精品解析：宁夏回族自治区中卫市2024--2025学年上学期七年级期末考试卷

宁夏回族自治区中卫市2024--2025年七年级期末考试卷（统考） 七年级数学试卷 试卷满分：120分考试时长：120分钟 亲爱的同学们，经过一个学期的愉快学习，你又学到了很多知识吧．聪明好学的你一定很想表现一下自己，尽情展示吧，让我们一起分享成功的喜悦！ 一、精挑细选，一锤定音！（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 2. 下面数据中，属于定量数据的是（ ） A. 在公园健身的老年人的健康状况 B. 某机关单位职员的学历情况 C. 今年全国粮食的总产量 D. 某街道各餐馆的卫生情况 3. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 一个正方体的表面展开图如右图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 5. 已知线段cm，点C是线段AB上任意一点，则线段AC中点与线段BC中点之间的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 无法计算 6. 若与的差仍是单项式，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7. 如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方位角是（　　） A. 西偏北 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 东偏北 8. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图所示． （1）画射线；（第1步） （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步） （3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步） （4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步） （5）过点作射线．（第5步） 就是所求作的角． 以上作法中，错误首先出现在（ ） A. 第1步 B. 第2步 C. 第3步 D. 第4步 10. 已知，，在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 二、认真填一填，相信你一定行！（每小题3分，共计30分） 11. 某地12月5日，早晨气温是℃，中午上升了7℃，夜间又下降了14℃，那么这天夜间的气温是_____℃． 12. 下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有__________________ ．（填序号） 13. 单项式的系数是______． 14. 一个数的平方是9，则这个数是______． 15. 比较大小：______（“”，“”或“”）． 16. 若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为_____________． 17. 上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是_________度. 18. 若的值为4，则的值为_____________． 19. 一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了________cm. 20. 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为正整数），请用“数形结合”的思想，计算_________ 三、解答题：（请写出必要的文字说明和解答过程．）（共60分） 21. 计算： （1） （2） 22. 解方程： （1） （2） 23. 先化简，再求值：其中，． 24. （1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 25. 为了了解某校七年级学生美术成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的美术成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制如下尚不完整的统计图．请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数； （2）本次抽样调查中的样本是 ； （3）求本次抽取的学生中成绩等级为B级的学生人数，并补全条形统计图； （4）在扇形统计图中，“C”所在扇形的圆心角是 度 （5）根据抽样调查结果，请你估计该校860名七年级学生中，美术成绩等级为A级的人数． 26. 如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 27. 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明和小华同时同向开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 28. 已知分别平分，若，求的度数． 29. 某文具店售卖一种钢笔，原价每支12元．该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，则按照原价销售；若购买数量超过5支，则超过部分每支降价4元销售； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品． （1）王老师选择方案一购买所需要的费用是____元，王老师选择方案二购买所需要的费用是_____元；（用含x的代数式表示） （2）当购买多少支这种钢笔时，分别按照这两种方案所需的费用相同？ （3）如要购买10支这种钢笔，应该选择上述哪种购买方案最省钱？ 30. [问题提出]以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ [问题探究]为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： （1）以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成____个互不重叠的小三角形． 探究二： （2）以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： ①点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； ②点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成____个互不重叠的小三角形． 