1.1.2等边三角形的性质（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1.1.2等边三角形的性质 类型一、应用等边三角形的性质求角度 1．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 5．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，在等边中，，点在线段上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 10．如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 11．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 类型二、应用等边三角形的性质求线段长 12．如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 13．如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 14．如图，在等边三角形中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 15．如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 16．如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 17．如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 18．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F．若，，则的面积是 ．（用含a和b的式子表示）    19．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      20．如图，某公园的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点在上，立柱的端点在上，且两立柱均与地面垂直．若，米，米，求的长度． 类型三、应用等边三角形的性质证明 21．等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①与直线夹的锐角为，②，正确的结论是（   ）    A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 22．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 23．如图，和都是等边三角形，B，C，D共线．求证：． 24．已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 25．如图，点在线段上，点在点右侧，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 27．如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 28．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 29．如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 类型四、平面直角坐标系中的等边三角形问题 30．如图，在等边中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 31．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第n秒点P运动到点（n为正整数），则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 33．如图所示放置的都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，且点都在同一直线l上，且，，，……则的横坐标为 ，纵坐标为 ． 34．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 类型五、与等边三角形有关的最值问题 35．如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（）    A．8 B．12 C．16 D．18 36．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 37．如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需 s． 38．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 39．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 40．如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 41．如图，将边长为9的等边折叠，使点B恰好落在边上的点D处，折痕为，O为折痕上的动点，若，则的周长的最小值为 ． 42．如图，在等边三角形中，为边的中线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为 ，此时，的值是 ． 43．如图，是等边三角形，点，，，…在射线BC上，且…，分别以，，，…为腰在射线上方作等腰，，，…，则的度数为（    ） A． B． C． D． 44．如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 46．如图，等边三角形纸片中，以上的点为顶点，把平角三等分，依次沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，则剪出的直角三角形全部展开铺平后，得到的平面图形可能是（    ）    A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．矩形 47．如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 48．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．6 B．12 C．16 D．8 49．如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 50．如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 七、解答题 51．如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 52．（1）【问题发现】 如图①，把一块三角板放入“”形槽中，使三角板的三个顶点分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段始终相等的线段是 ； （2）【拓展探究】 如图②，在中，点在边上，且，．求证：； （3）【能力提升】 如图③，在等边中，点分别为边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长为 ． 53．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 54．（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．          55．如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数； (2)如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数． 