4.3公式法同步练习 2024-2025学年北师大版数学八年级下册

4.3公式法 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知，，则代数式的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 2．下列何者为5x2+17x-12的因式？ A．x+1 B．x-1 C．x+4 D．x-4 3．如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，x，y表示四个相同长方形的两边（）．则①；②；③；④，错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．下列因式分解中，正确的个数为（    ）. ① x3 2xy x xx2 2 y;② x2 4x 4 x 22 ;③ x2y 2 x yx y A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个 5．把多项式分解因式，其结果是（　　） A． B． C． D． 6．下列各式可用平方差公式分解因式的是（　　） A． B． C． D． 7．下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 8．已知：则的值为（  ） A． B． C． D． 9． 等于（     ） A． B． C． D． 10．若能分解为，那么、的值是（   ） A．7、2 B． C． D． 11．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 12．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如果，，那么代数式的值是 ． 14．因式分解时，甲看错了的值，分解的结果是，乙看错了的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为 ． 15．若，则的值为 ． 16．已知长方形的面积为4a2-4b2,如果它的一边长为a+b，则它的周长为 ． 17．若a+b=2，ab=1，则a2b+ab2= .. 三、解答题 18．因式分解： (1) (2) 19．如图，有足够多的正方形（A型和B型）和长方形（C型）卡片，利用这些卡片可以进行因式分解，如对多项式进行因式分解．    (1)要拼成面积为的图形需A卡 张，B卡 张，C卡 张，利用这些卡片可以拼成一个长方形（不重叠无缝隙），由于同一长方形面积的有不同表示形式：各卡片的面积和为，长与宽的积为，可以得到． (2)请参考照（1）中的因式分解过程，画出草图对进行因式分解． 20．如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角各剪去一个边长为b的正方形，若，，求剩余部分的面积． 21．数与形是数学研究的两大部分，它们间的联系称为数形结合，数形结合大致分为两种情形，或者借助图形的直观来阐明数之间的关系，或者借助数的精确性来阐明图形的属性，即“以形助数”或“以数解形”，整式乘法中也利用图形面积来论证数量关系．现用砖块相同的面（如材料图，长为，宽为的小长方形）拼出以下图形，延长部分边框，则把这些拼图置于如图所示的正方形或大长方形内，请解答下列问题． (1)求图1中空白部分的面积（用含的代数式表示）． (2)图1，图2中空白部分面积分别为、，求值． (3)图3中空白面积为，根据图形中的数量关系，将下列式子写成含、的整式乘积的形式： ①． ②． 22．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而很到，因此有，这种方法称为分组法，请回答下列问题： (1)尝试填空：________； (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，，，且满足，试判断这个三角形的形状，并说明理由． 23．若一个正整数，它的各位数字是左右对称的，则称这个数是对称数，如22，797，12321都是对称数．最小的对称数是11，没有最大的对称数，因为数位是无穷的． (1)有一种产生对称数的方式是：将某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进行下去，便可得到一个对称数．如：17的逆序数为71，，88是一个对称数；39的逆序数为93，，132的逆序数为231，，363是一个对称数．请你根据以上材料，求以687产生的第一个对称数； (2)若将任意一个四位对称数分解为前两位数所表示的数，和后两位数所表示的数，请你证明这两个数的差一定能被9整除； (3)若将一个三位对称数减去其各位数字之和，所得的结果能被11整除，则满足条件的三位对称数共有多少个？ 24．【发现】如果两个连续的正整数的和可以表示成某一个正整数的平方，那么以这三个正整数为边长的三角形是直角三角形． 【验证】（1）如：，请判断以40，41，9为边长的三角形是否为直角三角形，并说明理由； 【探究】（2）设两个连续的正整数m和的和可以表示成正整数，请论证【发现】中的结论正确． 学科网（北京）股份有限公司 《4.3公式法》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C B B D A A B 题号 11 12 答案 B C 1．