第3章 函数-【一战成名新中考】2025辽宁中考数学·一轮复习·基础夯实练优质课件PPT（讲册）

数学 1 第三章 函 数 2 一 知识思维导图串讲 3 4 5 二 2024辽宁考情分析 1.2024辽宁中考真题、省模考卷、省样卷题型、题位、分值的分析与总结 年份 题型 2024年中考真题 省模考卷 省样卷 选择题 10题3分 7题3分 10题3分 7题3分 填空题 12题3分 14题3分 15题3分 12题3分 14题3分 6 年份 题型 2024年中考真题 省模考卷 省样卷 解答题 19题8分 23题13分 19题8分 23题13分 19题8分 22题12分 题量总计 5道 5道 5道 分值总计 30分 30分 29分 7 【考情总结】 （1）共考查5道，<m></m>分； （2）选择题和填空题共考查3道，9分； （3）解答题必考2道，<m></m>分. 8 2.章内各版块考查频次、特点的分析与总结 年份 版块 2024年中考真题 省模考卷 省样卷 函数基础 12题3分 7题3分 10题3分 12题3分 一次函数 10题3分 23题涉及 23题涉及 7题3分 19题8分 9 年份 版块 2024年中考真题 省模考卷 省样卷 反比例函数 23题涉及 23题涉及 14题3分 二次函数 14题3分 19题8分 23题13分 15题3分 19题8分 23题13分 22题12分 10 【考情总结】 （1）函数基础知识必考1道，多在填空题中考查；函数图象的分析与判断 在省模考卷选择压轴题中考查1次； （2）一次函数必考，在选择题中单独考查性质，在解答题中考查一次函 数的实际应用、结合反比例函数与二次函数综合考查； （3）反比例函数一般不单独考查，主要在解答题中结合一次函数与二次 函数综合考查； （4）二次函数必考<m></m>道，一般在填空14或15题考查1道，在解答题中 考查二次函数的实际应用、结合一次函数与反比例函数综合考查. 11 三 2024辽宁中考真题、省模考卷、省样卷分类+好题类推 版块1 函数基础 1.［2024辽宁12题3分］在平面直角坐标系中，线段 的端点坐标分别为 ，，将线段平移后，点的对应点的坐标为 ，则 点的对应点 的坐标为______. 12 2.［省模考7题］在平面直角坐标系中，线段的端点的坐标是 ， 将线段沿轴正方向平移3个单位长度，得到线段，点的对应点 的坐标是( ) A. B. C. D. 第3题图 3.［省样卷12题］如图，顶点， 的坐标分别 为，，将平移后，点的对应点 的坐标是，则点的对应点 的坐标是______． √ 13 好题类推 3-1.组合练 点在第____象限，与 轴的距离是___，与原点的距离 是_____；点关于轴对称的点的坐标为______，此时线段 ___；点 关于轴对称的点 的坐标为_________． 四 3 4 3-2.已知点关于轴对称的点在第一象限，则符合条件的 的整数值为_________． 0，1，2 【解析】 点关于轴对称的点在第一象限， 点 在第 四象限，解不等式①，得 ，解不等式②，得 ，的取值范围是，是整数， ，1，2． 14 4.［省模考10题］矩形的周长为,设， ， 下列图象能刻画与 之间的函数关系的是( ) A. B. C. D. √ 15 好题类推 第4-1题图 4-1.如图是某楼房上的蓄水池的横截面，分为深水区与浅水 区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，那么下列能表达 水的最大深度和注水时间 之间的关系的是( ) A. B. C. D. √ 16 4-2.有一块长方形菜园 ，一边利用足够长的墙，另三边用长度为 的篱笆围成，设长方形中平行于墙的边的长为 ，垂直于墙的边 的长为，则下列函数图象能反映与 关系的是( ) A. B. C. D. √ 17 4-3.某工厂计划建一个容积一定的污水处理池，池的底面积 与 其深度满足关系式：，则关于 的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. √ 18 版块2 一次函数 第1题图 1.[2024辽宁10题3分]如图，在平面直角坐标系 中，菱形的顶 点在轴负半轴上，顶点 在直线上，若点的横坐标是8，则 点 的坐标为( ) A. B. C. D. √ 19 好题类推 第1-1题图 1-1.如图，正比例函数 的图象与矩形 有公共点，已知，， 轴，且 点的坐标为，则 的值可能是( ) A. B. 3 C. D. √ 20 【解析】 点的坐标为，， ， 轴，，将点的坐标代入 ，得 ，把点的坐标代入，得， 正比例 函数的图象与矩形 有公共点，则 ． 第1-1题图 第1-2题图 1-2.如图，在平面直角坐标系中，直线与 轴和轴分别相交于，两点，已知轴上的点 坐 标为，以，为邻边构造平行四边形 ， 则直线和直线 的距离是( ) A. 10 B. 8 C. D. √ 22 第1-2题解图 【解析】当时，， 点的 坐标为，；当时， ， 解得， 点的坐标为， ， ．连接 ， 过点作于点，如解图， 点的坐标为 ， ，即 ，． 四边形 是平行四边 形，， 直线和直线的距离是 ． 23 2.［省样卷7题］一次函数 的图象如图所示，下列结论正确的是 ( ) 第2题图 A. B. 随 增大而增大 C. 图象经过原点 D. 图象经过第一、二、三象限 √ 24 3.［省样卷19题］辽宁省今年南果梨喜获丰收．