56．（1）【方法储备】如图（1）M、A、F在同一直线上，，，则利用可以证明，平时大家习惯地叫它为一线三等角．请你完成全等的证明过程． （2）【尝试应用】如图（2），D在等边的边上，E在上，以为边的等边的顶点F恰好在的平分线上，若，求的长． （3）【难点突破】如图（3），在长方形的边上，，在上，，，，求长方形的长和宽． 57．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 58．如图，已知，轴交y轴于点B，且满足． (1)求A点坐标； (2)分别以，为边作等边三角形和，如图1，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图2，过点A作轴交x轴于点E，点F，G分别为线段，上的两个动点，满足，设，，，试证明：． 59．如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接，相交于点，则在，运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)点，运动时间为多少时，是直角三角形？ (3)如图，若点，运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点，则的度数为 ． 60．已知，都是等边三角形，可以绕点B旋转． （1）如图①，F为边上一点，连接，，．若且时，则 ； （2）如图②，连接并延长交于点M，N为延长线上一点，连接，连接并延长交于点G．若G为的中点，连接，若，，在旋转的过程中，当最小时，则 ． 试卷第74页，共74页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.2等边三角形的性质 类型一、应用等边三角形的性质求角度 1．如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角定理，熟练掌握等边三角形性质及外角定理是解题的关键利用等边三角形的性质及三角形外角定理计算即可 【详解】∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 故选： 2．如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，对顶角性质解答即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，平行线的性质，对顶角性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 3．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置．若，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质，角的和差计算，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：    ∴， ∴； 故选C． 4．如图，在等边三角形中，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则． 【详解】解：∵在等边三角形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是等边三角形的性质．先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于，用，，表示出各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：图中是三个等边三角形，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 6．如图，已知是等边三角形，，是上的点，，与交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了等边三角形的性质、等边对等角，由等边三角形的性质求出，由得，根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求出的度数即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．如图，在等边中，，点在线段上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质及判定，熟知相关性质是正确解题的关键． 由等边三角形的性质得，再由， 得出即可求解． 【详解】解：在等边中，， ， ， ， ， ． 故选：A． 8．如图，是等边三角形，B、C、D、E四点共线，G、H分别在、上，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的内角的和得到然后根据解题即可． 【详解】解：∵， ∴，即 又∵， ∴ 又∵是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 9．如图，已知是等边三角形，是边上的高，点E在边上，且，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质；由等边三角形的性质得 ，由等腰三角形的性质得，由三角形的外角性质得，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．如图，是等边三角形的中线，以点为圆心，的长为半径画弧，交边于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查了等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用等腰三角形的性质可得,即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ， 是的中线， ， 由题意得：， ， 故答案为：． 11．如图，是等边三角形，点、、分别在、、上，，，则 ． 【答案】50 【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，证明，可得结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 类型二、应用等边三角形的性质求线段长 12．如图，等边三角形的边长为6，则高的长为（  ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．由等边三角形的性质可知三边长都为6，再利用等腰三角形的三线合一性质，由与垂直得到D为的中点，进而由的长求出的长，在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为边长为6的等边三角形，且， ∴， ∴， 在中，由， 根据勾股定理得：． 故选：C． 13．如图，油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶．图1是油纸伞展开后的剖面图，图2是油纸伞收起后的剖面图．已知分别为和的中点，和都为边长为4的等边三角形，为撑杆上可移动的点，当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是（） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查等边三角形的应用，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质．当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是，据此求解即可． 【详解】解：和都为边长为4的等边三角形， ， 当伞从展开状态到收起状态的过程中，移动的距离是， 故选：B． 14．