第十六章 二次根式（B卷·培优卷 单元重点综合测试）2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．使式子有意义的实数x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠0 C．x＜3 D．x＜3且x≠0 2．估计的值应在（      ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 3．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 5．已知顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 6．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如果，则的平方根是 ． 8．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 9．化简的结果是 ． 10．使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是 ． 11．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为 ． 12．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①位置可得到点，此时；将①位置的三角形绕点顺时针旋转到②位置，可得到点，此时；将②位置的三角形绕点顺时针旋转到③位置，可得到点P3，此时；…，按此规律旋转，直至得到点为止，则= ． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 14．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 15．先化简，再求的值，其中． 16．计算： (1)； (2)． 17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） ． 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)已知是的三条边长，且满足，请判断形状，并说明理由． (2)已知，求多项式的值． 18．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 19．阅读理解：若a，b，c为互不相等的实数，且，， 求证：． 证明：∵ 又∵，则， ∴ ∴ ． 根据上面的证明完成下列各题： (1)若x，y，z是互不相等的实数，则____________； (2)若，则___________； (3)化简：__________； _____________； (4)，求S的整数部分的值． 20．规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与． (1)数对的一对“对称数对”是________． (2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？ (3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值． 21．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 22．【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数． 【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数． 即，． 类似的，，，，． 【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题： (1)_________________，________________；（为正整数） (2)若，则＝________________； (3)计算：． 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值．    试卷第2页，共21页 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（B卷·培优卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．使式子有意义的实数x的取值范围是（　　） A．x≤3 B．x≤3且x≠0 C．x＜3 D．x＜3且x≠0 【答案】B 【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出答案． 【详解】使式子有意义的实数x的取值范围是：3﹣x≥0，且x≠0， 解得：x≤3且x≠0． 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．估计的值应在（      ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法运算计算，再估算的大小，进而估算，即可求得答案． 【详解】 \ 故选B 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，无理数大小估算，掌握以上知识是解题的关键． 3．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知，重叠部分的面积为8，则空白部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：重叠部分图形的长和宽都是两个小正方形的边长减去大正方形的边长， 重叠部分也是正方形， 三个小正方形的面积分别为48，32，8， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故选：A． 4．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 5．已知顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为．如图，在中，，平分交于点D，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、分母有理化和角平分线的性质．根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边可得，设，则，进一步可得，结合计算即可． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 设，则， ∵， ∴， 故选：C． 6．把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图1）不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图2），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，整式的加减运算，二次根式加减运算等知识，根据题意列出关系式，去括号合并同类二次根式即可得到结果，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 【详解】解：设图1小长方形卡片的长为，宽为，根据题意得， 则图2中两块阴影部分周长和是 ， 故选：D． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如果，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方根的定义；由二次根式的性质得，求出的值，代入求出的值，由平方根的定义即可求解；理解二次根式的性质，会求一个数的平方根是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， ， 解得：， ， 的平方根是； 故答案：． 8．对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 9．化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】逆用积的乘方，用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方的逆用，平方差公式．熟练掌握积的乘方法则，以及平方差公式，是解题的关键． 10．使用手机支付宝付款时，常常需要用到密码．嘉淇学完二次根式后，突发奇想，决定用“二次根式法”来产生密码．如，对于二次根式，计算结果为13，中间加一个大写字母X，就得到一个六位密码“”．按照这种产生密码的方法，则利用二次根式产生的六位密码是 ． 【答案】 【分析】先求出的值，再根据题意即可得出结论． 【详解】解：， ∴产生的六位数密码是， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知算术平方根的意义是解答此题的关键． 11．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中，这是用无理数表示有理数的一个范例，生活中很多花（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的花瓣数恰好是斐波那契数列中的某个数，则斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，当时计算出第1个数和第2个数，相加即可得到答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 所以，斐波那契数列中的第1个数与第2个数的和为， 故答案为：2． 12．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①位置可得到点，此时；将①位置的三角形绕点顺时针旋转到②位置，可得到点，此时；将②位置的三角形绕点顺时针旋转到③位置，可得到点P3，此时；…，按此规律旋转，直至得到点为止，则= ． 【答案】 【分析】根据，，，，， ，得到规律，，，确定2023的循环节特点即可计算． 【详解】根据题意，得，，，，，， 所以循环节为3，且规律如下： ，，， 因为2023÷3=674…1， 所以=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了图形中的数字规律，熟练掌握寻找规律的基本方法是解题的关键． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，求方程的解． 【答案】或 【分析】根据题目所给的新运算的运算顺序和运算法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， ， 或． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据平方根的定义解方程，二次根数化简，解题的关键是正确理解题目所给新运算的运算顺序和运算法则． 14．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；． （2）解：原式， ， 原式． 15．先化简，再求的值，其中． 【答案】． 【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简，然后将a的值代入原式即可求出答案． 【详解】解： 当时， 原式=． 【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算，本题属于基础题型． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键： （1）先进行乘法运算，化简二次根式，再合并即可； （2）先利用乘法公式进行计算，再合并即可． 【详解】（1）解：原式             ， ； （2）原式 ． 17．“探究性学习”小组的甲、乙两名同学进行因式分解如下． 甲： （分成两组） （直接运用公式） ． 乙： （分成两组） （提公因式） ． 请在他们解法的启发下解答下列各题． (1)已知是的三条边长，且满足，请判断形状，并说明理由． (2)已知，求多项式的值． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析； (2)2 【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，平方差公式以及二次根式的混合运算，熟练掌握因式分解的方法，完全平方公式，平方差公式的运用是解题的关键． （1）对因式分解得，由此得到，是等腰三角形； （2）先利用完全平方公式和平方差公式对多项式进行因式分解，然后代入求值即可； 【详解】（1） ， 由于是的三条边长，且满足， ， ， 是等腰三角形． （2） ， 原式 18．有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为和的两块正方形木板． (1)截出的两块正方形木板的边长分别为______，______； (2)求剩余木板的面积； (3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5、宽为1.2的长方形木条，最多能截出______个这样的木条．（参考数据：） 【答案】(1)， (2) (3)2 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）由正方形的面积可得边长，再利用二次根式的性质化简，即可求解； （2）求出剩余的木料的长和宽，即可求面积； （3）求剩余的木料的长和宽，即可求解． 【详解】（1）根据题意得：截出的两块正方形木料的边长分别为，， 故答案为：，； （2）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∴剩余的面积为； （3）根据题意得：从剩余的木料的长为，宽为， ∵，， 能截出块这样的木条． 故答案为：2． 19．阅读理解：若a，b，c为互不相等的实数，且，， 求证：． 证明：∵ 又∵，则， ∴ ∴ ． 根据上面的证明完成下列各题： (1)若x，y，z是互不相等的实数，则____________； (2)若，则___________； (3)化简：__________； _____________； (4)，求S的整数部分的值． 【答案】(1) (2) (3)， (4)2017 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化，分式的混合运算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解题意是解此题的关键． （1）由题意得出，结合计算即可得解； （2）由题意得出且，结合计算即可得解； （3）根据，，结合题意计算即可得解； （4）由上述材料得，，由此计算即可得解． 【详解】（1）解：因为、、两两不等， 所以， 又 ∴原式； （2）解：因为且；； ∴原式； （3）解：因为，， ∴原式，， （4）解：由上述材料得，， ∴ ， ∴S的整数部分的值是2023． 20．规定表示一对数对，给出如下定义：，（）．将与称为数对的一对“对称数对”．例如：数对的一对“对称数对为与． (1)数对的一对“对称数对”是________． (2)若数对的一对“对称数”相同，则的值是多少？ (3)若数对的一个“对称数对”是，则的值是多少？若数对一个“对称数对”是，求，的值． 【答案】(1) (2) (3)；或 【分析】（1）根据“对称数对”的定义代入计算即可； （2）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一对“对称数对”相同”，可得的值； （3）先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据“数对的一个“对称数对”是”，即可得出的值；先将数对的一对“对称数对”表示出来，根据数对一个“对称数对”是，即可得出的值； 【详解】（1）解：由题意得，， ∴数对的一对“对称数对”是与； （2）解：由题意得， ∴数对的一对“对称数对”为与， ∵数对的一对“对称数对”相同， ∴ ∴； （3）解：∵数对的一对“对称数对”是与 而数对的一个“对称数对”是， ∴， ； 由题意得， ∴数对的一对“对称数对”为与， 数对一个“对称数对”是 或 或 【点睛】本题考查了实数的运算，“对称数对”的定义．理解题意是解题的关键． 21．【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【答案】（1）；（2）；；（3）；（4）符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱 【分析】本题考查二次计算与化简与应用， （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可； 解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）∵，且a，b，m，n均为正整数， ∴， 即， ∴，， 故答案为：；； （3）∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为； （4）∵，， ∴底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴两个正方形的长之和：， ∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， ∴应选择C型号包装纸箱． 22．【知识再现】乘积为1的两个数互为倒数．如：，我们就说2和互为倒数． 【主题探究】在学习二次根式的过程中，某数学兴趣小组发现有一些特殊无理数之间也具有互为倒数的关系．例如：，可得与互为倒数． 即，． 类似的，，，，． 【启发应用】请根据以上规律，解决下列问题： (1)_________________，________________；（为正整数） (2)若，则＝________________； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3)9 【分析】（1）根据示例，利用平方差公式进行计算即可求解； （2）根据（1）的方法，可知，解方程即可求出m的值； （3）根据（1）的方法进行计算，裂项相消即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值、分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 23．阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时，， 当，即时，的最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： (1)当时，的最小值为______；当时，的最大值为______； (2)当时，求的最小值； (3)如图，已知四边形的对角线、交于点，若的面积为1，的面积为4，求四边形面积的最小值．    【答案】(1)4； (2) (3) 【分析】（1）当时，由，可得的最小值，当时，由，可得的最大值； （2）由，结合（1）的结论可得答案； （3）设的面积为，可得四边形的面积，再结合（1）的结论可得答案． 【详解】（1）解：当时， ， 当即时，的最小值为4； 当时，， ， ， 当即时，的最大值为； （2） 而，由（1）可知的最小值为4 的最小值是． （3）设的面积为， ， 即，． 四边形的面积， 由（1）可知的最小值为4 的最小值是． 四边形面积最小为9． 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，二次根式的性质，理解阅读部分的信息并灵活运用是解本题的关键． 试卷第2页，共21页 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$