第17讲 中心对称 简单的图案设计（5大知识点+12大考点）-【寒假自学课】2025年八年级数学寒假提升精品讲义（北师大版）

第17讲 中心对称 简单的图案设计 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系； 2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标； 3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．. 知识点1 中心对称和中心对称图形 1.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.如图3- 20,△ABC与△A'B'C 成中心对称，点O是它们的对称中心. 要点：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 知识点2 中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 知识点3 中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 例 如图3-21,点0是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. 解 ：如图3 - 22,连接BO并延长至B',使得OB'=OB; 连接CO并延长至C,使得OC=OC; 连接DO并延长至D,使得OD'=OD; 顺次连接E',B',C',D',A. 图形E'B'C'D'A就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形. 知识点4 关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 知识点5 简单的图案设计 1.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 2.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点一:判断生活中的中心对称现象 例1．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列图案中，中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 考点二:判断几何图形中的中心对称图形 例2．等边三角形 （填“是”或“不是”）中心对称图形． 【变式2-1】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【变式2-2】．在平行四边形、等边三角形、圆、线段中，是中心对称图形的有 ． 考点三:判断两个图形是否成中心对称 例3．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】．下列各组图形中，不成中心对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   考点四:中心对称的性质 例4．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ 　 　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【变式4-1】．下列说法中错误的是（     ） A．成中心对称的两个图形全等 B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合 C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点 D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分 【变式4-2】．如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】．如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-4】．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点五:画出已知图形关于某点对称的图形 例5．请你在如图的正方形格纸中，画出线段关于点成中心对称的图形． 【变式5-1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作关于点O对称的． 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 考点六:找出、画出中心对称图形的对称中心 例6．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【变式6-1】．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式6-2】．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【变式6-3】．如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 考点七:找出、画出中心对称图形的对称中心的坐标 例7．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出； (3)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标． 考点八:关于原点对称的点的坐标问题 例8．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【变式8-1】．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【变式8-2】．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 考点九:根据中心对称的性质求长度、角度、面积（含与三角形的证明结合） 例9．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】．如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式9-2】．如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 【变式9-3】．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式9-4】0．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【变式9-5】．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 考点十:图形变换过程 例10．下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式10-1】．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【变式10-2】．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 考点十一:中心对称的图形规律问题 例11．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【变式11-1】．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 考点十二:简单的图案设计综合 例12．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【变式12-1】．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【变式12-2】．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【变式12-3】．