国庆节当天甲超市进行南 果梨优惠促销活动，南果梨销售金额（元）与销售量 （千克）之间的关 系如图所示． 第3题图 25 （1）当时，求销售金额（元）与销售量 （千克）的关系式; 第3题图 26 第3题图 解：依题意，当 时， 设销售金额（元）与销售量 （千克）的关系式 为 ， 将， 代入， 得解得 当时，销售金额（元）与销售量 （千克） 的关系式为 ； 27 第3题图 （2）乙超市南果梨的标价为20元/千克，国庆节当 天也进行优惠促销活动，按标价的8折销售．若购 买12千克南果梨，通过计算说明在哪个超市购买更 划算． 【答案】依题意，在甲超市购买12千克南果梨需要 （元）， 在乙超市购买12千克南果梨需要 （元）， ， 在甲超市购买更划算． 28 版块3 反比例函数 1.［省样卷14题］如图，矩形的顶点，分别在轴、 轴的正半轴 上，它的对角线与函数的图象相交于点 ，且 ，若矩形的面积为24，则 的值是____． 12 第1题图 29 第1题解图 【解析】如解图，过点作轴于点， 四边 形是矩形， ， ， ， ， ， 矩形 的面积为24， ，， 函数 过点，，又 点 在第一象 限，． 30 好题类推 第1-1题图 1-1.如图，在平面直角坐标系中，点 是反比例函数 图象上的一点，点是 轴负半轴上一点， 连接，，与轴正半轴交于点.若 ， 的面积为3，则 的值为( ) A. 12 B. 8 C. 4 D. √ 31 【解析】如解图，过点作轴于点，轴， ， ，，， ， ，设，则，， ， ． 第1-1题解图 32 1-2.如图，点在反比例函数的图象上，过点作 轴于 点，点在线段上，且，若反比例函数 的图 象经过点，则 ___． 2 第1-2题图 33 第1-2题解图 【解析】如解图，连接， 点 在反比例函数 的图象上，过点作轴于点 ， ， ， ， 反比例函数 的图 象经过点，，， 反比例函数的图象在第一象限， ． 34 版块4 二次函数 1.［2024辽宁14题3分］如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与轴相交于点，，点的坐标为，若点 在 抛物线上，则 的长为___. 4 第1题图 35 2.［省模考15题］如图，抛物线与轴相交于， 两 点．点的坐标为，点在抛物线上，将线段绕点顺时针旋转 得到线段，当点落在轴正半轴上时，点 的坐标为 ______． 第2题图 36 第2题图 【解析】令，则 ，解得 或，，，如解图， 过点 作轴于点，轴于点 ， ， ， ，， ， ，，， 设， ，即，解得 或（舍去）， ，，， 37 点 的坐标为， ， ， ，． 第2题图 好题类推 第2-1题图 2-1.如图，抛物线与轴交于点，点 的坐 标为，在第四象限的抛物线上有一点，若 是 以为底边的等腰三角形，则点 的横坐标为( ) A. B. C. D. 或 √ 39 第2-1题图 【解析】令，则， 点的坐标为， 点的坐标为， 线段 中点的纵坐标为 ，是以 为底边的等腰三角 形， 点的纵坐标为， ，解得 ，， 点在第四象限， 点 的横坐标为 ． 40 2-2.如图，二次函数的图象与轴交于， 两点 （点在点的左侧），与轴交于点.若点 是二次函数在第四象限内图 象上的一点，作轴交于点，则 的长的最大值是 ___． 4 第2-2题图 41 第2-2题图 【解析】在中，令，得 ， ，令，得,解得 或，，，由， 得直线的解析式为 ，设 ，则 ， ， ， 当时， 取最大值4． 42 3.［2024辽宁19题8分］某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量 （件）与每件售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价 元 … 45 55 65 … 日销售量 件 … 55 45 35 … 43 （1）求与之间的函数关系式（不要求写出自变量 的取值范围）； 解：设与之间的函数关系式为 ， 结合表格数据知，图象过点， ， 解得 与之间的函数关系式为 ； 44 （2）该商品日销售额能否达到2 600元？如果能，求出每件售价；如果不 能，请说明理由. 【答案】不能，理由如下：若该商品日销售额能达到2 600元，则 ，化简得 ， ， 方程没有实数根， 故该商品日销售额不能达到2 600元. 45 4.［省模考19题］某校公益社团购进一种特产进行销售，将所得全部利润 用于开展公益活动．已知该特产每袋进价为20元，试销售期间发现，日销 售量（袋）与每袋售价 （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表 所示，其中，且 为整数． 每袋售价 元 … 25 30 35 … 日销售量 袋 … 50 40 30 … 46 （1）求与 之间的函数表达式; 解：由题意，设日销售量与每袋售价 之间满足一次函数表达式 ， 又将，代入， 得解得 所求函数表达式为 ； 47 （2）在销售过程中，当每袋售价为多少元时，日销售利润最大？最大利 润是多少？ 【答案】设日销售利润为 元， 则 ． ，且， 当 时，日销售利润最大，最大利润是450元． 答：当每袋售价为35元时，日销售利润最大，最大利润是450元． 48 好题类推 第4-1题图 4-1.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙 墙长的空地上修建一个矩形绿化带 ，绿化带一 边靠墙，另三边用总长为 的栅栏围住（如图）．