2025年九年级中考数学（安徽地区专用）二轮复习专题突破课件：专题四　二次函数综合题

专题四　二次函数综合题 第二部分　安徽中考专题突破 类型一　与线段长度有关的问题（含最值） 典例1 一次函数y＝kx＋4与二次函数y＝ax2＋c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点. （1） 求k，a，c的值. 解：（1） 把（1，2）代入y＝kx＋4，得k＋4＝2，解得k＝－2.∴ 一次函数的表达式为y＝－2x＋4.又∵ 二次函数图象的顶点为（0，c），且该顶点是一次函数与二次函数的图象的另一个交点，∴ 把（0，c）代入y＝－2x＋4，得c＝4.∴ y＝ax2＋4.把（1，2）代入，得a＋4＝2，解得a＝－2. 解：（2） 由（1），得二次函数的表达式为y＝－2x2＋4.令y＝m（0＜m＜4），得2x2＋m－4＝0.∴ x＝± .设B，C两点的坐标分别为（x1，m），（x2，m），则BC＝｜x1－x2｜＝2 ，OA＝m.∴ W＝OA2＋BC2＝m2＋4× ＝m2－2m＋8＝（m－1）2＋7. ∴ 当m＝1时，W取得最小值，最小值为7. （2） 过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2＋c的图象相交于B，C两点，O为坐标原点，记W＝OA2＋BC2.求W关于m的函数表达式，并求W的最小值. [思路点拨] （1） 把（1，2）代入y＝kx＋4，可求得k的值，由y＝ax2＋c可知，二次函数图象的顶点在y轴上，则可求得顶点的坐标，从而可求c的值，最后可求a的值.（2） 由（1）得二次函数的表达式为y＝－2x2＋4，令y＝m（0＜m＜4），得2x2＋m－4＝0，可用含m的代数式表示x，进而可表示出OA，BC的长，即可求解. 跟踪训练 1. （2024·合肥瑶海三模）已知抛物线y＝mx2＋（1－m）x＋m2（m＞0）经过点（1，2）. （1） 求抛物线对应的函数表达式及顶点A的坐标. 解：（1） 把（1，2）代入y＝mx2＋（1－m）x＋m2（m＞0），得2＝m＋（1－m）＋m2.∴ m＝1（负值已舍去）.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2＋1，顶点坐标为A（0，1）. 　第1题答案 （2） 若直线y＝2x＋n过抛物线的顶点A，动点P在直线y＝2x＋n下方的抛物线上，过点P作PQ∥x轴，交直线y＝2x＋n于点Q，求线段PQ长的最大值. 解：（2） ∵ 直线y＝2x＋n过抛物线的顶点A，∴ 把A（0，1）代入，得n＝1.∴ 直线对应的函数表达式为y＝2x＋1.联立 解得 或 设点P的坐标为（a，a2＋1）（0＜a＜2）. ∵ PQ∥x轴交直线y＝2x＋n于点Q，∴ 点Q的纵坐标为a2＋1.在y＝2x＋1中，令y＝a2＋1，得a2＋1＝2x＋1，解得x＝ .∴ PQ＝a－ ＝－ （a－1）2＋ .∴ 当a＝1时，PQ长取得最大值，最大值是 . （3） 已知B为第二象限内抛物线上的一点，连接AB，过点B作BC⊥AB交y轴于点C，过点C作y轴的垂线，与抛物线分别交于D，E两点（点D在点E左侧）.求 的值. 解：（3） 如图，过点B作BG⊥DE于点G，过点A作AH⊥BG，交GB的延长线于点H. ∴ ∠BGC＝∠AHB＝90°.∵ BC⊥AB，∴ ∠ABC＝90°. ∴ ∠GBC＋∠GCB＝90°，∠GBC＋∠ABH＝90°. ∴ ∠ABH＝∠GCB. ∴ △GBC∽△HAB. ∴ ＝ .设点B的坐标为（m，m2＋1），则易得AH＝CG＝－t，BH＝t2＋1－1＝t2，∴ ＝ .∴ BG＝1.∴ 点D和点C的纵坐标为t2＋2.在y＝x2＋1中，令y＝t2＋2，则t2＋2＝x2＋1，解得x＝± . ∴ DE＝2 .∵ BC＝ ＝ ， ∴ ＝ . 第1题答案 类型二　与面积有关的问题（含最值） 典例2 （2024·合肥长丰模拟）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝OC，连接BC. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ B（3，0），OB＝OC，且点C在y轴的负半轴上，∴ C（0，－3）.将A（－1，0），B（3，0），C（0，－3）代入y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝x2－2x－3. （2） P是抛物线上位于BC下方的一个动点，且点P的横坐标为t. ① 求△AOP的最大面积. ② 是否存在一点P，使S四边形ACPB＝ S△ABC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 解：（2） ① ∵ P是抛物线上位于BC下方的一个动点，且点P的横坐标为t，∴ P（t，t2－2t－3）（0＜t＜3）.∵ S△AOP＝ AO·｜t2－2t－3｜＝ （－t2＋2t＋3）＝－ ·（t－1）2＋2，∴ 当t＝1时，△AOP的面积最大，最大值为2.② 存在.∵ A（－1，0），B（3，0），C（0，－3），∴ AB＝4，OB＝OC＝3， 直线BC对应的函数表达式为y＝x－3. 　典例2图答案 ∵ S四边形ACPB＝ S△ABC＝S△ABC＋S△BCP，∴ S△BCP＝ S△ABC＝ × ×4×3＝3.如图，过点P作 PD⊥x轴于点D，交BC于点Q. ∵ P（t，t2－2t－3），∴ Q（t，t－3）. ∴ PQ＝t－3－t2＋2t＋3＝－t2＋3t.∴ 易得S△BCP＝ ×3（－t2＋3t）＝3，解得t＝1或t＝2.∴ t的值为1或2. 　典例2图答案 [思路点拨] （1） 由题意，可求得C（0，－3），利用待定系数法即可得抛物线对应的函数表达式.（2） ① 由题意，知P（t，t2－2t－3），则S△AOP＝ AO·｜t2－2t－3｜＝ （－t2＋2t＋3）＝－ （t－1）2＋2，根据二次函数的性质即可得△AOP的最大面积.② 由S四边形ACPB＝ S△ABC＝S△ABC＋S△BCP，可得S△BCP＝ S△ABC＝ × ×4×3＝3，过点P作 PD⊥x轴于点D，交BC于点Q，则可得Q（t，t－3），根据三角形的面积公式即可求解. 跟踪训练 2. （2024·宣城宣州三模）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C. 已知M（m，0）为动点，且0＜m＜4，过点M作EM⊥AB，交抛物线于点E，交直线BC于点F. （1） 求抛物线对应的函数表达式及顶点坐标. 　第2题 解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋2（a≠0）与x轴交于A（－1，0），B（4，0）两点， ∴ 解得 ∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－ x2＋ x＋2＝－ （x－ ）2＋ .∴ 顶点坐标为 . 　第2题 （2） 若MF＝EF，求m的值. 解：（2） 在y＝－ x2＋ x＋2中，令x＝0，得y＝2.∴ C（0，2）.由B（4，0），C（0，2），可得直线BC对应的函数表达式为y＝－ x＋2.∵ M（m，0），EM⊥AB，∴ F（m，－ m＋2），E（m，－ m2＋ m＋2）.∴ FM＝－ m＋2，EM＝－ m2＋ m＋2.∵ MF＝EF，∴ EM＝2FM，即－ m2＋ m＋2＝2 ，解得m＝1或m＝4（不合题意，舍去）.∴ m的值为1. 　第2题 （3） 连接CE，BE，CM. 求四边形CMBE的面积的最大值. 解：（3） S四边形CMBE＝S△CME＋S△BME＝ EM·OM＋ EM·BM＝ OB·EM＝ ×4× ＝－ ＋ .∵ －1＜0，0＜m＜4，∴ 当m＝ 时，四边形CMBE的面积最大，最大值为 . 　第2题 类型三　与图象变化有关的问题 典例3 （2020·安徽）在平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x＋m经过点A，抛物线y＝ax2＋bx＋1恰好经过A，B，C三点中的两点. （1） 判断点B是否在直线y＝x＋m上，并说明理由. 解：（1） 点B在直线y＝x＋m上.理由：∵ 直线y＝x＋m经过点A（1，2），∴ 2＝1＋m，解得m＝1.∴ 直线对应的函数表达式为y＝x＋1.把x＝2代入y＝x＋1，得y＝3.∴ 点B（2，3）在直线y＝x＋m上. （2） 求a，b的值. 解：（2） ∵ 点B（2，3），C（2，1）的横坐标相同，∴ 点B，C不可能同在抛物线上，∴ 点A（1，2）在抛物线上.∵ 直线y＝x＋1经过点（0，1），A（1，2），B（2，3），且易得点（0，1），A（1，2）在抛物线上，而直线与抛物线不可能有三个交点，∴ 直线与抛物线的交点为（0，1），A（1，2）.∴ 抛物线经过点C. 把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2＋bx＋1，得 解得 （3） 平移抛物线y＝ax2＋bx＋1，使其顶点仍在直线y＝x＋m上.求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值. 解：（3） 由（2）知，抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋1.设平移后的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为 .∵ 顶点仍在直线y＝x＋1上，∴ ＋q＝ ＋1.∴ q＝－ ＋ ＋1＝－ （p－1）2＋ .∵ 抛物线y＝－x2＋px＋q与y轴交点的纵坐标为q，∴ 当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标最大，最大值为 . [思路点拨] （1） 根据待定系数法求得直线对应的函数表达式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x＋m上.（2） 因为直线经过点A，B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过点A，B，即可判断抛物线只能经过A，C两点，根据待定系数法即可求得a，b的值.（3） 设平移后的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋px＋q，其顶点坐标为（ ， ＋q），根据题意得出 ＋q＝ ＋1，由抛物线y＝－x2＋px＋q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q＝－ ＋ ＋1＝－ （p－1）2＋ ，从而得出q的最大值. 跟踪训练 3. （2024·蚌埠怀远模拟）如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线y＝－x＋3经过B，C两点. （1） 求抛物线对应的函数表达式. 解：（1） ∵ 直线y＝－x＋3经过B，C两点，∴ 当x＝0时，y＝3，即C（0，3）；当y＝0时，x＝3，即B（3，0）.∴ c＝3.∴ 抛物线对应的函数表达式为 y＝－x2＋2x＋3. 第3题 （2） 已知P为抛物线y＝－x2＋2x＋c上一点（不与点B重合），若点P关于x轴对称的点P'恰好在直线BC上，求点P的坐标. 解：（2） 设P（a，－a2＋2a＋3）.∵ 点P与点P'关于x轴对称，∴ P'（a，a2－2a－3）.∵ 点P'恰好在直线BC上，∴ －a＋3＝a2－2a－3，解得a＝－2或a＝3.∵ 点P不与点B重合，∴ a＝－2，－a2＋2a＋3＝－5.∴ P（－2，－5）. 第3题 （3） 在（2）的条件下，以AB为对角线画▱AMBP'，将抛物线y＝－x2＋2x＋c的顶点沿直线y＝－x＋b平移得到的抛物线恰好经过点M. 求平移后的抛物线对应的函数表达式. 第3题 解：（3） 由（2）知，P'（－2，5）.当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x＝－1或x＝3.∴ A（－1，0）.∵ 四边形AMBP'是平行四边形， ∴ xM－2＝－1＋3，yM＋5＝0＋0.∴ xM＝4，yM＝－5.∴ M（4，－5）.∵ y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，∴ 抛物线的顶点坐标为（1，4）.∴ 直线y＝－x＋b经过点（1，4）.∴ 4＝－1＋b，解得b＝5.∴ y＝－x＋5.设平移后的抛物线的顶点坐标为（m，－m＋5）， ∴ 平移后的抛物线对应的函数表达式为y＝－（x－m）2－m＋5. ∵ 平移后的抛物线经过点M（4，－5）， ∴ －5＝－（4－m）2－m＋5， 解得m＝6或m＝1（不合题意，舍去）. ∴ 平移后的抛物线对应的函数表达式为 y＝－（x－6）2－1＝－x2＋12x－37. 第3题 类型四　含字母系数的二次函数问题 典例4 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. （1） 求线段AB的长. 解：（1） 在y＝ax2－2ax－3a（a＜0）中，令y＝0，则ax2－2ax－3a＝0.∴ x2－2x－3＝0，解得x＝3或x＝－1.∴ A（－1，0）， B（3，0）.∴ AB＝3－（－1）＝4. ① 求a的值. ② M为抛物线上的一个动点，过点M作MD∥y轴，交直线BC于点D，作MN⊥MD，交抛物线于另一点N. 若MN＝DM，求点M的横坐标. 解：（2） ① ∵ y＝ax2－2ax－3a＝a（x－1）2－4a，∴ 抛物线的对称轴为直线x＝1.∵ a＜0，当－1≤x≤4时，y的最小值为－5，∴ 当x＝4时，y的值为－5.∴ 16a－8a－3a＝－5.∴ a＝－1. （2） 若当－1≤x≤4时，y的最小值为－5. ② 由①，可得抛物线对应的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3，令x＝0，则y＝3，∴ 点C的坐标为（0，3）.设直线BC对应的函数表达式为y＝kx＋b.把B（3，0），C（0，3）代入，得 解得 ∴ 直线BC对应的函数表达式为y＝－x＋3. 如图，设M（m，－m2＋2m＋3）， 则点D的坐标为（m，－m＋3）. 典例4图答案 ∴ DM＝｜－m2＋3m｜.∵ DM∥y轴，DM⊥MN，∴ MN∥x轴.∴ 点M，N关于直线x＝1对称.∴ 点N的横坐标为2－m. ∴ MN＝｜2m－2｜.∵ DM＝MN，∴ ｜－m2＋3m｜＝｜2m－2｜.当－m2＋3m＝2m－2时，解得m＝2或m＝－1；当－m2＋3m＝2－2m时，解得m＝ 或m＝ .综上所述， 点M的横坐标为2或－1或 或 . 典例4图答案 [思路点拨] （1） 令y＝0，则ax2－2ax－3a＝0，求出方程的解即可得出AB的长.（2） ① 由a＜0，当－1≤x≤4时，y的最小值为－5可知，当x＝4时，y的值为－5，代入二次函数表达式，得16a－8a－3a＝－5，可求出a的值；② 先求出点C的坐标和直线BC对应的函数表达式，设点M的坐标为（m，－m2＋2m＋3），得点D的坐标为（m，－m＋3），再求出DM＝｜－m2＋3m｜，MN＝｜2m－2｜，根据DM＝MN列方程求解即可. 跟踪训练 4. （2024·合肥长丰模拟）已知抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝ax＋b经过点A. （1） 求A，B两点的坐标. 解：（1） 在y＝a2x2－2a2x－3a2（a≠0）中，令y＝0，得0＝a2x2－2a2x－3a2.∴ a2（x－3）（x＋1）＝0，解得x＝3或x＝－1.∴ A（－1，0），B（3，0）. （2） 若直线y＝ax＋b与抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的对称轴交于点E. ① 若E为抛物线的顶点，求a的值； 解：（2） ① ∵ 直线y＝ax＋b经过点A（－1，0），∴ 0＝－a＋b.∴ b＝a.∴ 直线对应的函数表达式为y＝ax＋a.∵ y＝a2x2－2a2x－3a2＝a2（x－1）2－4a2，∴ 抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的顶点坐标为E（1，－4a2）.∵ 点E（1，－4a2）在直线y＝ax＋a上，∴ －4a2＝a＋a，解得a＝0（不合题意，舍去）或a＝－ .∴ a的值为－ . ② 若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记△ACE的面积为S1，记△ABE的面积为S2，S＝S2－S1，求S关于a的函数表达式，并求出S的最大值. 解：（2） ② 如图，设直线y＝ax＋a交y轴于点G，抛物线y＝a2x2－2a2x－3a2的对称轴（直线x＝1）交x轴于点H. 在y＝ax＋a中，令x＝1，得y＝2a；令x＝0，得y＝a.∴ E（1，2a），G（0，a）. ∴ HE＝－2a.∴ S2＝ AB·HE＝ ×（3＋1）·（－2a） ＝－4a.在y＝a2x2－2a2x－3a2中， 令x＝0，得y＝－3a2. 第4题答案 ∴ C（0，－3a2）.∴ GC＝a－（－3a2）＝3a2＋a.∴ S1＝ GC·｜xE－xA｜＝ ×（3a2＋a）×2＝3a2＋a.∴ S＝－4a－（3a2＋a）＝－3a2－5a＝－3 ＋ .∵ －3＜0，∴ 当a＝－ 时，S取得最大值，最大值为 .∴ S关于a的函数表达式为 S＝－3a2－5a，S的最大值是 . 第4题答案 类型五　新定义型问题 典例5 （2024·宣城模拟）若函数f（x）在m≤x≤n（m＜n）上的最大值记为M，最小值记为N，且满足M－N＝1，则称函数f（x）是在m≤x≤n上的“1阶差函数”. （1） 有下列函数：① f（x）＝ ；② f（x）＝x＋1；③ f（x）＝x2.其中，函数 　②　是在1≤x≤2上的“1阶差函数”（填序号）. ②　 （2） 已知函数f（x）＝ax2－4ax＋3a（a＞0）. ① 当a＝1时，函数f（x）是在t≤x≤t＋1上的“1阶差函数”，求t的值； ② 函数f（x）是在m＋2≤x≤2m＋1（m为整数）上的“1阶差函数”，且存在整数k，使得k＝ ，求a的值. 解：① 当a＝1时，f（x）＝x2－4x＋3.记y＝x2－4x＋3，∴ 易得函数y＝x2－4x＋3图象的对称轴为直线x＝2.当x＝t时，y1＝t2－4t＋3，当x＝t＋1时，y2＝（t＋1）2－4（t＋1）＋3＝t2－2t，当x＝2时，y3＝－1.若t＞2，则M＝y2，N＝y1，∴ y2－y1＝1.∴ t2－2t－（t2－4t＋3）＝1，解得t＝2（不合题意，舍去）.若 ≤t≤2，则M＝y2，N＝y3，∴ y2－y3＝1.∴ t2－2t－（－1）＝1，解得t＝0（不合题意，舍去）或t＝2.若1≤t＜ ，则M＝y1，N＝y3，∴ y1－y3＝1. ∴ t2－4t＋3－（－1）＝1，解得t＝1或t＝3（不合题意，舍去）.若t＜1，则M＝y1，N＝y2，∴ y1－y2＝1.∴ t2－4t＋3－（t2－2t）＝1，解得t＝1（不合题意，舍去）.综上所述，t的值为1或2. ② ∵ 记y＝ax2－4ax＋3a＝a（x－2）2－a（a＞0），∴ 易得该函数图象的对称轴为直线x＝2.又∵ m＋2≤x≤2m＋1，M－N＝1， ∴ 2m＋1＞m＋2.∴ m＞1.∴ 2＜m＋2≤x≤2m＋1.∴ 当2＜m＋2≤x≤2m＋1时，y随x的增大而增大.∴ 当x＝2m＋1时取得最大值，当x＝m＋2时取得最小值.∴ M＝a（2m＋1）2－4a（2m＋1）＋3a＝4am2－4am，N＝a（m＋2）2－4a（m＋2）＋3a＝am2－a.∴ k＝ ＝ ＝ ＝4－ .∵ m，k为整数，且m＞1，∴ m＝3.∴ M＝36a－12a＝24a，N＝9a－a＝8a.又∵ M－N＝1，∴ 24a－8a＝1.∴ a＝ . [思路点拨] （1） 先分别将① f（x）＝ ；② f（x）＝x＋1；③ f（x）＝x2的最大值、最小值求出，再根据定义进行判断即可得出答案.（2） ① 分别求出x＝t、x＝t＋1、x＝2时的函数值，再分t＞2， ≤t≤2，1≤t＜ ，t＜1进行讨论，可得t的值.② 由m＋2≤x≤2m＋1，M－N＝1，得出m＞1，所以2＜m＋2≤x≤2m＋1，此时在抛物线的对称轴的右侧，函数值随x的增大而增大，可分别求出M，N的值，由k＝ ，可用含m的式子表示k，再根据m，k为整数，求出m的值，即可求出a的值. 跟踪训练 5. （2024·滁州全椒三模）如图①，以A，B为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，C是抛物线的顶点，直线l是抛物线的对称轴，AB⊥l于点D，AB＝CD，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，A，B分别为“正抛线”的左、右端点，C为“正抛线”的顶点，CD的长为“正抛线”的高. （1） 已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线对应的函数表达式. 第5题 解：（1） 由题意知，左端点A的坐标为（0，0），AB＝CD＝4， ∴ 右端点B的坐标为（4，0），垂足D的坐标为（2，0），顶点C的坐标为（2，4）.设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－2）2＋4.把A（0，0）代入，得0＝4a＋4，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－（x－2）2＋4＝－x2＋4x. 第5题 （2） 已知抛物线y＝ax2＋bx（a＜0）上的“正抛线”以原点为左端点，求b的值. 第5题 解：（2） 在y＝ax2＋bx（a＜0）中，令y＝0，则ax2＋bx＝0，解得x1＝0，x2＝－ .∵ 抛物线以原点为左端点，∴ 左端点A的坐标为（0，0），右端点B的坐标为 ，垂足D的坐标为（－ ，0），AB＝CD＝－ .∴ 顶点C的坐标为 .设抛物线对应的函数表达式为y＝a － .把A（0，0）代入，得 － ＝0.整理，得b2－4b＝0，解得b＝4或b＝0（不合题意，舍去）.∴ b的值为4. （3） 如图②，一种图案由大小不同的两种“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上.求大“正抛线”与小“正抛线”高之比. 第5题 解：（3） 如图②，设大“正抛线”的左端点为A，右端点为B，垂足为D，顶点为C，小“正抛线”的左端点为E，右端点为F，垂足为H，顶点为G.根据题意，得点B的坐标为（0，0）.设左端点A的坐标为（m，0）（m＜0）.∴ AB＝CD＝－m，点D的坐标为 ， 点C的坐标为 .设大“正抛线”所在抛物线对应的函数表达式为y＝t －m.把B（0，0）代入y＝t －m，得 t－m＝0，解得t＝ .∴ 大“正抛线”所在抛物线对应的函数表达式为y＝ －m＝ x2－4x.设E ，则F（－p， p2－4p）. ∴ EF＝－p－p＝－2p，GH＝－m－ p2＋4p.∵ EF＝GH，∴ －2p＝－m－ p2＋4p.整理，得4p2－6mp＋m2＝0，解得p＝ m或p＝ m.∴ ＝ ＝3＋ 或 ＝ ＝3－ .∴ ＝ ＝ ＝ × ＝ 或 .∴ 大“正抛线”与小“正抛线”的高之比为 或 . $$