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【变式12-4】．如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【变式12-5】．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【变式12-6】．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 一、单选题 1．下列奥运会会徽图案中，是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（ ） A．连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 B．成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等 C．对应点的连线不一定都经过对称中心 D．以上说法都不对 3．如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点与点关于原点对称，则的值是（    ） A． B．1 C． D．9 5．下列命题中： ①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 7．已知点M（，3m）关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围为（    ） A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0 8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤ 10．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 二、填空题 11．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 12．如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ． 13．已知，点，关于原点对称，则的值为 ． 14．如图所示，四个图形中，图形①与图形 成轴对称；图形①与图形 成中心对称．（填写符合要求的图形所对应的序号） 15．如图，C是线段AB的中点，B是线段CD的中点，线段AB的对称中心是点 ，点C关于点B成中心对称的点是点 ． 16．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 17．如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 三、解答题 19．下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心．对于图②，至少把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合？ 20．在直角坐标系中，已知点关于原点对称，求a，b的值，并写出这两个点的坐标． 21．如图，在直角坐标系中，已知 各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与关于原点对称的图形，并直接写出，，的坐标.   22．按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形： (1)以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1 (2)以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2 23．如图，已知△ABC中，BD是中线． (1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD． (2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由． 24．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，画出，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为_____． 25．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．     （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．   （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 26．如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值． 27．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17讲 中心对称 简单的图案设计 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系； 2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标； 3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．. 知识点1 中心对称和中心对称图形 1.中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180°,它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心.如图3- 20,△ABC与△A'B'C 成中心对称，点O是它们的对称中心. 要点：(1)中心对称图形指的是一个图形； （2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形. 2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点． 要点：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同； （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合. 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 　 中心对称 中心对称图形 区别 ①指两个图形之间的相互位置关系． ②对称中心不定． ①指一个图形本身成中心对称． ②对称中心是图形自身或内部的点． 联系 如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形． 如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称． 知识点2 中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分. 知识点3 中心对称作图步骤： 　　① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. 　　② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 例 如图3-21,点0是线段AE的中点，以点O为对称中心，画出与五边形ABCDE成中心对称的图形. 解 ：如图3 - 22,连接BO并延长至B',使得OB'=OB; 连接CO并延长至C,使得OC=OC; 连接DO并延长至D,使得OD'=OD; 顺次连接E',B',C',D',A. 图形E'B'C'D'A就是以点O为对称中心、与五边形ABCDE成中心对称的图形. 知识点4 关于原点对称的点的坐标特征 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立. 知识点5 简单的图案设计 1.