C 【分析】先分解因式，再将已知的a-b=3，b-c=-2，两式相加得：a-c=1，整体代入即可． 【详解】解：a2-ac-b（a-c） =a（a-c）-b（a-c） =（a-c）（a-b）， ∵a-b=3，b-c=-2， ∴a-c=1， 当a-b=3，a-c=1时，原式=3×1=3． 故选：C． 【点睛】本题是因式分解的应用，考查了利用因式分解解决求值问题；具体做法是：根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入；但要注意分解因式后，有一个因式a-c与已知不符合，因此要对已知的两式进行变形，再代入． 2．C 【分析】运用十字相乘的因式分解法对此式进行因式分解，然后再判断此式的因式． 【详解】解：5x2+17x-12=（5x-3）（x+4）； 故选C． 3．D 【分析】根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【详解】解：①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，故本项正确，不符合题意； ②∵xy为小长方形的面积， ∴xy=，故本项正确，不符合题意； ③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确，不符合题意； ④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=，故本项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的混合运算以及因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 4．C 【分析】利用提取公因式法以及公式法分别分解因式进而判断得出即可． 【详解】解：①x3+2xy+x=x（x2+2y+1），故原题错误； ②x2+4x+4=（x+2）2；正确； ③-x2+y2=（x+y）（y-x），故原题错误； 故正确的有1个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了运用公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键． 5．B 【分析】根据把多项式写成几个因式的积的形式叫做因式分解，判断即可．本题考查了因式分解的定义即把多项式写成几个因式的积的形式，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：． 故选：B． 6．B 【分析】本题考查用平方差公式分解因式，解题的关键是掌握用平方差公式分解因式． 根据平方差公式进行计算，即可得到答案． 【详解】A． 只有一个平方项，故本选项错误． B． 符合平方差公式，正确； C． 两平方项的符号相同，故本选项错误； D． 两平方项的符号相同，故本选项错误； 故选∶B． 7．D 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的方法逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，故B选项错误，不符合题意； C、，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项正确，符合题意； 故选：D． 8．A 【分析】将变形为（a+b）2-（a+b）-5，再把a+b=3代入求值即可. 【详解】∵a+b=3， ∴a2-a+b2-b+2ab-5 =（a2+2ab+b2）-（a+b）-5 =（a+b）2-（a+b）-5 =32-3-5 =9-3-5 =1， 故选：A． 【点睛】本题考查因式分解的应用，解答本题的关键是明确题意，利用完全平方公式解答． 9．A 【分析】本题考查因式分解的应用，同底数幂相乘法则的逆用，熟练掌握同底数幂相乘法则的逆用是解题的关键． 先逆用同底数幂相乘法则，变形为，再提公因式，即可求解． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 10．B 【分析】本题主要考查因式分解的意义，以及多项式相等的条件，将分解因式的结果利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求解. 【详解】解： ∴ 解得：. 故选：B. 11．B 【分析】直接利用提取公因式法以及十字相乘法分解因式，进而判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不合题意； D、，不能分解，故此选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12．C 【分析】由完全平方公式分解因式可判断A，B，D，由提公因式法与公式法的综合可判断C，从而可得答案． 【详解】解：，故A不符合题意； 在有理数范围内不能分解因式，故B不符合题意； ，分解正确，故C符合题意； 不能分解因式，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是综合提公因式法与公式法分解因式，熟记因式分解分方法并能准确的分解因式是解本题的关键． 13．-64 【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式，然后将已知整体代入求值，即可． 