如图，在等边三角形中，是边上的中线，延长至点E，使，若，则（   ） A． B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，先证明，得到，再利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵在等边三角形中，是边上的中线， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴． 15．如图，是等边三角形，点是边上一点，过点作，垂足为点，直线与的延长线相交于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，由得，再根据余角性质可得，最后根据对顶角的性质可得，即可得根据是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：∵是等边三角形，则， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，则，， ∴， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴ ∴， ∴的长为． 故答案为：． 16．如图，点P在等边三角形的内部，，，，垂足分别为D，E，F，若，且的边长为8，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，连接，，，根据等边三角形的性质可得，然后根据的面积的面积的面积的面积进行计算，即可解答． 【详解】解：连接，，， ∵是等边三角形， ∴， ∵，，，， ∴ ， 故答案为：． 17．如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 18．如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使，，垂足为F．若，，则的面积是 ．（用含a和b的式子表示）    【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、含度角的直角三角形的性质：度角所对的直角边是斜边的一半等知识点，由题意得，，结合可得，根据，，可得，即可求解； 【详解】解：∵是等边三角形，是中线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为： 19．如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    20．如图，某公园的入口可以抽象成一个等边三角形，立柱的端点在上，立柱的端点在上，且两立柱均与地面垂直．若，米，米，求的长度． 【答案】17米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．先证明，得到米．再根据30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，，即可求出的长度． 【详解】解：，， ． 是等边三角形， ， ． 在和中， ， ， （米）． 在和中， ，， ，， （米）． 类型三、应用等边三角形的性质证明 21．等边中，射线上有一点，连结，以为边向上作等边，连结和，下列结论：①与直线夹的锐角为，②，正确的结论是（   ）    A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定是解题的关键；根据等边三角形的性质即可证明，即可判断①，根据等边三角形的性质可得，即可判断②． 【详解】解：如图，设交于O，   都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 是等边三角形， ， 当时，， 当时，， 故②错误， 故选：． 22．如图，在等边三角形中，在边上（不包含A、C）取两点M、N，使，若，则x，m，n满足的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质，勾股定理的应用， 将绕点B顺时针旋转得到，连接，根据全等三角形的性质得，进而说明，可得，接下来得出，可得答案． 【详解】如图所示．将绕点B顺时针旋转得到，连接， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 可知， ∴， 即． 故选：C． 23．如图，和都是等边三角形，B，C，D共线．求证：． 【答案】见详解 【分析】先由等边三角形的性质得，，，得，再证，由全等三角形的性质得，再由平角的意义即可求出的度数．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【详解】证明：∵和是等边三角形， ，，， ， 即， 在和中， ， ∴ ， ． 24．已知，如图，为等边三角形，点E在边上，点D在边上，并且，和相交于点M，于点N． (1)求证：； (2)若，则 ． 【答案】(1)证明见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边是斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据为等边三角形，得，证明，即可作答． （2）易得，进行角的等量代换得，因为，则，，即可作答． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7． 25．如图，点在线段上，点在点右侧，是等边三角形． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得，结合可得，据此即可求证； （2）由得，利用三角形外角的性质即可求解； 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ∵， ． ． ， ． （2）解：， ， ， ． 26．如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，与交于点F． (1)求证：； (2)过点D作于点G，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定和三角形外角的性质，直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，利用证得，得到； （2）由全等得到，再根据三角形的外角与内角的关系得到，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，求出，然后再求出结果即可． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 又， ． ； （2）解：如图，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴． 27．如图，为等边三角形，相交于点于点． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解答； (2)14． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． （1）根据等边三角形的性质得出，求出，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等求出，求出，根据含角的直角三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， 又∵， ∴． 28．如图，分别以的边，向外作等边和等边，与相交于点．    (1)求证：； (2)请求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，得到，根据全等三角形的判定与性质即可得到结论； （2）根据角的和差和对顶角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，设与交于点，    ∵，， ∴， 即：， ∵， ∴． 29．如图是等边三角形，，，点E，F分别在，上，且． (1)求证：； (2)若的边长为1，求的周长． (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明过程见详解； (2)2 (3)，理由见详解． 