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合； ④对图案进行修饰，完成图案. 2.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 考点一:判断生活中的中心对称现象 例1．在下列与中国科技相关的一些标志中，可以看作是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解析】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【变式1-1】．下列图案中，中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，明确一个图形绕一个点旋转能和原图形完全重合是中心对称图形来判断即可． 【解析】解：A、C、D不是中心对称图形，B是中心对称图形， 故选：B． 【变式1-2】．下列图形是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形即可判断出． 【解析】解：A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心对称图形，故该选项符合题意； C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意． 故选：B． 考点二:判断几何图形中的中心对称图形 例2．等边三角形 （填“是”或“不是”）中心对称图形． 【答案】不是 【分析】本题考查中心对称图形的识别（把一个图形绕一个定点旋转后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）．根据中心对称图形的定义进行判断即可． 【解析】解：∵将等边三角形绕着一个定点旋转后，不能与初始图形重合 ∴等边三角形不是中心对称图形． 故答案是：不是． 【变式2-1】．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解析】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； B、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：A． 【变式2-2】．在平行四边形、等边三角形、圆、线段中，是中心对称图形的有 ． 【答案】平行四边形、圆、线段 【分析】结合中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形求解即可． 【解析】解：在平行四边形、等边三角形、圆、线段中，是中心对称图形的有：平行四边形、圆、线段． 故答案为：平行四边形、圆、线段． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 考点三:判断两个图形是否成中心对称 例3．下列各组图形中，与成中心对称的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了成中心对称的知识，成中心对称‌是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点；熟练掌握相关概念是解题的关键． 【解析】解：根据成中心对称的概念可得，与成中心对称的如图所示： ， 故选：D． 【变式3-1】．下列各组图形中，不成中心对称的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题重点考查了两个图形成中心对称的定义，欲分析两个图形是否成中心对称，主要把题目中一个图形绕一个点旋转，观察是否能和另一个图形重合即可，熟练掌握其定义是解决此题的关键． 【解析】根据中心对称的概A、B、C都是中心对称，不符合题意； D是轴对称，不成中心对称，符合题意． 故选：D． 考点四:中心对称的性质 例4．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（　　） A．点A与点是对称点 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称，解题的关键是理解中心对称的性质，属于中考常考题型．利用中心对称的性质一一判断即可． 【解析】解：与关于点成中心对称， 点与点是对称点，，， ，，正确， 故选：D． 【变式4-1】．下列说法中错误的是（    ） A．成中心对称的两个图形全等 B．中心对称图形绕对称中心旋转后，都能与自身重合 C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点 D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称轴平分 【答案】D 【分析】依据中心对称图形的定义和性质解答即可． 【解析】A．成中心对称的两个图形全等，正确，故本选项不合题意； B．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合，正确，故本选项不合题意； C．中心对称图形的对称中心是连结对称点的线段的中点，正确，故本选项不合题意； D．成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段被对称中心平分，原说法错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是中心对称图形的定义和性质，掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 【变式4-2】．如图所示，与关于点O成中心对称，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形的知识；根据成中心对称图形对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应点的连线被对称中心平分，对应角相等，解答即可． 【解析】成中心对称的两个图形是全等图形，它们的对应线段平行（或在同一直线上）且相等， 选项A，B正确；成中心对称的两个图形对应点的连线被对称中心平分，选项C正确，，选项D是错误的， 故选：D． 【变式4-3】．如图，四边形与四边形FGHE关于点O成中心对称，下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称． 【解析】A．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； B．∵点B与点G关于点O成中心对称， ∴，正确； C．∵与关于点O成中心对称， ∴，同理可得，正确； D．∵点D与点E关于点O成中心对称， ∴， ∴错误， 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的性质，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式4-4】．如图，与关于点O成中心对称，连接，，．下列结论中正确的有（   ） ①点A与点D是对应点；②；③线段与关于点O成中心对称 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查的是中心对称的性质，全等三角形的判定；根据与成中心对称，点是对称中心，再逐一分析判断即可． 【解析】解：①∵与成中心对称，点是对称中心，观察图形可知： 点A与点D是对应点，原说法正确，故符合题意； ②由中心对称的性质可得：，，， ∴，原说法正确，故符合题意； ③∵与成中心对称，点是对称中心， ∴线段与关于点O成中心对称，原说法正确，故符合题意． 故选：D． 考点五:画出已知图形关于某点对称的图形 例5．请你在如图的正方形格纸中，画出线段关于点成中心对称的图形． 【答案】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称是图形绕对称中心旋转后的图形，旋转角是平角，对应点和对称中心应该共线，并且被对称中心平分． 【解析】解：连接并延长，使，连接并延长，使，连接，则线段就是所求的线段，如图： 【变式5-1】．