探究三： （3）长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点为顶点，可把长方形分割成___个互不重叠的小三角形． [问题解决] （4）以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成___个互不重叠的小三角形． [实际应用] （5）以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可以把梯形分割成___个互不重叠的小三角形；以菱形的4个顶点和它内部的___个点作为顶点，可以把菱形分割成2024个互不重叠的小三角形． [拓展延伸] （6）以六边形的六个顶点和它内部的2个点，共8个点作为顶点，可把原六边形分割成___个互不重叠的小三角形；以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成___个互不重叠的小三角形． 31. 【知识准备】若数轴上两点所表示的数分别为，点A为线段的中点，则有M、N两点之间的距离，线段的中点所对的数为 （1）若，则 ； 【问题探究】 在（1）的条件下，若点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为． （2）t为何值时，中点A所对应的数为3？ （3）t为何值时，两点相距4个单位长度？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏回族自治区中卫市2024--2025年七年级期末考试卷（统考） 七年级数学试卷 试卷满分：120分考试时长：120分钟 亲爱的同学们，经过一个学期的愉快学习，你又学到了很多知识吧．聪明好学的你一定很想表现一下自己，尽情展示吧，让我们一起分享成功的喜悦！ 一、精挑细选，一锤定音！（每小题3分，共计30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 2024 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了倒数和绝对值．先求出绝对值，再根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答即可． 【详解】解：， 的倒数为， 故选：A． 2. 下面数据中，属于定量数据的是（ ） A. 在公园健身的老年人的健康状况 B. 某机关单位职员的学历情况 C. 今年全国粮食的总产量 D. 某街道各餐馆的卫生情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查定量数据和定性数据，定性数据：也称为分类数据，是非数值型的数据，描述事物的特征或属性．通常以文字、符号或类别来表示，不具备数值意义；定量数据：也称为连续数据或数值型数据，是数值型的数据，可以进行数值计算和统计分析，据此进行判断即可． 【详解】解：A、在公园健身的老年人的健康状况，为定性数据，不符合题意； B、某机关单位职员的学历情况，为定性数据，不符合题意； C、今年全国粮食的总产量，为定量数据，符合题意； D、某街道各餐馆的卫生情况，为定性数据，不符合题意； 故选：C． 3. 今年春节电影《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没·逆转时空》《第二十条》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月18日发布数据，我国2024年春节档电影票房达80.16亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据80.16亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数，据此解答即可． 【详解】解：80.16亿， 故选：B． 4. 一个正方体的表面展开图如右图所示，六个面上各有一字，连起来的意思是“祝你考试顺利”，把它折成正方体后，与“祝”相对的字是（ ） A. 考 B. 试 C. 顺 D. 利 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与面“试”相对，面“祝”与面“顺”相对，“考”与面“利”相对． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体是空间图形，从相对面入手，分析及解答问题是解题的关键． 5. 已知线段cm，点C是线段AB上任意一点，则线段AC中点与线段BC中点之间的距离是（ ） A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】根据线段中点的性质，可得MC，NC的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】如图： M是AC的中点，N是BC的中点， MC= AC,CN=BC. 由线段的和差，得 MN=MC+NC=AC+BC= (AC+BC)= AB=5cm， 故选C. 【点睛】此题考查两点间的距离，解题关键在于画出图形. 6. 若与的差仍是单项式，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项的定义及合并同类项．根据合并同类项法则可知这两个单项式是同类项，再根据同类项的字母相同和相同字母的指数也相同即可求出答案． 【详解】解：∵与的差仍是单项式， ∴与是同类项， ∴，， 解得：，． ∴． 故选：D． 7. 如图，是北偏东方向的一条射线，若，的方位角是（　　） A. 西偏北 B. 北偏西 C. 北偏东 D. 东偏北 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知得出图中∠1的度数，进而得出B的方位角． 【详解】如图所示： ∵OA是北偏东30°方向的一条射线，∠AOB＝90°， ∴∠1＝90°−30°＝60°， ∴B的方位角是北偏西60°． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方向角，正确利用互余的性质得出∠1度数是解题关键． 8. 《九章算术》第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？”译为：“今有几个人合伙购买一件物品，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数和物品价格分别是多少？”设人数为x，则列出方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目中的总钱数与物品价格的等量关系列方程即可． 【详解】解：由题意得：设人数为，物品价格不变， ∴ 故选A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练找到题目中的等量关系并列方程是解决本题的关键． 