【分析】本题是三角形的综合题，考查了等边三角形性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的综合运用．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）延长到，使，连接，求出，根据证，推出，，求出，根据证明，推出，即可得出答案； （2）由（1）得的周长等于，即可解答； （3）根据（1）中的即可解答． 【详解】（1）证明：延长到，使，连接， 是等边三角形， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （2）解：是边长为1的等边三角形， ， ， 的周长为：； （3）解：， 理由如下：由（1）知：， ． 类型四、平面直角坐标系中的等边三角形问题 30．如图，在等边中，动点P从点A出发，沿三角形的边由A→C→B做匀速运动，设点P运动的路程为x，的面积为y，把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则的面积为（　　） A． B． C．8 D．16 【答案】A 【分析】此题考查动点问题的函数图象，从图象中通过确定点P与C重合时的位置得到等边三角形的边长是解题关键． 根据图2可得：等边三角形的边长为4，根据勾股定理求高的长，由三角形面积可得结论． 【详解】解：由图2可知：等边三角形的边长为4， 如图，作高， ∴，， ∴， ． 故选：A． 31．在平面直角坐标系中，若干个边长为2个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边“”的路线运动，设第n秒点P运动到点（n为正整数），则点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标规律，找到规律是解题的关键． 先求出前6个点的坐标，找出规律，再计算求解． 【详解】解：是边长为2个单位长度的等边三角形， ，，，，， 由此得到，6个点为一个循环， ， 的坐标是， 故选D． 32．如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，再过点作轴的垂线，垂足为点，以为边在右侧作等边三角形，，按此规律继续作下去，得到等边三角形，则点的纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、等边三角形、垂线、图形和数字规律、含角的直角三角形的性质，从而完成求解． 根据点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是根据以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点，得点的纵坐标是此类推，得点的纵坐标是，得到答案． 【详解】解：点的坐标是，以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点纵坐标是， 以为边在右侧作等边三角形，过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ，点的纵坐标是，即， 以为边在右侧作等边三角形， 同理，得点的纵坐标是， 按此规律继续作下去，得：点的纵坐标是，即． 故答案为：． 33．如图所示放置的都是边长为2的等边三角形，边在x轴上，且点都在同一直线l上，且，，，……则的横坐标为 ，纵坐标为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了点的坐标变化规律．过点向x轴作垂线，根据的坐标，求出的坐标，根据以上规律即可得到答案． 【详解】解：过点向x轴作垂线，垂足为C， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点坐标为， ∵坐标为， ∴，， ∵轴，， ∴点坐标为， 同理可得点坐标为， 点坐标为， ……， 按照以上规律，我们可得： 点横坐标为，纵坐标为， 故答案为：； 34．如图，直线与轴、轴分别交于，两点，以为边在轴右侧作等边，将点向左平移，使其对应点恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与图形变化平移，得出点纵坐标为是解题的关键．先求出直线与轴交点的坐标为，再由在线段的垂直平分线上，得出点纵坐标为，将代入，求得，即可得到的坐标． 【解答】解：直线与轴交于点， 时，得， ． 以为边在轴右侧作等边三角形， 在线段的垂直平分线上， 点纵坐标为． 将代入，得， 解得． ∴的坐标是． 类型五、与等边三角形有关的最值问题 35．如图，在等边三角形中，是边上的高，E为的中点，P为上一动点，若，则的最小值为（）    A．8 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离．连接交于点，由等边三角形的性质有，所以的最小值为的长，求出即可． 【详解】解：连接交于点，    ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点与点关于对称， ， ， ∴的最小值为的长， ∵为的中点， ∴， 故选：B． 36．如图，等边的边长为，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，与交于点，由轴对称的性质可得也是等边三角形，于是可得，，进而可得，，于是推出点与点关于对称，因而当点与点重合时的值最小，于是得解． 【详解】解：如图，连接，与交于点， 是等边三角形，且与关于直线对称， 也是等边三角形， ，， ， ， ，， 点与点关于对称， 即：点与点关于对称， 当点与点重合时，的值最小， 此时， 故选：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（轴对称中的最短线路问题），轴对称的性质，等边三角形的性质，三线合一等知识点，利用作对称点找到使的值最小的点是解题的关键． 37．如图，在等边三角形中，高，E是线段上一动点．现有一动点P沿着折线运动，在上的速度是每秒4个单位长度，在上的速度是每秒2个单位长度, 则点P从点A运动到点C至少需 s． 【答案】5 【分析】如图，作于交于．沿着折线运动的时间，根据垂线段最短可知，当时，沿着折线运动的时间最短，由此即可解决问题．本题考查垂线段最短、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图，作于交于． 是等边三角形，， ． ． ． 沿着折线运动的时间， 根据垂线段最短可知，当时，沿着折线运动的时间最短， 、是等边三角形的高， ， 沿着折线运动的时间最时间． 故答案为：5． 38．已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（    ）．    A． B． C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得出、关于对称，再根据两点之间线段最短进行求解． 【详解】解：，都是等边的中线， 、关于对称， ， 故选：D 39．如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出图形是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，，作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P，则此时，的值最小，根据直角三角形的性质得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 作点E关于直线的对称点G，过G作于F，交于P， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 40．