(新课预习衔接)第五单元 数学广角鸽巢问题重难点易错考点 (讲义)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。若让你闭上眼睛，则每次至少拿几根才能保证有2双筷子？ 【答案】7根。 【分析】从最不利的情况考虑，如果取出的头4根分别是4种颜色中的各1根，那么第5根肯定能与头4根中的一只配成颜色相同的一双，这样还剩下3根不同色的，再从最不利的情况考虑，如果再取出两根又有一双同色的，据此解答即可。 【解答】解： （根 答：每次至少拿7根才能保证有2双筷子。 【点评】根据最差原理进行分析是完成本题的关键。 例题2：李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。 【答案】说法对。 【分析】把12个月看作12个抽屉，13份报纸看作13个元素，利用抽屉原理最差情况：要使每个月份相同的报纸数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均即可。 【解答】解：（份（份 （份 答：这种说法对。 【点评】关键是构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，然后依据抽屉原则进行计算。 例题3：妈妈买了6个橙子，放入4个果盘中，总有一个果盘至少要放入几个橙子？ 【分析】把4个果盘看作4个抽屉，6个橙子看作物体个数，根据抽屉原理得：（个（个；则总有一个果盘至少要放入个橙子． 【解答】解：（个（个 （个 答：总有一个果盘至少要放入2个橙子． 【点评】此题属于典型的抽屉原理习题，解答此类题的关键是找出把谁看作“抽屉个数”，把谁看作“物体个数”，然后根据抽屉原理解答即可． 例题4：体育课上9名同学进行投篮练习，如果他们一共投进48个球，那么总有1名同学至少投进了6个球。这是为什么？ 【答案】（个（个 （个 所以总有1名同学至少投进了6个球。 【分析】9名同学进行投篮练习，一共投进48个球，（个（个；即平均每名同学进5个球的话，还余3个球，所以一定有一名同学至少投进（个球。 【解答】解：（个（个 （个 所以总有1名同学至少投进了6个球。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 例题5：饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子分到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？ 【分析】把10只猴子看作10个抽屉，苹果的个数看作元素，利用抽屉原理最差情况：每个抽屉里先放6个共需要个，再任意放一个，就能保证至少要有一只猴子分到7个苹果． 【解答】解： （个 答：饲养员至少要拿来61个苹果． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 答案解析 一．选择题（共7小题） 1．盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出　　个球． A．4 B．3 C．2 【分析】根据题意可知，盒子里的球共有两种颜色，摸出2个时，有可能一个红的，一个蓝的，所以只要再摸出一个就能保证有2个同色的，即至少要摸出个球． 【解答】解：（个 答：要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出3个球． 故选：． 【点评】在此类问题中，只要摸出的球出它们的颜色数多1，即能保证出的球一定有2个同色的． 2．至少有　　个人，才能保证有5个人在同一个月过生日。 A．13 B．61 C．60 D．49 【答案】 【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数除以抽屉数的商是，抽屉数是12（一年有12个月），求至少有多少人，用被分配的物体数除以抽屉数的商乘12，再加1，据此计算即可。 【解答】解： （人 答：至少有49个人，才能保证有5个人在同一个月过生日。 故选：。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 3．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少要取　　个球，才能保证取到三个颜色相同的球。 A．5 B．8 C．9 D．13 【答案】 【分析】由于袋子里共有红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个，考虑最差情况：前8个球摸出的是每种颜色各2个，所以只要再多取一个球，就能保证取到3个颜色相同的球。 【解答】解：（个 答：从中至少取出9个球，可以保证取到三个颜色相同的球。 故选：。 【点评】解决抽屉原理问题的关键是根据最坏原理去对问题进行分析。 4．有4只鸽子要飞进3个鸽巢，至少有一个鸽巢要飞进____鸽子。　　 A．1只 B．2只 C．3只 D．4只 【答案】 【分析】根据4只鸽子要飞进3个鸽巢，（只（只，即平均每个鸽巢飞进1只鸽子后，剩下的1只鸽子无论怎么飞，至少有（只鸽子要飞进同一个鸽巢里。由此解答即可。 【解答】解：（只（只 （只 答：至少有一个鸽巢要飞进2只鸽子。 故选：。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 5．手工课上老师给学生发折纸，有红、黄、蓝三种，每人发一种，如果这个班有37名学生，那么至少有　　名学生拿到相同颜色的折纸。 