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1个单位长度，作关于点O对称的． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的作法是解题的关键．先分别作点A，B，C关于点O的对称点，，，再连结，，，即得答案． 【解析】如答图，′为所求图形． 【变式5-2】．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见详解， (2) 【分析】本题考查了作中心对称图形，点的坐标，运用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据中心对称的性质，分别找出点，再依次连接得，再读取点的坐标；即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【解析】（1）解：如图所示： ∴； （2）解：的面积 考点六:找出、画出中心对称图形的对称中心 例6．如图，已知图形是中心对称图形，则对称中心是（　　）    A．点 B．点 C．线段的中点 D．线段的中点 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义，得出对称中心是线段中点或线段中点，进而得出答案，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 【解析】解：∵此图形是中心对称图形， ∴对称中心是线段的中点． 故选：． 【变式6-1】．如图，在正方形网格中，，，，，，，，，，是网格线交点，若与中心对称，则其对称中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了中心对称，根据A、D两点到M的距离相等且三点在一条直线上，B、E两点到M都是的网格且三点在一条直线上，C、F两点到M都是的网格且三点在一条直线上，可得对称中心是点M． 【解析】解：如图， 相交于点M， ∴点M是与对称中心， 故选：A． 【变式6-2】．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，与关于点O成中心对称，与的顶点均在格点上． (1)请在图中直接画出点O； (2)将绕点C顺时针旋转得到，请画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称、旋转作图： （1）连接与的两组对称点，交点即为点O； （2）利用格点找出点A，B绕点C顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可． 【解析】（1）解：如图，点O即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式6-3】．如图，和关于点成中心对称，点、、的对应的分别是点、、． (1)在图中找出对称中心（保留画图痕迹）； (2)若，，，求周长． 【答案】(1)图见解析 (2)18 【分析】本题考查成中心对称，熟练掌握成中心对称的性质，是解题的关键： （1）根据成中心对称的性质，对应点连线的交点即为对称中心作图即可； （2）根据成中心对称的两个图形全等，求出的周长即可． 【解析】（1）解：如图，点即为所求； （2）∵，，， ∴的周长为：， ∵和关于点成中心对称， ∴， ∴周长为18． 考点七:找出、画出中心对称图形的对称中心的坐标 例7．如图，在平面直角坐标系中，若与关于点成中心对称，则对称中心点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，根据旋转的性质，连接对应点，与的交点即为对称中心，然后根据平面直角坐标系写出点E的坐标即可． 【解析】解：如图，连接，与相交于点E， 点E即为对称中心，． 故选：A． 【变式7-1】．在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，是格点三角形（顶点在网格线的交点上）． (1)作出关于原点O成中心对称的，并写出点的坐标 ，点的坐标 ； (2)把向上平移4个单位长度得到，画出； (3)已知与成中心对称，请直接写出对称中心的坐标． 【答案】(1)见解析，， (2)见解析 (3) 【分析】此题考查中心对称图形的画法，平移图形的画法，中心对称的性质及平移的性质，对称中心的确定方法，正确掌握中心对称的性质及平移的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作出点A、B、C的对应点，，，然后顺次连接即可； （2）根据平移特点先作出点，，平移后的对应点，，，然后顺次连接即可； （3）连接两组对称点的交点即为对称中心，然后根据中点坐标公式求出此点的坐标即可． 【解析】（1）解：如图，为所求作的三角形； 根据图可知，，； （2）解：如图，为所求作的三角形； （3）解：连接、，则、的交点即为对称中心， ∵，， ∴对称中心的坐标为， 即对称中心的坐标为． 考点八:关于原点对称的点的坐标问题 例8．在平面直角坐标系中，已知点和点，则A、两点（  ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据这两点的坐标特点，即可判定． 【解析】解：点和点的横纵坐标都互为相反数， A、两点关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题考查了关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点，熟练掌握和运用关于坐标轴及原点对称的点的坐标特点是解决本题的关键． 【变式8-1】．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 【答案】C 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【解析】， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 【变式8-2】．如图将绕点旋转得到，设点的坐标为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设的坐标为，由于、关于点对称，则， 【解析】解：设的坐标为， 和关于点对称． ，， 解得， 点的坐标 故选：． 【点睛】本题主要考查了一个关于一点成中心对称的问题，要根据中心对称的定义，且弄清中心对称的点的坐标特征． 考点九:根据中心对称的性质求长度、角度、面积（含与三角形的证明结合） 例9．如图是一个中心对称图形，为对称中心，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称的性质，所对直角边是斜边的一半，由中心对称的性质得，然后根据所对直角边是斜边的一半即可求解，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【解析】∵该图是一个中心对称图形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 【变式9-1】．如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了中心对称的性质，全等三角形的性质，勾股定理等知识，关键中心对称性质的应用． 根据中心对称的性质及，由勾股定理即可求得的长． 【解析】∵与关于点成中心对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ， 故选：D． 【变式9-2】．如图，已知，，，与关于点中心对称，则的长是 ． 【答案】 【分析】此题考查的是中心对称的性质和勾股定理，掌握成中心对称的两图形对应边相等和用勾股定理解直角三角形是解题的关键．直接利用中心对称的性质得出，的长，进而利用勾股定理得出答案． 【解析】解：与关于点中心对称，，， ，， ， ， 在中，． 故答案为：． 【变式9-3】．