第14讲 平行四边形（第1课时）(二类知识点+十一大题型+强化训练)-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（沪教版）

第14讲 平行四边形(第1课时)（十一大题型） 学习目标 1、 理解平行四边形的概念， 2、 掌握平行四边形的性质定理； 3、能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 二、平行四边形的性质 平行四边形性质定理1 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等 简述为：平行四边形的对边相等. 平行四边形性质定理2 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等 简述为：平行四边形的对角相等。 利用平行四边形性质定理1,我们得到：夹在两条平行线间的平行线段相等. 于是，从l1(或l2)上任意两点分别作垂直于l2(或l1)的线段，因为所作垂线段是夹在平行线l1、l2间的平行线段，所以它们相等.由此可见，如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等.因此，可以把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离定义为两条平行线的距离. 平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分. 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分， 平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 要点：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【即学即练1】如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【即学即练2】若四边形是平行四边形，且，则 ． 【即学即练3】已知的周长为32，，则等于（   ） A．10 B．12 C．24 D．28 【即学即练4】如图，直线，则 ．(填“>”“=”或“<”) 【即学即练5】如，平行四边形中，O为两条对角线的交点，则结论正确的是哪项？（   ） A． B． C． D． 【即学即练6】如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 题型1：平行四边形的定义 【典例1】．如图所示，四边形是平行四边形，可以记作（    ） A． B． C． D． 【典例2】．如图，把线段AB向右平移3个单位长度，该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是 ． 题型2：根据平行四边形的性质求角度 【典例3】．如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【典例4】．中，，则 ． 【典例5】．在平行四边形中，，则的度数为 ． 【典例6】．在平行四边形中，比大，则 ． 【典例7】．已知一个平行四边形两邻角的度数之比为，则它较大的一个内角度数是（    ） A． B． C． D． 【典例8】．在中，可能是（     ） A． B． C． D． 题型3：根据平行四边形的性质求长度 【典例9】．已知平行四边形的周长为则的长为 ． 【典例10】．如图，在中，，则的周长是（    ）    A．18 B．14 C．16 D．20 【典例11】．如图，的周长是28cm，若，则的周长是 ． 【典例12】．用一根长的绳子围成一个平行四边形，使其两边的比为，则短边为 ． 【典例13】．平行四边形的周长为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型4：根据平行四边形的两条对角线相互平分求长度 【典例14】．▱的对角线、相交于点，，，，则的周长为 ． 【典例15】．如图，□中，，相交于点，若，，则的周长为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【典例16】．如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为 、 ．    题型5：平行线间的距离 【典例17】．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【典例18】．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【典例19】．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 题型6：平行四边形的性质综合辨析 【典例20】．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【典例21】．平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（    ） A．外角和等于 B．对角线互相平分 C．内角和等于 D．有两条对角线 【典例22】．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【典例23】．如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型7：平行四边形的性质与其他几何性质结合求长度 【典例24】．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ． 【典例25】．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【典例26】．在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 ． 【典例27】．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过O作交于点E，若的周长为，则的值为 ． 【典例28】．如图，在平行四边形中，，，，垂足为点E，F为上一点，连接交于点G，若，则的长是 ． 题型8：平行四边形的性质的其他应用 【典例29】．如图，平行四边形的面积是16平方厘米，边长5厘米，那么高长 厘米．    【典例30】．如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 【典例31】．如图，在中，过点C作，交的延长线于点E，若，则的度数为(    )      A． B． C． D． 【典例32】．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于 ． 题型9：根据平行四边形的性质求顶点坐标 【典例33】．如图，在平面直角坐标系中，若平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则点D的坐标是 ．    【典例34】．如图，点，，将线段平移后得到线段，且四边形的面积为9，则D点坐标为 ． 【典例35】．在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是 题型10：折叠问题 【典例36】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【典例37】．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 题型11：解答综合题 【典例38】．