A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】 【分析】把三种颜色看作三个抽屉，把37名学生看作37个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放12，共37名学生，余1名学生无论放那个抽屉里，总有一个抽屉里有名学生，据此解答。 【解答】解：（名（名 （名 手工课上老师给学生发折纸，有红、黄、蓝三种，每人发一种，如果这个班有37名学生，那么至少有13名学生拿到相同颜色的折纸。 故选：。 【点评】构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算是解决本类题目的关键。 6．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有　　名学生在做。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是10，抽屉数是3，据此计算即可。 【解答】解：（名（名 （名 答：总有一科作业至少有4名学生在做。 故选：。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 7．学校将新购置的40张桌子分给6个班，总有一个班至少分得　　张桌子。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】 【分析】40张桌子分给6个班，那么6个班是抽屉数，总数除以抽屉数，根据是否有余数做出选择。 【解答】解： （张 答：总有一个班至少分得7张桌子。 故选：。 【点评】本题考查的是抽屉原理，对于此类问题，首先要确定抽屉数和整数分别是多少，然后用总数除以抽屉数，根据是否有余数进行判断。 二．填空题（共8小题） 8．六年级（1）班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有 　9　名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把 　　看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 【答案】9，参加课程的种类。 【分析】先求出参加课程的种类，再用50除以课程种类数，所得的商加1。 【解答】解：参加课程的种类有：（种 （名（名 （名 答：这个班至少有9名同学参加个性活动的情况完全相同。 故答案为：9，参加课程的种类。 【点评】构造物体和抽屉，也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算是解决本类题目的关键。 9．将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，至少有 　7　个同学分到的卡片张数相同。 【答案】7。 【分析】把1、2、3、，这11张卡片看作11个抽屉，把学生人数看作物体的个数。如果每个抽屉都有一个物体，那么就需要（个物体，即66张卡片，而（张，每个抽屉里有6个物体，还余下4个物体；这4个物体无论怎么放，都会有一个抽屉放个物体；据此即可解答。 【解答】解：（个 （张 （个 答：至少有7个同学分到的卡片张数相同。 故答案为：7。 【点评】解答考查了抽屉问题，解答的关键是把这11张卡片看作11个抽屉。 10．把7串葡萄放在6个盘子里，总有 　1　个盘子里至少要放2串葡萄。 【答案】1。 【分析】把6个盘子看作6个抽屉，把7串葡萄看作7个元素，从最不利情况考虑，每个抽屉先放1串，共需要6串，余下这一串无论放在那个抽屉里，总有一个抽屉里至少有串，据此解答。 【解答】解：（串（串 （串 答：总有1个盘子里至少要放2串葡萄。 故答案为：1。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 11．贺岁片热播的第一天，宝龙城的华纳影城8号巨幕厅383个座位坐满了男女老少不同年龄段的观众，这些观众中至少有 　32　人的生日在同一个月。 【答案】32。 【分析】一年有12个月，那么把这12个月看作12个抽屉，要求这些观众中至少有多少人是同一个月出生的，可以考虑最差情况：将383名尽量平均分配在12个抽屉中，利用抽屉原理即可解答。 【解答】解：建立抽屉：一年有12个月分别看作12个抽屉。 （人 （人 答：这些观众中至少有32人是同一个月出生的。 故答案为：32。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 12．箱子里有红、黄、蓝、白、绿球各7个，要想摸出的球保证有4个颜色相同的球，至少要摸出 　16　个球。 【答案】16。 【分析】由题意可知，考虑最差情况，最坏的情况是每种颜色各取出3个，即取出15个，此时只要再任取一个，就能保证至少有四个球的颜色相同。 【解答】解： （个 答：至少要摸出16个球。 故答案为：16。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用。 13．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有 　11　个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样。 【答案】11。 