若设 绿化带的边长为，绿化带的面积为 ． （1）求与之间的函数解析式，并写出自变量 的取值范围； 解：由题意得，自变量 的取值 范围是 ； 49 （2）当 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？最大为多少？ 第4-1题图 【答案】 ， ， 当时，取最大值， ， 即当时，满足条件的绿化带面积最大，最大为 ． 50 第4-2题图 4-2.为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会 干部带领村民在网上直播推销一种成本价为每千克 40元的农产品，如图是该种农产品的日销售量 （千克）与销售单价 （元）之间的函数图象，请 结合图象回答下列问题： （1）求与 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 51 第4-2题图 解：设与的函数关系式为 ，把 ， 代入， 得解得 ， 令，则，解得 ， 成本价为每千克40元， 自变量 的取值范围为 ， 与之间的函数关系式为 ； 52 第4-2题图 （2）当销售单价定为多少元时，日销售利润最大？ 最大利润是多少？ 【答案】设日销售利润为 元， 则 ， ，且， 当时， 有 最大值，最大值为900， 答：当销售单价定为70元时，日销售利润最大，最 大利润是900元． 53 第4-3题图 4-3.如图①描绘的就是宋词《乌夜啼》中 “绣香熏被梅烟润，枕簟碧纱厨”的场景： 就寝前，被子也要放在熏炉和熏笼上加 以熏烘，一来可以让被子气味宜人，二 来还可以让炉中炭火把被子烘暖．熏笼 是放在炭盆上的竹罩笼，古代一种烘烤和取暖的用具，可熏香、熏衣、熏 被．将熏笼开口朝下放在水平桌面上，其截面为抛物线形，如图②．小明 测得熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米，小明以熏笼的左边缘为原点， 水平线为 轴建立平面直角坐标系，如图②所示． 54 第4-3题图 （1）求抛物线的表达式； 解： 熏笼的跨度为80厘米，高度为32厘米， 抛物线的顶点坐标为 ， 设抛物线的表达式为 ， 根据图象可知抛物线经过原点 ， ，解得 ， 抛物线的表达式为 ； 55 第4-3题图 （2）现有一批直径10厘米，高8厘米的熏炉，要 使熏笼紧贴水平桌面，请通过计算说明熏笼内一 排最多能放置几个熏炉？ 【答案】令，可得 ， 解得， ， （厘米）， 可放置熏炉 （个）， 答：熏笼内一排最多能放置6个熏炉． 56 5.［2024辽宁23题13分］已知是自变量的函数，当 时，称函数 为函数的“升幂函数”．在平面直角坐标系中，对于函数 图象上任意 一点，称点为点“关于的升幂点”，点在函数 的“升 幂函数” 的图象上. 第5题图 备用图 57 例如：函数，当时，则函数 是函数 的“升幂函数”. 在平面直角坐标系中，函数的图象上任意一点 ，点 为点“关于的升幂点”，点在函数 的“升幂函数” 的图象上. （1）求函数的“升幂函数” 的函数表达式; 解： ； 58 （2）如图，点在函数的图象上，点“关于的升幂点” 在点上方，当时，求点 的坐标; 第5题图 备用图 59 【答案】如解图①，，设，则 ． 第5题解图① 点在点的上方，且，解得， ； 60 （3）点在函数的图象上，点“关于的升幂点”为点 ，设 点的横坐标为 . 第5题图 备用图 61 ①若点与点重合，求 的值； 【答案】， ， ． 当点与点重合时，， 整理得 ， 解得或 ； 62 ②若点在点的上方，过点作轴的平行线，与函数的“升幂函数” 的图象相交于点，以，为邻边构造矩形，设矩形 的周 长为，求关于 的函数表达式； 第5题图 备用图 63 【答案】由①可知，直线与抛物线 有两个交点 和 ， 函数的图象是开口向下的抛物线，对称轴是直线 ． 轴，，两点关于直线 对称． 如解图②，当点在点右侧时，， ， 第5题解图② 64 如解图③，当点 由点在点的上方， 当 时， ， 当时， ． 综上， 第5题解图③ ③在②的条件下，当直线与函数 的图象的交点有3个时，从左到右 依次记为，，，当直线与函数 的图象的交点有2个时，从左到 右依次记为，，若，请直接写出 的值. 【答案】或 ． 66 【解法提示】情形一：如解图④，如果和 平行且相等，那这两条平 行线间的距离等于两个顶点之间的竖直高度或者等于， 两点间的竖直 高度．当时，，．当 时， ，， ． 第5题解图④ 67 情形二，如解图⑤（局部，变形处理）， 点是抛物线 的顶点． 由，，得，，， 点的横坐标，于是可得 ， ． 综上， 的值为4或 ． 第5题解图⑤ 6.［省模考23题］在平面直角坐标系中，正方形的边长为 为正整数，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上.若点 在正 方形的边上，且，均为整数，定义点为正方形的“ 点”. 若某函数的图象与正方形只有两个交点，且交点均是正方形 的 “点”，定义该函数为正方形的“ 函数”. 69 例如:如图①，当时，某函数的图象经过点和 ，则该函数 是正方形的“ 函数”. 第6题图 70 （1）当时，若一次函数是正方形的“ 函数”，则一 次函数的表达式是____________________（写出一个即可）; 或 第6题图 71 （2）如图②，当时，函数的图象经过点 ，与边 相交于点，判断该函数是否是正方形的“ 函数”，并说明理由; 第6题图 72 第6题图 解:该函数是正方形的“函数” 理由如下:把点代入中，得 ,解得, . ， 把代入，得, 点的坐标为 . 