7.2 正弦、余弦（第1课时）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

7.2 正弦、余弦（1） 第1课时　正弦、余弦的概念和性质 学习目标 1. 利用相似的直角三角形，探索并认识锐角的正弦、余弦的概念； 2.会使用计算器由已知锐角求它的正弦、余弦； 3.了解锐角的正弦值随锐角的增大而增大，余弦值随锐角的增大而减小. 2 知识回顾 锐角的正切与两直角边什么关系？ 锐角的正切值随锐角的变化是如何变化的？ 问题情境 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°. 当∠A确定时，∠A的对边与邻边的比值也确定，此时，其他边之间的比是否也确定呢？ A B C 斜边c 对边a 邻边b 4 实践与探索 如图，小明沿着某坡道向上行走了13m，他的位置沿垂直方向上升了5m. 13m 5m 20m 如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？ 行走了a m呢？ m ， . 5 ？m 实践与探索 在上述过程中，小明的位置沿水平方向又分别移动了多少？ ？m 13m 20m 5m ， m . ＝12m， 6 观察与思考 （1）小明沿着斜坡行走，他的位置相对上升的高度与行走的路程有怎样的关系？ 相对上升的高度与行走的路程的比不变. 7 观察与思考 （2）小明沿着斜坡行走，他在水平方向前进的距离与行走的路程有怎样的关系？ 水平方向前进的距离与行走的路程的比不变. 8 探索与发现 如图，Rt△ABC 和Rt△DEF 都是直角三角形，其中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝90°，与有什么关系？ C A B F D E ∵ ∠B＝∠E＝90°，∠A＝∠D， ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∴ . ∴ . 9 探索与发现 A B1 C1 B2 C2 B3 C3 如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB₂C₂、Rt△AB₃C₃…… Rt△AB1C1 Rt△AB2C2 ∽ Rt△AB3C3 ∽ 根据相似三角形性质，得 …… …… 10 探索与发现 根据相似三角形的性质可知，当直角三角形的一个锐角的大小确定时，它的对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值也就确定. A B1 C1 B2 C2 B3 C3 11 认识概念 　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦 (sine)，记作sinA， A B C 斜边c 对边a 邻边b 即 sinA＝＝． 我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦 (cosine)， 记作cosA， 即 cosA＝＝． 你能写出∠B的正弦、余弦的表达式吗？ 12 认识概念 　 在Rt△ABC中，、和的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定. ∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数. 三 角 函 数 正弦 正切 余弦 sinA＝＝ cosA＝＝ tanA＝＝ A B C 斜边c 对边a 邻边b 13 认识概念 概念中的几个注意点： (1)是在直角三角形中定义的，∠A是一个锐角； (2)是一个完整的符号，习惯省去“∠”号； (3)是一个比值 (注意比的顺序)，值大于0，无单位； (4)三角函数的大小只与∠A的大小有关，与直角三角形的边长无关. 1. ∠A的三角函数sinA、cosA和tanA 14 认识概念 概念中的几个注意点： 2. 角相等，则对应的三角函数值相等；两锐角对应的三角函数值相等，则这两个锐角相等. 3. 对于求锐角的正弦值或余弦值的问题，计算时要避免混淆“正弦”与“余弦”的概念，弄清对边、邻边与斜边的区别． 15 例题讲解 例1 如图，在等边三角形ABC中，求cosB． A B C D 由题意知，BD＝BC＝AB. 在Rt△ABD中， cosB＝＝. 解：过点A作AD⊥BC，垂足为D. cos60°＝ 16 由例1可知，cos60°＝，求sin60°、sin30°、cos30°的值. A B C D 思考与探索 解：由题意知，AB＝BC＝2BD. 在Rt△ADB中， AD＝BD＝BD， 根据勾股定理，得 sin60°＝sinB＝＝＝. sin30°＝sin∠BAD＝＝＝. cos30°＝cos∠BAD＝＝＝. 17 操作与思考 如图，当一个点从原点O出发，沿着15°线移动了1个单位长度到点P时，这个点在垂直方向上升了约0.26个单位长度，在水平方向前进了约0.97个单位长度. 于是，可知sin 15°≈0. 26，cos 15°≈0. 97. 你能写出sin75°、cos75°的近似值吗？ sin 75°≈0. 97，cos 75°≈0. 26. 18 操作与思考 随着锐角θ的增大，sinθ与cosθ的值怎样变化? θ sin θ cos θ 15° 30° 60° 75° 0.26 0.97 0.97 0.26 0.5 0.5 0.866 0.866 0.866 0.866 19 新知归纳 sinθ随锐角θ的增大而增大，cosθ随锐角θ的增大而减小. 锐角α，β sinα，sinβ cosα，cosβ α＞β sinα＞sinβ cosα＜cosβ α＝β sinα＝sinβ cosα＝cosβ α＜β sinα＜sinβ cosα＞cosβ 20 新知归纳 例2 下列不等式中成立的是 ( ) A. sin70°＜sin60° B. cos70°＜cos60° C. tan70°＜tan60° D. sin40°＜sin30° B 变式 若cosα＞cosβ，且α、β都是锐角，则α_______β （填“＞”“＜”或“＝”）. ＜ 21 例题讲解 例3 用计算器求下列正弦值或余弦值 (精确到0.01)： (1) sin75°； (2) cos75°； (3) sin23°13'20''. 解：(1)依次按键 显示结果为0.965 925 826 3， 即sin75°≈0.97； (2)依次按键 即cos75°≈0.26； 显示结果为0.258 819 045 1， (3)依次按键 即sin 23°13'20''≈0.39. 显示结果为0.394 298 367 5， 22 新知巩固 B A C D 1. 如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D. (1) sinA＝ (2) sinB＝ (3) cos∠ACD＝ cos∠BCD＝ (4) tanA＝ tanB＝. CD AB BC AC AC CD AD BC CD BC 23 新知巩固 2. 求图中各直角三角形锐角的正弦、余弦值. B A C 2 5 B1 A1 C1 6 4 sinA＝ cosA＝ sinB＝ cosB＝ sinA1＝ cosA1＝ sinB1＝ cosB1＝. ① ② 24 新知巩固 3. 用计算器求下列正弦值或余弦值（精确到0.01）： (1) sin36°； (2) cos 36°； (3) sin12.5°； (4) cos 12. 5°. 解：(1) sin36°≈0.59； (2) cos36°≈0.81； (3) sin12. 5°≈0.22； (4) cos12. 5°≈0.98. 25 正弦、余弦的概念 正弦、余弦的性质 课堂总结 利用计算器求锐角的正弦值、余弦值 当堂检测 基础过关 1. 在Rt△ABC中，锐角A 的邻边和斜边同时扩大100倍，cosA的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 2. 如图，在△ACB中，∠C＝90°，则＝(　　) A. sinA B. sinB C. tanA D. tanB A B A C 27 当堂检测 基础过关 3. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，＝，则下列中结论正确的是(　　)A. sinA＝ B. sinB＝ C. cosA＝ D. tanB＝2 D B A C 28 当堂检测 基础过关 4. 三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是(　　)A. B. C. D. A α 29 当堂检测 基础过关 5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AB＝10，则AC的长为 　 ． 8 7. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和6 cm，则其底角的余弦值为________. 6. 比较大小：cos36°　　　cos37°， sin20°　　　sin50°. ＞ ＜ 30 当堂检测 基础过关 8. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，tanA＝. 求AB的长和sinB的值. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6， tanA＝＝， ∴AC＝12， ∴AB＝＝＝6 ∴sinB＝＝＝. B A C 31 当堂检测 能力提升 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AB＝3，则下列结论正确的是(　　)A. sinA＝ B. cosA＝ C. sinA＝ D. tanA＝ D A B C 32 当堂检测 能力提升 2. 如图，关于α与β的同一种三角函数值，有三个结论：①tanα＞tanβ；②sinα＞sinβ；③cosα＞cosβ. 其中，正确的结论为(　　) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ A α β 33 3. 梯子AB和地面所成的锐角为α，则下列说法正确的是(　　) A. sinα越小，梯子越陡 B. cosα越小，梯子越陡 C. tanα越小，梯子越陡 D. α越小，梯子越陡 当堂检测 能力提升 B A B α 34 4. 在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为_____. 当堂检测 能力提升 5. 在△ABC中，∠ABC＝90°. 若AC＝100，sinA＝，则AB的长是_____. 80 35 当堂检测 能力提升 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，AC＝3，CD＝2.5，则sinA＝_______. A B C D 36 当堂检测 能力提升 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3. (1)求AD的长； A B C D 解：(1)∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝3， ∴BC＝＝＝4. ∵D是BC的中点， ∴CD＝BC＝2. ∴AD＝＝＝. 37 E 当堂检测 能力提升 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，AB＝5，AC＝3. (2)求sin∠DAB的值. A C B D 解：(2)如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E. ∵D为BC的中点， ∴S△ACD＝S△ADB＝AC·CD＝3. ∵S△ABD＝AB·DE＝3， ∴DE＝. ∴sin∠DAB＝＝＝. 38 2021 Blues 4800.0 $$