2024-2025学年题型技巧培优系列（人教版）七年级数学下册《相交线平行线》7.4 平移十大题型解题技巧

2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.4 平移十大题型解题技巧 知识要点归纳 知识点1. 平移 1. 平移 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移。 2.平移的要素 （1）平移的方向（2）平移的距离 注意： （1） 图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状大小。 （2） 确定一个图形的平移方向和距离，只需确定图形上某一个点的平移方向和距离即可。 知识点2. 平移的性质 （1）平移后的图形与原图形形状、大小完全重合. （2）新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点3. 平移的作图 平移作图的基本步骤： （1） 定：确定平移的方向与距离 （2） 找：找出确定图形形状的关键点 （3） 移：按照平移的方向、距离平移各个关键点。得到各个点的对应点。 （4） 根据图形的顺序依次连接各个点。 注意：确定一个图形平移后的位置有三个条件（1）图形原来的位置（2）平移的方向，（3）平移的距离。这三个条件缺一不可。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 生活中的平移】 【例1-1】．下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【变式1-2】．下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【变式1-3】．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【题型2 识别图形的平移】 【例2-1】．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【例2-2】．2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】．下面选项中哪幅图是由原图平移得到的（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】．如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】．观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 【题型3 平移的距离】 【例3-1】．如图，将沿方向平移得到．若，，则平移的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例3-2】．如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，已知之间的距离是1，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式3-1】．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【变式3-2】．如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    【变式3-3】．如图，在每个小正方形边长为 1 的方格纸中，△ ABC 的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移 2 格，再向上平移 4 格． （1）请在图中画出平移后的△ A′B′C′； （2）连接 AA′、CC′，则AA′、CC′关系是 　； （3）请在图中画出△ABC的中线BD； （4）在图中能使 S△ ABC＝S△ PBC 的格点 P 的个数有 　个（点 P 异于点 A）． 【题型4 利用平移的性质求线段长度】 【例4-1】．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【例4-2】．如图，将周长为的沿方向向右平移得到，则四边形的周长为（  ） A． B． C． D． 【变式4-1】．如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 【变式4-2】．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【变式4-3】．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为20cm，那么平移的距离为 cm． 【题型5 利用平移的性质求角度】 【例5-1】．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D． 【例5-2】．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【变式5-1】．如图，四边形平移后得到的四边形，已知，，，，那么 ， ， ， ， ． 【变式5-2】．如图所示，直线a、b 分别与直线l 交于点 A、B，现将直线a沿直线l向右平移到过点 B 的位置，若，则的度数为 【变式5-3】．如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【题型6 利用平移的性质求阴影部分面积】 【例6-1】．如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 【例6-2】．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式6-1】．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【变式6-2】．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【变式6-3】．如图所示，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型7 利用平移的性质求重叠部分面积】 【例7-1】．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 【例7-2】．已知，大正方形的边长为8厘米，小正方形的边长为5厘米，起始状态如图.大正方形固定不动，把小正方形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，当平移的时间为 秒时，两个正方形重叠部分的面积为10平方厘米. 【变式7-1】．如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若固定不动，将另一个三角形，向左平移并记为，其中，与相交于点H．若，，，则的面积为 ． 【变式7-2】．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【变式7-3】．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【题型8 平移的实际应用】 【例8-1】．如图1，从一个边长为4的正方形纸片上剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为22，则a的值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【例8-2】．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】．如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【变式8-2】．如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    【变式8-3】．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【题型9 利用平移作图】 【例9-1】．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【例9-2】．如图，将三角形经过平移后得到三角形，其中点平行移动到了点．画出平行移动后得到的三角形． 【变式9-1】．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【变式9-2】．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【变式9-3】．利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 【题型10 利用平移、平行线性质解决综合问题】 【例10-1】．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【例10-2】．.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【变式10-1】．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【变式10-2】．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【变式10-3】．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年七年级下题型技巧培优系列 （人教版）七年级数学下册《相交线平行线》 7.4 平移十大题型解题技巧（解析版） 知识要点归纳 知识点1. 平移 1. 平移 把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移。 2.平移的要素 （1）平移的方向（2）平移的距离 注意： （1） 图形的平移是一种位置变换，平移只改变图形的位置，不改变图形的形状大小。 （2） 确定一个图形的平移方向和距离，只需确定图形上某一个点的平移方向和距离即可。 知识点2. 平移的性质 （1）平移后的图形与原图形形状、大小完全重合. （2）新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。 知识点3. 平移的作图 平移作图的基本步骤： （1） 定：确定平移的方向与距离 （2） 找：找出确定图形形状的关键点 （3） 移：按照平移的方向、距离平移各个关键点。得到各个点的对应点。 （4） 根据图形的顺序依次连接各个点。 注意：确定一个图形平移后的位置有三个条件（1）图形原来的位置（2）平移的方向，（3）平移的距离。这三个条件缺一不可。 题型归纳 题型突破、典例精析 【题型1 生活中的平移】 【例1-1】．下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了利用平移设计图案，根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．进而可以解决问题． 【详解】解：由平移的性质可知，不改变图形的形状、大小和方向，只有B选项符合要求， 故选：B． 【例1-2】．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 【变式1-1】．下列运动属于平移的是（    ） A．飞机在地面上沿直线滑行 B．在游乐场里荡秋千 C．推开教室的门 D．风筝在空中随风飘动 【答案】A 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查了生活中的平移现象，在平面内，把一个图形整体沿某一直线的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 根据平移的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、飞机在地面上沿直线滑行，属于平移变换，符合题意； B、在游乐场里荡秋千，属于旋转变换，不符合题意； C、推开教室的门，属于旋转变换，不符合题意； D、风筝在空中随风飘动，不属于平移，不符合题意； 故选：A． 【变式1-2】．下列现象是数学中的平移的是 .（填序号） ①．苹果垂直从树上落下②．电梯从底楼升到顶楼③．骑自行车时轮胎的滚动 ④．钟摆的摆动 【答案】①② 【知识点】生活中的平移现象 【分析】平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。平移不改变图形的形状和大小。图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等． 【详解】①．苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，符合题意； ②．电梯从底楼升到顶楼，只沿着竖直方向向上改变，符合题意； ③．骑自行车时轮胎的滚动 ，是沿着圆做圆周运动，不符合题意； ④．钟摆的摆动，是沿着弧线左右摆动，不符合题意； 故答案为①② 【点睛】此题考查的知识点：平移的概念；抓住：所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，是解答此题的关键． 【变式1-3】．让我们先做一个简单的游戏． 如图表示一个乒乓球放在由四根木棒搭成的“杯子”里．你能只移动其中的两根木棒，使乒乓球跑到“杯子”外面吗？试一试． 【答案】见详解 【知识点】生活中的平移现象 【分析】将③号棒左移，②号棒移动到③号棒另一头，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【详解】解：如图，即可使乒乓球跑到“杯子”外面． 【点睛】本题主要考查了图形的平移，培养学生的观察能力和动手能力，具有较强的空间想象能力是解题关键． 【题型2 识别图形的平移】 【例2-1】．2024年3月2日神十七航天员乘组第二次出舱活动取得圆满成功．在下列四个航天员简笔画中，可以由图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了生活中平移的现象．“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．根据平移的意义即可求解． 【详解】 解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是， 故选：B． 【例2-2】．2025年第九届亚洲冬季运动会会徽“超越”，巧妙融合短道速滑运动员、哈尔滨市花丁香花、舞动的飘带造型进行同构设计，将中国文化与奥林匹克元素结合，传递新时代中国加快体育强国建设，不懈努力向更高、更快、更强的目标发起挑战，为亚洲冰雪运动作出新贡献的美好追求，下列选项中能通过下图平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质判断即可，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移性质可知，选项符合题意，选项不符合题意， 故选：C． 【变式2-1】．下面选项中哪幅图是由原图平移得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．根据平移只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小解答． 【详解】解：只有D选项的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到． 故选：D． 【变式2-2】．如图，为保持原图的模样，应选下图、、、的哪一块拼在图案的空白处（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查的是利用平移设计图案，先根据题意找出基础图形是解答此题的关键．根据题意找出平移的图形即可得出结论． 【详解】解：由图可知，此图案由如图的图形平移而成， ， 所以通过比较需要补充B图形，才能与空白处的上方图形组成如图， 故选：B． 【变式2-3】．观察图中五个“五角星”组成的图案，它们可以看作是由自身的一部分平移得到的吗？试说明理由． 【答案】可以看作是由自身的一部分平移得到的，理由见解析 【知识点】图形的平移 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，即可选出答案．此题主要考查了图形的平移，判断图形是否由平移得到，要把握两个“不变”，图形的形状和大小不变；一个“变”，位置改变． 【详解】解：可以看作是由自身的一部分平移得到的， 结合图形和平移性质，得出可以看作是由中间的一个小五角星分别向左上方、左下方、右上方、右下方平移得到的． 【题型3 平移的距离】 【例3-1】．如图，将沿方向平移得到．若，，则平移的距离为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应顶点的连线的长度等于平移距离．根据平移的性质解答即可． 【详解】解：∵将沿方向平移得到， ∴ ∵，，， ∴平移距离为， 故选：A． 【例3-2】．如图，将三角形沿着射线方向平移得到三角形，已知之间的距离是1，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解、图形的平移 【分析】本题考查平移性质，根据题意，由平移性质得到，数形结合，由代值求解即可得到答案，数形结合表示出所求线段是解决问题的关键． 【详解】解：根据平移的性质可知，， ∵， ∴， 故选：B． 【变式3-1】．在直角中，，，，将沿直线向右平移得到，若，．    (1)求向右平移的距离． (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题考查四边形综合，涉及平移性质及求四边形周长等知识，熟记平移性质，数形结合是解决问题的关键． （1）由平移性质得到，数形结合，进而列式求解即可得到向右平移的距离是； （2）由平移性质得到，，利用四边形的周长为，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：将沿直线向右平移得到， ，则， ，， ，即，解得， 向右平移的距离是； （2）解：将沿直线向右平移得到， ，， ，， 四边形的周长为． 【变式3-2】．如图，平移后得到，请在图中画出平移的方向，量出平移的距离，指出对应点和对应线段．    【答案】见解析 【知识点】图形的平移 【分析】本题考查了平移的定义和相关概念； 根据平移后得到结合平移的相关概念可得答案． 【详解】解：如图，平移的方向是从点C到点G方向， 经测量可得，平移的距离为， 其中与E为对应点；B与F为对应点；C与G为对应点；与为对应线段；与为对应线段；与为对应线段．      【变式3-3】．如图，在每个小正方形边长为 1 的方格纸中，△ ABC 的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移 2 格，再向上平移 4 格． （1）请在图中画出平移后的△ A′B′C′； （2）连接 AA′、CC′，则AA′、CC′关系是 　； （3）请在图中画出△ABC的中线BD； （4）在图中能使 S△ ABC＝S△ PBC 的格点 P 的个数有 　个（点 P 异于点 A）． 【答案】（1）见解析；（2）AA′＝CC′，AA′∥CC′；（3）见解析；（4）4． 【知识点】平移综合题(几何变换)、平移(作图)、图形的平移 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可． （2）利用图像法或平移的性质即可解决问题． （3）取AC的中点D，连接BD即可． （4）满足条件的点P在过点A与直线BC平行的直线上． 【详解】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求作． （2）AA′＝CC′，AA′∥CC′． 故答案为：AA′＝CC′，AA′∥CC′． （3）如图，线段BD即为所求作． （4）满足条件的点P有4个（图中黑点）， 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 【题型4 利用平移的性质求线段长度】 【例4-1】．这个学期我们学习了平移，数学中也有许多平移的例子，如图所示，这是用三角板和直尺画平行线的示意图，将三角板沿着直尺平移到三角板的位置，就可以画出的平行线．直线就可以看成是直线经平移后所得的图形．若平移的距离的长度为7，则之间的距离为（ ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，理解并掌握平移的性质是解题关键．平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．根据平移的性质，即可获得答案． 【详解】解：根据题意，平移的距离的长度为7， 则之间的距离为7． 故选：B． 【例4-2】．如图，将周长为的沿方向向右平移得到，则四边形的周长为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查图形的平移有关计算，熟练掌握平移的性质是解题的关键，根据平移的性质得到，，利用周长的定义即可计算出四边形的周长． 【详解】解：∵将周长为的沿方向向右平移得到， ∴，， ∴四边形的周长为： ． 故选：D． 【变式4-1】．如图，将沿方向平移得到，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段的和与差、利用平移的性质求解 【分析】 本题主要考查了平移的性质，线段的和与差等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键：平移中连接各组对应点的线段平行且相等． 根据平移的性质可得，然后利用线段的和差关系即可得出答案， 【详解】 解：由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】．如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ． 【答案】2.5/ 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质．根据图形的平移，对应点的平移的距离是相等，再结合，即可作答． 【详解】解：如图：连接， ∵经过平移得到，连接，且， ∴， 故答案为：． 【变式4-3】．如图，将周长为的沿方向平移到的位置，已知四边形的周长为20cm，那么平移的距离为 cm． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移知：； ∵四边形的周长为20cm，的周长为， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 即平移的距离为； 故答案为：2． 【题型5 利用平移的性质求角度】 【例5-1】．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，    ∵由平移得到， ， ∵，， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作，    同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 【例5-2】．如图，是由平移得到的，则点、、的对应点分别是 ，如果，，，那么 ， ， ． 【答案】 、、 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移，根据平移的性质“平移前后对应边相等、对应角相等”解答． 【详解】解：是由平移得到的， 点、、的对应点分别是、、， ，，，， ，， 故答案为：、、，，，． 【变式5-1】．如图，四边形平移后得到的四边形，已知，，，，那么 ， ， ， ， ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的基本概念及平移规律，根据平移的性质作答．由图可知四边形与四边形中，，，；，，，． 【详解】解：四边形平移后得到的四边形，已知，，，， ，，，， 故答案为：，，，，，，． 【变式5-2】．如图所示，直线a、b 分别与直线l 交于点 A、B，现将直线a沿直线l向右平移到过点 B 的位置，若，则的度数为 【答案】/度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的性质及平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 根据平移的性质可得，根据平行线的性质可得，根据平角的定义即可得答案． 【详解】如图， ∵将射线a沿直线l向右平移过点B， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-3】．如图，沿方向平移到的位置． (1)若，求的度数； (2)若，求平移的距离． 【答案】(1) (2)3 【知识点】利用平移的性质求解、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查图形的平移、三角形内角和定理，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键． （1）根据平移的性质，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由平移的性质得出，进而可证，即可求解． 【详解】（1）解：由平移可知， ∴， ∴． （2）由平移可知， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为3． 【题型6 利用平移的性质求阴影部分面积】 【例6-1】．如图，将沿的方向平移到的位置，，平移距离为8，则阴影部分的面积为（   ） A．35 B．40 C．56 D．64 【答案】D 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，由平移的性质可得，，则，再根据进行求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ∴， ∴ ， 故选：D． 【例6-2】．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】16.5 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，梯形的面积公式，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，，，推出阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：由平移的性质得，，，， 为和的公共部分， 阴影部分的面积， ，， ， ， 阴影部分的面积为16.5． 故答案为：16.5． 【变式6-1】．如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到的方向平移到的位置，若，，平移距离为4，则阴影部分面积为 ． 【答案】34 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移性质、全等三角形的性质、梯形面积公式，熟练掌握平移性质，得到是解答的关键． 根据平移性质得到阴影部分面积等于梯形的面积，然后利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移性质得，，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：34． 【变式6-2】．如图，将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，此时阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得到阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积，据此根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形， ∴阴影部分的面积是一个长为，宽为的长方形面积， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 【变式6-3】．如图所示，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形，连接，若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，熟记性质并判断出阴影部分是平行四边形是解题的关键． 先说明阴影部分是平行四边形，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：∵沿方向平移得到， ∴， ∴阴影部分四边形是平行四边形， ∵平移距离为, ∴, ∴阴影部分的面积为． 故答案为：． 【题型7 利用平移的性质求重叠部分面积】 【例7-1】．如图，将直角三角形沿直角边所在的直线向右平移得到，，，，平移距离为6，则的面积为（   ） A．27 B．40 C．42 D．54 【答案】A 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质及三角形的面积公式，根据平移的性质得出，是解题的关键．根据平移的性质得出，，则，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：由平移的性质知，，，， ，， 的面积． 故选：A 【例7-2】．已知，大正方形的边长为8厘米，小正方形的边长为5厘米，起始状态如图.大正方形固定不动，把小正方形以2厘米/秒的速度向右沿直线平移，当平移的时间为 秒时，两个正方形重叠部分的面积为10平方厘米. 【答案】1或5.5 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移，解题关键掌握平移的性质． 分两种情况讨论，用路程公式计算即可． 【详解】解：当厘米时，两个正方形重叠部分的面积为10平方厘米，平移的时间为秒； 当厘米时，两个正方形重叠部分的面积为10平方厘米，平移的时间为秒； 故答案为：1或5.5． 【变式7-1】．如图，两个大小相同的直角三角形重叠在一起，若固定不动，将另一个三角形，向左平移并记为，其中，与相交于点H．若，，，则的面积为 ． 【答案】9 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查了三角形的面积，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键．由平移的性质得，分别求出的长，即可求出的面积． 【详解】解：由平移的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴△CEH的面积为， 故答案为：9． 【变式7-2】．和是两个形状、大小完全相同的直角三角形，如图①所示，三条边、、的长分别是、、，且、、、在同一条直线上． (1)如果朝着某个方向平移后得如图②所示，则平移的方向是什么？平移的距离是多少？ (2)平移至图③所示的位置，如果，则的面积是多少？ 【答案】(1)平移的方向沿方向，平移距离是； (2) 【知识点】图形的平移、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，相似三角形的判定与性质， （1）根据平移的性质结合图形即可确定平移方向为沿方向，对应点之间的距离为平移距离； （2）由面积法求出的长度，然后根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解． 【详解】（1）解：由图可知，平移的方向沿方向，平移距离是长， ， 平移距离是； （2）解：∵， ∴， ∵， ， 的面积． 【变式7-3】．如图，长方形，，，若将该长方形沿方向平移一段距离，得到长方形，试问： (1)长方形与长方形的面积是否相等？ (2)将长方形平移多长距离，能使两长方形的重叠部分的面积是？ 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质： （1）由平移的性质可得，据此根据图形面积之积的关系可得； （2）由平移的性质可得，再根据长方形面积公式得到，则，据此可得答案． 【详解】（1）解：由平移的性质可得， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得， ∵两长方形的重叠部分的面积是， ∴， ∴， ∴， ∴将长方形平移，能使两长方形的重叠部分的面积是． 【题型8 平移的实际应用】 【例8-1】．如图1，从一个边长为4的正方形纸片上剪掉两个边长为a的小正方形，得到如图2所示的图形．若图2中图形的周长为22，则a的值是（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的性质，一元一次方程的应用，根据所给图形及周长列出关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得， 解得， 故选A． 【例8-2】．如图，在一块长，宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的长方形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： =， 绿化区的面积是， 故选：B． 【变式8-1】．如图是某公园里一处风景欣赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏风景，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键．根据平移的性质得出所走路程为即可解题． 【详解】 解：由平移的性质可知，从出口A到出口B所走的路线图中虚线长为：（米）， 故答案为：． 【变式8-2】．如图，用三根长为的火柴棒围成一个等边三角形，将它的两边按图中方式向外等距离平移，再另外添加三根长为的火柴棒（虚线部分），得到一个正六边形，则x的值为 ．    【答案】 【知识点】利用平移解决实际问题 【分析】本题考查了平移的概念，如图， 将平移得，将平移得，进而得到一个正六边形，因此可得x的值为． 【详解】如图所示，令等边三角形为，将平移得，将平移得，   ， 又六边形是正六边形， ， 故答案为：． 【变式8-3】．探究证明图形的操作过程（本题中四个长方形的水平方向的边长均为，竖直方向的边长均为 在图①中，将线段向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分） 在图②中，将折线向右平移1个单位长度到，得到封闭图形（即阴影部分）．请你分别写出上述两个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积： ， ． 结论应用在图③中，请你类似的画一条有两个折点的线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形，并用斜线画出阴影，则阴影部分的面积 ． 联系拓展如图④，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位长度），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少，并证明你的猜想是正确的． 【答案】探究证明， 结论应用 联系拓展，理由见解析 【知识点】利用平移的性质求解、利用平移解决实际问题 【分析】本题主要考查了平移的性质． 探究证明阴影部分的平行四边形的底是1，高是，即可得阴影面积，进而可答案； 结论应用可看成两个平行四边形，它们的底都是1，而两个平行四边形高的和为，故可得阴影面积，即得答案； 联系拓展考虑图形的拆分和拼凑，可利用平移把空白部分凑成长为，宽是的长方形，进而得到草地的面积． 【详解】解：探究证明平行四边形的面积底高， ，， 故答案为：，； 结论应用画图如下： ； 故答案为：； 联系拓展空白部分表示的草地面积是：，理由如下： 1、将“小路”沿着左右两个边界“剪去”； 2、将左侧的草地向右平移一个单位； 3、得到一个新的长方形． 在新得到的长方形中，其纵向宽仍然是．其水平方向的长变成了，所以草地的面积就是：． 【题型9 利用平移作图】 【例9-1】．在如图所示的方格纸中不用量角器与三角尺，仅用直尺． (1)经过点P画的平行线． (2)过点A，画的垂线． (3)过点C，画的垂线． (4)请直接写出的位置关系 ． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 (4) 【知识点】平移(作图)、垂直于同一直线的两直线平行、画垂线 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定： （1）利用平移思想，画出即可； （2）把绕C点顺时针旋转得到，则，然后把平移到，使点与点重合，； （3）把绕C点顺时针旋转得到，则； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求； （4）∵，， ∴． 【例9-2】．如图，将三角形经过平移后得到三角形，其中点平行移动到了点．画出平行移动后得到的三角形． 【答案】见解析 【知识点】平移(作图) 【分析】本题考查平移作图，根据点平行移动到了点，得到平移的方向和距离，再根据其找出、的对应点、，顺次连接对应点、、，即可解题． 【详解】解：点向左平移三格，向上平移一格，移动到了点． 三角形也由三角形向左平移三格，向上平移一格得到， 所作三角形如图所示： 【变式9-1】．如图，每个小正方形边长都为1，三角形ABC的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫做格点）． (1)过A点做所在直线的垂线段； (2)平移三角形，使点A平移到点E（点B平移到点F，点C平移到点G）画出平移后的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】格点作图题、平移(作图)、画垂线 【分析】本题考查了作图−−平移变换，熟练掌握平移的性质是解此题的关键． （1）根据网格特征和垂线段的定义画图即可； （2）利用平移的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， ． 【变式9-2】．如图，已知，是的平分线，平移，使点C移动到点D，点B的对应点是E，点A的对应点是 (1)在图中画出平移后的 (2)画出点A到线段的垂线段； (3)若，与相交于点H，则______，______ 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)， 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点F，E，D即可； （2）根据垂线段的定义画出图形； （3）利用平行线的性质解决问题． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）线段即为所求； （3）由平移变换的性质可知，， ，， 平分， ， ， 故答案为：， 【变式9-3】．利用直尺画图 (1)利用图（1）中的网格，过 点画直线 的平行线和垂线． (2)把图（2）网格中的三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相接组成一个三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】平移(作图)、用直尺、三角板画平行线、画垂线 【分析】本题考查了平行线的作法，垂线的作法，以及线段的平移，掌握网格结构的特点并熟练应用是解题的关键． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点以及垂直的格点作出图形即可； （2）根据网格结构的特点，过点E找出与位置相同的线段，过点找出与位置相同的线段，作出图形即可． 【详解】（1）解：作图如下： ，即为所求； （2）解：如图所示： 或都是所求作的三角形． 【题型10 利用平移、平行线性质解决综合问题】 【例10-1】．已知点在射线上． (1)如图，，若，，求的度数； (2)在中，将射线沿射线平移得（如图）若，探究与的关系（用含的代数式表示）； (3)在中，过点作的垂线，与的平分线交于点，（如图）若，探究与的关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线的性质求角的度数、利用平移的性质求解 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，直角的定义，角平分线的定义，正确作出辅助线是解决问题的关键． （1）先根据平行线的性质得到的度数，再根据直角、周角的定义即可求得的度数； （2）如图②，过O点作，根据平行线的判定和性质可得、的数量关系； （3）由已知推出，得到，结合角平分线的定义可推出，根据（2），进而推出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 证明：如图②，过O点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵由（2）知，， ∴， ∴． 【例10-2】．.实践与操作：如图，平移三角形，使点平移到点，画出平移后的三角形 （点平移到，点平移到，保留画图痕迹，在图中标明相应字母，不写作法）； 推理与证明： （1）由平移可知，且．其依据是： ； （2）证明：． 【答案】实践与操作：见解析；推理与证明：（1）对应点连线平行且相等；（2）见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】此题考查作图—平移变换，关键是利用平移的性质解答． 实践与操作：根据平移变换的定义画图可得． 推理与证明：（1）根据平移变换的性质可得答案； （2）根据平移的性质得，推出即由可得结论 【详解】解：实践与操作： 如图所示，即为所求， 推理与证明： （1）由平移可知，且． 其依据是：对应点连线平行且相等； 故答案为：对应点连线平行且相等； （2）证明：由， ∴ ∴ 又 ∴， ∴ ∴． 【变式10-1】．如图，在三角形中，，，．将三角形沿向左平移，得到三角形，与交于点，连接． (1)分别求和的度数； (2)若，，求图中阴影部分的面积； (3)已知点在三角形约内部，三角形平移到三角形后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为，请直接写出的长度． 【答案】(1)； (2)10 (3)6 【知识点】两直线平行同位角相等、利用平移的性质求解 【分析】此题主要考查了图形的平移变换及其性质，熟练掌握图形的平移变换及其性质是解决问题的关键． （1）由平移的性质得，，，，，则，由此可得的度数；由得，由此可得的度数； （2）先根据，得，再根据三角形的面积公式可求出图中阴影部分的面积； （3）依题意得，，即，由此得，再根据平移的性质得，据此可得的长． 【详解】（1）由平移性质得：，，，，， ， ， ， ， ； （2），， ， 又， ； （3）的周长为， ， 又四边形的周长为， ， 即， ， ， 由平移的性质得：， ， ， 即的长度为6． 【变式10-2】．如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③或或． 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 【变式10-3】．如图1，将线段AB平移至DC，使点A与点D对应，点B与点C对应，连接AD，BC． (1)填空：BC与AD的位置关系为__________，BC与AD的数量关系为__________； (2)点G，E都在直线BC上，，DF平分交直线BC于点F． ①如图2，若G，E为射线CB上的点，，求的度数； ②如图3，若G，E为射线BC上的点，，则__________（用含的式子表示）． 【答案】(1)AD∥BC，AD=BC (2)①100°；②180°-2α 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解 【分析】（1）根据平移的性质和图形可得得，对应点连线互相平行且相等可得答案； （2）①利用平行线的性质和角平分线的定义得∠ADC=2∠GDF，从而得出答案； ②由①同理可得答案． 【详解】（1）解：∵将线段AB平移至DC， ∴ADBC，AD=BC； （2）①∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGC， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠ADC=2∠GDF=2×40°=80°， ∵ADBC， ∴∠C+∠ADC=180°， ∴∠C=100°； ②∵ADBC， ∴∠ADG=∠DGE， ∵∠DGE=∠GDE， ∴∠ADG=∠EDG， ∵DF平分∠CDE， ∴∠EDF=∠CDF， ∴∠GDF=∠GDE-∠EDF=（∠ADE-∠CDE）=∠ADC， ∴∠ADC=2α， ∵ADBC， ∴∠BCD+∠ADC=180°， ∴∠BCD=180°-2α． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了平行线的性质，平移的性质，角平分线的定义，角的和差等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，同时注意解题方法的延续性． 学科网（北京）股份有限公司 $$