6.1.1 向量的实际背景与概念（分层作业）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.1.1向量的实际背景与概念 题型一 平面向量的概念与表示 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 2．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 【答案】D 【分析】利用向量的定义判断即可． 【详解】向量是既有大小，又有方向的量， 因为长度，宽度，频数只有大小，没有方向，摩擦力既有大小，又有方向， 所以摩擦力是向量. 故选：D 3．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 【答案】C 【分析】根据向量的定义即可判断. 【详解】功，距离，质量只有大小没有方向,不是向量；拉力既有大小又有方向，是向量. 故选：C. 4．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 5．（多选题）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 【答案】ABD 【分析】由单位向量、零向量、相等向量、共线向量的概念可知. 【详解】C项，方向相反的向量也是共线向量，故错误； ABD项，由单位向量、零向量、相等向量概念可知，正确. 故选：ABD. 6．（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．两向量的大小与其方向有关 D．向量的模可以比较大小 【答案】AD 【分析】利用向量的有关概念判断选项. 【详解】向量的长度与向量的长度都等于线段AB的长度，故A选项正确；有向线段是向量的几何表示，两个并不相同，故B选项错误；向量不能比较大小，故C选项错误；向量的模就是有向线段的长度，可以比较大小，故D选项正确. 故选：AD 7．定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 . 【答案】有向线段 【分析】考察有向线段的定义. 【详解】有向线段. 8．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 个. 【答案】24 【分析】每个小正方中有两个符合条件，找到正方形个数即可. 【详解】由题意知，的格点图中包含12个小正方形，每个小正方形的对角线长为 与平行的向量包含方向相同和相反，所有共有24个向量满足. 故答案为：24. 9．如图所示，是正六边形的中心，且，，，若，求正六边形的边长. 【答案】 【分析】根据正六边形性质知，为等边三角形且，即可求解 【详解】由题意，根据正六边形性质知，为等边三角形且， 所以正六边形的边长. 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，以及向量的模的概念及其应用，其中解答中熟记正六边形的性质和向量的模的概念是解答的关键，属于容易题. 10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 【答案】（1）5；（2）2. 【分析】根据共线向量和相等向量的定义、以及模的计算和对正方形的对角线即可. 【详解】解：由题可知，每个小方格都是单位正方形， 每个小正方形的对角线的长度为且都与平行， 则， （1）由于相等向量是指方向和大小都相等的两个向量， 则与相等的向量共有5个，如图1； （2）与方向相同且模为的向量共有2个，如图2. 【点睛】本题考查共线向量和相等向量的定义，以及向量的模的计算，考查理解能力和数形结合思想. 1．下列说法正确的个数为（    ） ①若，是两个单位向量，则； ②若，，则； ③与任何一向量平行，则； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用单位向量，向量平行，向量的数量积公式直接求解. 【详解】在①中，若，是两个单位向量，则，故①错误； 在②中，若若，，则当时，不一定成立，故②错误； 在③中，与任何一向量平行，由零向量平行于所有向量，得，故③正确; 在④中，由向量得数量积不满足结合律，得不成立，故④错误. 故选：A 【点睛】本题考查了向量的相关知识点，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题. 2．(多选题)下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．若与满足，且与同向,则 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【解析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】单位向量的模均为1，故A正确； 向量共线包括同向和反向，故B不正确； 向量是矢量，不能比较大小，故C不正确； 根据相等向量的概念知，D正确. 故选：AD 【点睛】本题考查单位向量的定义、考查共线向量的定义、向量是矢量不能比较大小，属于基础题． 3．对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为 【答案】1 【分析】根据向量的定义以及相关概念，对选项进行逐一分析即可. 【详解】（1）向量不可比较大小，故（1）错误； （2）向量的模长相等，不能确定方向的关系，故（2）错误； （3）当向量模长相等，且方向相同时，则向量相等，故（3）正确； （4）与任意向量平行，故（4）错误； （5）若与有一个向量是零向量，则方向不确定，故（5）错误. 故正确的命题个数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的定义、性质和相关概念，属基础题. 4．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且时， . 【答案】3或1 【解析】利用向量共线的定义，按与的方向相同或相反分类讨论，计算即可. 【详解】与是平行向量，且，，， 当与同向时，； 当与反向时,. 故答案为：3或1 【点睛】本题考查了向量共线的应用，分类讨论的思想，属于基础题. 5．如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 【答案】(1)45° (2). 【分析】(1)根据给定条件求出弧DE所对圆心角即可得解. (2)根据给定条件可得OD⊥BF，再探求图中与BF平行的线段即可得解. 【详解】（1）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 则弧DE所对圆心角是45°，即有∠DOE=45°， 所以与的夹角为45°. （2）因以O为圆心、1为半径的圆上的8个等分点分别为A，B，C，D，E，F，G，H， 显然，BF是圆O的直径，，，如图： 所以与垂直的向量有：. 6．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 【答案】（1）见解析；（2）米 【分析】（1）利用方位根据向量的定义作出向量. （2）根据（1）作出的平面图形，利用平面几何知识求解. 【详解】（1）作出向量，，；如图所示： （2）由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝10 米，CD＝10米， 所以BD＝10米．△ABD是直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米， 所以AD＝＝(米)， 所以|米. 【点睛】本题主要考查平面向量的画法和向量模的求法，还考查了方位问题和平面几何知识，属于基础题. 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.1向量的实际背景与概念 题型一 平面向量的概念与表示 1．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．下列量中是向量的为（    ） A．长度 B．宽度 C．频数 D．摩擦力 3．下列量中是向量的为（    ） A．功 B．距离 C．拉力 D．质量 4．下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 5．（多选题）下面关于向量的说法正确的是（ ） A．单位向量：模为的向量 B．零向量：模为的向量 C．平行共线向量：方向相同的向量 D．相等向量：模相等，方向相同的向量 6．（多选题）下列说法中正确的有（    ） A．向量的长度与向量的长度相等 B．有向线段就是向量，向量就是有向线段 C．两向量的大小与其方向有关 D．向量的模可以比较大小 7．定义：质点从位置A运动到位置B，位置的改变称为位移.位移只刻画起点A与终点B的位置的差别.如图，从A到B虽然有不同的路线，但只要是从A到B，其位移就都是相同的，都用带箭头的线段表示，其中箭头表示这条线段的方向是从A到B，与质点实际运动的路线无关.像这样具有方向的线段，称为 . 8．如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有 个. 9．如图所示，是正六边形的中心，且，，，若，求正六边形的边长. 10．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问： （1）与相等的向量共有几个； （2）与方向相同且模为的向量共有几个； 1．下列说法正确的个数为（    ） ①若，是两个单位向量，则； ②若，，则； ③与任何一向量平行，则； ④. A．1 B．2 C．3 D．4 2．(多选题)下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．若与满足，且与同向,则 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 3．对下列命题：（1）若向量与同向，且，则；（2）若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；（3）对于任意向量，若与的方向相同，则；（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．其中正确的命题的个数为 4．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且时， . 5．如图，已知以O为圆心、1为半径的圆上有8个等分点A，B，C，D，E，F，G，H，以图中标出的9个点为起点和终点作向量， (1)与的夹角是多少？ (2)与垂直的向量有哪些？ 6．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点． （1）作出向量，，； （2）求 的模． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$