如图，与关于点成中心对称，，，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了成中心对称的图形的性质、三角形全等的性质、勾股定理，由题意得出，从而得出，，，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【解析】解：∵与关于点成中心对称， ∴， ∴，，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式9-4】0．如图，已知阴影部分图形关于点O成中心对称，且，的高，则的面积为（　　）． A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形的性质，三角形的面积公式．根据中心对称图形的性质得出是解题关键． 【解析】解：∵阴影部分图形关于点O成中心对称， ∴, ∴． ∵的高， ∴． 故选D． 【变式9-5】．如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和中心对称，关键是熟练掌握等边三角形的性质和中心对称的性质． 根据等边三角形的性质，得，，，再根据中心对称的性质，得，，，最后根据勾股定理即可得出答案． 【解析】解∶三角形是等边三角形，为的中点，， ，， ， 与关于点中心对称， ，，，， 在中，根据勾股定理， 得， 故答案为∶． 考点十:图形变换过程 例10．下列各组图形中，图形甲变成图形乙，既能用平移，又能用旋转的是（   ） A．    B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据平移、旋转的性质，结合图形，对选项进行一一分析，再解答． 【解析】解：A、不能通过平移得到，故本选项错误； B、是平移变换，不能通过旋转得到，故本选项错误； C、既符合平移变化，又能旋转得到，故本选项正确； D、是旋转变化，但不能通过平移得到，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查平移和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换． 【变式10-1】．在平面内，由图1经过两次图形变换后得到图2，下列说法错误的是（    ） A．只需经过两次轴对称变换 B．只需经过两次中心对称变换 C．先经过轴对称变换，再进行中心对称变换 D．先经过中心对称变换，再进行轴对称变换 【答案】B 【分析】利用轴对称与中心对称的定义进行分析判断即可． 【解析】解：由轴对称与中心对称的概念可知，两次轴对称，先轴对称后中心对称，先中心对称后轴对称均可由图1变换为图2；两次中心对称不能使图1变换为图2． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称与中心对称的概念，轴对称即沿着某条直线翻折，中心对称即绕某个点旋转，明确两者的概念是解题的关键． 【变式10-2】．如图，对分别作下列变换：①先以x轴为对称轴作轴对称图形，然后再向左平移4个单位；②以点O为中心顺时针旋转，然后再向左平移2个单位；③先以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位；其中能使变成的是（　　） A．① B．② C．②或③ D．①或③ 【答案】A 【分析】本题考查了图形的变换：平移、旋转与轴对称；逐项作出变换后的图形即可作出判断． 【解析】解：①如图1，作关于x轴的轴对称图形，然后再向左平移4个单位即得到； ②如图2，以点O为中心顺时针旋转得到，向左平移2个单位不能得到； ③如图3，以y轴为对称轴作对称图形，然后再向下平移3个单位不能得到； 故只有变换①能使变成； 故选：A． 考点十一:中心对称的图形规律问题 例11．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，…，如此作下去，则的顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点的横坐标、纵坐标规律．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，即可求出的坐标． 【解析】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， …， ，，，，…， 的横坐标是，当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是， 故答案为 【变式11-1】．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（ ， ） 【答案】 / 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【解析】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 考点十二:简单的图案设计综合 例12．如图所示，在正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是中心对称图形的情况有（  ） A．5种 B．4种 C．3种 D．2种 【答案】C 【分析】本题主要考查了利用旋转设计图案，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，依据中心对称图形的定义进行判断即可． 【解析】解：如图所示，涂黑一个小正方形，使四个涂黑的小正方形构成的图案是中心对称图形，则不同的涂法有3种． 故选：C． 【变式12-1】．边长为2的两种正方形卡片如上图①所示，卡片中的扇形半径均为2，图②是交替摆放A、B两种卡片得到的图案．若摆放这个图案共用两种卡片2021张，则这个图案中阴影部分图形的面积和为（    ） A．4040 B．4044–π C．4044 D．4044＋π 【答案】B 【分析】首先发现A，B两种卡片阴影部分的面积和为边长为2的正方形的面积，然后确定2021张卡片中A，B组成正方形1010个，第2021个图形是A，由此列式计算即可． 【解析】解：2021÷2＝1010…1， 所以这个图案中阴影部分图形的面积和为：4×1010＋A的阴影面积， 是：4440＋4﹣π＝4044﹣π． 故选：B． 【点睛】本题考查图形的变化规律，得出A、B面积和是正方形是解题关键． 【变式12-2】．图①，图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在每个正方形网格中标注了6个格点，这6个格点简称为标注点． (1)在图①，图②中，以4个标注点为顶点，各画一个中心对称图形．（两个中心对称图形不全等） (2)图①中所画的中心对称图形的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查格点作图，中心对称图形的定义． （1）利用格点的性质结合平行四边形是中心对称图形，分别选出能构成平行四边形的4个标注点连线即可； （2）根据图形利用割补法解答即可． 【解析】（1）解：如图所示为所求： （2）解：图①中所画的中心对称图形的面积为：． 【变式12-3】．如图，在由单位正方形组成的： 网格中，每个小正方形的顶点叫格点，A、B、C是格点，仅用无刻度的直尺在所给网格中完成作图：    (1)在图1中， 将绕点 A 顺时针旋转得，连接，并在线段上找一点M，使得 (2)在图2中，P为上一点，作线段关于点 C成中心对称的线段（A与E对应），并在上找一点 G，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平移作图和中心对称作图，熟练掌握平行的性质和对称的性质是解答本题的关键． （1）先按题意画出线段，过点C作的平行线即可作出点M； （2）根据中心对称作图即可． 【解析】（1）解：如图，线段和点即为所作；    （2）解：如图，线段和点即为所作．    【变式12-4】．如图，在的方格中，有4个小方格被涂黑成“L形”．    (1)在图1中再涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形“关于对称中心点O成中心对称； (2)在图2和图3中再分别涂黑4格，使新涂黑的图形与原来的“L形”所组成的新图形既是轴对称图形又是中心对称图形（两个图各画一种）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中心对称图形的定义画出图形； （2）根据轴对称图形，中心对称图形的定义画出图形即可． 