【分析】拿两个水果情况有如下10种情况（作为10个抽屉）（苹果、苹果），（梨，梨），（桃子，桃子），（桔子，桔子），（苹果，梨）（苹果，桃子），（苹果，桔子），（梨，桃子），（梨，桔子），（桃子，桔子）；根据抽屉原理即可得出答案。 【解答】解：拿两个水果情况有如下10种情况（作为10个抽屉），假设有10人，分别拿了其中的一种，那么再多1人，拿的只能是这10种中一种情况，即：（人 答：至少有11个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样。 故答案为：11。 【点评】此题属于抽屉原理，解答此题的关键是要明确：把十1个物体放进个抽屉中，每个抽屉至少放进2个物体。 14．自制的一副玩具牌共计52张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点，2点，，13点牌各一张）。洗好后背面向上放好，（1）一次至少抽取 　27　张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 　　张牌。 【答案】（1）27；（2）37。 【分析】（1）每种牌都有13张，最不利的情况是两种不同颜色的（张牌都取出，再取出1张就能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。 （2）52张牌每种有以下的搭配：，2，，，5，，，8，，，11，，13；最不利的情况是每组取前2张，再加上点数“13”，共取了9张，四种花色共取（张，然后再从剩下的里面任意取1张，就必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色）。 【解答】解：（1） （张 答：一次至少抽取27张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。 （2）52张牌每种有以下的搭配：，2，，，5，，，8，，，11，，13； （张 答：如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取37张牌。 故答案为：（1）27；（2）37。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 15．盒子里放有同样大小的红球、黄球、篮球各8个，每次摸一个球，至少要摸出 　4　个才能保证拿到2个球同色，至少要摸出 　　个才能保证摸到2个球不同色。 【答案】4；9。 【分析】把3种不同颜色看作3个抽屉，把不同颜色的球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放1个球，共需要3个，再取出1个不论是什么颜色，总有一个抽屉里的球和它同色；从最不利情况考虑，1个抽屉里面8个球都是同一种颜色，再取出1个就是与抽屉里面的球颜色不同。 【解答】解：（个 （个 答：盒子里放有同样大小的红球、黄球、篮球各8个，每次摸一个球，至少要摸出4个才能保证拿到2个球同色，至少要摸出9个才能保证摸到2个球不同色。 故答案为：4；9。 【点评】掌握抽屉原理是解题的关键。 三．判断题（共8小题） 16．把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插6枝月季花。 　　 【答案】 【分析】把4个花瓶看作4个抽屉，25枝月季花看作25个元素，利用抽屉原理最差情况：要使花瓶里花的枝数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。 【解答】解：（枝（枝 （枝 即总有一个花瓶至少插7枝月季花，所以原题说法错误。 故答案为：。 【点评】在此类抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商。 17．某地今年5月份有31个小孩子出生，一定有2个小孩在同一天出生．　　 【分析】5月有31天，把这31天看做31个抽屉，把31个学生看做31个元素，利用抽屉原理，考虑最差情况即可解答． 【解答】解：考虑最差情况：每个抽屉都有1个元素， （人， 所以一定有2个小孩在同一天出生，说法错误； 故答案为：． 【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用． 18．随意找13名学生，他们中至少有2人的属相相同。 　　 【答案】 【分析】把12个属相看作12个抽屉，13人看作13个元素，利用抽屉原理最差情况：要使属相相同的人数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均分，据此解答即可。 【解答】解：（人（人 （人 即他们中至少有2个人的属相是相同的，所以原题说法正确。 故答案为：。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 19．把44个乒乓球装进8个袋子里，其中总有一个袋子至少要装6个球。 　　 【答案】 【分析】把44个乒乓球装进8个袋子里，将这8个袋子当做8个抽屉，（个（个，即平均每个袋子里装5个后，还余4个，根据抽屉原理可知，总有一个袋子至少要装（个。 【解答】解：把44个乒乓球装进8个袋子里，其中总有一个袋子至少要装6个球。表述正确。 故答案为：。 【点评】在此类抽屉问题中，至少数物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。 20．把10名学生分到4个小组，至少有2人要分进同一个小组．　　 