2025年九年级中考数学（安徽地区专用）二轮复习课专题突破课件：专题三　二次函数的实际应用

专题三　二次函数的实际应用 第二部分　安徽中考专题突破 类型一　几何图形面积问题 典例1 （2023·合肥庐阳模拟）植物园有一块足够大的空地，其中有一面长为6m的墙，现准备用20m的篱笆围一个矩形花圃，小俊设计了如图所示的两种方案：方案甲中AD的长不超过墙长；方案乙中AD的长大于墙长. （1） 按方案甲，设BC的长为xm，矩形ABCD的面积为ym2.求： ① y与x之间的函数表达式； ② 矩形ABCD的最大面积. 典例1图 解：（1） ① ∵ BC的长为xm，∴ AB＝ （20－x）＝（10－ x）m.根据题意，得y＝ x＝－ x2＋10x.∵ 墙长为6m，∴ 0＜x≤6.∴ y与x之间的函数表达式为y＝－ x2＋10x（0＜x≤6）. ② y＝－ x2＋10x＝－ （x－10）2＋50.∵ － ＜0，∴ 当x＜10时，y随x的增大而增大.∵ 0＜x≤6，∴ 当x＝6时，y有最大值，此时y＝－ ×62＋10×6＝42.∴ 矩形ABCD的最大面积为42m2. （2） 甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是多少？ 典例1图 解：（2） 按方案乙：设BC的长为nm（n＞6），矩形ABCD的面积为Sm2，则AB＝ [20－n－（n－6）]＝（13－n）m.根据题意，得S＝n（13－n）＝－ ＋ .∵ 13－n＞0，n＞6，∴ 6＜n＜13.∵ －1＜0，∴ 当n＝ 时，S有最大值，最大值为 .∵ 42＜ ，∴ 方案乙能使围成的矩形花圃的面积最大，最大面积是 m2. [思路点拨] （1） ① 根据墙长可得自变量x的取值范围是0＜x≤6，再结合矩形的面积公式列出函数表达式；② 先配方，再根据函数的性质求最值.（2） 设BC的长是nm，矩形ABCD的面积是Sm2，根据题意列出S关于n的函数表达式，并求出自变量n的取值范围，最后通过配方求最值. 跟踪训练 1. （2023·合肥三模）某花圃基地计划将如图所示的一块长40m、宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是200元、300元、400元. （1） 设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 　（x2－60x＋800）　m2，花卉B的种植面积是 　（－x2＋30x）　m2，花卉C的种植面积是 　（－x2＋20x）　m2. （x2－60x＋800）　 （－x2＋ 30x）　 （－x2＋20x）　 第1题 （2） 当育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？ 解：（2） ∵ A，B两种花卉每平方米的产值分别是200元、300元，∴ A，B两种花卉的总产值分别为200（x2－60x＋800）元和300（－x2＋30x）元.∵ A，B两种花卉的总产值相等，∴ 200（x2－60x＋800）＝300（－x2＋30x）.∴ x2－42x＋320＝0，解得x＝32（不合题意，舍去）或x＝10.∴ 当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等. 第1题 （3） 若A，B两种花卉的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的最大总产值之和. 解：（3） ∵ A，B两种花卉的种植面积之和为（x2－60x＋800）＋（－x2＋30x）＝（－30x＋800）m2，∴ －30x＋800≤560. ∴ x≥8.设A，B，C三种花卉的总产值之和为y元.由题意，得y＝200（x2－60x＋800）＋300（－x2＋30x）＋400（－x2＋20x）＝－500x2＋5000x＋160000＝－500（x－5）2＋172500.∵ －500＜0，∴ 当x≥8时，y随x的增大而减小.∴ 当x＝8时，y的值最大， 最大值为－500×（8－5）2＋172500＝168000. ∴ A，B，C三种花卉的最大总产值之和为168000元. 第1题 类型二　销售利润问题 典例2 （2024·蚌埠蚌山三模）某企业以农作物为原料研发了甲、乙两种有机产品，并投入市场.经市场调查发现，甲种有机产品每天的销量y甲（袋）与销售单价m（元）之间的函数关系为y甲＝－3m＋202，乙种有机产品每天的销量y乙（袋）与销售单价n（元）之间的函数关系为y乙＝－2n＋196，其中，m，n均为自然数.该企业以每袋甲种有机产品和每袋乙种有机产品利润相同的标准来确定销售单价，且单价均高于成本，已知甲种有机产品的成本为每袋26元，乙种有机产品的成本为每袋35元. （1） 当甲种有机产品的销售单价为30元时，甲、乙两种有机产品每天的销量分别为多少袋？ 解：（1） 由题意，得乙种有机产品的销售单价为35＋（30－26）＝39（元），∴ m＝30，n＝39.∴ y甲＝－3×30＋202＝112，y乙＝－2×39＋196＝118.∴ 甲种有机产品每天的销量为112袋，乙种有机产品每天的销量为118袋. （2） 当n的值为多少时，这两种有机产品每天销售的总利润最大？最大利润是多少元？ 解：（2） 由题意，得m－26＝n－35，得m＝n－9.设两种有机产品每天销售的总利润为w元，则w＝（m－26）·y甲＋（n－35）·y乙＝（m－26）（－3m＋202）＋（n－35）（－2n＋196）.整理，得w＝－5（n－60）2＋3125.∵ －5＜0，∴ 当n的值为60时，这两种有机产品每天销售的总利润最大，最大利润是3125元. [思路点拨] （1） 由题意，先确定m，n的值，然后根据销量与销售单价之间的函数关系，可得结果.（2） 由题意，得出m与n之间的关系式，设两种有机产品每天销售的总利润为w元.根据“利润＝（单价－成本）×销量”可得w关于n的函数表达式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得. 2. （2024·合肥庐江二模）清明节刚过，小明为了帮助茶农销售明前茶，以160元/千克的价格将附近茶农的明前茶全部收购，并利用网络平台进行网上销售.根据往年的销售经验，这种明前茶以200元/千克的价格销售，每天可售出80千克，若价格每上涨10元/千克，则销售量会减少5千克.设销售价为x元/千克，每天的销售量为y千克，且销售价高于收购价，且不超过收购价的2倍. （1） 试求y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. 解：（1） 由题意，得y＝80－5× ＝－ x＋180，且160＜x≤2×160，即160＜x≤320.∴ y与x之间的函数表达式为y＝－ x＋180（160＜x≤320）. 跟踪训练 （2） 当销售价为多少元时，所获得的日利润最大？最大日利润为多少元？ 解：（2） 设日利润为w元.根据题意，得w＝（x－160） ＝－ x2＋260x－28800＝－ （x－260）2＋5000.∵ － ＜0，且160＜x≤320，∴ 当 x＝260时，w有最大值，最大值为5000.∴ 销售价为260元/千克时，所获得的日利润最大，最大日利润为5000元. （3） 由于明前茶产量较少，小明仅收购了320千克，在（2）的条件下全部销售完之后，明后茶上市.小明提高了m％的收购量收购了一批明后茶，以40元/千克的利润进行网上销售，很快被抢购一空，小明再次收购一批明后茶，并将收购量再提高m％，每千克的利润不变.所有茶叶全部销售完后，明前茶和明后茶共获利80000元，求m的值. 解：（3） 由题意，得320×（260－160）＋320（1＋m％）×40＋320（1＋m％）2×40＝80000，解得m1＝50，m2＝－350（不合题意，舍去）.∴ m的值为50. 类型三　抛物线形问题 典例3 （2024·安徽模拟）掷实心球时，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应发生变化.明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（m）与竖直高度y（m）的数据如下表所示： 水平距离x/m 0 2 4 5 6 8 竖直高度y/m 2 3.2 3.6 3.5 3.2 2 根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是抛物线的一部分. （1） 在明明的投掷过程中，出手时实心球的竖直高度是 　2　m，实心球在空中的最大高度是 　3.6　m. （2） 求满足条件的抛物线对应的函数表达式. 解：（2） 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－h）2＋k.由（1），易得抛物线的顶点坐标为（4，3.6），则h＝4，k＝3.6.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－4）2＋3.6.把（0，2）代入，得a（0－4）2＋3.6＝2，解得a＝－0.1.∴ 抛物线对应的函数表达式为y＝－0.1（x－4）2＋3.6. 　典例3图 2　 3.6　 （3） 若在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7m时，可得满分，则明明在此次考试中是否能得到满分？请说明理由. 解：（3） 明明在此次考试中能得到满分.理由：把y＝0代入y＝－0.1（x－4）2＋3.6，得－0.1（x－4）2＋3.6＝0，解得x1＝10或x2＝－2（不合题意，舍去）.∵ 10＞9.7，∴ 明明在此次考试中能得到满分. 　典例3图 [思路点拨] （1） 观察题表，可得答案.（2） 设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－h）2＋k，通过图表得到抛物线的顶点坐标，即可得到h，k的值，再代入（0，2）即可求出表达式.（3） 把y＝0代入y＝－0.1（x－4）2＋3.6，即可求出x的值，再与满分成绩比较即可得到结果. 跟踪训练 3. （2024·合肥模拟）为了丰富学生的课余生活，加强户外锻炼的意识，学校举办了排球赛.学校排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.7米的点C处向正前方做抛物线运动，当排球离点O的水平距离OE为5米时，到达最高点G处，建立如图所示的平面直角坐标系. （1） 这名队员发球后，当球上升的最大高度为3.7米时，他此次发球是否会过网？请说明理由. 第3题 解：（1） 他此次发球会过网.理由：根据题意，得抛物线的顶点坐标为（5，3.7）.设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x－5）2＋3.7.把C（0，1.7）代入，得1.7＝a（0－5）2＋3.7，解得a＝－ .∴ y＝－ （x－5）2＋3.7.∵ OD＝18米，且易得A为OD的中点，∴ OA＝ ×18＝9（米）.将x＝9代入，得y＝－ ×（9－5）2＋3.7＝2.42.∵ 2.42＞2.24，∴ 他此次发球会过网. 第3题 （2） 在（1）的条件下，若对方距球网1米的点F处站有一队员，他起跳后够到的最大高度为2.02米，则这次他是否可以拦网成功（假设他够到球一定拦网成功）？ 解：（2） 由题意，得OF＝OA＋AF＝9＋1＝10（米）.把x＝10代入y＝－ （x－5）2＋3.7，得y＝1.7. ∵ 2.02＞1.7，∴ 他可以拦网成功. 第3题 $$