【解析】（1）所求图形，如图所示． ．   （2）所求图形，如图所示． ．   【点睛】本题考查作图——应用与设计作图，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义． 【变式12-5】．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影： (1)使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．（至少画出两种） (2)使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．（画出一种） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键． （1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案； （2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案． 【解析】（1）解：如图所示（画出两种即可）： （2）如图所示（画出一种即可）： 【变式12-6】．实践与操作：现有如图①所示的两种小正方形瓷砖（图①中阴影正方形的边长是大正方形边长的一半），请从这两种瓷砖中各选2块，按下列要求拼铺成一个新的图案．（阴影部分用斜线画） (1)在图②、图③中各设计一种拼法，使图②是轴对称图形而不是中心对称图形，图③是中心对称图形而不是轴对称图形； (2)在图④、图⑤中各设计一种拼法，使这两个图案都既是轴对称图形又是中心对称图形，且互不相同．（两个图案之间若能通过轴对称、平移、旋转变换相互得到，则视为相同图案） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的定义设计图形即可． 【解析】（1）解：如图所示：是轴对称图形而不是中心对称图形， ， 如图所示：是中心对称图形而不是轴对称图形 ； （2）解：如图所示：既是轴对称图形又是中心对称图形， ． 一、单选题 1．下列奥运会会徽图案中，是中心对称图形的是（    ） A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解析】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 2．关于成中心对称的两个图形的性质，下列说法正确的是（ ） A．连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 B．成中心对称的两个图形的对应线段不一定相等 C．对应点的连线不一定都经过对称中心 D．以上说法都不对 【答案】A 【分析】根据两个中心对称图形的性质即可解答．关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；关于中心对称的两个图形能够完全重合，进而分析得出即可． 【解析】根据中心对称的性质： A. 连接对应点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分，此选项正确； B. 根据成中心对称的两个图形的对应线段一定相等，故此选项错误； C. 根据对应点的连线一定都经过对称中心，故此选项错误； D. 以上说法都不对，此选项错误. 故答案选：A. 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形的性质. 3．如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据中心对称的性质判断即可． 【解析】解：∵对应点的连线被对称中心平分， ∴，， 即B、D正确， ∵成中心对称图形的两个图形是全等形， ∴对应线段相等， 即， ∴C正确， 故选A． 【点睛】本题考查了中心对称图形的性质：对应点的连线被对称中心平分，成中心对称图形的两个图形是全等形，解题的关键是熟练掌握其性质． 4．已知点与点关于原点对称，则的值是（    ） A． B．1 C． D．9 【答案】D 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可得、的值，进而可得的值． 【解析】∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴的值是． 故选：． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的坐标特点，关键是掌握：点关于原点的对称点是． 5．下列命题中： ①中心对称图形一定是轴对称图形；②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形；③关于某一点为中心对称的两个三角形全等；④两个重合的图形一定为中心对称．其中正确的个数为（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】分别根据中对称图形以及中心对称和轴对称图形的性质进行判断得出即可． 【解析】解：①根据中心对称图形不一定是轴对称图形，故此选项错误； ②有两条互相垂直的对称轴的轴对称图形一定是中心对称图形，此选项正确； ③关于某一点为中心对称的两个三角形全等，根据旋转的性质得出，此选项正确； ④两个能重合的图形不一定是旋转180°得到，所以不一定为中心对称，故此选项错误． 故正确的有2个． 故选B． 【点睛】此题主要考查了中心对称以及中心对称图形和轴对称图形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 6．如图，与关于点D成中心对称，连接AB，以下结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的性质可得结论． 【解析】解：∵与关于点D成中心对称， ∴，， ∴ ∴选项A、C、D正确，选项B错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 7．已知点M（，3m）关于原点对称的点在第一象限，那么m的取值范围为（    ） A．m＜0 B．m＞0 C．m≤0 D．m≥0 【答案】A 【分析】根据第一象限的点关于原点对称的点在第三象限，结合点所在象限的坐标的特点即可求解． 【解析】与点M（，3m）关于原点对称的点在第一象限 点M（，3m）在第三象限 则3m＜0 m＜0 故选：A． 【点睛】本题考查根据点所在象限求参数，熟知关于原点对称的点的坐标和各个象限的点的坐标的特点是解题的关键． 8．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若，，AC=1，则BB′的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】在直角△ABC中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求得AB，而BB′=2AB，据此即可求解． 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AC=1， ∴AB=2AC=2， ∴BB′=2AB=4． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的性质，直角三角形的性质：30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半． 9．如图，图2的图案是由图1中五种基本图形中的两种拼接而成，这两种基本图形是（　　） A．①② B．①③ C．①④ D．③⑤ 【答案】B 【解析】试题分析：根据已知图形，利用分割与组合的原理对图形进行分析即可． 解：如图所示：图案甲是由左面的五种基本图形中的两种拼接而成的， 这两种基本图形是①③． 故选B． 点评：此题考查了平面图形的分割与组成，主要培养学生的观察能力和空间想象能力． 10．如图，是等腰三角形的底边的中线，，，与关于点C成中心对称，连接，则的长是（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解答本题的关键．根据等腰三角形的性质得出，，根据中心对称的性质得出，，然后利用勾股定理求解即可． 【解析】解：∵是等腰三角形的底边的中线，， ∴，， ∵与关于点C中心对称，， ∴，，， ∴， ∴． 故选：D． 二、填空题 11．如图，和 关于点O成中心对称，那么连接线段、、，它们都经过点 ，且 ＝ ， ＝ ， ＝ . 【答案】 O； ； ； ； ； ； 【分析】根据中心对称及中心对称图形的性质可直接进行求解． 【解析】解：∵和 关于点O成中心对称， ∴线段、、它们都经过点O；且，，； 故答案为O；，；，；，． 【点睛】本题主要考查中心对称图形的性质：对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分，熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 12．如图的四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的序号是 ． 【答案】③④/④③ 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解，可得答案； 【解析】解：①是中心对称图形，故①错误； ②是轴对称图形，故②错误； ③既是轴对称图形又是中心对称图形，故③正确； ④既是轴对称图形又是中心对称图形，故④正确； 故答案为：③④． 【点睛】本题考查了中心对称图形、轴对称图形的概念，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合． 13．已知，点，关于原点对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数求出x、y的值即可得到答案． 【解析】解：∵点，关于原点对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，代数式求值，熟知关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数是解题的关键． 14．如图所示，四个图形中，图形①与图形 成轴对称；图形①与图形 成中心对称．（填写符合要求的图形所对应的序号） 【答案】 ④ ③ 【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得． 【解析】解：四个图形中，图形①与图形④成轴对称；图形①与图形③成中心对称， 故答案为：④；③． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟记定义是解题关键． 15．如图，C是线段AB的中点，B是线段CD的中点，线段AB的对称中心是点 ，点C关于点B成中心对称的点是点 ． 【答案】 C D 【解析】根据中心对称图形的对称中心的定义，点C是线段AB的中点，点B是线段CD的中点，线段AB的对称中心是点C；点C关于点B成中心对称的对称点是点D. 故答案为C；D. 16．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为（x，y），那么它的对应点N的坐标是 ． 【答案】（﹣x，﹣y） 【分析】先观察图形可知，△PQR是△ABC绕点O旋转180°后得到的图形，即它们关于原点成中心对称；再利用关于原点对称的点的坐标特征“N点坐标与M点坐标互为相反数”即可作答． 【解析】解：观察图形可知C（1，2）、P（﹣4，﹣3）、Q（﹣3，﹣1）、A（4，3）、B（3，1）、R（﹣1，﹣2）， ∴C、R关于原点对称，A、P关于原点对称，B、Q关于原点对称， ∴△PQR和△ABC关于原点对称． ∵△PQR和△ABC关于原点对称， M（x，y）与N对称点， ∴N点坐标为：（﹣x，﹣y）． 故答案为：（﹣x，﹣y）． 【点睛】本题考查了两点成中心对称坐标的特点，关键熟悉关于原点成中心对称的坐标的特点为横纵坐标均互为相反数． 17．如图，△ABC与△DBE关于点B成中心对称，若∠A=90°，∠ADC=30°，DE=2，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】由中心对称的性质推出，得到，，由锐角的正切求出AD的长，即可求出AB的长． 【解析】解：∵与关于点B成中心对称， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查中心对称，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握中心对称的性质． 18．在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，点在第 个三角形上，（n是正整数）的顶点的坐标是 ． 【答案】 7 【分析】由题意可以求出点，，，的坐标，找出其中的规律，即可得到第一个空的答案；根据第一个空的规律，可求得第二个空的答案． 【解析】解：由题意可得，点的坐标为，，，，由此可得，点是的坐标，即该点在第7个三角形上； 法一：由图可得点，，所以点，则点， 由图可推得点； 法二：由点，，，的坐标，可得点， ， 所以点． 故答案为7， 【点睛】本题考查图形类的规律探索题，根据图形找到规律是解题的关键． 三、解答题 19．下面两幅图案是中心对称图形吗？如果认为是，标出它们的对称中心．对于图②，至少把图形绕整个圆的圆心旋转多少度，就能和原图重合？ 【答案】图是中心对称图形，对称中心为，如下图；图②不是中心对称图形，图形绕圆心至少旋转，就能和原图重合． 【分析】根据中心对称图形的定义：一个图形绕着某一点旋转后能够与自身重合的图形就是中心对称图形，可知：图 是中心对称图形，中间圆的圆心就是图形的对称中心； 图②不是中心对称图形，至少把图形绕整个圆的圆心旋转，就能和原图重合；由此得出答案即可． 【解析】解：图 是中心对称图形，对称中心为如下图： 图②不是中心对称图形，图形绕圆心至少旋转，就能和原图重合． 【点睛】此题考查利用旋转设计图案，掌握旋转的意义与性质是解决问题的关键． 20．在直角坐标系中，已知点关于原点对称，求a，b的值，并写出这两个点的坐标． 【答案】， 【分析】根据两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数，列出方程组，即可求解． 【解析】解：∵点关于原点对称， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握两点关于原点对称，则两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键． 21．如图，在直角坐标系中，已知 各顶点坐标分别为A（0，1），B（3，﹣1），C（2，2），试作出与关于原点对称的图形，并直接写出，，的坐标.   【答案】作图见解析，（0，﹣1），（﹣3，1），（﹣2，﹣2） 【分析】先补成网格结构，再根据平面直角坐标系找出点A、B、C关于原点O的对称点，，的位置，然后顺次连接即可；再根据平面直角坐标系写出A1，B1，C1的坐标． 【解析】解：如图所示：   （0，﹣1），（﹣3，1），（﹣2，﹣2）. 【点睛】本题考查旋转意义下的作图，找出三角形各顶点关于原点的对称点是解题关键． 22．按下列要求分别画出与四边形ABCD成中心对称的四边形： (1)以顶点A为对称中心的四边形AB1C1D1 (2)以BC的中点O为对称中心的四边形A2B2C2D2 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接并延长至，使得，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可； （2）方法同（1），连接AO并延长至，使AO=O，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形即可． 