云南省昆明市盘龙区2024-2025学年高一上学期期末监测数学试卷

数学试卷·第1页（共 4页） 秘密★启用前 【考试时间：1月13日 15∶00—17∶00】 盘龙区 2024—2025学年上学期期末监测 高 一 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在 答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规 定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.如图，已知全集 { 2, 1,3,4,5}U = − − ，集合 { 1,3,5}A = − ， { 2,5}B = − ，则图中阴影部分表示 的集合是 A.{ 2, 1,3,5}− − B.{ 2,5}− C.{5} D.{ 2}− 2.设命题 p ： x R ， sin 1x  ，则 p 为 A. x R ， sin 1x  B. x R， sin 1x  C. x R ， sin 1x  D. x R， sin 1x  3.已知函数 π ( ) 2 tan( ) 6 f x x= − 的最小正周期为 π，则  = A. 1− 或1 B. 2− 或 2 C.1 D. 2 4.已知 1a  ，则 4 1 a a + − 的最小值为 A.9 B.6 C.5 D. 4 5.噪声污染问题越来越受到重视.声压级（Sound pressure level）是描述声音强度的物理 量，基于声音的压力变化来测量，单位为分贝（dB），定义声压级为 0 20lg( )p p L p = ，其中 常数 0p （ 0 0p  ）是听觉下限阈值， p 是实际声波压强，一般情况下适合人休息的声音不 超过 40 dB，声音超过 70 dB 会有损神经，设声压级为 40 dB时对应的声波压强为 1p ，声压 级为 70 dB 时对应的声波压强为 2p ，则 2 1 p p = A.10 B. 1.510 C.100 D. 2.510 BA U 数学试卷·第2页（共 4页） 6.已知 tan 2 = ，则 cos2 = A. 3 5 − B. 3 5 C. 4 5 − D. 4 5 7.对于任意的 xR， [ ]x 表示不超过 x 的最大整数，例如 [3.7] 3= ， [2] 2= ，[ 1.3] 2− = − ， 那么“ 1x y−  ”是“[ ] [ ]x y= ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知函数 ( )f x 的定义域为R ，且 (1) 2f = − ，若 ( ) ( ) ( ) ( )f x f y f x y f x y = + + − ，则 A. (0) 0f = B. (2) 1f = C. ( )f x 为偶函数 D. ( )f x 为增函数 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错的得 0分。 9.已知函数 ( ) ( )( ) 1f x x a x b= − − − （ a b ）恰有两个零点 c ， d （ c d ），则下列结论正 确的是 A. ( ) ( ) 0f c f d= = B.方程 ( ) 1f x = − 的解集为{ , }a b C.不等式 ( ) 0f x  的解集为{ }x a x b  D. a ， b ， c ， d 的大小关系是 d b a c   10.已知函数 ( )f x 的定义域为R ，且 ( ) ( 2)f x f x= + ，当 [ 1,1]x − 时， ( ) 2 1 x f x = − ，则下 列说法正确的是 A.函数 ( )f x 是周期为 2 的周期函数 B.方程 ( ) 1f x = 的解集为{ 1,1}− C. ( )f x 的值域为[0,1] D.方程 ( ) lnf x x= 有且仅有一个解 11.函数 ( ) sin(2 )f x x = + （ π 2   ），对 x 都有 π ( ) ( ) 3 f x f − ，则下列说法正确的是 A. π 6  = B. ( )f x 在 π π [ , ] 3 6 − 上单调递减 C.将函数 ( )f x 的图象向左平行移动 5π 12 个单位，得到的函数图象关于原点对称 D.若 π 5π [ , ] 12 12 x ，则函数 ( ) ( ) cos 2g x f x x= + 的最小值为 3− 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12. 2 1 2lg5 lg 4 ( ) 4 −+ − = . 13.用篱笆围成一个一边靠墙面积为32 2m 的矩形菜园，墙长 10 m，则至少需要篱笆 m . 14.已知函数 ( ) ln 3f x x x= − − 的定义域为[1, )+ ，且 ( )f x 为增函数，若 0x 是 ( )f x 的零 点， 0 0 0 0 ln 2 1 x x x k x +  − 恒成立，则整数 k 的最大值是 . 数学试卷·第3页（共 4页） 四、解答题：本题共 5 小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13 分） 设函数 ( ) 2cos( )f x x = + （ 0 6  ， 0 π  ），满足 (0) 1f = ，函数 ( )f x 图象的 一个对称中心为 1 ( ,0) 6 . （1）求 ( )f x 的最小正周期； （2）用“五点法”画出函数 ( )f x 在区间 1 5 [ , ] 3 3 − 上的简图. 16．（15 分） 已知函数 2( ) ( 5 5) mf x m m x= − + 为幂函数，且 ( )f x 满足 ( ) ( )f x f x− = − ． （1）求实数m 的值； （2）若函数 1 ( ) ( )g x f x x = − ，其定义域为 (0, )+ ． ①证明： ( )g x 在 (0, )+ 上为减函数； ②求使不等式 (3 1) ( )g t g t−  成立的实数 t 的取值范围. 17．（15 分） 已知函数 2( ) 2 3sin cos 2sin 1f x x x x  = − + 且 0 2  ，在下列①②中选择一个做 为条件，并完成解答. ①函数 ( )f x 图象上相邻两个对称中心的距离为 π 2 ； ②函数 ( )f x 图象的一条对称轴为 π 6 x = . （1）求 ( )f x 的表达式； （2）将 ( )f x 的图象向右平移 π 3 个单位，再向上平移 2 个单位，得到函数 ( )g x 的图象，求 函数 ( )g x 在 π π [ , ] 3 3 − 上的值域. - 1 3 5 3 y xO -2 -1 2 1 数学试卷·第4页（共 4页） 18．（17 分） 为预防流感，某学校对教室用药熏消毒法.已知室内每立方米空气中的含药量 y （毫 克）与时间 t （小时）的关系近似满足如图所示曲线，根据图中提供的信息，从下列函数 中选取恰当的两个函数，完成解答. ① y at= ② 16log ( )y t b= − ③ 1 ( ) 16 t cy −= ④ y t d= − （1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）的解析 式，并简要说明你选取的理由； （2）据测定，当每立方米空气中的含药量降低到0.2 毫克以下时，学生方可进教室，那么 从药物释放开始，至少需要经过多少小时，学生才能回到教室. （参考数据： lg 2 0.3 ，结果保留 2 位小数） 19．（17 分） 已知函数 ( ) exf x x= . （1）证明：函数 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增； （2）当 1x  时，不等式 ( ) lnf x a a 恒成立，求 a 的取值范围； （3）比较3ln1.5与 e 的大小. 1 0.1 小时 毫克 O t y 数学参考答案及评分标准·第1页（共3页） 盘龙区 2024—2025学年上学期期末监测 高一数学参考答案及评分标准 一、单选题 二、多选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A C B A B C ABD ACD AC 三、填空题 12． 14− 13． 16 14． 4 15.解：（1）由 (0) 1f = 得 1 cos 2  = ，又 0 π  ，所以 π 3  = ，故 π ( ) 2cos( ) 3 f x x= + . 函数 ( )f x 图象的一个对称中心为 1 ( ,0) 6 ，则 1 π π π 6 3 2 k + = + ， kZ ， 即 6 π πk = + ， kZ ，又 0 6  ，所以 π = ， ………………5分 而 2π 2T  = = ，所以 ( )f x 的最小正周期为 2 . ………………7 分 （2）列表： ………………10 分 π π 3 x + 0 π 2 π 3π 2 2π x 1 3 − 1 6 2 3 7 6 5 3 y 2 0 2− 0 2 画图： ………………13 分 16. 解：（1） 因为 2( ) ( 5 5) mf x m m x= − + 为幂函数，所以 2 5 5 1m m− + = ，解得 1m = 或 4m = ， 又因为 ( ) ( )f x f x− = − ，所以 ( )f x 为奇函数，故 1m = ． ……………………5 分 （2）①证明：由（1）知 ( )f x x= ，则 1 1 ( ) ( )g x f x x x x = − = − ，设 2 1 0x x  ， 则 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( 1)g x g x x x x x x x x x x x x x − = − − + = − + − = − + ， - 1 3 1 6 7 6 2 3 5 3 y xO -2 -1 2 1 数学参考答案及评分标准·第2页（共3页） 因为 2 1 0x x  ，所以 2 1 1 2 1 ( )( 1) 0x x x x − +  ，所以 1 2( ) ( ) 0g x g x−  ，故 1 2( ) ( )g x g x . 所以 ( )g x 在 (0, )+ 上为减函数. …………………………………10分 ②因为 ( )g x 在 (0, )+ 上为减函数，其定义域为 (0, )+ ， 所以 (3 1) ( )g t g t−  等价于 3 1 0, 0, 3 1 , t t t t −     −  解得 1 1 3 2 t  ， 所以实数 t 的取值范围为 1 1 ( , ) 3 2 ． …………………………………15 分 17．（1）解： 2( ) 2 3sin cos 2sin 1 3 sin 2 cos 2f x x x x x x    = − + = + ， 所以 3 1 ( ) 2( sin 2 co )2s 22 6 ) 2 2 π sin( xf x x x  += + = . …………………4 分 选①： ( )f x 图象上相邻两个对称中心的距离为 π 2 ，则 π 2 2 T = ， 所以 2π π 2 = ，则 1 = . 选②： ( )f x 的一条对称轴为 π 6 x = ，则 π π π 2 π 6 6 2 k  + = + ， kZ ， 所以 3 1k = + ，又 0 2  ，则 1 = . 所以 π ( ) 2sin(2 ) 6 f x x= + . …………………8分 （2）由题知 π π ( ) 2sin[2( ) ] 2 3 6 g x x= − + + ，化简得 π ( ) 2sin(2 ) 2 2cos 2 2 2 g x x x= − + = − + ， 因为 π π [ , ] 3 3 x − ，所以 2π 2π 2 [ , ] 3 3 x − ，则 cos 2 1 1 2 x−   ，故 0 2cos2 2 3x − +  . 所以函数 ( )g x 在 π π [ , ] 3 3 − 上的值域为[0,3]. …………………………………15 分 18. 解：（1）因为随着时间 t 的增加， y 的值先增后减，由图可知第一段线段为增函数， 第二段曲线为减函数，故选 ① y at= 和③ 1 ( ) 16 t cy −= . …………………3 分 线段经过点 (0.1,1)，则1 0.1a= ，所以 10a = ， 所以图中第一段线段的方程为 10y t= （0 0.1t  ）， …………………5 分 又因为点 (0.1,1)在曲线 1 ( ) 16 t cy −= 上，所以 0.1 1 1 ( ) 16 c−= ，解得 0.1c = . ……………7 分 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y （毫克）与时间 t （小时）之间的函数 关系式为 0.1 10 ,(0 0.1), 1 ( ) , ( 0.1). 16 t t t y t−    =    …………………………………8 分 数学参考答案及评分标准·第3页（共3页） （2）因为药物开始释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于 0.2毫克，学生也不能 进入教室，所以只能当药物释放完后，室内药量减少到 0.2 毫克以下时，学生方可进入教 室，故 0.1 1 ( ) 0.2 16 t−  ， …………………………………10 分 即 (0.4 4 ) 1 2 5 t−  ，两边取以10为底的对数得 (0.4 4 ) 1 lg 2 lg 5 t−  ， 所以 (0.4 4 ) lg 2 lg 2 1t−  − ，解得 1 0.3 0.68 4lg 2 2 t  −  . ……………………………16 分 所以从药物释放开始，至少需要经过0.68小时，学生才能回到教室. ………………17分 19．（1）证明：设 2 1 0x x  ，则 1 1 1( ) e xf x x= ， 22 2( ) e xf x x= ， 所以 2 2 1 1 2 2 2 1 11 ( ) e e ( ) e x x x x f x x x f x xx −= =  ，因为 2 1 0x x  ，所以 2 1 1 x x  ， 2 1e 1x x−  ， 所以 2 1 ( ) 1 ( ) f x f x  ，即 2 1( ) ( )f x f x . 所以函数 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增. …………………7 分 （2）显然 0a  ，因为 ln( ) ln ln e (ln )af x a a a f a =  = ，函数 ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增， 所以 lnx a ，即 exa  恒成立，所以 min(e ) e xa  = . 所以 a 的取值范围是 (0,e] . ………………13 分 （3）因为 9 e 4  ，所以 9 ln 1 4  ，故 3 1 ln 2 2  ， ( )f x 在 (0, )+ 上单调递增， 所以 3 1 (ln ) ( ) 2 2 f f ，又 3 3 3 (ln ) ln 2 2 2 f = ， 1 2 1 1 ( ) e 2 2 f = ，则 1 2 3 3 1 ln e 2 2 2  ，即 1 2 3 3ln e 2  . 所以3ln1.5 e . ………………17 分