如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【典例39】．如图，在平行四边形中，点O 是对角线的中点，过点O， 交于点E，交于点F．求证：． 【典例40】．如图，在平行四边形中，，，．求AC的长度． 【典例41】．如图，将沿对角线对折得，与相交于点F， 求证：． 【典例42】．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 【典例43】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 【典例44】．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【典例45】．如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【典例46】．如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 一、单选题 1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是(     ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（     ） A． B． C． D． 3．已知平行四边形中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 4．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列式子一定成立的是（   ） A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OA＝OC D．OA＝OD 5．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（     ） A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 6．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（     ） A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30 7．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形： ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 8．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（    ） A．1<m<11 B．2<m<22 C．10<m<12 D．5<m<6 9．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 (      ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 二、填空题 11．已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为 ． 12．在中，，则 ． 13．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC= ，AB= ． 14．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为 ． 15．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝ cm． 17．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则 （填“＜”、“＝”或“＞”） 18．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 三、解答题 19．如图，在中，，求和的度数． 20．如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积． 21．如图，四边形是平行四边形．求： （1）和的度数； （2）和的长度． 22．如图，中，、是直线上两点，且． 求证：（1）； （2）． 23．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点. （1）求证:； （2）若，求的长． 24．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，． （1）如图①，求证：； （2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 (1)求直线AB的表达式； (2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； (3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26．已知在平行四边形中，点F在边上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 平行四边形(第1课时)（十一大题型） 学习目标 1、 理解平行四边形的概念， 2、 掌握平行四边形的性质定理； 3、能初步运用平行四边形的性质进行推理和计算，并体会如何利用所学的三角形的知识解决四边形的问题． 一、平行四边形的定义 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”. 要点：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条. 二、平行四边形的性质 平行四边形性质定理1 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对边分别相等 简述为：平行四边形的对边相等. 平行四边形性质定理2 如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两组对角分别相等 简述为：平行四边形的对角相等。 利用平行四边形性质定理1,我们得到：夹在两条平行线间的平行线段相等. 于是，从l1(或l2)上任意两点分别作垂直于l2(或l1)的线段，因为所作垂线段是夹在平行线l1、l2间的平行线段，所以它们相等.由此可见，如果两条直线平行，那么一条直线上任意一点到另一条直线的距离都相等.因此，可以把两条平行线中一条直线上任意一点到另一条直线的距离定义为两条平行线的距离. 平行四边形性质定理3如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的两条对角线互相平分. 简述为：平行四边形的两条对角线互相平分， 平行四边形性质定理4平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点 要点：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系. （2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择. （3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决. 【即学即练1】如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：B ． 【即学即练2】若四边形是平行四边形，且，则 ． 【答案】/85度 【分析】此题考查平行四边形的性质．利用平行四边形的对角相等、对边相互平行可求得答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【即学即练3】已知的周长为32，，则等于（   ） A．10 B．12 C．24 D．28 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形对边相等以及平行四边形的周长的定义解答即可． 【解析】解：如图： ∵的周长为32，， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 【即学即练4】如图，直线，则 ．(填“>”“=”或“<”) 【答案】= 【分析】由可推出和等高，又有两个三角形的有公共底BC，根据三角形面积公式即可确定关系． 【解析】解：∵， ∴△ABC与△DBC的高相等． ∵BC=BC， ∴=． 故答案为：=． 【点睛】本题关键是理解两平行线间的距离相等这一定理． 【即学即练5】如，平行四边形中，O为两条对角线的交点，则结论正确的是哪项？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等、对角线互相平分．由平行四边形的性质容易得出结论． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴选项A、B、D不正确，选项C正确； 故选：C． 【即学即练6】如图，四边形是平行四边形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了学生对平行四边形的性质、勾股定理和坐标与图象性质的理解和掌握，根据四边形是平行四边形，可求出C点的横坐标，再利用勾股定理求出的长，然后即可得出点C的坐标．此题难度不大，属于基础题． 【解析】解：∵点A的坐标为,点B的坐标为, ∴， ∴, ∴, ∴,点C在第二象 限, ∴点C的坐标为. 故答案为： ． 题型1：平行四边形的定义 【典例1】．如图所示，四边形是平行四边形，可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的表示，根据平行四边形的表示方法即可求解，掌握平行四边形的表示方法是解题的关键． 【解析】解：四边形是平行四边形，可以记作， 故选：． 【典例2】．如图，把线段AB向右平移3个单位长度，该线段移动前后和对应端点连线所组成的图形是 ． 【答案】平行四边形 【解析】略 题型2：根据平行四边形的性质求角度 【典例3】．如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：B ． 【典例4】．中，，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形对角相等是解题的关键． 根据平行四边形对角相等求出，再根据，即可得出的度数． 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， ， ； 故答案为：． 【典例5】．在平行四边形中，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例6】．在平行四边形中，比大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对边平行得到，则，再由已知条件得到，据此求解即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵比大， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例7】．已知一个平行四边形两邻角的度数之比为，则它较大的一个内角度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质进行解析，即可得到答案． 【解析】解：平行四边形， ， ， ， ， 故选：C． 【典例8】．在中，可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据平行四边形中对角相等即可选出． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴可能是， 故选A． 题型3：根据平行四边形的性质求长度 【典例9】．已知平行四边形的周长为则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对边相等，且结合平行四边形的周长为列式计算，即可作答． 【解析】解：∵平行四边形的周长为 ∴ ∵ ∴ ∴则的长为8 故答案为：8 【典例10】．如图，在中，，则的周长是（    ）    A．18 B．14 C．16 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，即对边相等，所以的周长是，代入数值计算，即可作答． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴的周长是， 故选：A． 【典例11】．如图，的周长是28cm，若，则的周长是 ． 【答案】22 【分析】由的周长是28cm，得出，再根据，得出的周长即可． 【解析】解：∵的周长是28cm， ∴， ∵， ∴的周长是， 故答案为：22． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟记平行四边形的对边相等，是解题的关键． 【典例12】．用一根长的绳子围成一个平行四边形，使其两边的比为，则短边为 ． 【答案】6 【分析】设两边长分别为a和b，由平行四边形的性质列方程，则可求得答案． 本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边相等是解题的关键． 【解析】∵其两边的比为， ∴设两边长分别为和， 根据题意得， 解得 ∴ ∴短边为6． 故答案为：6． 【典例13】．平行四边形的周长为，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的周长为，可得，结合，可得答案． 【解析】解：∵平行四边形的周长为， ∴，即， ∵， ∴， 故选B 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，熟记平行四边形的周长公式是解本题的关键． 题型4：根据平行四边形的两条对角线相互平分求长度 【典例14】．▱的对角线、相交于点，，，，则的周长为 ． 【答案】 【分析】直接利用平行四边形的性质，对边相等，对角线互相平分，进而得出答案． 【解析】解：平行四边形的对角线、相交于点，，，，    ，，， 的周长为：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出各线段的长是解题关键． 【典例15】．如图，□中，，相交于点，若，，则的周长为（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的周长，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据四边形是平行四边形，得，，，又因为，则，即可列式作答． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：B． 【典例16】．如图，平行四边形的周长是，对角线和相交于点O，和的周长差为，那么这个平行四边形的两邻边、的长分别为 、 ．    【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．由平行四边形的周长是得：，再由和的周长差是得出，两式联立求解即可． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵平行四边形的周长是， ∴， ∵和的周长差是， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：；． 题型5：平行线间的距离 【典例17】．如图，，点，在直线上，点在直线上，，，，，则图中与之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两条平行线间的距离，三角形的面积的计算，解决本题的关键是熟记点到直线的距离的定义，正确的识别图形，明确三角形面积的不同计算方法．根据三角形的面积计算公式即可得到结论． 【解析】解：设与之间的距离为， 则， ，，， ， 设与之间的距离为， 故答案为：． 【典例18】．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线之间的距离的应用，由于点M的位置不确定，应分两种情况讨论（）当在和的同侧时，（）当在之间时两种情况分析即可，掌握平行线之间的距离及分类讨论思想是解题的关键． 【解析】解：当在和的同侧时，距离为； 当在之间时，距离为， 故答案为：或． 【典例19】．如图，，下面给出四个结论：①四边形是平行四边形；②；③；④．其中正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】此题主要考查平行四边形的判定与性质，和等（同）底等高的两个平行四边形面积相等，和同底等高的两个三角形的面积相等．由已知可得，四边形和四边形都是平行四边形，可推出4个结论是否成立． 【解析】解：， 四边形是平行四边形，故①正确； ， 四边形是平行四边形， ，故②正确； ， 四边形和四边形等底等高， ，故③正确； 四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， ，故④错误； 故答案为：①②③． 题型6：平行四边形的性质综合辨析 【典例20】．下列语句中，平行四边形不一定具有的是（    ） A．对角相等 B．两组对边分别平行且相等 C．对角线相等 D．中心对称性 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 【解析】解：∵平行四边形的性质为对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，是中心对称图形， ∴不具备对角线相等， 故选C 【典例21】．平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（    ） A．外角和等于 B．对角线互相平分 C．内角和等于 D．有两条对角线 【答案】B 【分析】 此题考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，即可求得答案． 【解析】 解：平行四边形具有的性质：对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 一般四边形具有：外角和等于，内角和为，有两条对角线． 平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是：对角线互相平分． 故选：B． 【典例22】．下列说法正确的是（    ） A．平行四边形邻边相等 B．平行四边形对边平行 C．平行四边形对角互补 D．平行四边形既是中心对称图形，也是轴对称图形 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【解析】解：A．平行四边形邻边不一定相等，故选项错误，不符合题意； B．平行四边形对边平行，故选项正确，符合题意； C．平行四边形对角相等但不一定互补，故选项错误，不符合题意； D．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 【典例23】．如图，在中，一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题的关键． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，故D说法正确，符合题意； 根据现有条件无法得到，，，故A、B、C说法错误，不符合题意； 故选：D． 题型7：平行四边形的性质与其他几何性质结合求长度 【典例24】．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行四边形的性质．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【解析】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 故答案为：3． 【典例25】．如图，在平行四边形中，平分，交于点，平分，交于点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的性质，根据题意，则，，；根据平行线的性质，则，，再根据角平分线的性质，等角对等边，则，；根据，，求出；最后根据，即可． 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【典例26】．在平行四边形中，，，过点D作于点H，连接．若平分，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等角对等边，勾股定理．根据平行四边形的性质得出，，推出，进而得出，则，最后根据勾股定理即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例27】．如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过O作交于点E，若的周长为，则的值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质．由四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分、对边相等，即可得，，，又由，即可得是的垂直平分线，然后根据线段垂直平分线的性质，即可得，又由的周长为，即可求得的值． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴是的垂直平分线，即， ∵的周长为 ， ∴，即， ∴； 故答案为：． 【典例28】．如图，在平行四边形中，，，，垂足为点E，F为上一点，连接交于点G，若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的三线合一、勾股定理等知识点，由题意求得，再由，结合勾股定理进行求解即可． 【解析】解：∵，，， ∴， ∵平行四边形， ∴，与平行， ∴， ∵ ∴ ∴ 故答案为： 题型8：平行四边形的性质的其他应用 【典例29】．如图，平行四边形的面积是16平方厘米，边长5厘米，那么高长 厘米．    【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的面积公式，根据平行四边形的面积公式即可求出答案． 【解析】解：∵由平行四边形面积公式可得：， ∴， ∴（厘米）， 故答案为： 【典例30】．如图是一个平行四边形，已知，F是中点，的面积是，那么四边形的面积为 【答案】7 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中线的性质．连接，根据平行四边形的性质得到，根据，的面积是，得到的面积为，则，根据是的中点即可得到的面积，据此求解即可． 