该函数的图象与正方形只有两个交点，且点，均是“ 点”， 函数是正方形的“ 函数”; 73 （3）当时，二次函数的图象经过点 ，若该函数是 正方形的“函数”，求 的取值范围; 第6题图 74 第6题图 【答案】当时，点的坐标为，点 的坐标为 . 把点代入二次函数 中， 得, , ，该函数图象的顶点坐标为 . 当时，, 点在函数 的图象上． 75 第6题图 函数是正方形的“函数”，其图象经过点， , 当时，，解得 ，即 ，当 时，显然符合题意. 综上，的取值范围为或 ; 76 （4）在（3）的条件下，点, 是二次函数 图象上两点，若点,之间的图象包括点, 的最高点 与最低点纵坐标的差为，求 的值. 第6题图 77 【答案】由（3）知，该函数图象的对称轴是直线.当 时， , ，抛物线开口向上. 点，之间的图象的最高点是点 ，最低点是顶点． ，整理得 ，解得 , （舍去）. 当 时，抛物线开口向下. 78 ①当时，即，， . 点, 之间的图象的最高点是顶点，最低点是点 ， 整理得，此方程无实数根， 的值不存在． ②当时，即， 点， 之间的图 象的最高点是点，最低点是点 . 79 ，整 理得，解得 . 综上，的值是或 . 第6题图 80 7.［省样卷22题］【发现问题】 “速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图①所示：每层 都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个 杯子.爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的 个数变化而变化. 【提出问题】 叠放所需杯子的总数与第一层杯子的个数 之间有怎样的函数关系？ 81 【分析问题】 小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据： 第一层杯子的个数 1 2 3 4 5 … 杯子的总数 1 3 6 10 15 … 然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图 ②，小丽根据图②中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分. 第7题图 82 为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑 色圆表示（如图③），再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每 层圆的数量相同，进而求出与 的关系式. 第7题图 83 【解决问题】 （1）直接写出与 的关系式； 第7题图 解：，且为正整数 ； 84 （2）现有36个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数； 第7题图 【答案】 共有36个杯子叠放， ，解得 （负值已舍去）, 第一层杯子的个数为8； 85 第7题图 （3）杯子的侧面展开图如图④所示，， 分别为上、下底面圆的半径， 所对的圆心角 ，， .将这 样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放， 但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过 ，求杯子叠放 达到的最大高度和此时杯子的总数.（提示：杯子下底面圆周长与 的长 度相等） 86 第7题解图 【答案】， , , 由题意得，， 每个杯口的直径为 ， 第一层摆放杯子的总长度不超过， 第一层的杯子数量不超过 （个）， 则杯子总数不超过 （个）， 87 由【发现问题】中杯子的叠放规律，每层减少1个杯子， 则最高可以叠放10层， 在题图④中，， , ，， ，即 ，解得 ， 如解图，过点作于点 ， , , ， 第7题解图 , 在中， ， ， 叠放10层时杯子总高度为 . 杯子叠放达到的最大高度为 ，此时杯子的总数为 55个. 第7题解图 好题类推 7-1.我们约定，在平面直角坐标系中，对于不同的两点, ， 如果满足，那么称, 两点互为“等差点”． （1）请判断在点,,中，有哪些点与点 互 为“等差点”？ 解：点与点，点与点 ， 点与点 ， 点与点 互为“等差点”； 90 （2）已知点在直线上，点在双曲线 为常数，且 上，且,两点互为“等差点”．请求出点的坐标（用含 的代数 式表示）； 【答案】 点在直线上，点在双曲线上， 令， ， ，两点互为“等差点”， ，整理得 ，解得， ， 的坐标为或 ； 91 （3）已知抛物线，为常数且,的顶点为 点，与轴交于,两点，，, 两点分别在抛物线 和直线上，如果, 两点互为“等差点”，且 ,两点的横坐标是一元二次方程的两根，求 的值． 92 【答案】 抛物线的顶点为点，与轴交于， 两 点，， ， 令，则，解得， ， ， 由题意知，且， 为等腰直角三角形， ，，化简得 ， 93 ，两点分别在抛物线和直线上， 令， ， ，互为“等差点”， ， ， 又，两点的横坐标是 的两根， ，且 ， 代入②得 ， 整理得， ，整理得 ， 把①代入③，得，即 ， ． 7-2.如图①是一个高脚杯的截面图，杯体 呈抛物线形（杯体厚度不 计），杯底，点是的中点， ，杯子的高 度（即，之间的距离）为，所在直线为轴， 所在直线 为轴建立平面直角坐标系（1个单位长度表示 ）． 第7-2题图 96 （1）求杯体 所在抛物线的解析式； 第7-2题图 97 解：，杯子的高度（即， 之间的距离）为 ，， ， 设抛物线的解析式为 ， 解得 杯体 所在抛物线的解析式为 ； 第7-2题图 98 （2）将杯子向右平移，并倒满饮料，杯体与轴交于点 （图②），过 点放一根吸管，吸管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一 次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点 ，设吸管所在直线的解析式为 ，求 的取值范围； 第7-2题图 99 【答案】如解图①， 抛物线的解析式为， 平移后的解析式 为 ． 第7-2题解图① 抛物线的对称轴为直线，，关于直线 的对 称点为 ， 100 平移后点的坐标为 ， 设直线的解析式为， ，解得 ， ； 设直线的解析式为， 解得 , 根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点， 的取值范围为 ； （3）将放在水平桌面上装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转 ，液面恰 好到达点处 ，如图③． 第7-2题图 102 ①请你以的中点为原点，所在直线为轴，所在直线为 轴建立 平面直角坐标系，并求出与 轴的交点坐标； 【答案】根据题意，建立直角坐标系如解图②，设与轴的交点为 ， 直线与轴的交点为，与轴的交点为 ， 第7-2题解图② 103 ，杯子的高度（即，之间的距离）为 ． ， ， 水平桌面上装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转 ， ， ，， ， ， ， ； 104 ②请直接写出此时杯子内液体的最大深度． 【答案】 . 【解法提示】 抛物线的解析式为，设点 是抛物线上的一点， 且，,如解图③,过点作轴，交于点 ， 水平桌面上装有饮料的高脚杯绕点顺时针旋转 ， ， ，， ， 过点作轴于点，轴， ， ， ， 105 ，， ， ， ，时，取得最大值，最大值为，过点 作 于点，则，故的最大值为 ， 故液体的最大深度为 ． 第7-2题解图 107 四 大单元结构化整合练 ★大单元整合练——函数的深度理解与把握 一、如何判断是不是函数：在某个变化过程中，有两个变量和 ，如 果对于任意一个都有唯一确定的与它对应，那么就说是 的函数. 第1题图 1.下列与的关系中，不是 的函数关系的是______ （填序号）. ； ； ； ； ； . 108 2.下列图象中，不能表示是 的函数的是________（填序号）. 109 （2）若矩形的面积是，则与的关系式为_ ______，是 的______ ___函数； （3）若矩形的周长为，矩形的面积为，则与 的关系式为 _______________，是 的______函数. 二、如何判断属于哪个函数类型（一次函数、反比例函数和二次函数） ◆根据题意列函数解析式并区分函数类型 1.如图，用绳子围矩形，记矩形相邻的两边长为， . （1）若绳长为，则与的关系式为____________，是 的______函数； 一次 二次 反比例 110 ◆根据表格数据特点区分函数类型 对于“已知与的几组对应值，判断与 满足哪种函数类型”的问题， 可优先从以下几个方向思考： （1）若表格中的或的值“有0”：与 一定不是反比例函数； （2）若每一组，的“乘积都相等”：是 的反比例函数； （3）若表格中有“两个对应的值相等”：是 的二次函数； （4）若的值呈现“先增后减”或“先减后增”：是 的二次函数； （5）若与都呈现“等差变化”：是 的一次函数； （6）通过描点观察图象的形状：直线型即一次函数；双曲线型即反比例 函数；抛物线型即二次函数. 111 2.已知是的函数，给出了几组和 的对应值，请根据表格中的数据特点 填空. 第1组： 0 5 10 10 5 0 【观察】和 同时呈现等差变化 【得出结论】是 的______函数 一次 112 第2组： 1 2 10 5 【观察】与 的乘积均为10 【得出结论】是 的________函数 反比例 第3组： 1 2 3 6 【观察】与的乘积均为 【得出结论】是 的________函数 反比例 113 第4组： 0 1 2 12 【观察】当和时，的值均为 【得出结论】是 的______函数 二次 114 第5组： 0 3 0 【观察】随着的增大， 的值先增大后减小 【得出结论】是 的______函数 二次 115 第6组： 1 2 1 0 4 9 【观察】随着的增大， 的值先减小后增大 【得出结论】是 的______函数 二次 116 【描点画图】 【答案】 【得出结论】 是 的______函数 一次 第7组： 2 4 0 3 5 117 【描点画图】 【答案】 【得出结论】 是 的______函数 二次 第8组： 0 1 2 4 0 2 8 118 ◆根据函数图象上点的坐标特征区分函数类型 3.在如图所示的网格平面直角坐标系中，每个网格的单位长度均为1，点 ，，，， 均在网格中的格点上，请回答下列问题. 第3题图 （1）与一次函数图象有关 ①正比例函数 的图象______ （填“能”或“不能”）经过点 ； 不能 ②若正比例函数 的图象经过图中的 某一点，则___0（填“ ”或“ ”）； 119 ③一次函数 的图象______（填“能”或“不能”）同时经过 点和点 ； ④若一次函数 的图象经过其中的三点，则这三个点分别 是_________. 不能 ，， 一次函数 坐标系中的一条“斜直线” 120 第3题图 （2）与反比例函数图象有关 ①反比例函数 的图象一定不经过点 ___； ②反比例函数 的图象______ （填“能”或“不能”）同时经过点和点 ； 不能 ③若反比例函数的图象经过点 和 点 ，则还可以经过点___. 121 反比例函数 分别居于两个象限的“双曲线” 122 第3题图 （3）与二次函数图象有关 ①二次函数 的图象 _______（填“能”或“不能”）同时经过点，点 和点 ； 不能 ②抛物线一定经过点 和点___； ③若二次函数 的图象经过 点和点，则， 满足的关系式为___________； ④若二次函数的图象经过其中的三点，当 最大 时，经过的点是__________；当 最小时，经过的点是__________. ，， ，， 123 二次函数 坐标系中的一条“抛物线” 124 ★大单元整合练——函数的增减性与最值 1.写出下列函数的增减性. 函数类型 函数解析式 增减性 正比例函数 随 的增大而______ 一次函数 随 的增大而______ 反比例函数 在每一象限内，随 的增大而______ 在每一象限内，随 的增大而______ 增大 减小 减小 增大 125 函数类型 函数解析式 增减性 二次函数 在对称轴左侧，随 的增大而 ______； 在对称轴右侧，随 的增大而______ 在对称轴右侧，随 的增大而 ______； 在对称轴左侧，随 的增大而______ 增大 减小 增大 减小 126 2.请在下面横线上写一个关于的函数解析式，使它满足：当时， 随 的增大而减小. （1）若是的一次函数，则 __________________； （2）若是的反比例函数，则 _ ________________； （3）若是的二次函数，则 __________________. （答案不唯一） （答案不唯一） （答案不唯一） 127 3.已知点,是一次函数 图象上两点.请用 “ ”“”或“ ”填空. （1）若,,，则___ ; （2）若，，则___ ; （3）若，，则 ___0. 128 4.已知点,是反比例函数 图象上两点.请用“ ” “”或“ ”填空. （1）若,,，则___ ; （2）若,,，则___ ; （3）若,,，则___ ; （4）若，，则___ ； 129 变式 若，，请讨论, 的大小情况. 解:当时，反比例函数 的图象位于第二、四象限，在每一象限 内，随 的增大而增大. 当 时，分为以下三种情况： ①当时， ， ②当时， ， ③当时， . 130 5.已知点,是二次函数 图象上两 点.请用“ ”“”或“ ”填空. （1）当, 时. ①若,，则___ ; ②若，则___ ; ③若,则___ ； 131 （2）当 时. ①若，，则___ ; ②若，，则___ ; （3）当, 时. ①若,，则 ___4； ②若,，则___1或 ___3. 132 6.已知关于的函数关系式中，自变量的取值范围为 . （1）当函数为时，的最大值为___， 的最小值为___； 3 1 （2）当函数为时，求 的最大值和最小值. 解： 抛物线的对称轴为直线，且 , 当时，是最小值；当 时， 是最大值. 133 7.已知关于的函数关系式中，自变量的取值范围为 . （1）当函数为时，的最大值为5，则的值为_____， 的最小 值为___； 3 （2）当函数为 时. ①若的最大值为15，则 的值为______； ②若的最小值为15，则 的值为_______； ③若的最小值为，则 的取值范围为__________. 0或6 或8 134 ★大单元整合练——函数图象的平移与对称 一、点、函数图象的平移 135 1.（1）直线的位置如图所示，点为直线上一点，把直线 向右平移4个单 位长度得到直线，点的对应点为点，请在图中画出直线和点 的位置； 解：如解图所示，直线和点 即为所求. 第1题图（解图） 136 （2）把直线 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 后得到的直线的解析式是____________； 137 2.（1）抛物线的位置如图所示，点 为抛物线的顶点，将该抛物线向左平 移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，请画出平移后的抛物线和点 的对应点 ； 解：平移后的抛物线和点 如解图所示. 第2题图（解图） 138 （2）将二次函数 的图象向左平移1个单位长度，再向下平 移2个单位长度，所得抛物线的解析式为___________； （3）将二次函数 的图象向右平移2个单位长度，再向上 平移1个单位长度所得抛物线的解析式为_________________. 139 二、点、函数图象的对称 点 一次函数 二次函数 关于 轴 对称 140 关于 轴 对称 关于原点 对称 对称规律 关于坐标轴对称时，关于谁对称谁不变，另一个变号 关于原点对称时，， 都变号 141 1.（1）直线的位置如图所示，点为直线上一点，直线与直线关于 轴 对称，直线与直线关于轴对称，点关于轴对称的点为，关于 轴 对称的点为,请在图①和图②中分别画出直线,点和直线，点 ； 解：直线，点如解图①所示，直线，点 如解图②所示. 142 （2）直线关于 轴对称的直线的解析式为__________， 关于 轴对称的直线的解析式为__________， 关于原点对称的直线的解析式为____________. 143 2.（1）抛物线如图所示，点是抛物线的顶点，将抛物线沿 轴翻折，请 将翻折后的抛物线和点的对应点 在图中画出来； 解：所求抛物线和点的对应点 如解图所示. 第2题图（解图） 144 （2）抛物线关于 轴对称的抛物线的解析式为_____ _______________， 关于 轴对称的抛物线的解析式为_____________________， 关于原点对称的抛物线的解析式为___________________. 145 ★大单元整合练——函数与方程（组）、不等式的关系 一、一次函数与一次方程（组）的关系 1.如图，已知一次函数的图象分别与，轴交于， 两 点，若，，则关于的方程 的解为________. 第1题图 146 第2题图 2.如图，直线与相交于点 ， 则关于的方程 的解是( ) A. B. C. D. √ 147 第3题图 3.如图，在平面直角坐标系中，直线 与直线 相交于点，则关于， 的二元一次方程组 的解是( ) A. B. C. D. √ 148 二、二次函数与一元二次方程的关系 1.已知一元二次方程有两个实数根, ， 则二次函数 的对称轴是直线______. 2.已知抛物线与轴的两交点的横坐标分别为 ， ，而的两根为，，则 ， ， ， 的大小顺序为( ) A. B. C. D. √ 149 3.名师原创对于题目“关于的方程在 时只 有1个解，求满足条件的整数的值.”甲的结果是，乙的结果是 或4，则( ) A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确 C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确 √ 150 三、函数与不等式的关系 1.已知不等式的解集是，则一次函数 的图象 大致是( ) A. B. C. D. √ 151 第2题图 2.数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图， 一次函数，为常数，且 的图象 与直线都经过点，当 时， 根据图象可知， 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ 152 3.已知反比例函数的图象与正比例函数 的图 象交于点 . （1）不等式 的解集是___________________； （2）不等式 的解集是___________________. 或 或 153 第4题图 4.如图所示，二次函数的图象与 轴交 于坐标原点和点 . （1）不等式 的解集为__________； （2）不等式 的解集为_____________. 或 154 ★大单元整合练——实际意义的理解 一、与代数式相关 1.某文具的进价为元，已知销售一件这种文具能盈利，则 元表示： ________________________________________. 2.请你为代数式 赋予一个实际意义：__________________________ ________________________________________________________. 3.某网店进行促销，将原价元的商品以 元出售，该网店对该 商品促销的方法是____________________. 销售两件这种文具的销售额（答案不唯一） 一支钢笔元，一支铅笔元，小红买了6支钢笔和3支铅笔，共付了多少钱（答案不唯一） 打八折后再让利20元 155 二、与方程（组）、不等式（组）相关 4.某校购买了一批篮球和足球.已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足 球用了5 000元，购买篮球用了4 000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意 可列方程，则方程中 表示( ) A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 5.某品牌护眼灯的进价为240元.节假日期间，商店为让利于顾客，计划以 利润率不低于 的价格降价出售.若根据题意列出的不等式为 ，则 代表的意义是____________________________ _____. 商店以元的价格出售该品牌护眼灯 √ 156 三、与函数相关 6.某公共汽车线路收支差额 （万元）（票价总收入减去运营成本）与乘 客数量（万人）之间的关系如图所示，则点 的实际意义为____________ ______________________. 该公共汽车线路的运营成本为1万元 第6题图 157 7.某通讯公司开展营销活动，设置了甲、乙两种手机资费套餐，手机资费 （元）与通话时间 （分）之间的关系如图所示： 第7题图 （1）点 的实际意义:____________________ __________________________； 当通话时间为30分钟时，甲套餐的手机资费是9元 （2）说明线段 的实际意义：____________ _________________________________； 通话时间不超过30分钟时，甲套餐手机资费是9元 158 （3）点 的实际意义：____________________________________________ ____________________； 当通话时间为150分钟时，甲、乙两种套餐的手机资费一样，都是39元 第7题图 159 第7题图 （4）乙套餐手机资费 （元）与通话时 间（分）之间的关系为 ， 请通过计算说明, 的实际意义. 解：将点和点 代入 中，解得 , , 的实际意义为每分钟的通话费用为0.1元， 的实际意义为乙套餐的固定资费为24元. 160 第8题图 8.开放性试题［2022年版课标例68节选］如图， 对于给定图象想象图象表示的函数关系. 请就符合上述图象的情境进行描述：_________ _________________________________________ _________________________________________ ________________.（写出一种即可） 小河的爸爸出门散步，从家走了20分钟到达离家900米的公园，爸爸在公园原地休息了10分钟，然后用了15分钟返回家 161 五 2022年版课标内容梳理 教师备课尊享 命题点1 平面直角坐标系与函数 1.理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系；在给定的平 面直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置，由点的位置写出坐标; （删除结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置） 162 2.在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置; 3.对给定的正方形，会选择合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标， 体会可以用坐标表达简单图形;（“刻画一个”调整为“表达”） 4.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解 函数的概念和表示法，能举出函数的实例. . . 163 命题点2 函数图象的分析与判断 1.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析； 2.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 3.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数 值的意义（新增）； 4.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论. . . . . 164 命题点3 一次函数的图象与性质 1.能画一次函数的图象，根据图象和表达式 探索并理解 和 时图象的变化情况； 2.理解正比例函数. 165 命题点4 一次函数解析式的确定及图象的变换 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.（“利用”调整为“运用”） . . 166 命题点5 一次函数图象与性质的应用 体会一次函数与二元一次方程的关系. 167 命题点6 一次函数的实际应用 1.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 2.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表 达式； 3.能用一次函数解决简单实际问题. 168 命题点7 反比例函数的图象与性质 能画反比例函数的图象，根据图象和表达式探索并理解 和 时图象的变化情况. 169 命题点8 反比例函数解析式的确定及 的几何意义 能根据已知条件确定反比例函数的表达式. 170 命题点9 反比例函数的应用 1.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 2.结合具体情境体会反比例函数的意义； 3.能用反比例函数解决简单实际问题. 171 命题点10 二次函数的图象与性质 1.能画二次函数的图象（“会用描点法画出”改为“能”），通过图象了解二 次函数的性质，知道二次函数系数与图象形状和对称轴的关系（新增）； 2.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增）. . . . . 172 命题点12 二次函数图象与性质的应用 知道二次函数和一元二次方程之间的关系（新增），会利用二次函数的图 象求一元二次方程的近似解. 173 命题点13 二次函数的实际应用 1.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值； 2.通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义; 3.会求二次函数的最大值或最小值，并能确定相应自变量的值（新增）,能 解决相应的实际问题（“简单”改为“相应的”）. . . . . 174 $$