种品牌的洗衣液每天就会少售出2瓶，当乙 80 种品牌的洗衣液每瓶的售价为____元时，两种品牌的洗衣液 每天的利润之和可达到4 700元. 5 （第2题） 设乙种品牌的洗衣液每瓶的售价为 元， 易知乙种品牌洗衣液每瓶的进价为 （元）. 根据题意得 ， 化简得 ，解得 . 当乙种品牌的洗衣液每瓶的售价为80元时，两种品牌的洗 衣液每天的利润之和可达到4 700元. 返回 6 3. 某大型水果超市销售水蜜桃，根据前段 时间的销售经验可知，日销量（箱）与每箱售价 （元）之 间的关系如下表所示： 每箱售价 元 68 67 66 65 … 40 日销量 箱 40 45 50 55 … 180 已知与 之间的函数关系是一次函数. 7 （1）求与 之间的函数表达式. 【解】设与之间的函数表达式是 ， 根据题意可得解得 故与之间的函数表达式是 . 8 （2）已知水蜜桃的进价是每箱40元.若该超市每天销售水蜜 桃盈利1 600元，要使顾客尽可能多地获得实惠，则每箱水 蜜桃的售价应为多少元? 由题意可得 ， 解得， , 要使顾客尽可能多地获得实惠， 每箱水蜜桃的售价应为56元. 9 （3）由于七月份连续阴雨，导致水蜜桃销售量减少，超市 决定采取降价销售.从7月17日开始水蜜桃销售价格在（2）的 条件下下降了，同时水蜜桃的进价下降了 ，销售量 也因此比原来每天盈利1 600元时上涨了 ， 7月份（按31天计算）降价销售后的水蜜桃总盈利比7月份降 价销售前的总盈利少7 120元，求 的值. 10 在（2）的条件下，当时， ，且7月份降价前 的销售天数为16天，降价后的销售天数为15天. 由题意得， ， 解得， （舍去）， 即 的值为20. 返回 11 $$拔尖专训3 用一元二次方程解决问 题（面积问题和增长率问题） 1 1.两年前生产1吨甲种药品的成本是5 000元，生产1吨乙种药 品的成本是6 000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲 种药品的成本是3 000元，生产1吨乙种药品的成本是3 600 元，如果甲药品成本的年平均下降率为 ，乙药品成本的年 平均下降率为，则与 的大小关系为( ) A A. B. C. D.无法比较 2 【点拨】由题意，得 ， ，化简，得 ， . ， 或 . 或 （不合题意，舍去）. 返回 3 2. 如图，将图①的正方形剪成四块，恰能 拼成图②的矩形，则 _ _____. 4 【点拨】由题意得 ， 整理，得 . ， 方程两边同时除以 ， 得 ， 解得 . ， . 返回 5 3.[2024·宿州校级阶段练习] 阅读探究：任意给定一个长方形 ，是否存在另一个长方形 ，它的周长和面积分别是已知长 方形周长和面积的一半. 6 （1）当已知长方形 的相邻两边的长分别为6和1时，小亮同 学是这样探究的：设所求长方形的相邻两边的长分别是 和 ，由题意得消去，化简得 ， ，____， ___. 存在满足要求的长方形 ； 1.5 2 （2）如果已知长方形 的相邻两边的长分别为2和1，请你仿 照小亮的方法探究是否存在满足要求的长方形 ，并说明理由； 8 【解】不存在，理由如下： 设所求长方形的相邻两边的长分别是和 ， 根据题意，得 消去，化简得 ， ， 此方程无解. 不存在满足要求的长方形 . 9 （3）如果长方形的相邻两边的长分别为和 ，请你探究 ，满足什么条件时，长方形 存在. 设长方形的相邻两边的长分别为， ， 则消去，化简得 ， 当，即 时，长 方形 存在. 返回 10 $$拔尖专训1 一元二次方程根的判别式 1 1.[2024·昭通期中] 等腰三角形的三边长分别为,,3，且, 是关于的一元二次方程的两个根，则 的值为( ) C A.17 B.18 C.17或18 D.9或18 2 【点拨】当等腰三角形的三边长分别为， ，3时，分以下 两种情况讨论： ①当时，有 ， 即，整理得 ，解得 ； ②当或时，将 代入一元二次方程 中， 得，解得 . 综上所述， 的值为17或18. 返回 3 2.关于的方程 有且仅有两个实数根，则实 数 的取值范围为______________. 或 4 【点拨】由题意得.当 时，原方程可化为 ,此时,解得, , 符合题意；当 时，原方程可化为 或 ,方程① 中, 方程① 必有两个不相等的实数根.又 原方程有且仅有两个实数根， 方程②无实数根，即 ,解得 . 综上，或 . 返回 5 3. 阅读下列材料： 我们定义：两根都为整数的一元二次方程 称为“全整根方程”，代数式 的 值为该“全整根方程”的“最值码”，用 表示，即 ；若另一个关于 的一元二次方程 也为“全整根方程”，其“最值码”记 6 为，当满足 时，称一元二 次方程 是一元二次方程 的“全整根伴侣方程”. （1）关于的一元二次方程 是一个 “全整根方程”. ①当 时，该“全整根方程”的“最值码”是_ ___; ②若该“全整根方程”的“最值码”是，则 的值为_______； 或3 8 （2）关于 的一元二次方程 为整数，且 是“全整根方程”，则该方程的“最值码”为_ _____ ____； 或 9 【点拨】 ， . ， . 是“全整根方程”， 是完全平方数，即 是完全平方数. 或64或81，解得或 或13. 10 又为整数， 或13. 当时，方程 可化为 ， 此时“最值码”为 ； 当时，方程 可化 为 ， 此时“最值码”为 . 综上，该方程的“最值码”为或 . （3）若关于的一元二次方程 是 （， 均为正整数）的“全整根伴侣 方程”，求 的值（直接写出答案）. . 12 【点拨】由题意得方程 的“最值码” 为 ， 方程 的“最值码”为 . 是 的“全 整根伴侣方程”， ， 13 整理，得 . ， 即 . ，均为正整数， . . . 返回 $$拔尖专训2 一元二次方程的解法 （因式分解法） 1 1.已知方程 ，则此方程的所有实数根的和 为( ) A A.0 B. C.2 D.8 2 【点拨】①当时，方程化为 ， 即，， ， 解得（舍去）， ； ②当时，方程化为 ， 即，， ， 解得（舍去）， ； ③当 时，方程不成立. 此方程的所有实数根的和为 . 返回 3 2.已知关于，的二元一次方程组（ 为实数） ①当与互为相反数时， ； ②的值与 无关； ③若，则解为 ； ④若，，且，则 或 ． 以上说法正确的是________（填序号）. ②③④ 4 【点拨】①若与互为相反数时，则 ， 将其代入二元一次方程组得 解得 故①不正确. ②由题可知， ， 可得，的值与 无关，故②正确. 5 ，， . ， 即，可得，解得 ，故③正确. ,,且 ， . ，即 . 由题可知，即 . 将，代入，得 ， 解得或 ，故④正确， 综上，正确的有②③④. 返回 3. 若一个正整数 是两个连续正奇数或连续正偶 数的乘积，即，其中为正整数，则称 为“进 步数”，为的“进步起点”.例如， ，则35是“进步 数”，5为35的“进步起点”. 8 （1）是“进步数”，它的“进步起点”为1，则___； 是8 的“进步起点”，则 ___； 3 2 【点拨】 是“进步数”，它的“进步起点”为1， . 是8的“进步起点”， ， 整理得，即 ， 解得（舍去）或 . 9 （2）把“进步数”与“进步数”的差记为 ，其中 ，，例如，， ，则 .若“进步数”的“进步起点”为 ，“进 步数”的“进步起点”为，当时，求 的值; 10 【解】由题意得 ， ，， ． ， 即 ． ， 都是正整数， ，都是正整数，且 . ， 11 或或 解得 （舍去）或或 （舍去） . （3）若（为非零整数），试探究 是不是“进步数”. 假设是“进步数”，且“进步起点”为,则 ，整 理得 ， . 不是完全平方数， 方程 没有整数解． 不是“进步数”. 返回 13 $$拔尖专训5 用一元二次方程解决问 题（动点问题） 1 1.[2024·天津中学月考] 如图所示的六边形是由甲、乙两个矩 形和丙、丁两个等腰直角三角形组成的，其中甲、乙的面积 和等于丙、丁的面积和.若丙的腰长为2，且丁的面积比丙的 面积小，则丁的腰长为_________. （第1题） 2 （第1题） 【点拨】设丁的腰长为 , 则 因为丙的腰长为2,所以 , .因 为 ,所以 整理，得,解得 , （不合题意，舍去）．故丁的腰长为 . 返回 3 （第2题） 2.如图，将正方形 放在平面直角坐 标系中，其中点为坐标原点，， 两点 分别在轴的负半轴和 轴的正半轴上，点 的坐标为.已知点，点 分别从点 ，同时出发，点 以每秒2个单位长度 的速度在线段上来回运动.点沿 以每秒1个单 位长度的速度向点运动，当点到达点时，， 两点都停 4 止运动.在点， 的运动过程中，存在某个 时刻，使得的面积为6.则点 的坐标 为_______________________________. ，， （第2题） （第2题） 【点拨】设运动时间为 秒， ， 正方形 的边长为4. ①当时，点由向运动，点 在上，此时， ， ， . . 6 又， ， 解得或 . 又， . 此时，点的坐标为 ； ②当时，点由向运动，点在 上，此时 ，，， . （第2题） . 又 ， ，解得或 . 又， . （第2题） 此时，点的坐标为 ； ③当时，点在上运动，此时 ， . ，即，解得，此时点由向 运动，且 . （第2题） 则点的坐标为 . 综上，点的坐标为，， . （第2题） 返回 3.在中， ，，动点 从点 出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点 运动， 到达点停止运动，设运动时间为 秒. 11 （1）求 的面积； 【解】 在中， ， ， . 12 （2）如图①，过点作交于点,若 与 的面积和是的面积的，求 的值； 13 ，.易知 ， 易得 . 与 的面积和 . 又与的面积和是的面积的 ， ，解得， . 14 即当的值为2或4时，与的面积和是 的面 积的 . （3）如图②,点在射线上，且，以线段 为 边向上方作正方形 .在运动的过程中，若设正方形 与重叠部分的面积为8，求 的值 16 ，，.设重叠部分的面积为 ， 分以下三种情况讨论： ①如图①，当时，易知 ， 解得， （不合题意，舍去）. 17 ②如图②，当 时， , 解得（不合题意，舍去）， （不合题意，舍去）. 18 ③如图③，当时， ， 解得， （不合题意，舍去）. 综上，的值为或 . 返回 19 $$