【解析】解：如图，连接，    ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，的面积是， ∴的面积为， ∴， ∵是的中点， ∴， 即四边形的面积为， 故答案为：7． 【典例31】．如图，在中，过点C作，交的延长线于点E，若，则的度数为(    )      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，，然后利用平行线的性质及直角三角形两锐角互余分析求解． 【解析】解：设与交于点F，    在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余，掌握相关性质正确推理计算是解题关键． 【典例32】．如图，在平行四边形中，对角线、交于点，，，，则的面积等于 ． 【答案】5 【分析】此题考查了平行四边形的性质与三角形的面积，此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由直角三角形性质可得，再根据平行四边形的性质得出，，再求面积即可． 【解析】解：如图，过点D作， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 故答案为：5 题型9：根据平行四边形的性质求顶点坐标 【典例33】．如图，在平面直角坐标系中，若平行四边形的顶点A，B，C的坐标分别是，，，则点D的坐标是 ．    【答案】 【分析】由四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质，即可求得顶点的坐标． 【解析】解：四边形是平行四边形， ，， 的顶点、、的坐标分别是，，， 轴，， 顶点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键． 【典例34】．如图，点，，将线段平移后得到线段，且四边形的面积为9，则D点坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．掌握点的坐标的变化规律是解题的关键． 首先根据四边形的面积求出C点坐标，即可得出平移方向和距离，再根据平移的规律解答即可． 【解析】解：∵，， ∴，， 设C纵坐标为a， ∵四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∵将线段平移后得到线段， ∴平移的方式为：右移4个单位、上移3个单位， 则D点坐标为，即， 故答案为：． 【典例35】．在平面直角坐标系中，平行四边形的三个顶点：点，点，点．用含a，b，m，n的式子表示点B的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标的平移．由平行四边形，可知，由点，点，可知通过向右平移个单位，向上平移个单位到，由，可求． 【解析】解：∵平行四边形， ∴， ∵点，点， ∴通过向右平移个单位，向上平移个单位到， ∵， ∴， 故答案为：． 题型10：折叠问题 【典例36】．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【解析】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 【典例37】．如图，在平行四边形中，E为边上的一个点，将沿折叠至处，使得落在的延长线上，若，时，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折的性质，三角形内角和定理等知识，根据翻折前后对应角相等是解题的关键．根据平行四边形的性质可求出，由三角形内角和求出，然后由折叠的性质即可求解． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据折叠可知：， ∴． 故答案为：． 题型11：解答综合题 【典例38】．如图，在中，点E，F分别在边和上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行四边形的性质可得，，结合已知条件进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【解析】证明：四边形是平行四边形 ， 在和中 ． 【典例39】．如图，在平行四边形中，点O 是对角线的中点，过点O， 交于点E，交于点F．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，先由平行四边形对边平行得到，则，再由线段中点的定义得到，据此可根据证明． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O 是对角线的中点， ∴， ∴． 【典例40】．如图，在平行四边形中，，，．求AC的长度． 【答案】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理．根据平行四边形的性质得到，利用勾股定理求出，即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【典例41】．如图，将沿对角线对折得，与相交于点F， 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，折叠的性质，先由平行四边形的性质得到，再由折叠的性质推出，进一步证明，即可证明． 【解析】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【典例42】．如图，在平行四边形中，过点A作于点E，且． (1)求的度数； (2)若，求和之间的距离． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理： （1）由平行四边形对边平行得到，再由三角形内角和定理得到，据此推出，解之即可； （2）由（1）可得到，据此求出的长，进而求出平行四边形的面积，再根据等面积法求出答案即可． 【解析】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， 设和之间的距离为h， ∴， ∴， ∴和之间的距离为6． 【典例43】．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点的坐标为的坐标为． (1)请直接写出平行四边形的中心的坐标___ (2)求出直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、求一次函数解析式： （1）利用平行四边形的性质先求出点C的坐标，点P为点C和点A的中点，由此可解． （2）利用待定系数法求解． 【解析】（1）解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：设直线的解析式为， 则有， ， 直线的解析式为． 【典例44】．如图，在中，的平分线交于E点，且，． (1)求的周长； (2)连结，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理．熟练掌握平行四边形的性质、角平分线的性质、勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线进行求解即可； （2）先证明为直角三角形 ，再求四边形的面积即可． 【解析】（1）解：在平行四边形中，，   ， 平分， ， ， ， ， 平行四边形的周长为：． （2）解：，，，   ， 为直角三角形，即， 平行四边形的面积． 【典例45】．如图，在平行四边形中，点E为上一点，连接并延长交的延长线于点F，，连接． (1)求证：平分； (2)若点E为中点，，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】此题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质等知识． （1）由四边形是平行四边形得到，则，由得到，则，即可得证； （2）由平行四边形的性质和证得和是等边三角形，则，利用平行四边形的周长公式即可得到答案． 