6.1.2 向量的几何表示（分层作业，2大题型）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

6.1.2向量的几何表示 题型一 向量的模 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 2．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 3．正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 5．已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是 A．有相同起点的两个非零向量不平行 B．单位向量都相等 C．以坐标平面上的定点A为起点的所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆 D．共线向量一定在同一条直线上 7．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 8．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 9．若，是夹角为的两个单位向量，向量，则 ． 题型二 零向量与单位向量 1． ． 2．若，是夹角为的两个单位向量，向量，则 . 3．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 4．已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 5．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移. 6．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 1．在平行四边形中，若，则必有 A． B．或 C．是矩形 D．是菱形 2．下列说法中正确的是 A．与线段的长度不相等 B．对任一向量，总是成立的 C． D．若，且，，则 3．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 4．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 5．给出下列结论： ①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.1.2向量的几何表示 题型一 向量的模 1．设点是正三角形的中心，则向量，，是（    ） A．共起点的向量 B．模相等的向量 C．共线向量 D．相等向量 【答案】B 【分析】利用平面向量的相关概念判断. 【详解】因为点是正三角形的中心， 所以，，是模相等的向量； 向量只有大小与方向两个要素，没有起点之说； 这三个向量方向不同，不是共线向量； 这三个向量方向不同，不是相等向量. 故选：B 2．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 3．正2021边形内接于单位圆O，任取它的两个不同的顶点，，构成一个有序点对，满足的点对的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过向量模的运算公式，可以计算出，即，既可以得出答案. 【详解】，所以的夹角不超过，对于任意给定的，因为，满足的向量的取法共有，再让动起来，可得点对的个数是, 故选:C. 4．下列说法错误的是（    ） A．任一非零向量都可以平行移动 B．是单位向量，则 C． D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意，由向量的定义以及相关概念对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】因为非零向量是自由向量，可以自由平移移动，故A正确； 由单位向量对于可知，，故B正确； 因为，所以，故C正确； 因为两个向量不能比较大小，故D错误； 故选：D 5．已知点，，则与向量方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】与非零向量方向相反的单位向量为，进而可求得结果. 【详解】，，，则， 因此，与向量方向相反的单位向量是. 故选：D. 【点睛】本题考查单位向量的求解，利用结论：与非零向量方向相反的单位向量为是解题的关键，考查计算能力，属于基础题. 6．下列命题中正确的是 A．有相同起点的两个非零向量不平行 B．单位向量都相等 C．以坐标平面上的定点A为起点的所有单位向量的终点P的集合是以A为圆心的单位圆 D．共线向量一定在同一条直线上 【答案】C 【解析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断真假性即可． 【详解】在A中，向量的平行只与方向有关,与起点是否相同无关，故A错误； 在B中，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故单位向量不一定相等，故B错误； 在C中，因为向量是单位向量，故，所以点P的集合是以A为圆心的单位圆，故C正确； 在D中，共线向量都平行于同一条直线或在同一条直线上，故D错误. 故选：C. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查平面向量平行等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，属于基础题． 7．如图，在中，点D､E､F分别是边BC､CA､AB的中点，在以A､B､C､D､E､F为端点的向量中，与向量的模相等的向量的个数是 . 【答案】5 【分析】由向量的概念，结合几何图形写出与模相等的向量，即知个数. 【详解】由图知：与向量的模相等的向量有， ∴共有5个. 故答案为：5. 8．在静水中船的速度为，水流的速度为，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，则经过，该船的实际航程是 . 【答案】 【分析】根据实际航线是垂直于河岸，作出图形，求得实际速度后可得结论． 【详解】如图，是水流方向，是垂直于河岸的方向，是船的实际航线，因此是船在静水中的航行方向，， ，则， ，故该船行驶的航程为. 故答案为：． 9．若，是夹角为的两个单位向量，向量，则 ． 【答案】 【分析】利用向量模的运算法则，结合向量的数量积化简求解即可． 【详解】解：因为，是夹角为的两个单位向量， 所以，， 故， 故答案为：． 题型二 零向量与单位向量 1． ． 