广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试题

2024年高一上学期期末考试测试卷 姓名：___________ 班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合,，则（    ） A． B． C． D． 2．当x为第二象限角时， （    ） A．1 B．0 C．2 D．－2 3．设函数，则，则b=（    ） A． B． C． D． 4．函数是幂函数，且在上单调递增，则 （    ） A． B． C．或 D．或 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数若函数在区间内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．函数满足若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的图象关于直线对称，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。 9．下列命题中的假命题是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数的图像可以由的图像向右平移个单位得到 B．函数的一条对称轴是 C．函数的对称中心是 D．函数的单调递增区间是 11．已知为正实数，，则（    ） A．的最大值为 B． C．的最大值为 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线与函数的图象有两个公共点，则的取值范围为 . 13．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数，符号表示不超过的最大整数，例如，，定义函数，则函数的值域为 . 14．已知定义域为R的奇函数在区间上为严格减函数，且，则不等式的解集为 . 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）计算： （1）； （2）. 16．（15分）（1）化简：． （2）若、为锐角，且，，求的值． 17．（15分）为了充分挖掘乡村发展优势，某新农村打造“有机水果基地”．经调查发现，某水果树的单株产量（单位：千克）与施用发酵有机肥（单位：千克）满足如下关系：，单株发酵有机肥及其它成本总投入为元．已知该水果的市场售价为25元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． (1)求函数的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 18．（17分）已知函数，求： （1）的最小正周期； （2）的单调减区间； （3）在区间上值域？ 19．（17分）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)证明：函数在区间上单调递增； (3)若函数，当时，函数与函数的值域相同，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高一上学期期末考试测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C D B D C A A AB BD 题号 11 答案 ABC 1．D【详解】解方程组可得或或， 又因为,，则. 故选：D. 2．C【详解】因为是第二象限角， 所以，故选：C 3．D【详解】解：， 或，（舍）或， ，故选：D. 4．B【详解】由题意可知，，解得，.故选：B 5．D【详解】解：由，得， 即，解得（舍去），或． ∵，则，故． 故选：D 6．C【详解】函数在区间内有且仅有两个零点，等价于在区间内有且仅有两个实数根， 又等价于函数的图象与直线在区间内有且仅有两个公共点， 因为，由图知，即，解得． 故选：C． 7．A【详解】因为，所以，则.故选：A. 8．A【详解】由题设知直线与点分别为函数图象的对称轴与对称中心， 故，， 于是（，），即， 又，且，故的最小值是2；故选：A. 9．AB【详解】对于A，因为时，不成立，所以A为假命题； 对于B，因为，但，所以B是假命题， 对于C，显然对于二次方程，，所以有实根，故C是真命题； 对于D，当时，成立，故D为真命题.故选：AB. 10．BD【详解】对于A，的图像可以由的图像向右平移个单位得到，故A错误， 对于B，，为最大值，故B正确， 对于C，由得， 函数的对称中心是，故C错误， 对于D，由得， 函数的单调递增区间是，故D正确，故选：BD 11．ABC【详解】因为、为正实数，， 对于A选项，因为，则， 故，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为，故A对； 对于B选项，，当且仅当时，等号成立， 所以也正确，故B对； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故C对. 对于D选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，故D错； 故选：ABC. 12．【详解】函数，则函数的图象如下： 观察图象知，当，即时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以的取值范围为. 故答案为： 13． 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 易见该函数具有周期性，绘制函数图象如图所示， 由图象知的值域为.故答案为： 14． 【详解】是定义域为R的奇函数，且在区间上为严格减函数，有， ∴在区间上为严格减函数且，可作出的草图： 不等式可化为： 或 对于，当时，无解； 对于，当时，由图像观察， 解得： 所以不等式的解集为.故答案为： 15． 【详解】（1）解：原式. （2）解：原式. 16． 【详解】解：（1） （2）、为锐角，，． ，， ，． ． 17． 【详解】（1）由题意，， 故； （2）当时，， 其对称轴为，故当时，函数取得最大值； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为390． 因为，所以当施用肥料为5千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为390元． 18． 【详解】函数 ， （1）周期； （2）令， 解得， 所以函数的单调递减区间为； （3）由， 设，， 故当或，即或时，函数取最小值为， 故当，即时，函数取最小值为， 即函数值域为. 19． 【详解】（1）由已知是偶函数，代入. ，；得，. 代入，. 满足.可得. （2）在区间内选择任意的，， 因为 ，其中，，，，. 可得，，即. 综上，证得在单调递增. （3）由(2)已证，，又有，若要满足当时，与的值域相同，则且 由在单调递增，在单调递减，且，, 根据的单调性，且；又由,则只需要满足且即可. ，，， ，. 的最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$