广西百色市平果市铝城中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2024年高二上学期期末考试测试卷 姓名：___________ 班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，则直线与所成角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．设，直线，则（    ）是“”的充要条件. A． B． C．或 D．以上均不对 4．已知双曲线的离心率，则曲线的渐近线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知圆，在所有过点的弦中，最短的弦的长度为（    ） A． B． C． D． 6．已知点为椭圆左右焦点，点P为椭圆C上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 7．数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，动点满足，得到动点的轨迹是阿氏圆.若对任意实数，直线与圆恒有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上一点P满足，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分。 9．已知平面，其中点是平面内的一定点，是平面的一个法向量，若坐标为，，则下列各点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平行六面体中，，，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．向量，，共面 C．平面 D．若，则该平行六面体高为 11．已知双曲线的左､右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．焦点到渐近线的距离为3 C．点到两条渐近线的距离之积为 D．当与､不重合时，直线，的斜率之积为3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为 . 13．已知数列是等比数列，，，则数列的通项公式 ；数列的前9项和的值为 . 14．已知直线，若直线与关于对称，则的方程为 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．（15分）如图所示，在直三棱柱中，，，棱，M，N分别为的中点． (1)求BN的长； (2)求与所成角的余弦值； (3)求证：平面. 17．（15分）椭圆E的焦点分别为、且满足，经过，两点.    (1)求椭圆E的标准方程和椭圆E的离心率e、长轴长、短轴长，并在坐标系中画上椭圆E的草图 (2)设点M为椭圆E上一点且满足，求的周长和面积. 18．（17分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值. 19．（17分）下面是某同学在学段总结中对圆锥曲线切线问题的总结和探索，现邀请你一起合作学习，请你思考后，将答案补充完整． (1)圆上点处的切线方程为 ?请说明理由. (2)椭圆上一点处的切线方程为 ? (3)是椭圆外一点，过点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B，如图，则直线的方程是 ?这是因为在，两点处，椭圆的切线方程为和．两切线都过点，所以得到了和，由这两个“同构方程”得到了直线的方程；    (4)问题（3）中两切线，斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为，由，得，化简得，得．若，则由这个方程可知点一定在一个圆上，这个圆的方程为 ? 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年高二上学期期末考试测试卷参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B A C C ABC ACD 题号 11 答案 BCD 1．C【详解】抛物线化为标准方程可得，故，焦点坐标为. 故选:C. 2．B【详解】直线方向向量,直线方向向量, ，所以两向量夹角为，直线和所成角为， 故选：B. 3．C【详解】因为直线， 当时，，解得或，当时，，此时，又时，，此时，所以“或  ”是“”的充要条件，故选：C. 4．B【详解】易知，又，故，解得，显然渐近线方程为.故选：B 5．B【详解】圆的圆心为，半径为由于，，所以在圆内.在所有过点的弦中，最短的弦是垂直于的弦， ，所以最短弦长为.故选：B 6．A【详解】椭圆的焦点，设， ，所以， 由于，，所以的取值范围为.故选：A 7．C【详解】设点，，， 所以动点的轨迹为阿氏圆：，又直线恒过点， 若对任意实数直线与圆恒有公共点， 在圆的内部或圆上，所以，所以，解得， 即的取值范围为.故选：C 8．C【详解】解：如图， 设，∴，∵∴， ∴离心率.故选：C． 9．ABC【详解】对于A选项，，，A满足； 对于B选项，，，B满足； 对于C选项，，，C满足； 对于D选项，，，D不满足.选：ABC. 10．ACD 【详解】 设， 由题意得，， ， 所以，故A正确； ， 若向量，，共面，则存在唯一实数对，使得， 即，而，，不共面，则有，显然不成立，所以向量，，不共面，故B错； ，， ， ， 所以，， 因为，平面，所以平面，故C正确； 连接，，，过点作平面于点， 由题意得，则三棱锥为正四面体， 所以点到平面的距离即为正四面体的高，即平行六面体的高， ，， 所以平行六面体的高为，故D正确.故选：ACD. 11．BCD【详解】对于A，，，故A错误； 对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确； 对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确； 对于D，设，由C得，，，故D正确；故选：BCD 12．45°或135°【详解】因为两平面的法向量分别为，， 则两平面所成的二面角与相等或互补，因为，且，故.故两平面所成的二面角为45°或135°.故答案为：45°或135° 13． 171【详解】由，可得，，所以，，故答案为：，171 14． 【详解】联立，解得，所以三条直线的交点为 在上取点，依题意该点关于的对称点在上 由两点式得的方程为，化简得故答案为 15． 【详解】（1）因为是等差数列，则 由，得，解得， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）得， ， 所以的前项和 . 所以. 16． 【详解】（1）在直三棱柱中，，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，M，N分别为的中点， 得，， 所以BN的长为. （2）由（1）得，， 因此， 所以与所成角的余弦值是. （3）由（1）得，， ， 即，因此， 而平面， 所以平面. 17． 【详解】（1）设椭圆方程为，，在椭圆上， 则，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 所以，，，所以，，， 所以椭圆的离心率，长轴，短轴长； 椭圆E的草图如图所示：    （2）由（1）得的周长为， 设， ，， 中，， 即，即，解得， 所以的面积. 18． 【详解】（1）由，平面，平面，则平面， 又，平面，则， 又是的中点，故是的中点，所以且， 又，故且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面，故平面. （2）连接，因且，， 所以且，又面，面，故， 又，面，所以面， 故为直线与平面所成角，从而，且. 如图，以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，. 面的法向量为，设面的法向量为， 则，取，得， 所以，则面与面所成角的余弦值为. 19． 【详解】（1）圆上点处的切线方程为． 理由如下： ①若切线的斜率存在，设切线的斜率为，则，所以， 又过点，由点斜式可得， 化简可得，， 所以切线的方程为； ②若切线的斜率不存在，则， 此时切线方程为，满足方程； 综上所述，圆上点处的切线方程为． （2）①当切线斜率存在时，设过点的切线方程为， 联立方程，整理得， 由可得， 所以 由韦达定理可知，即， 把代入中，得， 所以 化简得． ②当切线斜率不存在时，过的切线方程为，满足上式． 综上，椭圆上一点的切线方程为． （3）在，两点处，椭圆的切线方程为和， 因为两切线都过点， 所以得到了和， 由这两个“同构方程”得到了直线的方程为； （4）问题（3）中两切线斜率都存在时，设它们方程的统一表达式为 由，可得， 由，得，（*） 因为， 则， 所以（*）式中关于的二次方程有两个解，且其乘积为， 则， 可得， 所以圆的半径为2，圆心为原点，其方程为． 学科网（北京）股份有限公司 $$