【答案】 【分析】利用平面向量的基本运算可得.先算，再算即可解. 【详解】由∵，∴ ∴. 故答案为：0. 【点睛】考查平面向量的基本运算，其中的模等于0.题目较为简单. 2．若，是夹角为的两个单位向量，向量，则 . 【答案】 【分析】根据条件即可求出，，从而可以求出，进而得出． 【详解】解：，； ∴； ∴． 故答案为． 【点睛】考查单位向量的概念，向量的数量积运算及计算公式，向量长度的求法． 3．在方格纸（每个小方格的边长为1）中，画出下列向量． (1)，点在点的正东方向； (2)，点在点的北偏东方向； (3)求出的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)． 【分析】（1）根据要求画出点的位置即可； （2）根据要求画出点的位置即可； （3）向量由点指向点，画出图形即可求出． 【详解】（1）所求向量如图所示： （2）所求向量如图所示： （3）由图知，是等腰直角三角形，所以． 4．已知边长为3的等边三角形，求边上的中线向量的模. 【答案】/ 【详解】根据正三角形的性质，求得边上的中线长，即可求解. 【解答】如图所示，因为是正三角形，所以边上的中线向量的模就是三角形的高， 即：，所以边上的中线向量的模为. 5．一艘海上巡逻艇从港口向北航行了，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向处有一艘渔船抛锚需救助.试求： （1）巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移. 【答案】（1）（2）；约为北偏东53° 【解析】（1）根据题意画出示意图，根据路程的定义求出巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程； （2）根据位移的定义，利用勾股定理、锐角三角函数的定义，求出位移的大小及方向. 【详解】解：（1）画出示意图，如图所示，易得所求路程为巡逻艇两次路程的和，即. （2）巡逻艇从港口出发到渔船出事点的位移是向量，既有大小又有方向，其大小为. 由于，故方向约为北偏东53°. 【点睛】本题考查了路程和位移的计算，考查了勾股定理的应用，考查了数学计算能力. 6．一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去. （1）按1∶100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零； （2）按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？ 【答案】见解析. 【详解】试题分析： （1）根据要求画出图形，由作出的图形可得操作的次数．（2）赛车若能回到出发点，则必须满足赛车经过多次方向转变后的位移为零．根据多边形的内角和定理求解可得结论． 试题解析： （1）如图所示，操作8次后，赛车的位移为零； （2）要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零． 按（1）的方式作图，则所作图形是内角为的正多边形， 由多边形的内角和定理可得 ， 解得，且． 故α应满足的条件为，且． 1．在平行四边形中，若，则必有 A． B．或 C．是矩形 D．是菱形 【答案】C 【分析】由可得,即平行四边形的对角线相等,则可判断选项 【详解】由题,因为,则,即平行四边形的对角线相等,则平行四边形是矩形, 故选：C 【点睛】本题考查向量的加法、减法的应用,考查特殊四边形的性质,属于基础题 2．下列说法中正确的是 A．与线段的长度不相等 B．对任一向量，总是成立的 C． D．若，且，，则 【答案】C 【分析】由模长定义判断A,B,C;由共线向量判断D 【详解】分别与线段的长度相等所以不正确，C正确；，对任一向量，总成立，所以B不正确；对于D，当方向相反时，，故D不正确. 故选：C 【点睛】本题考查模长的基本性质，考查向量共线的基本性质，是基础题 3．下列命题正确的个数是（    ） （1）向量就是有向线段；（2）零向量是没有方向的向量； （3）零向量的方向是任意的；（4）零向量的长度为0． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】（1）由向量的几何表示判断；（2）（3）（4）根据对零向量的规定判断. 【详解】（1）向量可以用有向线段表示，但不能把两者等同，故错误； （2）根据对零向量的规定零向量是有方向的，是任意的，故错误； （3）根据对零向量的规定，零向量的方向是任意的，故正确； （4）根据对零向量的规定，零向量的大小为0，所以零向量的长度为0，故正确． 故选：B 4．若是任一非零向量，是单位向量，下列各式：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（    ） A．③④⑤ B．②③⑤ C．①③④ D．③④ 【答案】D 【分析】根据向量模的概念可判断①；利用向量共线的定义可判断②；利用向量模的概念可判断③、④；根据单位向量的概念可判断⑤. 【详解】①｜｜＞｜｜不正确，是任一非零向量，模长是任意的，故不正确； ②∥，则与为共线向量，故不正确； ③，向量的模长是非负数，故正确； ④｜｜=1，故正确； ⑤是单位向量，是单位向量，两向量方向不一定相同，故不正确. 故选：D. 5．给出下列结论： ①数轴上相等的向量，它们的坐标相等；反之，若数轴上两个向量的坐标相等，则这两个向量相等； ②对于任何一个实数，数轴上存在一个确定的点与之对应； ③数轴上向量的坐标是一个实数，实数的绝对值为线段AB的长度，若起点指向终点的方向与数轴同方向，则这个实数取正数，反之取负数； ④数轴上起点和终点重合的向量是零向量，它的方向不确定，它的坐标是0. 其中正确结论的个数是 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】①向量的坐标表示，向量的坐标即可决定向量的大小和方向； ②实数和数轴上的点一一对应； ③用数轴上向量的坐标的概念来判断； ④利用零向量的概念来判断. 【详解】①向量相等，则它们的坐标相等，坐标相等，则向量相等，①正确； ②实数和数轴上的点是一一对应的关系，即有一个实数就有一个点跟它对应，有一个点也就有一个实数与它对应，②正确； ③数轴用一个实数来表示向量，正负决定其方向，绝对值决定其长度，③正确； ④数轴上零向量其起点和终点重合，方向不确定，大小为0，其坐标也为0，④正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数轴上向量的表示，是基础题. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$