【解析】（1）解：连接并延长至，使得，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形；如图，四边形即为所求． （2）连接AO并延长至，使AO=O，则就是点A的对称点（将各点与对称中心相连，并延长至相等长度，得该点的对称点．）；同理作出其它各点的对称点，连接成四边形，如图所示，四边形即为所求， 【点睛】本题考查了画中心对称图形，掌握中心对称的性质是解题的关键． 23．如图，已知△ABC中，BD是中线． (1)尺规作图：作出以D为对称中心，与△BCD成中心对称的△EAD． (2)猜想AB+BC与2BD的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解； (2)AB+BC＞2BD．证明见详解． 【分析】（1）延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE，则△ADE与△CDB关于点D成中心对称，根据点D为AC中点，得出AD=CD，再证△ADE≌△CDB（SAS），根据∠CDB+∠ADB=180°，得出△BCD绕点D旋转180°得到△EAD， （2）根据△ADE≌△CDB（SAS），得出AE=BC，BD=ED，得出BE=2BD，在△ABE中，AB+AE＞BE即可． 【解析】（1）解：延长BD，在BD延长线上截取DE=BD，连结AE， 则△ADE与△CDB关于点D成中心对称， ∵点D为AC中点， ∴AD=CD， 在△ADE和△CDB中，     ， ∴△ADE≌△CDB（SAS）， ∵∠CDB+∠ADB=180°， ∴△BCD绕点D旋转180°得到△EAD， （2）AB+BC＞2BD． 证明：∵△ADE≌△CDB（SAS）， ∴AE=BC，BD=ED， ∴BE=2BD，     在△ABE中，AB+AE＞BE， 即AB+BC＞2BD． 【点睛】本题考查尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系，掌握尺规作图，三角形全等判定与性质，中心对称的定义，三角形三边关系是解题关键． 24．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点，，． (1)请画出将绕点旋转得到的，并写出点的坐标； (2)将沿着某个方向平移一定的距离后得到，已知点的对应点的坐标为，画出，此时与恰好关于某一点成中心对称，则这个对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， 【分析】本题考查了坐标与图形－旋转、平移，熟练掌握旋转的性质以及平移的规律是解本题的关键． （1）根据旋转的性质得出点的对应点，连线即可； （2）根据平移后点的坐标得出平移方式，然后画出平移图形；根据成中心对称的两个图形对应点连线的交点即为对称中线解答即可． 【解析】（1）解：如图，即为所求； 由图可得，点的坐标为； （2）解：由题意知，点平移后的对应点的坐标为， 点与点的横坐标相同，纵坐标：， 向下平移3个单位长度得到， 连接，，，相交于点， 则与关于点成中心对称， 由图可知，点为线段的中点，， 点的坐标为， 这个对称中心的坐标为． 25．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有5个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空白小等边三角形中，按下列要求选取一个涂上阴影： （1）使得6个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形．     （2）使得6个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形．   （请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形） 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质分析得出答案； （2）直接利用中心对称图形的性质分析得出答案． 【解析】（1）解：画出下列其中一种即可 （2）解：画出下列其中一种即可 【点睛】此题主要考查了中心对称图形以及轴对称图形，正确把握相关定义是解题关键． 26．如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值． 【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）； (2) (3)t=或； (4)满足条件的t的值为或． 【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解； （3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解； 【解析】（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4， 故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）； （2）当时，重合，此时不重合， 当P，Q重合时，2t-4+t=6， ∴； （3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4）， 解得，或， ∴t=或； （4）当点P在AB上时，如图甲所示， ∴×2（4-2t）×6=×t×4， 解得，． 当点P在BC上时，如图乙所示， ×2（2t-4）×4=×t×4，解得，， 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 27．在平面内，将图形关于点作中心对称变换得到图形的过程简记为：．若图形再关于点作中心对称变换得到图形，即：，则由图形变换到的过程称为图形作对称得到图形，记作：． 容易知道：若，则；若，则． 已知在平面直角坐标系中，点．    (1)如图1，已知点．点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是___________（写序号）：①对称；②对称；③对称；④对称． (2)点在直线上，线段，当线段与坐标轴有公共点时，求点的横坐标的取值范围； (3)点是平面内一点，．若线段上存在点，使点作对称后的对应点在轴上，直接写出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)①② (2)点的横坐标的取值范围为或 (3)或 【分析】（1）根据题意，分别求出点作变换后的点的坐标，再判断是否在的内部或边上，即可得到答案； （2）设点，则线段后点的坐标为，，分两种情况：当线段与轴有公共点时，当线段与轴有公共点时，分别求出的取值范围即可得到答案； （3）设点的坐标为，点，则，由可得，点作对称后的对应点，由点在轴上，可得，从而得出的取值范围，再根据求出的取值范围，由此即可得到答案． 【解析】（1）解：根据题意可得： 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，在的边上，符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 点关于对称的点的坐标为，不在的内部或边上，不符合题意； 故点作下面的变换后，对应点仍在的内部或边上的是①②， 故答案为：①②； （2）解：点在直线上， 设点， 点， 线段后点的坐标为，， 线段与坐标轴有公共点， 当线段与轴有公共点时，，， 解得：， 当线段与轴有公共点时，， 解得：， 综上所述，点的横坐标的取值范围为或； （3）解：线段上存在点，， 设点的坐标为，点，则， ， ，即， 点作对称后的对应为点， ， 点在轴上， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或， 或， 点的横坐标的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、中心对称的性质、解不等式组、点的坐标的性质，熟练掌握以上知识点，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49 学科网（北京）股份有限公司 $$