【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的周长． 【典例46】．如图，在中，，，E为射线上一点，直线与直线交于点G，于H，的延长线与直线交于点F． (1)当E在线段上时， ①若，，求的面积； ②求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 【分析】（1）①过点G作，垂足为P，证明是等腰直角三角形，求出，再根据含30度角的直角三角形的特征，求出，利用勾股定理求出，进而得到，利用勾股定理即可求出，即可得到的面积；②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【解析】（1）①解：过点G作，垂足为P， ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为：； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 一、单选题 1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是(    ) A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．对角线相等 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项． 【解析】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分， ∴选项A. B. C正确，D错误. 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解． 2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C． 【解析】解：A正确； ∵∠1和∠2是对顶角， ∴∠1=∠2； B、D正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB∥CD， ∴∠1=∠2； C不正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠1=∠BCE， ∵∠2=∠CBE+∠BCE， ∴∠2=∠CBE+∠1， ∴∠2＞∠1，即一定不相等； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键． 3．已知平行四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形ABCD的性质可得，∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．再根据，即可求出答案． 【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°． 又∵∠A+∠C=240°， ∴∠A=∠C=120°， ∠B=180°－∠A=60°． 故选：B 【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键． 4．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列式子一定成立的是（  ） A．AC⊥BD B．AC＝BD C．OA＝OC D．OA＝OD 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质（对角线性质）逐项判断即可得． 【解析】解：平行四边形的对角线互相平分， ， 则选项一定成立，选项不一定成立， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 5．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（    ） A．12cm B．8cm C．6cm D．4cm 【答案】C 【分析】设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程解答即可． 【解析】解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为3：2， ∴设平行四边形的两邻边分别为3x和2x， ∵周长为20cm， ∴2(3x+2x)=20， 解得x=2， ∴3x=3×2=6， 即平行四边形中较长一边的长为6． 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长．关键是根据平行四边形的周长公式列出方程． 6．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（    ） A．4和6 B．6和8 C．8和12 D．20和30 【答案】D 【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可． 【解析】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E， 它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意； 它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形． 7．有下列说法： ①平行四边形具有四边形的所有性质： ②平行四边形是中心对称图形： ③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形； ④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形． 其中正确说法的序号是（    ）． A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可． 【解析】解：∵平行四边形是四边形的一种， ∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确： ∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合， ∴平行四边形是中心对称图形，故②正确： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA ∴△ADC≌△CBA（SAS） 同理可以证明△ABD≌△CDB ∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OD=OB， ∴，，， ∴， ∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 8．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（    ） A．1<m<11 B．2<m<22 C．10<m<12 D．5<m<6 【答案】A 【分析】根据三角形三边关系判断即可． 【解析】∵ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，O为AC和BD的交点， ∴AO=6，BO=5， ∴6-5<m<6+5，即1<m<11 故选：A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系,关键在于熟记三角关系． 9．如图，平行四边形ABCD的周长为16cm，相交于点交于点则△ABE的周长为（    ） A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和已知条件可得OE垂直平分BD，然后根据线段垂直平分线的性质可知BE＝DE，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，AB=CD，AD=BC， ∵EO⊥BD， ∴EO为BD的垂直平分线， ∴BE＝DE， ∵平行四边形ABCD的周长为16cm， ∴AB+AD＝×16＝8cm． ∴△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+DE＝AB+AD＝8cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键． 10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 (      ) ①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④ 【答案】B 【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案． 【解析】解：①∵F是AD的中点， ∴AF=FD． ∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB， ∴AF=FD=CD， ∴∠DFC=∠DCF． ∵AD∥BC， ∴∠DFC=∠FCB， ∴∠DCF=∠BCF， ∴∠DCF=∠BCD，故①正确； 延长EF，交CD延长线于M． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A=∠MDF． ∵F为AD中点， ∴AF=FD． 在△AEF和△DFM中，， ∴△AEF≌△DMF（ASA）， ∴FE=MF，∠AEF=∠M． ∵CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴∠AEC=∠ECD=90°． ∵FM=EF， ∴EF=CF，故②正确； ∵EF=FM， ∴S△EFC=S△CFM． ∵MC＞BE， ∴S△BEC＜2S△EFC 故③正确； 设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x， ∴∠EFC=180°﹣2x， ∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x． ∵∠AEF=90°﹣x， ∴∠DFE=3∠AEF，故④错误． 故选：B．      【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键． 二、填空题 11．已知在平行四边形中，，则此平行四边形的周长为 ． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，即可求得结果． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质,解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等． 12．在中，，则 ． 【答案】/140度 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，先由平行四边形的性质可得、，进一步得到，再根据即可求得． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC= ，AB= ． 【答案】 cm 5cm 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理得到，根据所对的直角边为斜边的一半以及勾股定理可得出答案． 【解析】解： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵∠BAD=120°， ∴， ∵CA⊥AB， ∴，， ∴，， 故答案为：cm；5cm． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，所对直角边的性质，熟知性质定理是解本题的关键． 14．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为 ． 【答案】18 【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得方程，继而求得答案． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC＝AC， ∵OA＝3x，AC＝4x+12， ， 解得：x＝6， ∴OC＝3x＝18． 故答案为：18． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质．注意根据平行四边形的对角线互相平分，得到方程是关键． 15．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到，进一步得到，从而可得． 【解析】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出． 16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝ cm． 【答案】3 【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【解析】因为四边形ABCD是平行四边形， 所以BC=AD，ABCF，AB=CD， 所以∠ABF=∠BFC， 因为BF平分∠ABC， 所以∠ABF=∠CBF， 所以∠BFC=∠CBF， 所以CB=CF， 因为CF=CD+DF， 所以AD=AB+DF， 所以AB=7-4=3(cm)， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 17．如图，为的对角线，M、N分别在上，且则 （填“＜”、“＝”或“＞”） 【答案】＝ 【分析】连结，根据平行四边形的性质可得，，由已知条件根据等底同高的三角形面积相等可得，即可得出答案． 【解析】连结，如图 四边形是平行四边形， ， ，, ， , ， ． 故答案为：= 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，通过找到等底同高的三角形是解题的关键． 18．如图，将平行四边形进行折叠，折叠后恰好经过点C得到，若，则线段的长度为 ． 【答案】12 【分析】由平行四边形的性质可得AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD，可得∠ECD'＝90°，由折叠的性质可得D'E＝DE＝5，AD＝AD'，由勾股定理可求CD'的长，AC的长． 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD＝BC，AB＝CD＝DE＋CE＝9，ABCD ∴∠BAC＝∠ACD＝90° ∴∠ECD'＝90° ∵将平行四边形ABCD进行折叠，折叠后AD恰好经过点C得到AD'， ∴D'E＝DE＝5，AD＝AD' ∴CD'＝＝3 ∴AD'＝AC＋3＝AD＝BC ∵BC2＝AB2＋AC2， ∴（AC＋3）2＝81＋AC2， ∴AC＝12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，求出CD'的长是本题的关键． 三、解答题 19．如图，在中，，求和的度数． 【答案】∠ACB=21°，∠CAB=34° 【分析】根据平行四边形的性质AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°，再根据三角形的内角和以及平行线的性质即可得出答案； 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=125°， ∴AD//CB，AB∥CD，∠B=∠ADC=125°， ∴∠ACB=∠CAD， ∵∠CAD=21°， ∴∠ACB=21°， 在△ABC中，∠CAB=180°-∠B-∠ACB=180°-125°-21°=34°， 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形的内角和，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键 20．如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积． 【答案】OB的长为3，▱ABCD的面积为48． 【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案． 【解析】解：∵BD⊥AD，AB=10，AD=8， ∴BD==6． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=BD=3， ∴S▱ABCD=6×8=48． 故OB的长为3，▱ABCD的面积为48． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键． 21．如图，四边形是平行四边形．求： （1）和的度数； （2）和的长度． 【答案】（1）；（2）25，30 【分析】（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案； （2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案． 【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ , ∵ ∴ （2）∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键． 22．如图，中，、是直线上两点，且． 求证：（1）； （2）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可； （2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可． 【解析】证明：（1）四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）， ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题的关键． 23．如图，在平行四边形中，的平分线与的延长线相交于点于点. （1）求证:； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2. 【分析】（1）先证明，得到，再根据，利用等腰三角形性质得到结论； （2）根据平行四边形性质和，求出BE和AB，问题得解． 【解析】（1）证明:四边形是平行四边形， 即 . 平分 又 ； （2）解:四边形是平行四边形， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，证明是解答本题关键． 24．在中，点和点是直线上不重合的两个动点，，． （1）如图①，求证：； （2）由图①易得，请分别写出图②，图③中，，三者之间的数量关系，并选择一个关系进行证明； （3）在（1）和（2）的条件下，若，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）图②：，理由见解析；图③：，理由见解析；（3）或4． 【分析】（1）根据平行四边形的性质证明≌，得，由即可得出； （2）图②，证明≌，得，根据线段的和得结论； 图③，证明≌，得，同理得出结论； （3）分别代入图①和图②条件下的，计算即可． 【解析】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴≌（AAS）， ∴， ∴，即． （2）图②：，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴≌（AAS）， ∴， ∴． 图③：，理由是： 同理得：≌（AAS）， ∴， ∴． （3）图①，， 图②，， ∴或4． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，属于四边形综合题，证明相关三角形全等是解题的关键． 25．如图，在平面直角坐标系xOy中，点 (1)求直线AB的表达式； (2)在x轴上找出所有的点C，使△ABC是以线段AB为腰的等腰三角形； (3)是否存在点P、Q，满足点P在x轴上，点Q在y轴上，且以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为． (2)或，或，． (3)，，或，，或 ，，． 【分析】 （1）利用待定系数法即可解决问题． （2）①当时，②当或时，画出图形即可解决问题． （3）存在．分两种情形讨论即可．①当为平行四边形的边时，②当为平行四边形的对角线时，分别求出、坐标即可． 【解析】（1） 设直线解析式为，把点，，代入得 ， 解得， 直线解析式为． （2） 如图1中， ①当时，点坐标． ②当或时， ， 点，，，， 综上所述，当是以线段为腰的等腰三角形时，点坐标为或，或，． （3） 如图2中，存在． ①当为平行四边形的边时，，，或，，． ②当为平行四边形的对角线时，，，． 【点睛】本题考查一次函数综合题、待定系数法、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会画好图形解决问题，属于中考常考题型． 26．已知在平行四边形中，点F在边上，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，过点A作于点G，交于点E，若，求的度数； (3)如图3，在（2）的条件下，若G为的中点，，平行四边形的面积为144，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)8 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，由平行线的性质可得，从而得到，推出，即可得结论； （2）过点作交于点，交于点，由等腰三角形的性质可得，，由同角的余角相等可得，从而即可得结论； （3）连接，过点作于点，于点，证明，推出，证明，推出，设，，则，在中，，即，再由，求出的值，最后由进行计算即可得到答案． 【解析】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， ； （2）证明：过点作交于点，交于点，       ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于点，于点，     ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，，则， 在中，，即， ， 由解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一的性质、同角的余角相等、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造全等三角形，学会利用参数构建方程解决问题，属于压轴题． 2 / 52 学科网（北京）股份有限公司 $$