【分析】把4小组看作4个抽屉，考虑最差情况：10名同学，最差情况是：每个组等分的话，每个组会分得2名；那么剩下2名，随便分给哪一个组，都会使得一个组分得3人，由此即可解答． 【解答】解：（名（名 （名 即至少有3名要分进同一个小组；所以原题说法错误． 故答案为：． 【点评】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商；然后根据：至少数商（在有余数的情况下）解答． 21．一个布袋装有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，最少要摸出10个球，才能让摸出来的球中至少有4个球颜色相同。 　　 【答案】 【分析】按照最坏思想，第一次摸出1个红的，第二次摸出1个黄的，第三次摸出1个蓝的，这样依次摸，当摸出第10个球时，至少有4个球颜色相同。 【解答】解：一个布袋装有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，最少要摸出10个球，才能让摸出来的球中至少有4个球颜色相同。说法正确。 故答案为：。 【点评】运用最坏思想是解决本题的关键。 22．5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子装入2只小鸡． 　　 【答案】 【分析】把4个笼子看作4个抽屉，把5只小鸡看作5个元素，那么每个抽屉需要放（个（个，所以每个抽屉需要放1个，剩下的1个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有：（个，所以，至少有2只小鸡装入同一个笼子． 【解答】解：（个（只 （只 即至少有一个笼子装入2只小鸡；所以原题说法正确． 故答案为：． 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答． 23．把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 　　 【答案】 【分析】最坏情况是3种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，一共需要摸出5个球。 【解答】解：（个 把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。原题干说法正确。 故答案为：。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 四．应用题（共21小题） 24．把若干个苹果放进9个抽屉里，不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至少放进3个苹果，苹果的总数至少有多少个？ 【分析】要保证总有一个抽屉里至少放进3个苹果，考虑最差情况：每个抽屉先都有2个苹果，此时苹果数最少是个，再加上1个，即可出现一个抽屉里至少放进3个苹果，据此即可求出苹果最少有个． 【解答】解： （个 答：苹果的总数至少有19个． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 25．一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 【答案】9个。 【分析】最坏的结果是每种球都摸出4个，那么摸了（个，再摸一个，就能得到5个颜色相同的球，从而得出问题的答案。 【解答】解：（个 答：一次最少摸出9个球，才能保证有5个颜色相同的球。 【点评】此题属于抽屉问题，关键是找出“最坏情况”，然后进行分析，继而解答得出结论。 26．把一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色（每个面只涂一种颜色），不论怎么涂，至少有2个面涂的颜色相同．你能说出其中的道理吗？ 【分析】把红、黄、蓝三种颜色看作3个抽屉，6个面看作6个元素，利用抽屉原理最差情况：要使涂的颜色相同的面数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答． 【解答】解：（个 答：至少有2个面涂的颜色相同． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 27．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 【答案】44。 【分析】原题可理解为；133个物体放在多少个抽屉里，至少有一个抽屉里放4个。那么其余抽屉里平均放3个物体时，抽屉才能最多。 【解答】解： （名 答：李老师班里最多有44名学生。 【点评】找到代表物体和抽屉对应的量是解决本题的关键。 28．一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有12条，从中任意捞金鱼。 （1）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条金鱼的花色是相同的？ （2）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条花色不同的金鱼？ 【答案】（1）9条；（2）25条。 【分析】（1）把4种花色看作4个抽屉，考虑最差情况：每个抽屉都有2条，共捞出了8条，那么再任意捞出1条，无论放到哪个抽屉都会出现一个抽屉里有3条相同花色的金鱼，据此解答即可。 （2）利用抽屉原理最差情况：把其中的两种花色全部捞出，即条，那么再任意捞出1条，才能保证有3种花色不同的金鱼；据此解答即可。 【解答】解：（1） （条 答：至少要捞9条金鱼，才能保证一定有3条金鱼的花色是相同的。 （2） （条 答：至少要捞25条金鱼，才能保证一定有3条花色不同的金鱼。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 29．六（1）班有45名同学，把他们分成6个学习小组．不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人，为什么？ 【分析】把6个学习小组看作6个抽屉；45名学生看作45个元素，最差情况是：等分的话，（名（名，每个组会分得7名学生，还剩3名，不管怎么分，总有一个组至少分到8名学生；据此解答． 【解答】解：（名（名 （名 答：不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人． 【点评】抽屉原理问题的重点是建立抽屉，关键是在考虑最差情况的基础上得出均分数（商；然后根据：至少数商（在有余数的情况下）． 30．一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是75分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 【分析】最高分98分和最低分75分之间，一共有个整数，看作24个抽屉，要使每个抽屉里的人数最少，则每个分数只有2人得到，共有人，又因为班上至少有3名学生得分相同，考虑最差情况，如果再多1人，必定保证有3人的得分相同，据此解答即可． 【解答】解：根据题干分析可得， （个 （名 答：六（2）班至少有49名学生． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 31．将相同质地和大小的红、黄、蓝三种颜色的彩球各5个放入一个盒子里。 （1）要保证取出的彩球至少有两种颜色，至少应取出几个球？ （2）要保证三种颜色都有，则至少应取出几个球？ 【答案】（1）6个， （2）11个。 【分析】（1）最坏情况是1种颜色的5个球全部取出，此时再取出1个球，一定有至少有两种颜色，一共需要取出6个球。 （2）最坏情况是两个颜色的球全部取出，此时再取出1个球，一定三种颜色都有，一共需要取出11个球。 【解答】解：（1）（个 答：至少应取出6个球。 （2）（个 答：至少应取出11个球。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 32．盒子里装有同样规格的红、蓝、黑手套各若干只，现在任意地从中摸取。那么，至少需要摸出多少只手套才能保证有两只同色？ 【答案】4只。 【分析】最坏情况是红、蓝、黑手套各摸出1只，此时再摸出1只，一定有两只同色，一共需要摸出4只。 【解答】解：（只 答：至少需要摸出4只手套才能保证有两只同色。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 33．把16个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证有一个盒子里至少有4个玻璃球？ 【答案】5个。 【分析】把需要的盒子数看做抽屉；根据“至少有一个盒子里有4个玻璃球”，从最不利的情况去考虑，假设只有一个盒子里有4个玻璃球；那么每个盒子先放3个，需要的盒子数是：（个（个，那么还剩的1个玻璃球，无论放到哪一个盒子里都能保证至少有一个盒子里有4个玻璃球，则可以得出最多放进5个盒子。 【解答】解：（个（个 答：把16个玻璃球最多放进5个盒子里，才能保证有一个盒子里至少有4个玻璃球。 【点评】本题在建立抽屉的基础上求出最不利的放法的个数是本题解答的关键．此题考查了抽屉原理（二，知识点是：元素总数（最少数抽屉个数余数。 34．前进小学六年级有320人，男生和女生人数的比正好是，至少随机选出多少人，才能保证选取的学生中既有男生又有女生？ 【分析】男女生人数比是，即男女生人数都是人，根据抽屉原理，从最差情况考虑，假设选取的160人都是同一种性别，然后再选取1人就能确保选出的人中男生、女生都有． 【解答】解：根据分析可得， （人 （人 答：至少随机选出161人，才能保证选取的学生中既有男生又有女生． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 35．把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？ 【分析】（1）根据题意可知，小球的颜色共有3种，利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出1个，共需要3个，再任意拿出一个，就能保证一定有2个同色的小球，即一次至少要拿出个小球才能保证两个小球是同色的． （2）利用抽屉原理最差情况：每种颜色的各拿出3个，共需要个，再任意拿出一个，就能保证一定有4个同色的小球，即一次至少要拿出个小球才能保证4个小球是同色的；据此即可解答． 【解答】解：（1）（个 答：每次至少拿出4个才能保证一定有2个同色的小球． （2） （个 答：每次至少拿出10个才能保证一定有4个同色的小球． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 36．从一副扑克牌中抽去大、小王两张牌，从剩余的52张牌中任意取牌。 （1）要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，至少要抽多少张？ （2）要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，至少要抽几张？ （3）至少要取出多少张才能保证有4张方块？ 【答案】（1）5张；（2）14张；（3）43张。 【分析】（1）52张扑克牌有4种花色，考虑极端情况，把每一种花色都抽出1张，则任意再抽1张，一定有2张同种花色的； （2）52张扑克牌有13个点数，考虑极端情况，把一种花色的点数都抽出，则任意再抽1张，一定有2张同样点数的； （3）52张扑克牌有4种花色，考虑极端情况，把除了方块外的每一种花色都完，则再任意抽4张，一定有4张方块。 【解答】解：（1）（张 答：要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，至少要抽5张。 （2）（张 答：要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，至少要抽14张。 （3）（张 答：至少要取出43张才能保证有4张方块。 【点评】本题考查了抽屉原理的应用。 37．有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球9个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？ 【答案】3个。 【分析】把红、黄、蓝、白4种颜色看作是4个抽屉，9个球往抽屉里面放，考虑最差的情况，每个抽屉摸出2个球，共摸出8个，则余下1个球，无论从哪个抽屉里摸出，都会出现至少有3个小球的颜色相同；据此解答即可。 【解答】解：（个（个 （个 答：其中至少有3个小球的颜色是相同的。 【点评】此题考查了抽屉原理在实际问题中的灵活应用，应从最极端情况进行分析。 38．六（1）班有学生52人，全班至少有5人在同一个月过生日。这种说法对吗？为什么？ 【答案】全班至少有5人在同一个月过生日，这种说法对。因为平均每个月4人过生日，还余4人，无论在哪个月过生日，都至少有5人在同一个月过生日。 【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是52，抽屉数是12（一年有12个月），据此计算即可。 【解答】解：（人（人 （人 答：全班至少有5人在同一个月过生日，这种说法对。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 39．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放有2支铅笔。为什么？ 【答案】（支（支 （支 【分析】根据抽屉原理，把3个笔筒看作3个抽屉，要使每个笔筒里的铅笔尽量少，要尽量平均分，据此解答即可。 【解答】解：（支（支 （支 所以把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放有2支铅笔。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 40．某班有52名学生，最大的12岁，最小的10岁，他们中至少有2名学生是同年同月出生的。为什么？ 【答案】（12﹣10+1）×12＝36（个） 52÷36＝1（名）……16（人） 1+1＝2（名） 所以他们中至少有2名学生是同年同月出生的。 【分析】最大的12岁，最小的10岁，跨度是3年（36个月）。在此类抽屉问题中，至少数＝被分配的物体数除以抽屉数的商+1（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是52，抽屉数是36，据此计算即可。 【解答】解：（12﹣10+1）×12＝36（个） 52÷36＝1（名）……16（人） 1+1＝2（名） 所以他们中至少有2名学生是同年同月出生的。 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。 41．（1）从一副扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有多少张是同花色的？试一试，并说明理由． （2）一副扑克牌（除去大、小王）有4种花色，每种花色都有13张牌．现在把扑克牌洗匀． 【分析】（1）在剩下的52张中任意抽出5张，最坏情况是每种花色都抽出1张，再抽出1张，至少有2张是同花色的． （2）最坏情况是每种花色都抽出2张，再抽出1张，就能保证有3张牌是同一花色，一共需要抽出张． 【解答】解：（1）至少有2张是同花色的，因为扑克牌只有4种花色，抽出5张比4种花色多1，所以至少有2张是同花色的． （2）（张 答：至少需要抽出9张牌，才能保证有3张牌是同一花色． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 42．花店的张阿姨要把50枝玫瑰花插到7个花瓶中，总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，为什么？ 【答案】总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，因为最平均的情况是每瓶7枝花，多余的1枝无论插入哪个花瓶，都会使那个花瓶里有8枝花。 【分析】在此类抽屉问题中，至少数被分配的物体数除以抽屉数的商（有余的情况下）。在本题中，被分配的物体数是50，抽屉数是7，据此计算即可。 【解答】解：（枝（枝 （枝 总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，因为最平均的情况是每瓶7枝花，多余的1枝无论插入哪个花瓶，都会使那个花瓶里有8枝花。 