【详解】解：= = ∵，， ∴原式=2×(-4)×8 =-64， 故答案是：-64． 【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式，进行分解因式，是解题的关键． 14．# 【分析】本题考查了因式分解，先确定m，n的值，后分解因式即可． 【详解】∵甲看错了的值，分解的结果是， ∴． ∵乙看错了的值，分解的结果为， ∴． ∴， 故答案为：#． 15．4 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了完全平方公式的计算，正确掌握完全平方公式分解因式是解题的关键． 16．10a-6b 【分析】直接利用提公因式法和公式法因式分解得到另一边长，进而得出答案． 【详解】∵，长方形的一边长为a+b ∴长方形的另一边长为 ∴该长方形的周长为：（4a-4b+a+b）×2=10a-6b， 故答案为：10a-6b 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握利用公式分解因式是解题关键． 17．2 【分析】把a2b+ab2提取公因式可得a2b+ab2=ab（a+b），代入a+b=2，ab=1，即可得答案. 【详解】a2b+ab2=ab（a+b） 当a+b=2，ab=1, 原式=1×2=2 【点睛】此题主要考查了因式分解的运用，有公因式时，要先考虑提取公因式；注意运用整体代入法求解． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1)2；1；3； (2)见详解 【分析】（1） 由图直接得出答案即可； （2） 用 卡 2 张， 卡 3张， 卡 5张画出草图， 根据拼成长方形的长和宽得出因式分解的结果即可； 【详解】（1）要拼成面积为 的图形需 卡 1 张， 卡 2张， 卡 3 张； （2）如图，用A卡 2 张，B卡 3张，C卡 5张画出；    【点睛】此题考查因式分解的实际运用，借助长方形的面积，把因式分解直观化，通俗易懂 20．10.4 【分析】本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度适中．先根据题意列出算式，再代入求出即可． 【详解】解：剩余部分的面积是， 当，时剩余部分的面积是： ． 答： 剩余部分得面积为 10.4. 21．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）结合图形，图1中空白部分的面积等于大正方形的面积减去个小长方形的面积； （2）根据图形，图2中空白部分的面积等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，再列出关于，的方程组并解方程组即可； （3）结合图形，图3中空白面积为等于大长方形的面积减去个小长方形的面积，将及写成含、的整式乘积的形式． 【详解】（1）解：∵图1小正方形的边长为，其中阴影部分面积为， ∴． （2）解：∵图2小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∵面积分别为、， ∴ 由，得， ∴； （3）解：∵图3小长方形的长为，宽为，其中阴影部分面积为， ∴， ∴① ②． 【点睛】本题考查了分解因式的应用，长方形的面积，完全平方公式的应用，多项式乘多项式的法则，培养学生的观察图形的能力和化简能力，数形结合思想是解题的关键． 22．(1) (2)等边三角形，理由见详解 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，等边三角形的判定，正确理解题意分组法进行因式分解即可解题． （1）根据分组法按步骤计算可得出． （2）把已知条件式左边利用分组法结合完全平方公式进行分解因式推出，进而根据非负数的性质推出，由此可得结论． 【详解】（1）解： （2）解： 即， ∵， ∴， ∴，， ， 故该三角形为等边三角形． 23．(1)以产生的第一个对称数是： (2)这两个数的差一定能被整除 (3)这样的三位对称数共有9个 【分析】本题考查因式分解的应用、与实数的运算相关的规律等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考创新题目． （1）由对称数产生的方法进行运算即可得到答案； （2）设四位对称数分解为前两位数所表示的数为：，和后两位数所表示的数为，用a、b的代数式表示这两个数的差即可解决问题． （3）设这个三位对称数为：，由题意 ，根据整除的定义，确定b的值即可解决问题． 【详解】（1）解： ，    则， 则， ∴以产生的第一个对称数是：； （2）设这个四位数的前两位所表示的数为：， 这个四位数的后两位所表示的数为：， 由题意： ＝＝        ∵、为整数， ∴为整数， ∴一定能被整除， ∴这两个数的差一定能被整除； （3）设这个三位对称数为： ， 由题意： ， ∵这个三位对称数能被整除， ∴为整数 ∵、为整数，且， ∴为整数即， ∴这样的三位对称数共有9个. 24．（1）以40，41，9为边长的三角形是直角三角形．理由见解析；（2）见解析 【详解】解：（1）以40，41，9为边长的三角形是直角三角形． 理由：， ，即， ∴以40，41，9为边长的三角形是直角三角形． （2）由题意，得， ， ， ∴以为边长的三角形是直角三角形， ∴发现中的结论正确． 学科网（北京）股份有限公司 $$