9. 下面是“作一个角等于已知角”的尺规作图过程． 已知：． 求作：一个角，使它等于． 作法：如图所示． （1）画射线；（第1步） （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，交于点；（第2步） （3）以点为圆心，长为半径画弧，交于点；（第3步） （4）以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点；（第4步） （5）过点作射线．（第5步） 就是所求作的角． 以上作法中，错误首先出现在（ ） A. 第1步 B. 第2步 C. 第3步 D. 第4步 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—作角等于已知角，掌握基本作图方法是解题关键．根据作一个角等于已知角的步骤解答即可． 【详解】解：由步骤可知（4）应为以点为圆心，长为半径画弧，交已画的弧于点， 故错误首先出现在第4步． 故选D． 10. 已知，，在数轴上对应的点如图所示，则代数式化简后的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，整式的加减；观察数轴得：，且，再根据有理数的加减运算可得，然后绝对值的性质化简，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：，且， ∴， ∴ ． 故选：D． 二、认真填一填，相信你一定行！（每小题3分，共计30分） 11. 某地12月5日，早晨气温是℃，中午上升了7℃，夜间又下降了14℃，那么这天夜间的气温是_____℃． 【答案】 【解析】 【分析】由题意根据正负数的意义和有理数的加法法则列式运算即可． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法的应用．此题难度不大，解题的关键是理解题意，准确利用法则计算． 12. 下列四个生活、生产现象：①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有__________________ ．（填序号） 【答案】③④ 【解析】 【分析】认真分析所给的4个题干，结合生活实际，用所学的数学知识解释生活中的现象即可解答． 【详解】①②现象可以用两点可以确定一条直线来解释；③④现象可以用两点之间，线段最短来解释． 故答案为③④． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短和两点确定一条直线的性质，熟知两点之间线段最短和两点确定一条直线是解决问题的关键． 13. 单项式的系数是______． 【答案】 【解析】 【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：单项式的系数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了单项式的有关定义，解题的关键是正确把握单项式的次数的确定方法． 14. 一个数的平方是9，则这个数是______． 【答案】##3或-3##-3或3 【解析】 【分析】根据求出这个数即可． 【详解】解：∵， ∴这个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算的逆运算，理解乘方运算与逆运算的含义是解本题的关键． 15. 比较大小：______（“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较．两个负数相比较，绝对值大的数反而小，先求出两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，进而判断原数的大小关系． 【详解】解：，，且， ， 故答案为：． 16. 若关于的方程是一元一次方程，则方程的解为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解一元一次方程等知识点，根据一元一次方程的定义正确列出方程是解题的关键． 根据一元一次方程未知数的次数为列出方程，解方程即可求出的值，再解方程即可求出方程的解． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， ， 解得：， 原方程为， 解得：， 故答案为：． 17. 上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是_________度. 【答案】105 【解析】 【分析】先判断出上午9点30分时，时针与分针之间间隔3个半大格，再根据钟面角的特征即可得到结果. 【详解】上午9点30分时，时钟的时针和分针所夹的较小的角是30°=105° 故答案为：105. 【点睛】本题考查的是钟面角问题，解答本题的关键是熟练掌握钟面被分成12个大格，每大格30°. 18. 若的值为4，则的值为_____________． 【答案】18 【解析】 【分析】本题考查代数式求值．利用整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：18． 19. 一根内径为3cm的圆柱形长试管中装满了水，现把试管中的水逐渐滴入一个内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯中，当玻璃杯装满水时，试管中的水的高度下降了________cm. 【答案】12.8 【解析】 【分析】根据题意可知，内径为3cm的圆柱形长试管中水柱少的体积等于内径为8cm、高为1.8cm的圆柱形玻璃杯的体积，用此作为相等关系列方程可求解． 【详解】解：设试管中的水的高度下降了xcm； 根据题意有：； 解之得：x=12.8． 故答案为12.8． 20. 我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，割裂分家万事非”，如图，在边长为1的正方形纸板上，依次贴上面积为，，，…，的长方形彩色纸片（n为正整数），请用“数形结合”的思想，计算_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了规律题的探究．可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所可以看做面积为1正方形减去的面积，可以看做面积为1正方形减去的面积，……，可以看做面积为1正方形减去的面积，据此即可求解． 【详解】解：可以看做面积为1正方形减去一半的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； 可以看做面积为1正方形减去的面积，所以； ……， ∴可以看做面积为1正方形减去的面积， ∴． 故答案为：． 三、解答题：（请写出必要的文字说明和解答过程．）（共60分） 21. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算顺序是解题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方和绝对值，再算乘除法，最后加减法． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 22. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键． （1）利用移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． （2）利用去分母法解方程即可． 【小问1详解】 解： 移项得：， 合并得：， 系数化为1得：； 【小问2详解】 解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 23. 先化简，再求值：其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，得出化简结果，最后代入求值． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【点睛】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则． 24. （1）一个几何体由大小相同的小立方体搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数．请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图． （2）在图中增加1个小正方形使得所得图形经过折叠后能够围成一个正方体，请任意补全一种符合要求的展开图． 【答案】 （1）如图所示： （2）如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体以及正方体的平面展开图，熟知正方形的几种平面展开图是解本题的关键． （1）根据正面看，左面看的图形，根据各行、各列对应的立方体的个数进行画图． （2）结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可． 【详解】（1）略 （2）略 25. 为了了解某校七年级学生美术成绩等级的分布情况，随机抽取了该校若干名学生的美术成绩，按A，B，C，D四个等级进行统计分析，并绘制如下尚不完整的统计图．请根据统计图所提供的信息，解答下列问题： （1）求本次抽取的学生人数； （2）本次抽样调查中的样本是 ； （3）求本次抽取的学生中成绩等级为B级的学生人数，并补全条形统计图； （4）在扇形统计图中，“C”所在扇形的圆心角是 度 （5）根据抽样调查结果，请你估计该校860名七年级学生中，美术成绩等级为A级的人数． 【答案】（1）本次抽取100名学生； （2）从中抽取的100名学生的美术成绩 （3）本次抽取的学生中成绩等级为B级的有25名． 补图如图所示： （4） （5）该校860名七年级学生中，美术成绩等级为A级的人数有172名． 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）由A等级的人数除以所占的比例，求出样本容量即可； （2）本次抽样调查中的样本是从中抽取的100名学生的美术成绩； （3）用总人数乘以B等级人数所占的比例，求出B等级的人数，补全条形图即可； （4）利用360度乘以C等级的百分比，求出圆心角的度数即可； （5）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【小问1详解】 解：（名）． 答：本次抽取100名学生； 【小问2详解】 解：本次抽样调查中的样本是从中抽取的100名学生的美术成绩； 故答案为：从中抽取的100名学生的美术成绩； 【小问3详解】 解：（名）． 答：本次抽取的学生中成绩等级为B级的有25名． 【小问4详解】 解：． 答：“C”所在扇形的圆心角度数为； 故答案为：； 【小问5详解】 解：（名）． 答：该校860名七年级学生中，美术成绩等级为A级的人数有172名． 26. 如图，已知点C为上一点，，，D、E分别为、的中点，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差关系，与线段中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合，，得出，，因为D、E分别为、的中点，得，运用线段的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵D、E分别为、的中点， ∴， ∴． 27. 小明和小华两人在的环形跑道上练习长跑，小明每分钟跑，小华每分钟跑，两人起跑时站在跑道同一位置． （1）如果小明起跑后小华才开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ （2）如果小明和小华同时同向开始跑，那么小华用多长时间能追上小明？ 【答案】（1）小华用能追上小明； （2）小华用能追上小明． 【解析】 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设小华用能追上小明，根据两人跑步的距离相等得，解方程求出x的值即可； （2）设小华用能追上小明，根据两人跑步的距离之差等于列方程，解方程求出y的值即可． 【小问1详解】 解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明； 【小问2详解】 解：设小华用能追上小明， 根据题意得， 解得， 答：小华用能追上小明． 28. 已知分别平分，若，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由角的平分线，先计算出，再根据角的和差关系，计算，利用角平分线的性质得结论． 【详解】∵平分， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质及角的和差关系，掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 29. 某文具店售卖一种钢笔，原价每支12元．该文具店为了促销这种钢笔，决定推出下列两种促销方案： 方案一：若购买数量不超过5支，则按照原价销售；若购买数量超过5支，则超过部分每支降价4元销售； 方案二：每支均打七五折销售． 在促销期间，王老师在该文具店购买支该种钢笔作为奖品． （1）王老师选择方案一购买所需要的费用是____元，王老师选择方案二购买所需要的费用是_____元；（用含x的代数式表示） （2）当购买多少支这种钢笔时，分别按照这两种方案所需的费用相同？ （3）如要购买10支这种钢笔，应该选择上述哪种购买方案最省钱？ 