【点评】抽屉原理问题的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后根据“至少数元素的总个数抽屉的个数（有余数的情况下）”解答。 43．要把25个玻璃球放进一些盒子中。最多放进几个盒子，才能保证总有一个盒子里至少放进5个玻璃球？ 【答案】6个。 【分析】把盒子数看作抽屉，把25个玻璃球看作元素，从最不利情况考虑，每个抽屉需要先放4个球，然后用25除以4得到的商是6，余数是1，即共需要6个盒子，剩下的一个，不论放在哪个盒子里，至少一个盒子里有5个玻璃球，据此解答即可。 【解答】解：（个 （个（个 答：最多放进6个盒子，才能保证总有一个盒子里至少放进5个玻璃球。 【点评】本题考查了抽屉原理问题，它的解答思路是：要从最不利情况考虑，准确地建立抽屉和确定元素的总个数，然后逆用“至少数抽屉的个数”解答即可。 44．某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，不用去查看学生的出生日期，这380名学生中至少有几名学生是同年同月同日出生的？ 【分析】平年有365天，闰年有366天，由于求少有多少同年同月同日生，可按闰年计算，把366天看作“抽屉”，把380人看作“物体个数”， （名（名，即平均每天有一个学生出生的话，还余14名学生，根据抽屉原理可知，至少有个学生的生日是同一天． 【解答】解：（名（名 （名 答：这380名学生中至少有2名学生是同年同月同日出生的． 【点评】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学广角—鸽巢问题 【思维导图+知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】 编者的话：同学们，恭喜你已经开启了本单元的求知之旅，相信你已经正确规划了自己的学习任务，本套资料为课前预习，课中巩固，课后提升而设计，对单元知识点进行全面精讲，易错点逐个分解，强化练习常考易错真题，答案解析非常通俗易懂，可助你轻松掌握、理解、运用单元知识点解决问题！ 第一部分 思维导图 第二部分 典型例题 例题1：把红、黄、蓝、黑四种颜色的筷子各4根混在一起。若让你闭上眼睛，则每次至少拿几根才能保证有2双筷子？ 例题2：李华家里存放了2022年全年的《人民日报》（每日一份报纸），如果他从中任意取出13份报纸，那么至少有2份报纸是同一个月的。这种说法对吗？列式计算说明理由。 例题3：妈妈买了6个橙子，放入4个果盘中，总有一个果盘至少要放入几个橙子？ 例题4：体育课上9名同学进行投篮练习，如果他们一共投进48个球，那么总有1名同学至少投进了6个球。这是为什么？ 例题5：饲养员给10只猴子分苹果，其中至少要有一只猴子分到7个苹果，饲养员至少要拿来多少个苹果？ 第三部分 知识精讲 知识清单+方法技巧 【知识点归纳】 鸽巢原理又称为抽屉原则： 如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里，那么必有一个抽屉中至少放有2个物体． 例：把4个物体放在3个抽屉里，也就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况： ①4＝4+0+0 ②4＝3+1+0 ③4＝2+2+0 ④4＝2+1+1 观察上面四种放物体的方式，我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体． 抽屉原则二：如果把n个物体放在m个抽屉里，其中n＞m，那么必有一个抽屉至少有： ①k＝[]+1个物体：当n不能被m整除时． ②k个物体：当n能被m整除时． 理解知识点：[X]表示不超过X的最大整数． 例：[4.351]＝4；[0.321]＝0；[2.9999]＝2； 关键问题：构造物体和抽屉．也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原则进行运算． 第四部分 高频真题 一．选择题（共7小题） 1．盒子里有同样大小的红球和蓝球各4个，要想摸出的球一定有2个同色的，至少要摸出　　个球． A．4 B．3 C．2 2．至少有　　个人，才能保证有5个人在同一个月过生日。 A．13 B．61 C．60 D．49 3．把红、黄、蓝、白四种颜色的球各8个放到一个袋子里，至少要取　　个球，才能保证取到三个颜色相同的球。 A．5 B．8 C．9 D．13 4．有4只鸽子要飞进3个鸽巢，至少有一个鸽巢要飞进____鸽子。　　 A．1只 B．2只 C．3只 D．4只 5．手工课上老师给学生发折纸，有红、黄、蓝三种，每人发一种，如果这个班有37名学生，那么至少有　　名学生拿到相同颜色的折纸。 A．11 B．12 C．13 D．14 6．教室里有10名学生正在做作业，今天有语文、数学和英语三科作业，总有一科作业至少有　　名学生在做。 A．3 B．4 C．5 D．6 7．学校将新购置的40张桌子分给6个班，总有一个班至少分得　　张桌子。 A．5 B．6 C．7 D．8 二．填空题（共8小题） 8．六年级（1）班有50名同学。他们都参加了课后延时服务的个性活动课程。个性活动课程有剪纸、篮球和科技3个课程，每人可以参加1个或2个课程，这个班至少有 　　名同学参加个性活动的情况完全相同。可以这样想：这里把 　　看作“抽屉”，可以运用组合的知识先有序找出“抽屉”数，再按“抽屉问题”的思路解决问题。 9．将400张卡片分给若干个同学，每人都能分到，但都不超过11张，至少有 　　个同学分到的卡片张数相同。 10．把7串葡萄放在6个盘子里，总有 　　个盘子里至少要放2串葡萄。 11．贺岁片热播的第一天，宝龙城的华纳影城8号巨幕厅383个座位坐满了男女老少不同年龄段的观众，这些观众中至少有 　　人的生日在同一个月。 12．箱子里有红、黄、蓝、白、绿球各7个，要想摸出的球保证有4个颜色相同的球，至少要摸出 　　个球。 13．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有 　　个小朋友，才能保证至少有两个小朋友拿的水果完全一样。 14．自制的一副玩具牌共计52张（含四种牌：红桃、红方、黑桃、黑梅。每种牌都有1点，2点，，13点牌各一张）。洗好后背面向上放好，（1）一次至少抽取 　　张牌，才能保证其中必定有2张牌的点数和颜色都相同。（2）如果要求一次抽出的牌中必定有3张牌的点数是相邻的（不计颜色），那么至少要取 　　张牌。 15．盒子里放有同样大小的红球、黄球、篮球各8个，每次摸一个球，至少要摸出 　　个才能保证拿到2个球同色，至少要摸出 　　个才能保证摸到2个球不同色。 三．判断题（共8小题） 16．把25枝月季花插到4个花瓶中，总有一个花瓶至少插6枝月季花。 　　 17．某地今年5月份有31个小孩子出生，一定有2个小孩在同一天出生．　 　 18．随意找13名学生，他们中至少有2人的属相相同。 　　 19．把44个乒乓球装进8个袋子里，其中总有一个袋子至少要装6个球。 　　 20．把10名学生分到4个小组，至少有2人要分进同一个小组．　　 21．一个布袋装有红、黄、蓝三种颜色的球各12个，最少要摸出10个球，才能让摸出来的球中至少有4个球颜色相同。 　　 22．5只小鸡装入4个笼子，至少有一个笼子装入2只小鸡． 　　 23．把红、黄、蓝3种颜色的球各10个放在1个袋子里，至少取出4个球，可以保证取到两个颜色相同的球。 　　 四．应用题（共21小题） 24．把若干个苹果放进9个抽屉里，不管怎么放，要保证总有一个抽屉里至少放进3个苹果，苹果的总数至少有多少个？ 25．一个不透明的口袋里有大小和质地完全相同的红、黄两种颜色的球各10个。一次最少摸出多少个球，才能保证有5个颜色相同的球？ 26．把一个正方体木块的6个面分别涂上红、黄、蓝三种颜色（每个面只涂一种颜色），不论怎么涂，至少有2个面涂的颜色相同．你能说出其中的道理吗？ 27．“六一”儿童节，李老师拿133个小礼物发给班里的所有学生，如果至少有一名学生拿到了4个小礼物，那么，李老师班里最多有多少名学生？ 28．一个鱼缸里有4种花色的金鱼，每种花色各有12条，从中任意捞金鱼。 （1）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条金鱼的花色是相同的？ （2）至少要捞多少条金鱼，才能保证一定有3条花色不同的金鱼？ 29．六（1）班有45名同学，把他们分成6个学习小组．不管怎么分，总有一个学习小组至少有8人，为什么？ 30．一次数学考试，六（2）班最高分是98分，最低分是75分，每人的得分都是整数，要确保班上至少有3名学生得分相同，六（2）班至少有多少名学生？ 31．将相同质地和大小的红、黄、蓝三种颜色的彩球各5个放入一个盒子里。 （1）要保证取出的彩球至少有两种颜色，至少应取出几个球？ （2）要保证三种颜色都有，则至少应取出几个球？ 32．盒子里装有同样规格的红、蓝、黑手套各若干只，现在任意地从中摸取。那么，至少需要摸出多少只手套才能保证有两只同色？ 33．把16个玻璃球最多放进几个盒子里，才能保证有一个盒子里至少有4个玻璃球？ 34．前进小学六年级有320人，男生和女生人数的比正好是，至少随机选出多少人，才能保证选取的学生中既有男生又有女生？ 35．把红、白、蓝三种颜色的小球各10个混在一起放入一个不透明的箱子里，每次至少拿出几个才能保证一定有2个同色的小球？如果要保证有4个同色小球呢？ 36．从一副扑克牌中抽去大、小王两张牌，从剩余的52张牌中任意取牌。 （1）要想抽出的牌中一定有2张同种花色的，至少要抽多少张？ （2）要想抽出的牌中一定有2张同样点数的，至少要抽几张？ （3）至少要取出多少张才能保证有4张方块？ 37．有红、黄、蓝、白4色的小球各10个，混合放在一个布袋里。一次摸出小球9个，其中至少有几个小球的颜色是相同的？ 38．六（1）班有学生52人，全班至少有5人在同一个月过生日。这种说法对吗？为什么？ 39．把4支铅笔放进3个笔筒中，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放有2支铅笔。为什么？ 40．某班有52名学生，最大的12岁，最小的10岁，他们中至少有2名学生是同年同月出生的。为什么？ 41．（1）从一副扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意抽出5张，至少有多少张是同花色的？试一试，并说明理由． （2）一副扑克牌（除去大、小王）有4种花色，每种花色都有13张牌．现在把扑克牌洗匀． 42．花店的张阿姨要把50枝玫瑰花插到7个花瓶中，总有一个花瓶里至少要插入8枝玫瑰花，为什么？ 43．要把25个玻璃球放进一些盒子中。最多放进几个盒子，才能保证总有一个盒子里至少放进5个玻璃球？ 44．某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，不用去查看学生的出生日期，这380名学生中至少有几名学生是同年同月同日出生的？ 学科网（北京）股份有限公司 $$