如图，在等边中，是边上的高，为上一动点，若，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了等边三角形的性质，轴对称最短路径的计算，点到直线垂线段最短，掌握等边三角形的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 根据等边三角形的性质可得点关于的对称点为点，连接，，则，则有，由点到直线垂线段最短可得，当时，的值最小，则的值最小，结合等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形，， ∴点关于的对称点为点， ∴连接，，则，如图所示， ∴，当时，的值最小，则的值最小， ∵是等边三角形，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为： ． 41．如图，将边长为9的等边折叠，使点B恰好落在边上的点D处，折痕为，O为折痕上的动点，若，则的周长的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的性质，连接，由折叠的性质可得，求出，进而得到的周长，则当O、B、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为． 【详解】解：如图所示，连接， 由折叠的性质可得垂直平分， ∴， ∵，等边的边长为9， ∴， ∴的周长， ∴当O、B、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为， 故答案为：15． 42．如图，在等边三角形中，为边的中线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为 ，此时，的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、直角三角形的性质、勾股定理．解决本题的关键是利用等边三角形的三线合一定理找边之间的关系．作点关于的对称点，连接交于点，根据对称的性质可知，利用等三角形的性质可以求出的边长为，是边长为的等边三角形，所以的最小值为；根据等边三角形的三线合一定理可知：、，利用勾股定理可以求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以求出，再利用勾股定理求出的长为，从而可以求出的值． 【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接交于点， 此时的值最小， ，， ， 为等边三角形，为边的中线， ，， ， 又，， ， 为等边三角形， ， 的最小值是， 为等边三角形，为边的中线， ， ， 又为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：12， ． 43．如图，是等边三角形，点，，，…在射线BC上，且…，分别以，，，…为腰在射线上方作等腰，，，…，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，图形类变化规律问题， 根据等边三角形的性质得，再根据等腰三角形的性质得出底角的变化特点，根据变化规律得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴． ∵，，，…均为等腰三角形，且，，，…为腰， ∴，，，……以此类推， ． 故选：B． 44．如图，点是直线在第一象限上的一点，线段在轴上，且是等边三角形，直线上存在一动点，已知的最大值为，则点的横坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，一次函数的性质，勾股定理，由，当点三点共线时有最大值为，则，过作于点，则，由等边三角形的性质得，，然后由勾股定理求出，然后代入一次函数解析式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴当点三点共线时有最大值为， ∵的最大值为， ∴， 过作于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴当时，，解得：， ∴点的横坐标是， 故选：． 45．如图，在平面直角坐标系中，点A是轴正半轴上一个定点，点是轴正半轴上一个动点，以线段为边在轴右侧作等边三角形，以线段为边在上方作等边三角形，连接，随点的移动，下列说法中正确的是（ ） ①； ②； ③所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变； ④随点的向上移动，线段的值逐渐增大． A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据可得，可判断正确；由，可得，可判断②错误；延长交x轴于E点，由，可得，由可得，进而可得，可判断③正确；由的长为定值，且可得的长也为定值，可判断④错误． 【详解】解： 和都是等边三角形， ，，， ， ， 故①正确； ，， ， 故②错误； 如图，延长交x轴于E点， ，， ， ， ， ， ∴所在直线与轴所夹的锐角，度数始终不变为． 故③正确； ∵点A是轴正半轴上一个定点， ∴的长为定值， ， ∴， ∴的长为定值， ∴随点的向上移动，线段的值不变， 故④错误． 综上，说法正确的为①③． 故选：B 【点睛】本题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 46．如图，等边三角形纸片中，以上的点为顶点，把平角三等分，依次沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以为顶点的直角三角形，则剪出的直角三角形全部展开铺平后，得到的平面图形可能是（    ）    A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．矩形 【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，先确定直角三角形，再根据折叠的性质得出对应角相等，即可得出答案． 【详解】由已知条件得是直角三角形，， 将沿着折叠，沿着折叠， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A．    47．如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，发现全等三角形是解题的关键． 连接，先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵在等边三角形中，为高，D是上一动点 ∴大小不变， ∴大小不变， ∴点E的运动轨迹为一条线段． ∵， ∴点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是， 故选：B． 48．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．6 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到的边长为2，同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为2， 同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16． 故选：C． 49．如图，等边三角形中，内部一点是三角形的中心，边上的点是三等分点．现在连接其中的一些点，构造出右边的3个图形中阴影部分面积占整个等边三角形面积的的是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形中线的性质，解题的关键是根据三角形中线的性质得阴影部分的面积． 【详解】解：连接等边边上的三等分点，如图： 设，由题意可知，9个小三角形的面积相等，则，故①符合题意； ∵，则， ∴，故②符合题意； ∵，则，同理，， ∴，故③符合题意； 故选：D． 50．如图，点O是等边三角形内一点，．以为一边作等边三角形，连接．当 时，是等腰三角形． 【答案】或或 【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先求出，，，分三种情况讨论：①，则，②，则，③，则，分别求出α的角度即可. 【详解】解：和是等边三角形， ，，，， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ，，， 当时， ， ； 当时， ， ， ， 当时， ， ， ． 故答案为：或或． 七、解答题 51．如图，点P、Q分别是边长为的等边边、上的动点（端点除外），点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为，连接、交于点M，则在P、Q运动的过程中， (1)求证：； (2)的大小变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (3)连接，当点P、Q运动多少秒时，是等腰三角形？ 【答案】(1)见解析； (2)的大小不发生变化，； (3)当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 【分析】本题考查全等三角形的判定、等边三角形的性质等知识，掌握等边三角形的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角的性质解答； （3）分三种情况分别讨论即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵点P、Q的速度相同， ∴， 在和中 ， ∴； （2）解：的大小不发生变化， ∵， ∴， ∴； （3）解：当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，仅当P运动到B点，Q运动到C点成立， 故不符合题意； 当时，如图， 当时，， 故时，为等腰三角形； 综上，当点P、Q运动2秒时，为等腰三角形． 52．（1）【问题发现】 如图①，把一块三角板放入“”形槽中，使三角板的三个顶点分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是 ，与线段始终相等的线段是 ； （2）【拓展探究】 如图②，在中，点在边上，且，．求证：； （3）【能力提升】 如图③，在等边中，点分别为边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长为 ． 【答案】（1）；；（2）见解析；（3） 【分析】（1）根据直角三角形的性质及平角的定义推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出； （2）根据三角形外角性质推出，利用即可证明； （3）过点作交于点，根据等边三角形的性质推出，，，根据平行线的性质及等腰三角形的判定推出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，，根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：；； （2）证明：，， ， 在和中， ， ； （3）解：如图3，过点作交于点， 、是等边三角形， ，，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键． 53．如图，在中，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于Q．以为边作等边三角形，且点C、E在的同侧．设点P的运动时间为与重合部分的图形面积为． (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）； (2)当点E与点C重合时，求t的值； (3)求S关于t的函数表达式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，根据“平行线和角平分线”即可得到，即得到的形状，由，得到，然后在中，用勾股定理即可求得； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，已知，即，即可解出值； （3）当点在上，点在上，重合部分为，过点作于点，，则，此时；当点在上，点在延长线上时，记与交于点，此时重合部分为四边形，此时在中，通过勾股定理可得，因此，故可得，此时；当点在上，重合部分为，此时，，在中，通过勾股定理可得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，如图： 由题意得：， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∵在中，， ∴，， ∴； ∴； （2）解：如图： ∵为等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在上，点在上，重合部分为，过点作于点， 如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知，当点E与点C重合时，， ∴； 当点在上，点在延长线上时，记与交于点，此时重合部分为四边形，如图： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当点与点重合时，在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，； 当点在上，重合部分为，如图： ∵，， 即可得， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点与点重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形中勾股定理的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 54．（1）如图1，已知和，点B、C、E在一条直线上，且，求证：； （2）如图2，，N分别为上的点，且，求证：； （3）如图3，是等边三角形，点D、F分别为边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当点D从点A运动到点C的过程中，的度数是否发生变化？如果不变，求出的度数：如果改变，请说明理由．    【答案】（1）见解析（2）见解析（3），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形和全等三角形综合．熟练掌握等腰三角形性质，等边三角形性质，全等三角形判定和性质，是解题的关键． （1）证明，可得，即得； （2）在上截取，连接，证明和，可得，得，即可得； （3）在上截取，连接，证明，根据是等边三角形，证明，可得，得，即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接，如图2，    ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3），理由如下：    如图3，在上截取，连接， ∵，且， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 55．如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)如图1，连接、交于点，则在、运动的过程中，的大小是否发生变化；若变化，说明理由，若不变，求出的度数； (2)如图1，当运动时间为多少时是直角三角形？ (3)如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则的大小变化吗？若变化，请说明理由；若不变，写出它的度数． 【答案】(1)不变， (2)当运动时间为秒或秒时，是直角三角形 (3)不变， 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、三角形的内角和定理、含角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点推理、数形结合、分类讨论是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，得出，，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，利用证明，得出，根据三角形外角的性质和等量代换即可得出； （2）根据等边三角形的性质，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，得出，当运动时间为，则，，结合“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，分类讨论，①当时，则，得出求解；②当时，则，得出求解；最后综合得出答案即可； （3）根据等边三角形的性质，求出，根据“点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为”，得出，推出，利用证明，得出，根据对顶角，结合三角形的内角和定理得出，，推出即可． 【详解】（1）解：不变，， ∵是等边三角形， ∴， ∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为，等边边长为， ∴，当运动时间为，则，， ①当时， ∵， ∴， ∴， ， 解得：； ②当时， ∵， ∴， ∴， ， 解得：； ∴当运动时间为秒或秒时，是直角三角形； （3）解：不变，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，，， ∴． 56．（1）【方法储备】如图（1）M、A、F在同一直线上，，，则利用可以证明，平时大家习惯地叫它为一线三等角．请你完成全等的证明过程． （2）【尝试应用】如图（2），D在等边的边上，E在上，以为边的等边的顶点F恰好在的平分线上，若，求的长． （3）【难点突破】如图（3），在长方形的边上，，在上，，，，求长方形的长和宽． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）长方形的长为，宽为 【分析】（1）利用角度换算得出，通过证明； （2）在上取一点，使，连接，延长交于点，构造全等三角形△，再利用特殊角得出； （3）延长至点，使，连接，延长至点，使，连接，构造全等三角形，再利用特殊角得出和的长度即可． 【详解】（1）证明：，，， ， 在和中， ， ； （2）解：在上取一点，使，连接，延长交于点， 和是等边三角形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 令，，则， ， 是角平分线， 是中点， ， ， ， ∴， ， ， ， ； （3）解：延长至点，使，连接，延长至点，使，连接， ∵四边形是长方形， ∴， ，， 同上可证明：， ，， 而 ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，三角形的内角和定理等，掌握一线三等角全等模型是解题的关键． 57．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究： (1)如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ； (2)如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 (3)图见解析，， 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． （2）解：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3）解：完成作图如下： ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． 58．如图，已知，轴交y轴于点B，且满足． (1)求A点坐标； (2)分别以，为边作等边三角形和，如图1，试判定线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图2，过点A作轴交x轴于点E，点F，G分别为线段，上的两个动点，满足，设，，，试证明：． 【答案】(1)点A坐标为 (2)，，理由见解析 (3)见解析 【分析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，坐标与图形性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据得出，，求出即可； （2）根据等边三角形的性质得出，，，求出．证出即可∶ （3）在的延长线上截取，连接，证出，推出，，求出，证出，推出即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴点A坐标为； （2）解：结论：，． 理由：∵、均为等边三角形， ∴，，．    ∵，， ∴． ∵在和中， ∴． ∴，． ∴，． （3）证明：如图，在的延长线上截取，连接BM， ∵轴，轴，x轴轴，， ∴，， ∵， 在和中， ∴，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 59．如图，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从顶点沿方向运动，点从顶点沿方向同时出发，且它们的速度都为． (1)连接，相交于点，则在，运动的过程中，的大小发生变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数． (2)点，运动时间为多少时，是直角三角形？ (3)如图，若点，运动到终点后继续在射线，上运动，直线，相交于点，则的度数为 ． 【答案】不变，； 或； ． 【分析】根据等边三角形的性质可得、，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得，再利用三角形外角的性质求出的度数； 当是直角三角形时可以分两种情况，一种是，另一种是，根据等边三角形的性质可知中，所以另一个锐角一定是，根据含角的直角三角形的边之间的关系可以求出运动的时间； 根据等边三角形的性质可得、，利用可证，根据全等三角形对应角相等可得，利用三角形外角的性质可得，所以可得，再根据邻补角的定义可以求出的度数． 【详解】解：不变，． 理由如下， 是等边三角形， ，， 设运动的时间为， 则有， 在和中， ， ， ， ； 当时，则有， ， ，， ， 解得：； 当时，则有， ， ， 解得：， 综上所述当或时，是直角三角形； 是等边三角形， ，， ， 设运动的时间为，则有, 在和中 ， ， 又， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据等边三角形的性质找到相等的边和角，根据边和角之间的关系证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解决问题． 60．已知，都是等边三角形，可以绕点B旋转． （1）如图①，F为边上一点，连接，，．若且时，则 ； （2）如图②，连接并延长交于点M，N为延长线上一点，连接，连接并延长交于点G．若G为的中点，连接，若，，在旋转的过程中，当最小时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用正方形，构造全等三角形解决问题． （1）证明即可解决问题． （2）如图，过点M作交于H．首先证明，根据垂线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图1中， ∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； 如图2中，过点B作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 如图3中，如图，过点M作交于H． ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最小，此时的值最小， 如图3中，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 试卷第74页，共74页 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $$