1.1.1等腰三角形的性质（6大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

1.1.1等腰三角形的性质 题型一、等腰三角形的边长计算 1．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，则y与x之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 3．如果是等腰三角形，且，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 4．已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 5．以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 6．等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 ． 7．在中，，为边上的中线，把的周长分成18和15两部分，求底边的长． 8．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 题型二、等腰三角形的角度计算 9．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 10．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 11．已知等腰三角形其中一个内角为，那么这个等腰三角形的顶角度数为（  ） A． B．或 C．或 D．或 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 13．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 14．如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 15．如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 16．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 17．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型三、应用等边对等角进行角度计算 18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 20．如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 21．中，，平分交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 22．如图，，，，点恰好落在线段上，则的度数为 度． 23．如图，已知射线，，，若．求和的度数． 题型四、应用等边对等角进行证明 24．如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 25．如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：． 26．已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 27．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 28．如图，是上一点，，，．求证：平分． 29．如图，平分，E是上一点，连接，使得．与平行吗？为什么？ 30．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．求证：． 31．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 32．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 33．如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 题型五、三线合一的应用 34．如图，在中，，是的中点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 35．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 36．如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 37．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A． B．6 C．4 D．8 38．我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 39．“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D．与的周长相等 40．如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 41．为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 42．如图，在平面直角坐标系中，，，两点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 43．如图，在等边中，点为边的中点，以为边作等边，连接．求的度数． 44．如图，点C在线段上，，，，平分．求证：． 45．如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 46．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 47．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 48．等腰三角形是特殊的三角形，红领巾，屋顶，衣架，三角铁的横截面等，都有着等腰三角形的身影．等腰三角形中除了两腰相等，还有其他相等的线段，如，等腰三角形两腰上的中线相等．下面我们继续进行等腰三角形中的线段探究之旅： 如图1，中，，是底边的中线，于点于点． (1)与相等吗？请证明你的结论． (2)若将底边中点D沿着对称轴移动到其他位置（不与点A重合），如图2，图3所示，其他条件不变，与还相等吗？请证明你的结论． (3)根据以上探究你得到什么性质？请用文字语言描述出来． 49．【操作应用】数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“等形”（有两组邻边分别相等的四边形）仪器，如图①，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接．求证：平分． 【实践拓展】 （1）小组成员尝试使用这个“等形”仪器检测教室门框是否水平．如图②，连接，因为是等腰三角形，，由【操作应用】可知平分，因此可以得到．如图③，在仪器上的点处绑一条线绳，线纸另一端挂一个铅锤，仪器上的点、紧贴门框，如果线绳恰好经过点，由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是______． A．等角对等边B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一” （2）如图④，在中，，．若点、分别是边、上的动点，当四边形为“筝形”时，直接写出的度数． 50．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 51．如图所示，在等腰中，，， 为底边中线，将 沿射线方向平移得对应，连接，若 ，则的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 52．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 53．如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 54．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 55．如图，在中，，，是的一条中线，，点、分别是、上的一个动点，则的最小值是 ． 56．如图，点，，在同一条直线上，与都是等腰直角三角形，和都是直角，连接． (1)求证：． (2)判断和之间有怎样的位置关系，并说明理由． 57．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 58．已知：在等腰直角三角形中，，，点D在直线上，连接，在的右侧作，． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段的关系是 ； ②直接写出线段之间的数量关系 ； (2)如图2，点D在B右侧．请写出之间的数量关系并说明理由，若，．请求出的长． 59．为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 60．在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点在线段上，时，那么_____ (2)设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 61．【问题提出】 （1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证： ①． ②． 【问题解决】 （2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积． 62．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）． 63．如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．线段，，之间有什么数量关系？并说明理由． 64．【问题提出】 （1）如图1，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，若以为边的正方形面积，以为边的正方形面积，则以为边的正方形面积______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为的延长线上一点，连接，若，，，试求的面积； 【问题解决】 （3）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图3，是某校一块劳动实践基地，经测量，，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边的延长线上取一点，分别以和为边向外作正方形和正方形，在下方作长方形，使得，根据规划要求，正方形的面积比正方形的面积多200平方米，请你计算长方形的面积． 试卷第16页，共60页 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.1等腰三角形的性质 题型一、等腰三角形的边长计算 1．已知等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为，则y与x之间的函数表达式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数关系式，等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据三角形周长的定义列出方程，再根据三角形三边的关系确定自变量的范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长为，若底边长为，一腰长为， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴， 解得． 故选：C． 2．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，若其中有一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质、三角形的三边关系，解题关键是熟练掌握三角形的三边关系，分情况讨论解题．先根据题意得出两种情况：为腰长时和为底边长时，再根据三角形三边关系判断该情况是否成立，满足三角形三边关系的即为正确答案． 【详解】解：依题得：该三角形是等腰三角形，则有以下两种情况： ①该等腰三角形的腰长为，则底边长为， ，即不符合三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边， 该情况舍去； ②该等腰三角形的底边长为， 则腰长为， 此时三角形三边长分别为，，，满足三角形三边关系， 该情况成立； 综上，该等腰三角形的腰长应为． 故选：B． 3．如果是等腰三角形，且，则的周长为（   ） A．12 B．15 C．12或15 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用，绝对值的非负性等知识点，熟练掌握三角形三边之间的关系是解题的关键． 由绝对值的非负性可得，，再利用等腰三角形的定义并结合三角形三边之间的关系求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴当为腰时，，不符合三角形三边关系，故不符合题意； 当为腰时，，符合三角形三边关系，此时周长为； 综上所述，的周长为， 故选：B． 4．已知x，y是等腰三角形的两边长，且x，y满足，则此等腰三角形的周长为（   ） A．10 B．11 C．10或12 D．10或11 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的非负性质，等腰三角形的定义以及三角形三边关系，根据绝对值以及平方的非负性质可得出，，然后分类讨论利用等腰三角形的定义以及三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵已知x，y是等腰三角形的两边长， ∴当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 当腰长为时，满足三角形三边关系，则等腰三角形的周长为∶， 故选：D． 5．以，为边长的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】/3厘米 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键；由题意可分当边长为等腰三角形的腰长和当边长为等腰三角形的腰长时，进而结合三角形三边关系可进行求解． 【详解】解：由题意可分： 当边长为等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，符合三角形三边关系，故该等腰三角形的底边长为； 当边长为等腰三角形的腰长时，则该等腰三角形的三边长分别为，不符合三角形三边关系； 综上所述：以，为边长的等腰三角形的底边长为； 故答案为． 6．等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用． 分两种情况：当3为底时和3为腰时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可． 【详解】解：当3为底时，三角形的三边长为3，6，6，则周长为； 当3为腰时，三角形的三边长为3，3，6，因故三角形不存在，则不能组成三角形； 所以等腰三角形的两边长为3和6，则它的周长为15． 故答案为：15． 7．在中，，为边上的中线，把的周长分成18和15两部分，求底边的长． 【答案】9或13 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中线，三角形三边关系，分两种情况讨论解题的关键．根据三角形中线的定义可得：，从而可得，然后分两种情况进行计算即可解答． 【详解】解：设，则． 如图1，若，则， 解得，即． 此时，所以． 如图2，若，则， 解得，即． 此时，所以． 综上所述，底边的长为9或13． 8．等腰三角形的周长为20厘米． (1)若已知腰长是底长的2倍，求各边的长； (2)若已知一边长为6厘米，求其他两边的长． 【答案】(1)4厘米，8厘米，8厘米 (2)7厘米，7厘米或6厘米，8厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元一次方程的应用和三角形的三边关系． （1）设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米，根据周长为20厘米，列关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）已知条件中，没有明确说明已知的边长是否是腰长，所以有两种情况讨论，还应判定能否组成三角形． 【详解】（1）解：设底边长为x厘米，则腰长为2x厘米， 由题意得，， 解得， 所以三边长分别为4厘米，8厘米，8厘米； （2）解：分以下两种情况： 如果6厘米长的边为底边，设腰长为a厘米， 则， 解得， 则三角形三边长为6厘米，7厘米，7厘米，可以构成三角形； 如果6厘米长的边为腰，设底边长为b厘米， 则，解得， 则三角形三边长为6厘米，6厘米，8厘米，可以构成三角形． 由以上讨论可知，其他两边的长分别为7厘米，7厘米或6厘米，8厘米． 题型二、等腰三角形的角度计算 9．已知等腰三角形的一个外角等于，则它的顶角是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质．当外角不确定是底角的外角还是顶角的外角时，需分两种情况考虑，再根据三角形内角和求解． 【详解】解：若是顶角的外角，则顶角； 若是底角的外角，则底角， 那么顶角． 故它的顶角是或． 故选：D． 10．等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．根据题意可分当这个内角为顶角和底角时，然后根据等腰三角形的定义可进行求解． 【详解】解：当内角为是该等腰三角形的底角时，则它的底角度数为； 当内角为是该等腰三角形的顶角时，则它的底角度数为； 综上，等腰三角形的一个角是，它的底角的大小为或， 故选：D． 11．已知等腰三角形其中一个内角为，那么这个等腰三角形的顶角度数为（  ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的顶角的位置，掌握等腰三角形概念是解决本题的关键． 有两种可能性，分为为顶角或者为底角，此时可以得出两个答案． 【详解】解：当为底角时，顶角为； 当顶角为时，顶角就是； 综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为或． 故选：D． 12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则其顶角为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；分别求解即可． 【详解】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时， ∵，， ∴，即顶角为； 当等腰三角形为钝角三角形时， ， ∵，， ∴， ∴，即顶角为； 综上所述，其顶角为或， 故选：C． 13．等腰三角形的一个角为，则它的底角为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：①等腰三角形的顶角为， 它的一个底角度数为； ②等腰三角形的底角为， 综上所述：底角为或， 故选：C． 14．如果等腰三角形的一个底角为，那么另外两个角的度数分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 根据等腰三角形的定义可得，两个底角相等，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角为， ∴顶角为， ∴另外两个角的度数分别为和， 故选：B ． 15．如果等腰三角形的一个内角是，它的另外两个内角分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理．此问题也要分类讨论，只是的角为底角是不成立的，要舍去，所以只有一种情况．根据等腰三角形的及三角形的内角和定理可知：的角必是顶角，根据三角形内角和求出另外两个角即可． 【详解】解：当顶角为时，底角的度数为； 当底角为时，两底角的度数和为：，因此这种情况不成立． 故选B． 16．等腰三角形有一个角的度数为，则它一条腰上的高与另一条腰的夹角的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，分的角分别为顶角和底角两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当的角为顶角时，如下图， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为， 当的角为底角时，则：顶角， ∴一腰上的高与另一条腰所夹的角为； 故答案为：或． 17．如图：在中，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形的外角性质． （）根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质解答即可； （）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理以及外角的性质，得出数量关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 题型三、应用等边对等角进行角度计算 18．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图1所示的“三等分角仪”能三等分任一角．图2是三等分角仪的示意图，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕点转动，点固定，，点，可在槽中滑动．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，先根据等腰三角形性质得，再根据三角形的外角的性质得，进而得出，接下来求出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵是的外角， ∴． ∵是的外角， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：B． 19．如图，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧，交于点，连接，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质．根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据三角形的外角性质计算即可得解． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 20．如图，点，分别在的边上，且，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等边对等角，三角形的内角和定理是解题的关键，由等边对等角得，结合三角形的外角性质得，进而构造方程，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：． 21．中，，平分交边于点E，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等边对等角，与角平分线有关的三角形的内角和定理，根据等边对等角，得到，根据角平分线得到，再根据三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选D． 22．如图，，，，点恰好落在线段上，则的度数为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，，，由等边对等角可得，进而求出，根据三角形的内角和定理求出和，然后再次根据三角形的内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：， ，，， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，已知射线，，，若．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点得到是解题的关键．根据题意可知，结合，即可求出的度数，再由等腰三角形的性质推出，，最后利用三角形外角的性质得到，即可求出． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 题型四、应用等边对等角进行证明 24．如图，已知在中，，且，和都是等腰直角三角形，下列结论中正确的有（    ） ①；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握共顶点等腰直角三角形中的“手拉手全等模型”是解题的关键．直接利用等腰直角三角形性质即可证明，则，则可判断①②；延长交于点，利用，得，再利用，可得，即可判断③；利用，， 且，即可判断④． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 故①正确； ∵， ∴， 故②正确； 如图，延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故③正确； ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 故④正确； 综上所述，正确的是①②③④，有个， 故选：D． 25．如图，已知：，，，在同一直线上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边对等角，根据“等边对等角”，得出，结合，，利用证明，根据“全等三角形的对应边相等”，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 26．已知：如图，相交于点O，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，理解判定三角形全等的条件是得出结论的关键． （1）根据即可证明； （2）由全等三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∴． 27．如图，已知和，，，，与交于点P，点C在上．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角等等，先证明，得到，再由等边对等角可得． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． ∴， ∴． 28．如图，是上一点，，，．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由已知条件可证得，于是可得，由等腰三角形的性质可得，于是可得，然后由角平分线的定义可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ， ， ， ， ， 平分． 29．如图，平分，E是上一点，连接，使得．与平行吗？为什么？ 【答案】平行，详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，等边对等角，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先由角平分线的定义可得，再由等边对等角得到，从而可得，由此即可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 30．如图，已知是等边三角形，是中线，延长到E，使．求证：． 【答案】见详解 【分析】由等边三角形的性质可得出，由三角形外角的定义以及性质可得出，由等边对等角以及三角形内角和定理可得出． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴， ∵E是延长线上的点， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形外角的定义以及性质，以及三角形内角和定理等知识， 掌握这些性质和定理是解题的关键． 31．如图，在中，，过点A作且，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了等边对等角，平行线的性质， 根据平行线的性质得到，然后由等边对等角得到，，然后等量代换求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．如图，在中，D是的中点，E是上一点，，的延长线交于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线模型，延长到M，使，连接，证即可求证． 【详解】证明：如图，延长到M，使，连接 ∵D是边的中点 ∴ 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 即 33．如图，的边与的边在一条直线上，点A恰好在边的延长线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明，得出即可． 【详解】证明：， ， 又， ， 在和中，， ， ． 题型五、三线合一的应用 34．如图，在中，，是的中点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可． 本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三线合一性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，是的中点，， ∴，， ∴， ∴故选：A． 35．如图，中，，是中点，下列结论中不一定正确的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，根据等边对等角、三线合一的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵中，，是中点， ∴，，平分，， 故选项B、C、D正确，不符合题意， 不能证明，故选项A不一定正确，符合题意， 故选：A． 36．如图，中，，是的平分线．已知，，则的长为（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质．先利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，进行计算即可解答． 【详解】解：是的平分线， ， 在中，， ， ， 故选：A． 37．杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ） A． B．6 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，先根据勾股定理求出所需木头的取值范围为不小于米，不大于米，然后逐一判断即可解题． 【详解】解：当时，如图， ∵米， ∴米， ∴米， ∴这根木头需要长度不小于米，不大于米， 故选：C． 38．我国的桥梁建设在世界上处于领先地位，无论是桥梁数量、跨度还是技术创新，都取得了显著成就．图1为某斜拉索桥，该斜拉索桥的拉索和桥面构成等腰三角形．图2为其示意图，在中，，若是边上的一点，则下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合解答即可．本题考查了等腰三角形的性质，能熟记等腰三角形“三线合一”是解此题的关键． 【详解】解：A、，，，故选项不符合题意； B、，，故选项不符合题意； C、，，，故选项不符合题意； D、，∴是等腰三角形，∵，∴该条件不能说明，故选项符合题意． 故选：D． 39．“一亭幽绝费平章，峡口清风赠晚凉．前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄．饶将春色输秋色，迎过朝阳送夕阳．此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔．”其中“一亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”．如图，“爱晚亭”的顶端可看作等腰三角形，，D是边上的一点．下列条件不能说明是的角平分线的是（   ） A． B． C． D．与的周长相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”逐项进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴平分，即是的角平分线，故A不符合题意； B．∵，， ∴平分，即是的角平分线，故B不符合题意； C．根据不能判断是的角平分线，故C符合题意； D．∵与的周长相等， ∴， ∴， ∵， ∴平分，即是的角平分线，故D不符合题意． 故选：C． 40．如图，在中，，的于点，、是上的两点．若，，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形的面积，先根据等腰三角形的三线合一得到，再根据等底等高的三角形的面积相等得到，进而由求解即可． 【详解】解：∵在中，，的于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：3． 41．为了判断书法教室墙上悬挂的长方形镜框是否放正，小文在等腰直角三角尺斜边中点处拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤．如图，把三角尺的斜边贴在镜框底部的边缘，结果线绳经过三角尺的直角顶点．小文由此确认镜框已放正．小文的判断 （填“正确”或“错误”），从数学的角度分析，理由是 ． 【答案】 正确 等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合 【分析】本题主要考查了学生对等腰三角形的性质的理解和掌握，此题与实际生活联系密切，体现了从数学走向生活的指导思想，从而达到学以致用的目的． 根据等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合，解答即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰三角形， ∴， ∵点O为的中点， ∴，即挂铅锤的绳与镜框垂直，（等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合） 故答案为：等腰三角形的底边上的中线、底边上的高，顶角的平分线互相重合． 42．如图，在平面直角坐标系中，，，两点的坐标分别为，，，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标，主要利用了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理．过点A作于D，根据等腰三角形三线合一的性质可得，再求出点D的横坐标，然后利用勾股定理列式求出的长度，再写出点A的坐标即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， ∵，，两点的坐标分别为，， ∴， ∵， ∴， ∴点D的横坐标为， 在中，， 所以，点A的坐标为． 故答案为：． 43．如图，在等边中，点为边的中点，以为边作等边，连接．求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键． 由三线合一可得，，进而可得，利用可证得，然后由全等三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵在等边中，点为边的中点， ∴，，，， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 44．如图，点C在线段上，，，，平分．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，三线合一定理，根据平行线性质得出，根据证，推出，再根据等腰三角形的三线合一定理证明即可． 【详解】证明；∵， ． 在和中 ， ， 平分， ． 45．如图，在中，，是上一点，延长至点，使得，延长至点，使得． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据等式的性质得出，再根据证明与全等即可； （2）根据等腰三角形的性质得，全等三角形的性质得出，即可作答． 此题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是根据证明与全等进行解答． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在与中， ， ； （2）解：，， ， ∵，， ∴ ∴． 46．如图，在中，，为的中线．点，分别在，上，且，连接，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形“三线合一”、全等三角形的判定、等边对等角，解题关键是熟练掌握等腰三角形“三线合一”． （1）根据等腰三角形“三线合一”推得后即可用“边角边”证明全等； （2）根据等腰三角形“三线合一”及等边对等角即可求解． 【详解】（1）证明：，是的中线， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ， ，是的中线， ， 即， ． 47．如图，在中，，，，垂足为点G，，，的两边分别交，于点E，F． (1)连接，判断的形状，并证明你的结论； (2)求证：． 【答案】(1)是等边三角形，见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）根据等边三角形的判定方法进行判断即可； （2）证明，得出即可． 【详解】（1）解：是等边三角形． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴是等边三角形． （2）解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 48．等腰三角形是特殊的三角形，红领巾，屋顶，衣架，三角铁的横截面等，都有着等腰三角形的身影．等腰三角形中除了两腰相等，还有其他相等的线段，如，等腰三角形两腰上的中线相等．下面我们继续进行等腰三角形中的线段探究之旅： 如图1，中，，是底边的中线，于点于点． (1)与相等吗？请证明你的结论． (2)若将底边中点D沿着对称轴移动到其他位置（不与点A重合），如图2，图3所示，其他条件不变，与还相等吗？请证明你的结论． (3)根据以上探究你得到什么性质？请用文字语言描述出来． 【答案】(1)；见解析 (2)成立；见解析 (3)等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． （1）证明，得出即可； （2）根据解析（1）的证明方法，进行证明即可； （3）根据解析（1）（2）得出的结论，进行解答即可． 【详解】（1）解：与相等； ∵，是底边的中线， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：成立； ∵，是底边的中线， ∴平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：根据以上探究可以得到：等腰三角形底边中线上的点到两腰的距离相等． 49．【操作应用】数学兴趣小组成员用四根木条钉成一个“等形”（有两组邻边分别相等的四边形）仪器，如图①，，，相邻两根木条的连接处是可以转动的，连接．求证：平分． 【实践拓展】 （1）小组成员尝试使用这个“等形”仪器检测教室门框是否水平．如图②，连接，因为是等腰三角形，，由【操作应用】可知平分，因此可以得到．如图③，在仪器上的点处绑一条线绳，线纸另一端挂一个铅锤，仪器上的点、紧贴门框，如果线绳恰好经过点，由于是铅锤线，所以是水平的，即门框是水平的．在上述的判断过程中，得出的依据是______． A．等角对等边B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一” （2）如图④，在中，，．若点、分别是边、上的动点，当四边形为“筝形”时，直接写出的度数． 【答案】操作应用：见解析；实践拓展：（1）C；（2）的度数为或． 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形“三线合一”性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 操作应用：根据题意证明出，得到，即可证明出平分； 实践拓展：（1）根据等腰三角形“三线合一”性质求解即可； （2）首先根据三角形内角和定理求出，然后分两种情况讨论①当，；②当，，然后根据全等三角形的性质，三角形内角和定理和三角形外角的性质求解即可． 【详解】操作应用：∵，， ∴ ∴ ∴平分； 实践拓展： （1）∵， ∴是等腰三角形 ∵平分 ∴，依据是等腰三角形“三线合一”性质 故选：C； （2）解：∵，， ∴ 四边形为“筝形”， ∴①当，时，如图， 四边形为“筝形”， ∴ ∴ ∴； ②当，时，如图， 四边形为“筝形”， ∴ ∴ ∴； 综上，的度数为或． 50．如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 故选：A． 51．如图所示，在等腰中，，， 为底边中线，将 沿射线方向平移得对应，连接，若 ，则的长为（    ）    A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识点，由等腰三角形三线合一性质得， 由勾股定理得，进而可得，最后用勾股定理计算即可得解，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 【详解】∵在等腰中， ，为底边中线， ， ∴， ∵， ， ∴ ， 故选：D． 52．如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】首先证明，过点C作于点H，连接，然后根据三角不等关系得出，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值，进而可得当点与重合时，的值最小，最后问题可求解． 【详解】解：如图，∵是等边三角形， ，， ， ∴， ， 又， ， ， ， 过点C作于点H，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 由三角形不等关系可知：，即当点C、F、H三点共线时，取得最小值， 作平分交于N，连接，如图； 要使取得最小值，就要使取得最小值，当点F与点N重合时，即为最小，如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、三角不等关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 53．如图，将沿所在的直线折叠，使点落在边上的点处，且，那的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，证明是解题的关键． 根据折叠的性质得，，再由得出，从而得到，然后由得出，即可由求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，，， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：C． 54．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴相交所成的锐角为．若是轴上的点，是上的点，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，以及等腰三角形性质的应用，根据题意，得到，利用，构成等腰三角形，两底角相等，得到结果． 【详解】解：直线l：与x轴相交所成的锐角为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 55．如图，在中，，，是的一条中线，，点、分别是、上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称的性质，垂线段最短；根据等腰三角形三线合一得到关于对称，根据，进而根据等面积法，即可得解． 【详解】∵在中，，，是的一条中线， ∴，，是的角平分线 ∴关于对称， 当时，最短， ∴， ∴的最小值是； ∵ ∴ 故答案为：． 56．如图，点，，在同一条直线上，与都是等腰直角三角形，和都是直角，连接． (1)求证：． (2)判断和之间有怎样的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，垂直的定义，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，，继而得到，通过“”证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）由，得到，从而，因此． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 即， ∴在和中 ， ∴， ∴， （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． 57．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，且．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，求出和，结合图形计算即可； （2）根据三角形的外角的性质求出和，结合图形计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 58．已知：在等腰直角三角形中，，，点D在直线上，连接，在的右侧作，． (1)如图1， ①点D在边上，线段和线段的关系是 ； ②直接写出线段之间的数量关系 ； (2)如图2，点D在B右侧．请写出之间的数量关系并说明理由，若，．请求出的长． 【答案】(1)①，；② (2)，理由见解析， 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握手拉手模型，是解题的关键： （1）①证明，得到，根据等边对等角，全等三角形的对应角相等，推出，得到，即可；②利用勾股定理结合等量代换，即可得出结论； （2）同法（1）进行判断，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上：，； ②由①知：，， 由勾股定理，得：， ∴； （2），理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴． 59．为直角三角形，，点D为斜边的中点，点E，F分别为直线上的动点，运动过程中，始终保持． (1)如图1，当点F与点B重合（重合的点记为点B）时，连接，试判断，，之间的数量关系并证明； (2)如图2，当射线交线段于点E时，求证：； (3)若，，在点E，F运动过程中，当时，求的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 (3)的面积为或11． 【分析】本题考查的是三角形全等、面积的计算、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）在中，，垂直平分，则，即可求解； （2）证明，则，，则，进而求解； （3）当射线交线段于点E时，由，得到，当射线与直线的交点E在点C的右侧时，同理可解． 【详解】（1）解：，理由： 在中，， ∵垂直平分，则， 即； （2）证明：过点A作交的延长线于点M，连接， 则，，， 而， 则， 则，， 则， 则中，， 同理可得：， ∴； （3）解：当射线交线段于点E时， ∵， ∴， 而，即， 解得：， 则， 则的面积； 当射线与直线的交点E在点C的右侧时，如下图， 同理可得：，即， 解得：，则， 则的面积； 综上，的面积为或11． 60．在中，，点是射线上的一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图①，当点在线段上，时，那么_____ (2)设，． ①如图②，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论． ②如图③，当点在线段的延长线上，时，请将图③补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②补充图形见解析，，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理以及全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）先证，即可证明，可得，等量代换可得，进而根据三角形内角和定理，即可求解； （2）①先证，即可证明，可得，等量代换可得，结合，可证； ②先根据题意补充图形，由（1）同理可得，推出，可得，根据，，可得，即可得出． 【详解】（1）解：， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：． （2）解：①， 证明如下： ， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， 即， ， ； ②，证明如下： 如图， 由（1）同理可得， ， ， ， 即， ，， ， ． 61．【问题提出】 （1）已知：如图1所示，于点D，于点E，点C在线段上，，且．求证： ①． ②． 【问题解决】 （2）如图2所示，点D，C，E在直线l上，点A，B在l的同侧，，若，，求的面积． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等可得，然后利用即可证明； ②由全等三角形的性质得到，，进而可求解； （2）作于点G，于点H，根据等腰三角形的性质得，利用勾股定理得，由（1）同理得，得，再利用等腰三角形的性质得到，从而得出答案． 【详解】解：（1）①∵于点D，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； ② ∵， ∴，， ∴， 即； （2）作于点G，于点H， ∵，，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由（1）同理可得，， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 62．如图，在中，，（），为射线上一动点（不与点、重合），在的右侧作，使得，，连接． (1)若，则______； (2)当点在线段上时，求证：； (3)若点运动到线段上某一点时，恰好有，问：线段与线段有什么位置关系并说明理由； (4)在点的运动过程中，当垂直于的某边时，则______（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，理由见解析 (4)或 【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想解决问题． （1）根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理即可求解； （2）由得，利用SAS即可得出结论； （3）由（2）知，根据全等三角形的性质得，，则，易得为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，最后由平行线的判定求解； （4）分两种情形：当时，当时，利用全等三角形的性质、三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵，， ∴ ， ∴． ∵， ∴． 故答案为：； （2）证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴； （3）解： ． 理由如下： 由（2）知， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，当时． ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图，当时． ∵， ∴． 由（1）知，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 综上所述，当垂直于的某边时，则或． 故答案为：或． 63．如图，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，为中边上的高，连接．线段，，之间有什么数量关系？并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，，进而得，再根据即可证明； （）由可得，根据等边三角形的性质可得，得出，进而根据角的和差关系即可求解； （）证明，得出，进一步得到，进而可证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵ 点在同一直线上 ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全都三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，直接三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 64．【问题提出】 （1）如图1，在中，，分别以的三边为边向外作正方形，若以为边的正方形面积，以为边的正方形面积，则以为边的正方形面积______； 【问题探究】 （2）如图2，在中，，点为的延长线上一点，连接，若，，，试求的面积； 【问题解决】 （3）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图3，是某校一块劳动实践基地，经测量，，学校计划对该基地进行重新扩建规划，在边的延长线上取一点，分别以和为边向外作正方形和正方形，在下方作长方形，使得，根据规划要求，正方形的面积比正方形的面积多200平方米，请你计算长方形的面积． 【答案】（1）10；（2）126；（3）200平方米． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，平方差公式，等腰三角形三线合一性质，解题的关键是掌握勾股定理． （1）首先根据题意得到，，然后利用勾股定理求出，进而求解即可； （2）如图所示，过点A作于点E，利用三线合一得到，然后根据勾股定理得到，代数求出，进而利用三角形面积公式求解即可； （3）如图所示，过点A作于点G，首先得到，然后利用勾股定理求出，然后移项，利用平方差公式得到，然后等量代换得到即可求解． 【详解】（1）∵以为边的正方形面积，以为边的正方形面积， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴以为边的正方形面积； （2）如图2所示，过点A作于点E， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）如图3所示，过点A作于点G， ∵正方形的面积比正方形的面积多200平方米， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴长方形的面积为200平方米． 试卷第16页，共60页 1 / 58 学科网（北京）股份有限公司 $$