【答案】（1）， （2）当购买20支这种钢笔时，两种购买方案应付款相同． （3）按方案二购买较为合算； 【解析】 【分析】此题考查的知识点是一元一次方程的应用及列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）根据方案一和方案二的付款方式分别列出代数式解答即可； （2）由（1）得出的两种款数相等列方程求解即可； （3）把代入（1）中的代数式计算，比较即可得出结论； 【小问1详解】 解：若王老师按方案一购买， 需付款（元）； 若王老师按方案二购买， 需付款（元）； 【小问2详解】 由题意得： 解得：， 答：当购买20支这种钢笔时，两种购买方案应付款相同； 【小问3详解】 把代入：（元）， 把代入：（元）， ， 按方案二购买较为合算． 30. [问题提出]以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ [问题探究]为了解决上面的问题，我们将一般问题特殊化，先从简单的情形入手： 探究一： （1）以长方形的4个顶点和它内部的1个点P（如图①），共5个点为顶点，此时可把长方形分割成____个互不重叠的小三角形． 探究二： （2）以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点为顶点，可把长方形分割成多少个互不重叠的小三角形？ 在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点Q，那么点Q的位置会有两种情况： ①点Q在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点Q在上（如图②）； ②点Q在图①分割成的某个小三角形内部，不妨设点Q在的内部（如图③）． 显然，不管哪种情况，都可把长方形分割成____个互不重叠的小三角形． 探究三： （3）长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点为顶点，可把长方形分割成___个互不重叠的小三角形． [问题解决] （4）以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成___个互不重叠的小三角形． [实际应用] （5）以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可以把梯形分割成___个互不重叠的小三角形；以菱形的4个顶点和它内部的___个点作为顶点，可以把菱形分割成2024个互不重叠的小三角形． [拓展延伸] （6）以六边形的六个顶点和它内部的2个点，共8个点作为顶点，可把原六边形分割成___个互不重叠的小三角形；以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原m边形分割成___个互不重叠的小三角形． 【答案】（1）4；（2）6；（3）8；（4）；（5）4050；1011；（6）8， 【解析】 【分析】本题考查了应用与设计作图，图形的变化规律的问题，读懂题目信息，根据前四个探究得到每多一个点，则三角形的个数增加2是解题的关键． （1）根据图形可回答； （2）根据图形可回答； （3）根据图形可回答； （4）由探究活动可得规律为，进而解决问题； （5）把2024代入所得规律，求值即可； （6）由四边形的规律可得m边形的规律． 【详解】解：（1）以长方形的4个顶点和它内部的1个点（如图①），共5个点为顶点， 此时可把长方形分割成4个互不重叠的小三角形． 故答案为：4； （2）在探究一的基础上，我们可看作在图①长方形的内部，再添加1个点，那么点的位置会有两种情况： 一种情况是，点在图①分割成的小三角形的某条公共边上，不妨设点在上（如图②）； 另一种情况是，点在图①分割成的某个小三角形内部．不妨设点在△的内部（如图③）． 不管哪种情况，都可把长方形分割成6个互不重叠的小三角形． 故答案为：6； （3）长方形的4个顶点和它内部的3个点、、，共7个点为顶点，可把长方形分割成8个互不重叠的小三角形．如图所示． 故答案为：8； （4）以长方形的4个顶点和它内部的1个点，共5个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的2个点，共6个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 以长方形的4个顶点和它内部的3个点，共7个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：， 所以，以长方形的4个顶点和它内部的n个点，共个点作为顶点，可把原长方形分割成互不重叠的小三角形个数为：． 故答案为：； （5）当时，， 以梯形的4个顶点和它内部的2024个点作为顶点，可把梯形分割成4050个互不重叠的小三角形． 当， 解得， 以菱形的4个顶点和它内部的1011个点作为顶点，可以把菱形分割成2024个互不重叠的小三角形． 故答案为：4050；1011； （6）如图，以六边形的六个顶点和它内部的2个点，共8个点作为顶点，可把原六边形分割成8个互不重叠的小三角形； 当内部1个点时，可以与m边形的m个顶点连接形成m个三角形， 当内部有n个点时，相当于在m个三角形的基础上多出个三角形， ∴可把原m边形分割成个三角形． 故答案为：8，． 31. 【知识准备】若数轴上两点所表示的数分别为，点A为线段的中点，则有M、N两点之间的距离，线段的中点所对的数为 （1）若，则 ； 【问题探究】 在（1）的条件下，若点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点Q从点M出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为． （2）t为何值时，中点A所对应的数为3？ （3）t为何值时，两点相距4个单位长度？ 【答案】（1）；（2）当时，中点A所对应的数为3；（3）当为或时，两点相距4个单位长度． 【解析】 【分析】本题考查数轴综合问题，涉及非负数的性质、数轴上线段中点坐标求法及两点之间距离表示等知识，熟练掌握数轴上两点之间距离及线段中点表示方法是解决问题的关键． （1）利用非负数的性质列式计算即可得到答案； （2）根据运动速度表示出，再由线段中点坐标表示列方程求解即可得到答案； （3）根据运动速度表示出，再由数轴上两点之间距离的表示方法，分情况列方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1），且， ，且， 解得， 故答案为：； （2）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， 中点所对应的数为3， ， 解得； 当时，中点A所对应的数为3； （3）设运动时间为，则表示的数为，表示的数为， 两点相距4个单位长度， 分两种情况讨论如下： ①当相遇前，，解得； ②当相遇后，，解得； 综上所述，当为或时，两点相距4个单位长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $