第16章 二次根式（培优卷 单元重点综合测试）（沪科版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记•巧练（安徽专用，沪科版）

第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 4．的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 7．下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 9．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 10．农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．若实数m满足，则m的取值范围是 ． 12．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 13．二次根式与 的和为0，则的值为 ． 14．已知，则代数式的值是 ． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1) (2) (3) (4) 16．已知，求代数式的值． 17．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 18．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 19．已知，为实数，且满足，求的值． 20．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 22．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 23．先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十六章 二次根式（培优卷） 考试时间：120分钟，满分：150分 1、 选择题：共10题，每题4分，共40分。 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义判断即可； 【详解】A.，无意义，故A错误； B.是二次根式，故B正确； C.是三次根式，故C错误； D.没有说明a的取值范围，故D错误； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义应用，准确分析判断是解题的关键． 2．当a是怎样的实数时，在实数范围内有意义（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数非负．根据被开方数非负得到，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得， 解得：， 故选：C． 3．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值． 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 4．的值等于(         ) A．±(－50) B．±50 C．－50 D．50－ 【答案】D 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可. 【详解】∵502=2500， ∴， ∴=， 故选D. 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解本题的关键. 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， B．和不是同类二次根式，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意， C．，故该选项计算正确，符合题意， D．，故该选项计算错误，不符合题意． 故选：C． 6．下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 7．下列选项中的无理数位于7和8中间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，二次根式的化简，根据二次根式比较大小的方法可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴只有在7和8中间， 故选：C． 8．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积为和的两个正方形，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算的应用，先求出阴影部分的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：由图可得，阴影部分的长为， 阴影部分的宽为：， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A． 9．若 则的值为（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】C 【分析】本题考查解二次根式方程，涉及二次根式乘法运算、二次根式定义及解一元一次方程等知识，熟练掌握二次根式定义是解决问题的关键． 先由二次根式乘法运算化简，再由二次根式定义得到方程，解一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， ，即，解得， 故选：C． 10．农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 二、填空题：共4题，每题5分，共20分。 11．若实数m满足，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质即可求出m的取值范围．理解是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：． 12．已知，则以a、b为边的等腰三角形的底边长为 ． 【答案】3 【分析】由题意得，，可求，由等腰三角形可知，第三条边为3或6，然后根据三角形三边关系分情况求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 由等腰三角形可知，第三条边为3或6， 当第三条边为3时，此时无法构成三角形，舍去； 当第三条边为6时，此时能构成三角形，则三边分别为6，6，3，底边长为3， 综上所述，以a、b为边的等腰三角形的底边长为3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用．熟练掌握二次根式的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的定义，三角形三边关系的应用是解题的关键． 13．二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 14．已知，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形为，再将代入即得答案． 【详解】∵， ∴ ． 故答案为：． 三、解答题：共9题，共90分，其中第15~18题每小题8分，第19~20题每小题10分，第21~22题每小题12分，第23题14分。 15．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式； （2）先进行乘除运算，再进行加减计算； （3）分别化简计算负整数指数幂，绝对值，零指数幂，二次根式，再进行加减计算即可； （4）利用完全平方公式和平方差公式化简，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，实数的混合运算，二次根式的化简，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握知识点和运算法则是解题的关键． 16．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先求出，然后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 17．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简． 【答案】 【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案． 【详解】解∶由题图可知，， ，，，， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键． 18．先化简，再求值：，其中；如图是小亮和小芳的解答过程． (1) 的解法是错误的；错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质： ； (2)先化简，再求值：，其中 【答案】(1)小亮； (2)；8 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的化简求值是解题的关键． （1）根据二次根式的性质判断即可； （2）根据二次根式的性质将原式化简，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：小亮的解法是错误的，错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：； 故答案为：小亮；． （2）解：原式， ， 原式． 19．已知，为实数，且满足，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分式有意义的条件，先根据二次根式有意义的条件得到，则，再由分式有意义的条件推出，据此求出，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵要有意义， ∴，即， ∴， ∴， 又∵分式有意义， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 20．电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 【答案】电流I的值为4A 【分析】本题考查代入求值，以及二次根式的运算，解题的关键是根据已知量代入公式求解．先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解：， ， 将，，代入，得， 因为，所以． 答：电流I的值为4A． 21．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 22．经实验，一个物体从高处自由下落时，下落距离（米）和下落时间（秒）可以用公式来估计． (1)一个物体从米高的塔顶自由下落，落到地面需要几秒？ (2)一个物体从高空某处落到地面用了2秒，问物体下落前离地面高多少米？ 【答案】(1)5秒 (2)米 【分析】本题考查有关二次根式运算的运用： （1）将代入求解即可得到答案； （2）将代入求解即可得到答案； 【详解】（1）解：当米时， 答：落到地面需要5秒； （2）解：当秒时， 解得：， 答：物体下落前离开地面米． 23．先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代教式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：________；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解： 原式 （3）解：∵， ∴， ∴ ． / 学科网（北京）股份有限公司 $$